TS EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक कदम की लंबाई $d$ है। प्रारंभिक स्थिति $(0, 0)$ है।
$1$. पूर्व में $2$ कदम: स्थिति $(2d, 0)$ हो जाती है।
$2$. दाएं (दक्षिण) मुड़कर $4$ कदम: स्थिति $(2d, -4d)$ हो जाती है।
$3$. दाएं (पश्चिम) मुड़कर $6$ कदम: स्थिति $(2d - 6d, -4d) = (-4d, -4d)$ हो जाती है।
$4$. दाएं (उत्तर) मुड़कर शेष कदम चलता है। अब तक कुल $2 + 4 + 6 = 12$ कदम चले गए हैं। शेष कदम $= 20 - 12 = 8$ कदम उत्तर की ओर।
अंतिम स्थिति $= (-4d, -4d + 8d) = (-4d, 4d)$ है।
अंतिम स्थिति दूसरे चतुर्थांश (पश्चिम और उत्तर) में है। चूंकि $x$ और $y$ निर्देशांकों का परिमाण समान है $(|-4d| = |4d|)$,इसलिए यह स्थिति पश्चिम से उत्तर की ओर ठीक $45^{\circ}$ के कोण पर है,जो कि उत्तर-पश्चिम दिशा है।

(B) पक्षी का वेग $v(t) = t - 2$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि दूरी वेग के परिमाण का समाकलन (integral) है, हम गणना करते हैं:
$\text{दूरी} = \int_{0}^{4} |v(t)| \text{ dt} = \int_{0}^{4} |t - 2| \text{ dt}$.
हम समाकलन को $t = 2 \text{ s}$ पर विभाजित करते हैं जहाँ वेग का चिह्न बदलता है:
$\text{दूरी} = \int_{0}^{2} -(t - 2) \text{ dt} + \int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt}$.
पहले भाग का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{2} (2 - t) \text{ dt} = [2t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - 0 = 2 \text{ m}$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन:
$\int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt} = [\frac{t^2}{2} - 2t]_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2 \text{ m}$.
कुल दूरी $= 2 \text{ m} + 2 \text{ m} = 4 \text{ m}$.

(D) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
मान लीजिए कि एकसमान त्वरण $a$ है।
$n$ सेकंड के बाद वेग $v = u + at$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V = 0 + a(n)$,जिससे $a = \frac{V}{n}$ प्राप्त होता है।
अंतिम $t = 2 \text{ s}$ में विस्थापन $S$ की गणना $S = v_{final}t - \frac{1}{2}at^2$ सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है,जहाँ $v_{final} = V$ है।
$S = V(2) - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(2)^2$.
$S = 2V - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(4)$.
$S = 2V - \frac{2V}{n}$.
$S = 2V \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{2V(n-1)}{n}$.

(B) दिया गया है: हवाई जहाज का वेग,$u = 60 \ km/h = 60 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{50}{3} \ m/s$.
हवाई जहाज की ऊँचाई,$h = 490 \ m$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \ m/s^2$.
बम को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 490}{9.8}} = \sqrt{\frac{980}{9.8}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
इस समय में बम द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $R = u \times t$ है।
$R = \left(\frac{50}{3}\right) \times 10 = \frac{500}{3} \ m$.

(C) प्रारंभिक वेग $u = 50 \ m/s$,कोण $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$ है।
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 50 \cos 30^{\circ} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \ m/s$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times 0.5 = 25 \ m/s$ है।
कुल परास (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{50^2 \sin 60^{\circ}}{10} = \frac{2500 \times \sqrt{3}}{20} = 125\sqrt{3} \ m \approx 216.5 \ m$ है।
$t = 3 \ s$ में तय की गई क्षैतिज दूरी $x = u_x \times t = 25\sqrt{3} \times 3 = 75\sqrt{3} \ m \approx 129.9 \ m$ है।
दीवार के आगे वह दूरी जहाँ पत्थर जमीन से टकराएगा,$R - x = 125\sqrt{3} - 75\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \ m$ है।
$50 \times 1.732 = 86.6 \ m$।

(D) वेग सदिश $\vec{v}$ को $X$ और $Y$ अक्षों के अनुदिश इसके आयताकार घटकों में वियोजित किया जा सकता है।
दिया गया परिमाण $v = 10 \ m/s$ और कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
घटक इस प्रकार हैं:
$v_x = v \cos \theta = 10 \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$
$v_y = v \sin \theta = 10 \sin 60^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ m/s$
अतः,वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।

(D) प्रक्षेप्य के लिए अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ है।
दिया गया है $R_{\max} = 80 \,m$, इसलिए $80 = \frac{u^2}{g}$, जिसका अर्थ है $u^2 = 80g$।
जब गेंद को उसी वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ के लिए गति का समीकरण $v^2 = u^2 - 2gH$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
मान रखने पर: $0 = u^2 - 2gH$।
$2gH = u^2$।
चूँकि $u^2 = 80g$, इसलिए $2gH = 80g$।
$H = \frac{80g}{2g} = 40 \,m$।

(B) प्रक्षेप्य के पथ का कार्तीय समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u} = \hat{i} + 2 \hat{j} \,ms^{-1}$ है।
यहाँ, क्षैतिज घटक $u_x = 1 \,ms^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 2 \,ms^{-1}$ है।
क्षैतिज विस्थापन $x = u_x t = 1 \cdot t$ है, इसलिए $t = x$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ है।
$y$ के समीकरण में $t = x$ रखने पर:
$y = 2(x) - \frac{1}{2} (10) (x)^2$.
$y = 2x - 5x^2$.

(A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर $\omega$ कोणीय चाल से गति कर रहे कण का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = R \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक कोणीय चाल $\omega_1 = \omega$ है और अंतिम कोणीय चाल $\omega_2 = 2\omega$ है।
प्रारंभिक अभिकेंद्र त्वरण $a_1 = R \omega^2$ है।
अंतिम अभिकेंद्र त्वरण $a_2 = R \omega_2^2 = R (2\omega)^2 = 4 R \omega^2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $a_2 = 4 a_1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिकेंद्र त्वरण प्रारंभिक मान का $4$ गुना हो जाता है।

(A) जब द्रव से भरे बेलनाकार पात्र को उसकी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोणीय वेग $\omega$ से घुमाया जाता है, तो द्रव की सतह परवलयाकार (paraboloid) आकार ले लेती है।
मान लीजिए $r$ पात्र की त्रिज्या है और $h$ केंद्र और भुजाओं पर द्रव के स्तर के बीच ऊँचाई का अंतर है।
अक्ष से $r$ दूरी पर सतह पर स्थित द्रव के एक कण के लिए, घूर्णन फ्रेम में कार्य करने वाले बल अभिकेंद्री बल $(m r \omega^2)$ और गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ हैं।
द्रव की सतह का ढाल $\frac{dh}{dr} = \frac{r \omega^2}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका $r=0$ से $r=R$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^h dh = \int_0^R \frac{\omega^2}{g} r dr$
$h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$
दिया गया है $R = 0.05 \,m$, $\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$, और $g = 10 \,m \,s^{-2}$:
$h = \frac{(10)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$h = \frac{100 \times 0.0025}{20} = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \,m$
$h = 125 \times 10^{-4} \,m$.

(B) जब कार बढ़ती गति के साथ वृत्ताकार पथ पर चलती है,तो वह दो प्रकार के त्वरण का अनुभव करती है:
$1$. त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण: $a_r = \frac{V^2}{r}$,जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण: $a_t = a$,जो पथ की स्पर्श रेखा की दिशा में होता है।
चूंकि ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी त्वरण $a_R$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$a_R = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
मान रखने पर:
$a_R = \sqrt{(\frac{V^2}{r})^2 + a^2}$
$a_R = \sqrt{\frac{V^4}{r^2} + a^2}$

(B) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{m v^2}{R}$ है।
दिया गया है कि दोनों कणों के लिए द्रव्यमान $m$ और अभिकेंद्र बल $F$ स्थिर हैं।
चाल $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{F R}{m}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए चाल और त्रिज्या के बीच का संबंध $v \propto \sqrt{R}$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
अतः,उनकी चालों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।
इस प्रकार,उनकी चालों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(A) स्प्रिंग-ब्लॉक प्रणाली का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि द्रव्यमान $m$ को $4m$ से बदल दिया जाए,तो नया आवर्तकाल $T'$ होगा $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = 2T$।
चूंकि आवर्तकाल दोगुना हो जाता है,इसलिए घड़ी को एक दोलन पूरा करने में दोगुना समय लगता है।
इसका मतलब है कि घड़ी धीमी चलती है। हर $1 \text{ s}$ के वास्तविक समय के लिए,घड़ी केवल $0.5 \text{ s}$ दर्ज करती है,जिसका अर्थ है कि यह हर $1 \text{ s}$ में $0.5 \text{ s}$ पीछे हो जाती है।

(B) हवा में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लोलक $\sigma$ घनत्व वाले द्रव में दोलन करता है,तो गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$ होता है,जहाँ $\rho$ गोलक का घनत्व है।
पानी में आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ है।
दिया गया है कि $T' = \sqrt{2} T$,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g(1 - \sigma/\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sigma/\rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2 = \frac{1}{1 - \sigma/\rho}$,जिसका अर्थ है कि $1 - \frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
चूंकि पानी का घनत्व $\sigma = 1 \text{ g/cm}^3$ है,इसलिए गोलक का आपेक्षिक घनत्व $\rho = 2$ है।

(B) दिया गया है: बल $F = 6.4 \,N$, विस्तार $x = 0.1 \,m$, और आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{4} \,s$.
सबसे पहले, हुक के नियम का उपयोग करके स्प्रिंग नियतांक $k$ की गणना करें: $F = kx$.
$6.4 = k \times 0.1 \implies k = 64 \,N/m$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{16} = 4 \times \frac{m}{64}$.
$\frac{1}{16} = \frac{m}{16}$.
अतः, $m = 1 \,kg$.

(C) $T$ तापमान पर तापीय संतुलन में एक-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर की औसत ऊर्जा $E$,इक्विपार्टिशन प्रमेय के अनुसार $E = k_B T$ द्वारा दी जाती है।
क्लासिकल सीमा में जहाँ $k_B T \gg h\nu$ होता है,औसत ऊर्जा $E = k_B T$ होती है।
यहाँ $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J K^{-1}$ और $T = 300 \ K$ दिया गया है।
अतः,$E = (1.38 \times 10^{-23}) \times 300 = 4.14 \times 10^{-21} \ J$।

(A) $\text{सरल आवर्त गति में } x \text{ विस्थापन पर कण की गतिज ऊर्जा } K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2) \text{ द्वारा दी जाती है,जहाँ } A \text{ आयाम है।}
\text{अधिकतम गतिज ऊर्जा } K_{max} = \frac{1}{2} kA^2 \text{ है।}
\text{दिया गया है कि } x = 4 \,cm \text{ पर,} K = \frac{1}{3} K_{max} \text{ है।}
\text{व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: } \frac{1}{2} k(A^2 - 4^2) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} kA^2).
\text{दोनों पक्षों को } \frac{1}{2} k \text{ से विभाजित करने पर: } A^2 - 16 = \frac{A^2}{3}.
\text{पदों को व्यवस्थित करने पर: } A^2 - \frac{A^2}{3} = 16.
\frac{2A^2}{3} = 16.
A^2 = \frac{16 \times 3}{2} = 24.
A = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \,cm.$

(A) डोरी के $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:
$f = \frac{n}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
डोरी $AB$ के प्रथम हार्मोनिक $(n=1)$ की आवृत्ति:
$f_A = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_A}{\mu}}$
डोरी $CD$ के द्वितीय हार्मोनिक $(n=2)$ की आवृत्ति:
$f_C = \frac{2}{2\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}} = \frac{1}{\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}}$
दिया गया है कि $f_A = f_C$:
$\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_A}{\mu}} = \frac{1}{\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}}$
$\frac{1}{2} \sqrt{T_A} = \sqrt{T_C}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4} T_A = T_C \implies T_A = 4T_C$
छड़ के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,बिंदु $O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$T_A \cdot x = T_C \cdot (L - x)$
$T_A = 4T_C$ रखने पर:
$4T_C \cdot x = T_C \cdot (L - x)$
$4x = L - x$
$5x = L$
$x = \frac{L}{5}$

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण $x = 4(\cos \pi t + \sin \pi t)$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos \pi t + \cos \frac{\pi}{4} \sin \pi t \right)$.
$x = 4 \sqrt{2} \sin \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
इसे मानक $SHM$ समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A = 4 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 2 \cos(t)$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 1 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ s}$।
अतः,कण का आवर्तकाल $2 \pi \text{ सेकंड}$ है।

(C) 'ग्राउंड चक्कर' का घूमना एक घूर्णी गति है जिसमें इसकी घूर्णन अवस्था को बदलने के लिए निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,टॉर्क $\tau$,कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,जिसे $\tau = \frac{dL}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि 'ग्राउंड चक्कर' पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है $(\tau = 0)$,इसलिए कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर शून्य है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dL}{dt} = 0$।
अतः,कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
यह घटना कोणीय संवेग संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(C) रेखा का समीकरण $y = x + a$ है। इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m_{slope} = 1$ प्राप्त होता है। चूँकि $\tan \theta = m_{slope} = 1$,इसलिए कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
वेग सदिश $\vec{v}$,धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। अतः,$\vec{v} = v \cos 45^{\circ} \hat{i} + v \sin 45^{\circ} \hat{j} = \frac{v}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})$ है।
मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m (\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x - y + a = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|(1)(0) - (1)(0) + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvd = m v \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \frac{mva}{\sqrt{2}}$ होगा।

(D) वृत्तीय गति में एक कण का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
हम गतिज ऊर्जा को कोणीय संवेग के पदों में $K = \frac{1}{2}L\omega$ के रूप में लिख सकते हैं।
इससे,कोणीय संवेग $L = \frac{2K}{\omega}$ होता है।
चूंकि आवृत्ति $f$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ भी दोगुना हो जाता है,अतः $\omega_2 = 2\omega_1$।
गतिज ऊर्जा आधी हो जाती है,अतः $K_2 = \frac{K_1}{2}$।
अब,नए कोणीय संवेग $L_2$ की गणना करते हैं:
$L_2 = \frac{2K_2}{\omega_2} = \frac{2(K_1/2)}{2\omega_1} = \frac{K_1}{2\omega_1} = \frac{1}{4} \left( \frac{2K_1}{\omega_1} \right) = \frac{L_1}{4}$।
अतः,नया कोणीय संवेग $\frac{L}{4}$ होगा।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोलों के लिए द्रव्यमान $M$ समान है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती है,अर्थात $I \propto R^2$।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,जड़त्व आघूर्णों का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $4:9$ है।

(D) बिना फिसले लुढ़कने के लिए,वेग $v = r \omega$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$ है।
$v = r \omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 = \frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
दिया गया है कि $K_{rot} = 50 \% \text{ of } E$,इसलिए $K_{rot} = \frac{1}{2} E$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2]$।
$I = \frac{1}{2} I + \frac{1}{2} m r^2$।
$\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} m r^2$,जिसका अर्थ है $I = m r^2$।
जड़त्व आघूर्ण $I = m r^2$ एक पतली वृत्ताकार वलय (रिंग) के लिए होता है।

(C) पृथ्वी का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि इस पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है।
$L = I \omega$
चूंकि $I = \frac{2}{5} MR^2$ और $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है,इसलिए:
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} MR^2 \times \frac{2 \pi}{T_1} = \frac{2}{5} M(xR)^2 \times \frac{2 \pi}{T_2}$
समान पदों को काटने पर:
$\frac{R^2}{T_1} = \frac{x^2 R^2}{T_2}$
$T_2 = T_1 x^2$
पृथ्वी का वर्तमान घूर्णन काल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ है,अतः नया आवर्तकाल:
$T_2 = 24 x^2 \text{ घंटे}$ होगा।

(A) बल आघूर्ण $\tau$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच का संबंध $\tau = \frac{dL}{dt}$ समीकरण द्वारा दिया जाता है।
यहाँ प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = A_0$ और अंतिम कोणीय संवेग $L_f = 4 \,A_0$ दिया गया है।
समय अंतराल $\Delta t = 4 \,s$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_f - L_i = 4 \,A_0 - A_0 = 3 \,A_0$ है।
अतः, बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3 \,A_0}{4}$ होगा।

(C) माना पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c$ है। दी गई ऊष्मा का सूत्र $Q = mc\Delta T$ है।
$2m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए,प्रारंभिक तापमान $T$ है और अंतिम तापमान $2T$ है। तापमान में परिवर्तन $\Delta T_1 = 2T - T = T$ है।
अतः,दी गई ऊष्मा $Q = (2m)c(T) = 2mcT$ है।
$m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए,प्रारंभिक तापमान $2T$ है। माना अंतिम तापमान $T_f$ है। तापमान में परिवर्तन $\Delta T_2 = T_f - 2T$ है।
चूंकि समान ऊष्मा $Q$ दी जाती है,इसलिए $Q = m c (T_f - 2T)$ होगा।
$Q$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2mcT = mc(T_f - 2T)$।
दोनों पक्षों को $mc$ से विभाजित करने पर: $2T = T_f - 2T$।
$T_f$ के लिए हल करने पर: $T_f = 2T + 2T = 4T$।

(D) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार, भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा, पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होती है।
पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा: $Q_{gain} = m_w c_w \Delta T_w = 100 \,g \times 1 \,cal/g^{\circ}C \times (90^{\circ}C - 24^{\circ}C) = 100 \times 66 = 6600 \,cal$.
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा: $Q_{lost} = m_s L_v + m_s c_w \Delta T_s = m_s(540) + m_s(1)(100^{\circ}C - 90^{\circ}C) = 540 m_s + 10 m_s = 550 m_s$.
दोनों को बराबर करने पर: $550 m_s = 6600$.
$m_s = \frac{6600}{550} = 12 \,g$.

(A) बर्फ का द्रव्यमान,$m = 10 \,kg = 10^4 \,g$.
बर्फ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता,$c = 0.5 \,cal \,g^{-1} \,^{\circ}C^{-1} = 2093.4 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$.
बर्फ के गलन की गुप्त ऊष्मा,$L = 80 \,cal \,g^{-1} = 334944 \,J \,kg^{-1}$.
आवश्यक कुल ऊष्मीय ऊर्जा $Q$,बर्फ के तापमान को $0^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा और $0^{\circ}C$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा का योग है।
$Q = m c \Delta T + m L$
$Q = 10 \,kg \times 2093.4 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times (0 - (-10)) \,K + 10 \,kg \times 334944 \,J \,kg^{-1}$
$Q = 10 \times 2093.4 \times 10 + 3349440$
$Q = 209340 + 3349440$
$Q = 3558780 \,J \approx 357 \times 10^4 \,J$.

(C) किसी पदार्थ का तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $\Delta Q = m c \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि द्रव्यमान $m = d V$ (जहाँ $d$ घनत्व है और $V$ आयतन है),हमें $\Delta Q = d V c \Delta T$ प्राप्त होता है।
प्रति इकाई आयतन आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $\frac{\Delta Q}{V} = d c \Delta T$ है।
दिया गया घनत्व का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{5}{6}$ और विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$ है।
समान तापमान वृद्धि के लिए,$\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T$ है।
प्रति इकाई आयतन आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात $\frac{(\Delta Q/V)_1}{(\Delta Q/V)_2} = \frac{d_1 c_1 \Delta T}{d_2 c_2 \Delta T} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{c_1}{c_2}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$।

(A) $\text{कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार, पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा } = \text{ भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा।}$
माना कि मिलाई गई भाप का द्रव्यमान $m$ है।
पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा: $Q_1 = m_w s_w \Delta T_w = 150 \times 1 \times (40 - 20) = 150 \times 20 = 3000 \,cal$.
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा: $Q_2 = m L_v + m s_w \Delta T_s = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 40) = m(540 + 60) = 600m \,cal$.
दोनों को बराबर करने पर: $3000 = 600m$.
$m = \frac{3000}{600} = 5 \,g$.
$\text{40}^{\circ} C$ पर पानी का कुल द्रव्यमान पानी के प्रारंभिक द्रव्यमान और संघनित भाप के द्रव्यमान का योग है: $150 \,g + 5 \,g = 155 \,g$.

(D) पहली छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell_1 = L(2 \alpha) \Delta T = 2 \,L \alpha \Delta T$ है।
दूसरी छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell_2 = (2 \,L)(\alpha)(\Delta T) = 2 \,L \alpha \Delta T$ है।
संयुक्त छड़ की लंबाई में कुल परिवर्तन $\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 2 \,L \alpha \Delta T + 2 \,L \alpha \Delta T = 4 \,L \alpha \Delta T$ है।
$3 \,L$ लंबाई की संयुक्त छड़ के लिए,लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = (3 \,L) \alpha_C \Delta T$ है।
$\Delta l$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4 \,L \alpha \Delta T = 3 \,L \alpha_C \Delta T$।
$\alpha_C$ के लिए हल करने पर,हमें $\alpha_C = \frac{4 \alpha}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) जब किसी तार का प्रसार रोका जाता है,तो उसमें उत्पन्न तापीय प्रतिबल $\sigma$ का सूत्र है: $\sigma = Y \alpha \Delta T$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि $Y$,$L$ और $\Delta T$ दोनों तारों $A$ और $B$ के लिए समान हैं,इसलिए तापीय प्रतिबल रेखीय प्रसार गुणांक के सीधे समानुपाती होता है: $\sigma \propto \alpha$.
दिया गया है कि $\alpha_A = \frac{3}{2} \alpha_B$.
अतः,तापीय प्रतिबल का अनुपात $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{\frac{3}{2} \alpha_B}{\alpha_B} = \frac{3}{2}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $3: 2$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर दबाव $P$ पर,तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P \frac{dV}{dT} = nR$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PV = nRT$,इसलिए $\gamma = \frac{nR}{nRT} = \frac{1}{T}$।
दिया गया तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
अतः,$\gamma = \frac{1}{300} \ K^{-1} \approx 0.00333 \ K^{-1} = 33 \times 10^{-4} \ K^{-1}$।

(D) फारेनहाइट पैमाने $(F)$ और सेल्सियस पैमाने $(C)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{F-32}{9} = \frac{C}{5}$.
यह दिया गया है कि फारेनहाइट में रीडिंग सेल्सियस में रीडिंग की दोगुनी है,इसलिए $F = 2C$,जिसका अर्थ है $C = \frac{F}{2}$.
तापमान रूपांतरण सूत्र में $C = \frac{F}{2}$ रखने पर:
$\frac{F-32}{9} = \frac{F/2}{5}$
$\frac{F-32}{9} = \frac{F}{10}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $10(F - 32) = 9F$.
$10F - 320 = 9F$.
$10F - 9F = 320$.
$F = 320^{\circ} F$.

(C) रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L \Delta T}$
दिया गया है:
प्रारंभिक लंबाई $L = 30 \ cm$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0.027 \ cm$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 30^{\circ} C$
अंतिम तापमान $T_2 = 105^{\circ} C$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 105^{\circ} C - 30^{\circ} C = 75^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$\alpha = \frac{0.027}{30 \times 75}$
$\alpha = \frac{0.027}{2250}$
$\alpha = 0.000012 /{ }^{\circ} C$
$\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

(C) फारेनहाइट $(F)$ और केल्विन $(K)$ पैमाने के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{F - 32}{9} = \frac{K - 273.15}{5}$
मान लीजिए कि वह तापमान जहाँ दोनों पैमाने समान मान रखते हैं,$X$ है।
समीकरण में $F = X$ और $K = X$ रखने पर:
$\frac{X - 32}{9} = \frac{X - 273.15}{5}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$5(X - 32) = 9(X - 273.15)$
$5X - 160 = 9X - 2458.35$
$X$ के लिए हल करने पर:
$9X - 5X = 2458.35 - 160$
$4X = 2298.35$
$X = 574.5875 \approx 574.6$
अतः,तापमान $574.6^{\circ} F$ है।

(B) $27^{\circ} C$ पर लोहे की अंगूठी का व्यास $d_i = 5 \ m$ है।
लकड़ी के पहिये का व्यास $d_w = 5.012 \ m$ है।
हमें लोहे की अंगूठी को $5.012 \ m$ व्यास तक विस्तारित करने की आवश्यकता है।
रेखीय प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए: $d_w = d_i(1 + \alpha \Delta T)$.
$\Delta T = \frac{d_w - d_i}{d_i \alpha} = \frac{5.012 - 5}{5 \times 1.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.012}{6 \times 10^{-5}} = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-5}} = 0.2 \times 10^3 = 200^{\circ} C$.
अंतिम तापमान $T_2 = T_1 + \Delta T = 27^{\circ} C + 200^{\circ} C = 227^{\circ} C$.

(B) दो तापमान पैमानों के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\text{पैमाने पर रीडिंग} - \text{LFP}}{\text{UFP} - \text{LFP}} = \text{स्थिरांक}$
सेल्सियस पैमाने के लिए,लोअर फिक्स्ड पॉइंट $(LFP)$ $0^{\circ} C$ है और अपर फिक्स्ड पॉइंट $(UFP)$ $100^{\circ} C$ है।
नए पैमाने $X$ के लिए,$LFP$ $20^{\circ} X$ है और $UFP$ $110^{\circ} X$ है।
मान लीजिए कि नए पैमाने पर तापमान $z^{\circ} X$ है जो $40^{\circ} C$ के अनुरूप है।
$\frac{z - 20}{110 - 20} = \frac{40 - 0}{100 - 0}$
$\frac{z - 20}{90} = \frac{40}{100}$
$\frac{z - 20}{90} = 0.4$
$z - 20 = 0.4 \times 90$
$z - 20 = 36$
$z = 36 + 20 = 56^{\circ} X$
अतः,$40^{\circ} C$ का मान $56^{\circ} X$ के बराबर है।

(B) दिया गया है: $n = 2 \text{ मोल}$,$\gamma = 4/3$,$T_1 = 327^{\circ} C = 600 \text{ K}$.
चरण $1$: रुद्धोष्म प्रसार।
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
यहाँ $V_2 = 8 V_1$ दिया गया है,इसलिए $T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 600 \times (1/8)^{(4/3 - 1)} = 600 \times (1/8)^{1/3} = 600 \times (1/2) = 300 \text{ K}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य: $W_1 = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1} = \frac{2R(600 - 300)}{4/3 - 1} = \frac{2R(300)}{1/3} = 1800 R$.
चरण $2$: समआयतनिक प्रक्रिया।
समआयतनिक प्रक्रिया में आयतन स्थिर रहता है,इसलिए किया गया कार्य $W_2 = 0$.
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 1800 R + 0 = 1800 R$.

(C) समदाबीय प्रक्रिया के लिए, दाब स्थिर रहता है $(P = \text{constant})$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ $C_p = \frac{7}{2}R$ और $C_v = \frac{5}{2}R$ होती हैं।
दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है।
किया गया कार्य $\Delta W = n R \Delta T$ है।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{2}{7}$ है।
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{2}{7} \times 100 \approx 28.6 \%$।
अतः, कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का प्रतिशत $28.6 \%$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है। चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए $P = \frac{nRT}{V}$ होगा।
पात्र $A$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $\Delta P_A = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_A RT}{V} - \frac{n_A RT}{2V} = \frac{n_A RT}{2V}$ है।
दिया गया है कि $\Delta P_A = 2\Delta P$,इसलिए $2\Delta P = \frac{n_A RT}{2V}$ ... $(1)$।
पात्र $B$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $\Delta P_B = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_B RT}{V} - \frac{n_B RT}{2V} = \frac{n_B RT}{2V}$ है।
दिया गया है कि $\Delta P_B = 3\Delta P$,इसलिए $3\Delta P = \frac{n_B RT}{2V}$ ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2\Delta P}{3\Delta P} = \frac{n_A RT / 2V}{n_B RT / 2V} = \frac{n_A}{n_B}$।
अतः,$\frac{n_A}{n_B} = \frac{2}{3}$।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$ (जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है),$\frac{m_A / M}{m_B / M} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$।
इसलिए,$3m_A = 2m_B$।

(A) एक परमाण्विक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_p = \frac{5}{2}R$ होती है।
जब स्थिर दाब पर ऊष्मा $Q$ दी जाती है,तो कुल दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ होता है।
आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p}$ है।
दिया गया है $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}$,इसलिए $\frac{C_v}{C_p} = \frac{3}{5}$।
उपयोग की गई ऊष्मीय ऊर्जा का प्रतिशत = $\frac{3}{5} \times 100 = 60\%$।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU$ को $dU = dQ - dW$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $dQ$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $dW$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
यह दिया गया है कि निकाय द्वारा किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा में हुई कमी के बराबर है,इसलिए $dW = -dU$ होगा।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर:
$dU = dQ - (-dU)$
$dU = dQ + dU$
$dQ = 0$
चूंकि ऊष्मा विनिमय $dQ$ शून्य है,इसलिए यह प्रक्रिया एक रुद्धोष्म प्रक्रिया है।

(C) स्प्रिंग नियतांक $k$ की विमा $k = \frac{F}{x}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए इसका मात्रक $\frac{N}{m} = \frac{kg \cdot m/s^2}{m} = kg \cdot s^{-2}$ है। इसका विमीय सूत्र $[M L^0 T^{-2}]$ है।
पृष्ठ ऊर्जा को प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{पृष्ठ ऊर्जा} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{J}{m^2} = \frac{N \cdot m}{m^2} = \frac{N}{m}$.
इस प्रकार,पृष्ठ ऊर्जा का मात्रक भी $\frac{N}{m}$ है,जो विमीय सूत्र $[M L^0 T^{-2}]$ के अनुरूप है।
चूंकि दोनों के विमीय सूत्र समान हैं,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है: $v_2 = \frac{n}{m^2} v_1$ और $a_2 = \frac{a_1}{mn}$.
हम जानते हैं कि $a = \frac{v}{t}$,इसलिए $\frac{a_2}{a_1} = \frac{v_2}{v_1} \times \frac{t_1}{t_2}$.
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{mn} = \frac{n}{m^2} \times \frac{t_1}{t_2}$.
$t_2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $t_2 = \frac{n}{m^2} \times mn \times t_1 = \frac{n^2}{m} t_1$.
अब,हम जानते हैं कि $v = \frac{S}{t}$,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{t_1}{t_2}$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n}{m^2} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{t_1}{(n^2/m)t_1} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{m}{n^2}$.
$S_2$ के लिए हल करने पर: $S_2 = S_1 \times \frac{n}{m^2} \times \frac{n^2}{m} = S_1 \times \frac{n^3}{m^3} = \left(\frac{n}{m}\right)^3 S_1$.

(D) दक्षता $\eta$ एक विमाहीन राशि है। लघुगणकीय फलन का तर्क भी विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $\frac{\beta x}{kT} = 1$ (विमाहीन)।
चूंकि $\eta$ विमाहीन है,$[\eta] = [M^0 L^0 T^0]$।
$\frac{\beta x}{kT} = 1$ से,हमें $\beta = \frac{kT}{x}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $k = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ और $T = [K]$,इसलिए $\beta = \frac{[M L^2 T^{-2} K^{-1}][K]}{[L]} = [M L T^{-2}]$।
यह बल की विमा है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
चूंकि $\eta = \frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \cdot \text{स्थिरांक}$,और $\eta$ तथा $\sin \theta$ विमाहीन हैं,$[\alpha \beta] = [1]$,जिसका अर्थ है $[\alpha] = [\beta^{-1}] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$।
विकल्प $D$ कहता है कि $[\alpha] = [\beta]$,जो गलत है।
विकल्प $B$ के लिए,$[\alpha^{-1} x] = [\beta x] = [M L T^{-2}][L] = [M L^2 T^{-2}]$,जो ऊर्जा की विमा है। अतः,$B$ सही है।
विकल्प $C$ के लिए,$[\eta^{-1} \sin \theta] = [1] = [\alpha \beta]$,जो सही है।

(B) प्रकृति में मूल बलों की सापेक्ष प्रबलताएँ इस प्रकार हैं:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल: $1$
$2$. विद्युत-चुंबकीय बल: $10^{-2}$
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल: $10^{-13}$
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल: $10^{-39}$
चूँकि $F_1$ गुरुत्वाकर्षण बल है,$F_2$ दुर्बल नाभिकीय बल है,और $F_3$ विद्युत-चुंबकीय बल है:
$F_1 = 10^{-39}$
$F_2 = 10^{-13}$
$F_3 = 10^{-2}$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $10^{-39} < 10^{-13} < 10^{-2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $F_1 < F_2 < F_3$।

(D) गुरुत्वाकर्षण बल की सापेक्ष प्रबलता $F_1 \approx 10^{-39}$ है।
दुर्बल नाभिकीय बल की सापेक्ष प्रबलता $F_2 \approx 10^{-13}$ है।
अनुपात $\frac{F_2}{F_1}$ ज्ञात करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{10^{-13}}{10^{-39}} = 10^{-13 - (-39)} = 10^{26}$.
अतः,अनुपात $10^{26}$ है।

(B) सही मिलान इस प्रकार है:
$A$) $X$-rays का उपयोग क्रिस्टल संरचना के अध्ययन के लिए किया जाता है क्योंकि उनकी तरंगदैर्ध्य क्रिस्टल में अंतर-परमाणु दूरी के तुलनीय होती है। अतः,$A \rightarrow R$.
$B$) $UV$-rays का उपयोग फॉरेंसिक प्रयोगशालाओं में फिंगर प्रिंट्स का पता लगाने और दस्तावेजों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। अतः,$B \rightarrow Q$.
$C$) Radio waves का उपयोग $TV$ और रेडियो संचार प्रणाली में व्यापक रूप से किया जाता है। अतः,$C \rightarrow S$.
$D$) $IR$-rays (इन्फ्रारेड किरणें) का उपयोग $TV$ रिमोट जैसे इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों के लिए रिमोट स्विच में किया जाता है। अतः,$D \rightarrow P$.
अतः,सही क्रम $A \rightarrow R, B \rightarrow Q, C \rightarrow S, D \rightarrow P$ है।

(A) दी गई आवृत्ति, $f = 3 \text{ GHz} = 3 \times 10^9 \text{ Hz}$.
प्रकाश की गति, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$, आवृत्ति $f$ और प्रकाश की गति $c$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{c}{f}$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^9} = 10^{-1} \text{ m} = 0.1 \text{ m}$.

(D) गलत है क्योंकि विद्युतचुंबकीय $(EM)$ तरंगों को यात्रा करने के लिए किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है; अतः वे निर्वात में यात्रा कर सकती हैं।
$B$ गलत है क्योंकि $EM$ तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं,अनुदैर्ध्य नहीं।
$C$ गलत है क्योंकि $EM$ तरंगें त्वरित आवेश द्वारा उत्पन्न होती हैं,न कि एकसमान वेग से गतिमान आवेश द्वारा।
$D$ सही है क्योंकि $EM$ तरंगें अंतरिक्ष में संचरण करते समय ऊर्जा और संवेग दोनों का वहन करती हैं।

(C) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति का सूत्र $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है,$\mu_r$ सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) है और $\epsilon_r$ सापेक्ष विद्युतशीलता है।
दिया गया है: $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\epsilon_r = 2$.
मान रखने पर: $1.5 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{\mu_r \times 2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1.5)^2 = \frac{3^2}{2\mu_r} \Rightarrow 2.25 = \frac{9}{2\mu_r}$.
$\mu_r$ के लिए हल करने पर: $2\mu_r = \frac{9}{2.25} = 4 \Rightarrow \mu_r = 2$.
चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ और सापेक्ष पारगम्यता के बीच संबंध $\mu_r = 1 + \chi_m$ है।
अतः,$\chi_m = \mu_r - 1 = 2 - 1 = 1$.

(B) $r$ दूरी पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k|Q|}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी आवेश केंद्र से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए $nq$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $n$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए कि स्थान $1$ पर $-q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1$ है,जो आवेश की ओर निर्देशित है (क्योंकि यह ऋणात्मक है)।
नेट विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net}$ सभी क्षेत्रों का सदिश योग है: $\vec{E}_{net} = \sum_{n=1}^{12} \vec{E}_n$।
ध्यान दें कि स्थान $n$ पर आवेश $-nq$ है। विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_n$ केंद्र से स्थान $n$ की ओर निर्देशित है।
हम विपरीत आवेशों के जोड़े बना सकते हैं: $(n)$ और $(n+6)$। इन दोनों के कारण नेट क्षेत्र $\vec{E}_{net, n} = \vec{E}_n + \vec{E}_{n+6} = \frac{k}{r^2} [(-n\hat{r}_n) + (-(n+6)\hat{r}_{n+6})]$ है।
चूंकि $\hat{r}_{n+6} = -\hat{r}_n$,इसलिए $\vec{E}_{net, n} = \frac{k}{r^2} [-n\hat{r}_n + (n+6)\hat{r}_n] = \frac{6k}{r^2} \hat{r}_n$।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक जोड़े $(n, n+6)$ का नेट क्षेत्र स्थान $n+6$ की ओर निर्देशित है।
ऐसे $6$ जोड़े हैं: $(1,7), (2,8), (3,9), (4,10), (5,11), (6,12)$।
नेट क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \frac{6k}{r^2} [\hat{r}_7 + \hat{r}_8 + \hat{r}_9 + \hat{r}_{10} + \hat{r}_{11} + \hat{r}_{12}]$ है।
ये इकाई सदिश घड़ी पर $7, 8, 9, 10, 11, 12$ की ओर संकेत करते हैं। इन सदिशों का परिणामी सदिश $9$ और $10$ के बीच की दिशा में होता है,जो $9:30$ का समय दर्शाता है।

(D) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाले एक चालक गोले की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों को समान पृष्ठीय आवेश घनत्व से आवेशित किया गया है,इसलिए $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ है।
अतः,पहले गोले की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे गोले की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $E_1 = E_2$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{1}$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k} \text{ NC}^{-1}$ दिया गया है।
चूंकि क्षेत्रफल $yz$ समतल पर स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec{A} = 20 \hat{i} \text{ m}^2$.
विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Phi_E = \overrightarrow{E} \cdot \vec{A}$.
मान रखने पर: $\Phi_E = (24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$.
अदिश गुणनफल के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ का उपयोग करने पर:
$\Phi_E = 24 \times 20 = 480 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(D) खोखले गोलाकार कोश पर कुल आवेश $q$,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ और गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल $(4 \pi r^2)$ का गुणनफल होता है: $q = \sigma \times 4 \pi r^2$।
गॉस के नियम के अनुसार,घन की बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि घन एक सममित बंद सतह है और आवेश इसके केंद्र में स्थित है,इसलिए फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन के एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{q}{\varepsilon_0}$ होगा।
$q$ का मान रखने पर: $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{\sigma \times 4 \pi r^2}{\varepsilon_0} = \frac{2 \pi r^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ है।
दिया गया है $V = \frac{1}{2}y^2 - 2x$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = -2$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = y$.
अतः,$\vec{E} = -(-2 \hat{i} + y \hat{j}) = 2 \hat{i} - y \hat{j}$.
बिंदु $(x = 1 \text{ m}, y = 1 \text{ m})$ पर:
$\vec{E} = 2 \hat{i} - (1) \hat{j} = 2 \hat{i} - \hat{j} \text{ V m}^{-1}$.

(C) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र $E = 500 \ NC^{-1}$,विद्युत विभव $V = 30 \ V$.
बिंदु आवेश के लिए विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच संबंध $E = \frac{V}{r}$ है।
अतः,दूरी $r = \frac{V}{E} = \frac{30}{500} = 0.06 \ m$.
विद्युत विभव का सूत्र $V = \frac{kq}{r}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
आवेश $q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
मान रखने पर: $q = \frac{30 \times 0.06}{9 \times 10^9} = \frac{1.8}{9 \times 10^9} = 0.2 \times 10^{-9} \ C$.
इस प्रकार,$q = 2 \times 10^{-10} \ C$.

(D) दिया गया है: $Q_1 = +2 \times 10^{-6} \ C$, $Q_2 = -4 \times 10^{-6} \ C$, दूरी $d = 3 \ m$। मान लीजिए कि $P$, $Q_1$ से $r_1$ दूरी पर और $Q_2$ से $r_2$ दूरी पर है। चूंकि $P$ उनके बीच में है, $r_1 + r_2 = 3 \ m$। मान लीजिए $r_2 = x$, तो $r_1 = 3 - x$।
विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r_1} + \frac{Q_2}{r_2} \right) = 0$।
$\frac{2 \times 10^{-6}}{3 - x} + \frac{-4 \times 10^{-6}}{x} = 0 \Rightarrow \frac{2}{3 - x} = \frac{4}{x} \Rightarrow x = 6 - 2x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \ m$।
अतः, $r_2 = 2 \ m$ और $r_1 = 1 \ m$।
$Q_1$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{k |Q_1|}{r_1^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{1^2} = 18000 \ N/C$ ($Q_2$ की दिशा में)।
$Q_2$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k |Q_2|}{r_2^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{2^2} = 9000 \ N/C$ ($Q_2$ की दिशा में)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं, कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 + E_2 = 18000 + 9000 = 27000 \ N/C$।

(A) एक खोखले चालक गोले के लिए,विद्युत आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता $(E = -\frac{dV}{dr})$ होता है,यदि $E = 0$ है,तो गोले के अंदर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $V$ है,इसलिए केंद्र से $\frac{R}{3}$ की दूरी पर (जो गोले के अंदर है) विभव भी $V$ ही होगा।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ प्रारंभिक बिंदु $P$ से अंतिम बिंदु $Q$ तक का प्रभावी विस्थापन सदिश है।
चित्र से,तार तीन खंडों से बना है। कुल विस्थापन सदिश $\vec{L}_{eff}$ इन खंडों का सदिश योग है।
क्षैतिज विस्थापन $= 6 \ cm = 0.06 \ m$ (दाईं ओर)।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $= 4 \ cm + 4 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ (ऊपर की ओर)।
अतः,प्रभावी लंबाई का परिमाण $L_{eff} = \sqrt{(0.06)^2 + (0.08)^2} = \sqrt{0.0036 + 0.0064} = \sqrt{0.01} = 0.1 \ m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \ T$ तार के तल के लंबवत है।
बल का परिमाण $F = I L_{eff} B \sin(90^\circ) = 10 \ A \times 0.1 \ m \times 5 \ T \times 1 = 5 \ N$ है।

(D) $i_1$ और $i_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ है।
तार $A$ में धारा की दिशा को धनात्मक लेते हुए,तारों $A$ और $B$ के कारण तार $C$ पर प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल:
$\vec{F} = \left( \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} \right) - \left( \frac{\mu_0 (i)(2i)}{2 \pi d} \right) = \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \left( \frac{3}{2} - 2 \right) = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$.
अतः,$\vec{F} = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$.
अब,यदि तार $B$ को हटा दिया जाए,तो तार $C$ के कारण तार $A$ पर प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल:
$f_A = \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} = \frac{6 \mu_0 i^2}{4 \pi d} = 3 \left( \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \right) = 6 \left( \frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} \right)$.
$\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f_A = -3\vec{F}$ प्राप्त होता है।

(B) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
'$a$' लंबाई वाले लूप के निचले हिस्से के लिए,चुंबकीय बल $F = IaB$ है।
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,यदि धारा बाएं से दाएं बहती है,तो बल ऊपर की ओर निर्देशित होता है। यदि धारा दाएं से बाएं बहती है,तो बल नीचे की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए स्प्रिंग बैलेंस की प्रारंभिक रीडिंग $W_1 = mg - F$ है (ऊपर की ओर बल मानते हुए)।
जब धारा की दिशा उलट दी जाती है,तो बल $F' = -F$ (नीचे की ओर बल) हो जाता है।
स्प्रिंग बैलेंस की नई रीडिंग $W_2 = mg + F$ हो जाती है।
स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग में परिवर्तन $\Delta W = |W_2 - W_1| = |(mg + F) - (mg - F)| = 2F = 2IaB$ है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -m \cdot B = -mB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $m$ (जो $\hat{n}$ की दिशा में है) और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
$(i)$ अभिविन्यास $I$ के लिए, कोण $\theta = 180^{\circ}$ है। अतः, $U_I = -mB \cos 180^{\circ} = mB$.
(ii) अभिविन्यास $II$ के लिए, कोण $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः, $U_{II} = -mB \cos 90^{\circ} = 0$.
(iii) अभिविन्यास $III$ के लिए, कोण $\theta$, $0^{\circ}$ और $90^{\circ}$ के बीच है (न्यून कोण)। अतः, $U_{III} = -mB \cos \theta$, जो ऋणात्मक है ($-mB$ और $0$ के बीच)।
(iv) अभिविन्यास $IV$ के लिए, कोण $\theta$, $90^{\circ}$ और $180^{\circ}$ के बीच है (अधिक कोण)। अतः, $U_{IV} = -mB \cos \theta$, जो धनात्मक है ($0$ और $mB$ के बीच)।
मानों की तुलना करने पर: $U_I = mB$, $U_{IV} > 0$, $U_{II} = 0$, और $U_{III} < 0$.
अतः, स्थितिज ऊर्जा का घटता क्रम $I > IV > II > III$ है।

(D) निग्राहिता $H$ वह चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता है जो पदार्थ को विचुंबकित करने के लिए आवश्यक होती है। एक परिनालिका के लिए, चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता $H = nI$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
निग्राहिता $H = 4 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
परिनालिका की लंबाई $L = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$
फेरों की संख्या $N = 60$
सबसे पहले, प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = \frac{N}{L} = \frac{60}{0.12} = 500 \text{ turns m}^{-1}$ की गणना करें।
अब, धारा $I = \frac{H}{n}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $H = nI$ का उपयोग करें।
$I = \frac{4 \times 10^3}{500} = \frac{4000}{500} = 8 \text{ A}$.
अतः, आवश्यक धारा $8 \text{ A}$ है।

(C) दिया गया है: धारा $i = 18 \,A$ और दूरी $a = 12 \,cm = 0.12 \,m$ है।
एक लंबे सीधे तार से $a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a}$
मान रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.12}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.12}$
$B = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.12}$
$B = 300 \times 10^{-7} \,T = 3 \times 10^{-5} \,T$.

(A) $i$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
यहाँ दिए गए मान $i = 1 \,A$ और $r = 1 \,m$ हैं।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1}{2 \pi \times 1}$
$B = 2 \times 10^{-7} \,T$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$
चूंकि ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है $(u_B = \frac{U}{V})$,इसलिए आयतन $V$ में संचित कुल ऊर्जा $U$ होगी:
$U = u_B \times V$
$L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले सोलेनोइड का आयतन $V = A \times L$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$U = \left( \frac{B^2}{2 \mu_0} \right) \times (A L) = \frac{1}{2 \mu_0} B^2 AL$

(B) परिनालिका की लंबाई, $L = 80 \,cm = 0.8 \,m$ है।
कुल फेरों की संख्या, $N = 5 \times 400 = 2000$ है।
धारा, $i = 8 \,A$ है।
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या, $n = \frac{N}{L} = \frac{2000}{0.8} = 2500 \,turns/m$ है।
एक लंबी परिनालिका के अंदर उसके केंद्र के पास चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 ni$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A) \times (2500 \,m^{-1}) \times (8 \,A)$।
$B = 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 20000$।
$B = 12.566 \times 10^{-3} \times 2 = 2.513 \times 10^{-2} \,T$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण लगभग $2.5 \times 10^{-2} \,T$ है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा घिरे कुल विद्युत धारा $i_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{\text{enclosed}}$
पतली दीवार वाले पाइप के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,हम एक एम्पीरियन लूप (वृत्त) चुन सकते हैं जो पूरी तरह से पाइप के अंदर स्थित हो।
चूंकि विद्युत धारा $i$ केवल पाइप की दीवारों से होकर बहती है,इसलिए इस लूप द्वारा घिरी हुई धारा $i_{\text{enclosed}} = 0$ है।
अतः,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जिसका अर्थ है कि पाइप के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ शून्य है।

(B) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक धारा अवयव $Id\vec{l}$ द्वारा स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $dB$ इस प्रकार दिया जाता है:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl r \sin \theta}{r^3}$
जहाँ $\theta$ धारा अवयव $Id\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के बीच का कोण है।
चुंबकीय क्षेत्र $dB$ के शून्य होने के लिए,$\sin \theta$ पद का शून्य होना आवश्यक है।
यह तब होता है जब $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$ हो।
अतः,धारा अवयव और स्थिति सदिश के बीच का कोण $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ हो सकता है।

(B) दिया गया है:
कुंडली का क्षेत्रफल, $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$
फेरों की संख्या, $n = 1000$
धारा, $I = 1 \,A$
धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = nIA$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$M = (1000) \times (1) \times (2 \times 10^{-4})$
$M = 10^3 \times 2 \times 10^{-4}$
$M = 2 \times 10^{-1} \,Am^2$
$M = 0.2 \,Am^2$
अतः, चुंबकीय आघूर्ण $0.2 \,Am^2$ है।

(B) छड़ चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
दिया गया है $T_1 = 2 \,s$ और $M_1 = M$।
दूसरे चुंबक के लिए,$M_2 = 4M$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ समान रहता है क्योंकि चुंबक आकार और माप में समान हैं।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4M}{M}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$\frac{2}{T_2} = 2$,जिससे $T_2 = 1 \,s$ प्राप्त होता है।

(A) तार की लंबाई $L$ वृत्ताकार लूप की परिधि बनाती है,इसलिए $L = 2 \pi r$,जहाँ $r$ लूप की त्रिज्या है।
इससे,त्रिज्या $r = \frac{L}{2 \pi}$ प्राप्त होती है।
धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में इस मान को रखने पर,हमें $M = i \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{i L^2}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने के लिए बाहरी टॉर्क द्वारा किया गया कार्य $W$, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है: $W = U_f - U_i = -MB \cos \theta_f - (-MB \cos \theta_i) = MB(\cos \theta_i - \cos \theta_f)$.
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 2 \text{ A m}^2$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.3 \text{ T}$.
प्रारंभ में, चुंबक क्षेत्र के साथ संरेखित है, इसलिए $\theta_i = 0^\circ$.
अंत में, चुंबक क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए $\theta_f = 90^\circ$.
मान रखने पर:
$W = MB(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
$W = 2 \times 0.3 \times (1 - 0)$
$W = 0.6 \times 1 = 0.6 \text{ J}$.

(A) आवेश का वेग $\vec{v} = 2 \hat{i} \ m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$ है।
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\vec{F} = q(2 \hat{i}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$\vec{F} = q [ (2 \hat{i} \times 2 \hat{i}) + (2 \hat{i} \times 2 \hat{j}) + (2 \hat{i} \times 3 \hat{k}) ]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$:
$\vec{F} = q [ 0 + 4 \hat{k} - 6 \hat{j} ]$
$\vec{F} = q(4 \hat{k} - 6 \hat{j})$.
यह बल सदिश $y-z$ तल में स्थित है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र '$B$' में '$V$' वेग से गतिमान आवेश '$q$' पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
एक चालक छड़ के लिए,धनात्मक आवेश वाहक (होल) प्रेरित धारा '$i$' की दिशा में बल का अनुभव करते हैं।
दिए गए चित्र में,वेग '$V$' दाईं ओर है और धारा '$i$' ऊपर की ओर है।
सदिश गुणनफल $\vec{V} \times \vec{B}$ के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
यदि हम अपनी उंगलियों को '$V$' (दाईं ओर) की दिशा में रखें और उन्हें '$B$' (कागज के अंदर) की दिशा में मोड़ें,तो अंगूठा ऊपर की ओर इंगित करता है,जो धारा '$i$' की दिशा है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र '$B$' कागज के तल के लंबवत और कागज के अंदर की ओर होना चाहिए।

(A) रिम की त्रिज्या $R = 40 \, cm = 0.4 \, m$ है। कोणीय गति $\omega = 20 \, rad \, s^{-1}$ है।
जब एक धातु की रिम क्षैतिज सतह पर लुढ़कती है, तो द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = R\omega = 0.4 \times 20 = 8 \, m/s$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित e.m.f. का मान $\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है।
लुढ़कती हुई रिम के लिए, लूप से गुजरने वाला कुल फ्लक्स नहीं बदलता है, या दूसरे शब्दों में, पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले व्यास पर उत्पन्न गतिक e.m.f. समरूपता के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
विशेष रूप से, उत्तर-दक्षिण दिशा में लुढ़कने वाली रिम के लिए, पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $(B_V)$ रिम के तल के लंबवत होता है, लेकिन चूंकि रिम अपने ही तल में गति कर रही है, इसलिए रिम द्वारा कोई फ्लक्स नहीं काटा जाता है।
क्षैतिज घटक $(B_H)$ जमीन के समानांतर होता है। जैसे-जैसे रिम लुढ़कती है, किसी भी व्यास पर प्रेरित e.m.f. शून्य होता है क्योंकि रिम के एक आधे हिस्से में उत्पन्न विभवांतर दूसरे आधे हिस्से द्वारा पूरी तरह से संतुलित हो जाता है।
इसलिए, रिम में प्रेरित कुल e.m.f. $0$ है।

(C) दिया गया है: पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक,$B_v = 0.5 \times 10^{-4} \,T$.
पंखों की लंबाई,$\ell = 4 \,m$.
वेग,$v = 360 \,km/h = 360 \times \frac{5}{18} = 100 \,m/s$.
पंखों के सिरों पर उत्पन्न गतिकीय emf $(\varepsilon)$ का सूत्र है:
$\varepsilon = B_v \cdot v \cdot \ell$
मान रखने पर:
$\varepsilon = (0.5 \times 10^{-4}) \times 100 \times 4$
$\varepsilon = 0.5 \times 10^{-4} \times 400$
$\varepsilon = 200 \times 10^{-4} \,V$
$\varepsilon = 20 \times 10^{-3} \,V$.

(C) हवाई जहाज की गति $v = 540 \,km/h = 540 \times \frac{5}{18} \,m/s = 150 \,m/s$ है।
पंखों की लंबाई $l = 20 \,m$ है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \,T$ है।
नमन कोण $\delta = 30^{\circ}$ है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $B_V = B_H \tan \delta = (2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4}) \times \tan 30^{\circ} = 2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2.5 \times 10^{-4} \,T$ है।
पंखों के सिरों के बीच प्रेरित विभवांतर (गतिकीय $EMF$) $E = B_V \cdot l \cdot v$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E = (2.5 \times 10^{-4} \,T) \times (20 \,m) \times (150 \,m/s)$
$E = 2.5 \times 10^{-4} \times 3000 = 7500 \times 10^{-4} = 0.75 \,V$.

(B) वह सीमा जिस तक किसी पदार्थ को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र लगाकर चुंबकित किया जा सकता है,उसे चुंबकीय प्रवृत्ति कहा जाता है,जिसे $\chi_m$ द्वारा दर्शाया जाता है।
लौह-चुंबकीय पदार्थों के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति बहुत अधिक और धनात्मक होती है,जिसका अर्थ है $\chi_m > 1$।
यह उच्च मान दर्शाता है कि ये पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा मजबूती से आकर्षित होते हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) स्थायी चुंबकों के लिए उपयुक्त पदार्थों में उच्च रिटेंटिविटी (धारणशीलता) होनी चाहिए ताकि वे चुंबकीय क्षेत्र को मजबूती से बनाए रख सकें।
उनमें उच्च कोर्सिविटी (निग्राहिता) होनी चाहिए ताकि बाहरी चुंबकीय क्षेत्रों,तापमान में उतार-चढ़ाव या मामूली यांत्रिक क्षति से उनका चुंबकत्व आसानी से नष्ट न हो।
उनमें उच्च पारगम्यता (permeability) भी होनी चाहिए ताकि वे आसानी से चुंबकित हो सकें।

(D) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_r = 1 + \chi$.
लौह-चुंबकीय पदार्थों के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ एक बड़ा धनात्मक मान होता है,आमतौर पर $\chi >> 1$.
परिणामस्वरूप,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ भी $1$ से बहुत अधिक होती है (अर्थात,$\mu_r >> 1$).
इसलिए,लौह-चुंबकीय पदार्थ के लिए सही स्थिति $\chi >> 1$ है।

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$m$ द्रव्यमान के समतुल्य ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = mc^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \,kg$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 \,kg \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{16} \,J$.

(C) नाभिकीय विखंडन और संलयन में, नाभिक के द्रव्यमान में परिवर्तन के कारण ऊर्जा मुक्त होती है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार, द्रव्यमान को ऊर्जा में और ऊर्जा को द्रव्यमान में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसे $E = mc^2$ समीकरण द्वारा दिया जाता है।
विखंडन में, एक भारी नाभिक हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है, और संलयन में, हल्के नाभिक मिलकर एक भारी नाभिक बनाते हैं।
दोनों प्रक्रियाओं में, उत्पादों का कुल द्रव्यमान अभिकारकों के कुल द्रव्यमान से थोड़ा कम होता है।
इस द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ को $E = (\Delta m)c^2$ समीकरण के अनुसार ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है।
इसलिए, नाभिकीय विखंडन और संलयन दोनों को आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा समीकरण द्वारा समझाया जा सकता है।

(C) नाभिकीय अभिक्रिया में द्रव्यमान संख्या और परमाणु क्रमांक दोनों संरक्षित रहते हैं।
दी गई अभिक्रिया: ${ }_{13} Al^{27} + { }_2 He^4 \rightarrow { }_0 n^1 + X$
द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण:
$27 + 4 = 1 + A_X$
$31 = 1 + A_X \Rightarrow A_X = 30$
परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण:
$13 + 2 = 0 + Z_X$
$15 = Z_X$
चूंकि परमाणु क्रमांक $15$ है,इसलिए तत्व फास्फोरस $(P)$ है।
अतः,$X = { }_{15} P^{30}$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) $235 \text{ g}$ $U^{235}$ में परमाणुओं की संख्या एवोगैड्रो संख्या,$N_A = 6.02 \times 10^{23}$ के बराबर होती है।
प्रति नाभिक मुक्त ऊर्जा $= 188 \text{ MeV} = 188 \times 1.6 \times 10^{-13} \text{ J} = 3.008 \times 10^{-11} \text{ J}$।
कुल मुक्त ऊर्जा $= N_A \times \text{प्रति नाभिक ऊर्जा}$।
कुल ऊर्जा $= (6.02 \times 10^{23}) \times (3.008 \times 10^{-11} \text{ J}) \approx 18.11 \times 10^{12} \text{ J}$।

(B) प्रारंभिक नाभिक ${ }_{Z}^{A} X$ है।
पहले $\alpha$-क्षय के बाद,नाभिक $P$ बनता है: ${ }_{Z-2}^{A-4} P$.
$P$ के $\beta$-क्षय के बाद,नाभिक $Q$ बनता है: ${ }_{Z-2+1}^{A-4} Q = { }_{Z-1}^{A-4} Q$.
$Q$ के दूसरे $\alpha$-क्षय के बाद,नाभिक $R$ बनता है: ${ }_{Z-1-2}^{A-4-4} R = { }_{Z-3}^{A-8} R$.
नाभिक ${ }_{Z'}^{A'} R$ में न्यूट्रॉनों की संख्या $N = A' - Z'$ द्वारा दी जाती है।
नाभिक $R$ के लिए,$A' = A-8$ और $Z' = Z-3$.
इसलिए,$N = (A-8) - (Z-3) = A - 8 - Z + 3 = A - Z - 5$.

(D) परमाणु रिएक्टर में,विखंडन के दौरान उत्पन्न होने वाले तीव्र गति वाले न्यूट्रॉन में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।
श्रृंखला अभिक्रिया को बनाए रखने के लिए,इन न्यूट्रॉन को तापीय ऊर्जा तक धीमा करना आवश्यक है ताकि वे $U^{235}$ नाभिक में प्रभावी रूप से और विखंडन पैदा कर सकें।
भारी जल $(D_2O)$ का उपयोग मंदक के रूप में किया जाता है क्योंकि यह इन तीव्र गति वाले न्यूट्रॉन को बिना अवशोषित किए प्रत्यास्थ संघट्टों (elastic collisions) के माध्यम से धीमा करने में प्रभावी है।

(A) शक्ति $P = 5 \text{ mW} = 5 \times 10^{-3} \text{ W}$ है।
प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$ है।
माना प्रति सेकंड विखंडनों की संख्या $n$ है।
शक्ति $P = n \times E$ है।
अतः,$n = \frac{P}{E} = \frac{5 \times 10^{-3} \text{ J/s}}{3.2 \times 10^{-11} \text{ J/fission}}$ है।
$n = \frac{5}{3.2} \times 10^8 = 1.5625 \times 10^8 \text{ fissions/s}$ है।
इस प्रकार,प्रति सेकंड विखंडनों की संख्या $1.56 \times 10^8$ है।

(D) द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
यह मानते हुए कि नाभिक गोलाकार है,इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2$ होता है।
$R$ का मान $S$ के सूत्र में रखने पर:
$S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2$
$S = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$
चूँकि $4 \pi R_0^2$ एक स्थिरांक है,इसलिए $S \propto A^{2/3}$ प्राप्त होता है।

(C) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
दिया गया है कि $A_1 = 27$ के लिए $R_1 = R$ और $A_2$ के लिए $R_2 = 2R$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
मान रखने पर: $\frac{R}{2R} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
$\frac{1}{2} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर: $\frac{1}{8} = \frac{27}{A_2}$.
$A_2 = 27 \times 8 = 216$.
बहुत उच्च द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक (जैसे $A=216$) सामान्यतः अस्थिर होते हैं और अधिक स्थिर अवस्था प्राप्त करने के लिए रेडियोधर्मी क्षय या विखंडन अभिक्रिया से गुजरते हैं।

(A) $\alpha$-क्षय प्रक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जाता है: $X \rightarrow Y + \alpha$ ।
यहाँ,$X$ जनक नाभिक है,$Y$ संतति नाभिक है,और $\alpha$ एक $\alpha$-कण $(_{2}He^{4})$ है।
प्रक्रिया में द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ प्रारंभिक द्रव्यमान और अंतिम द्रव्यमान के बीच का अंतर है: $\Delta m = m_x - (m_y + m_a) = m_x - m_y - m_a$ ।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,मुक्त हुई ऊर्जा (जो उत्पादों की कुल गतिज ऊर्जा के रूप में प्रकट होती है) $Q = \Delta m c^2$ है।
अतः,प्राप्त कुल गतिज ऊर्जा $Q = (m_x - m_y - m_a) c^2$ होगी।

(C) तत्व $X$ के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})_X = \frac{0.693}{\lambda_X}$ द्वारा दी जाती है।
तत्व $Y$ के लिए,माध्य आयु $(\tau)_Y = \frac{1}{\lambda_Y}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $(t_{1/2})_X = (\tau)_Y$,इसलिए $\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$।
इसका तात्पर्य है कि $\lambda_X = 0.693 \lambda_Y$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_X < \lambda_Y$।
क्षय दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है। चूंकि प्रारंभ में $N_X = N_Y$ है और $\lambda_Y > \lambda_X$ है,इसलिए $Y$ की क्षय दर $X$ से अधिक है $(R_Y > R_X)$।
अतः,$Y$,$X$ की तुलना में तेजी से क्षय होता है।

(D) माना पदार्थ $B$ की अर्ध-आयु $T_B = T$ है। तब पदार्थ $A$ की अर्ध-आयु $T_A = 2T$ होगी।
समय $t$ के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
बीता हुआ समय $t = 3 T_A = 3(2T) = 6T$ है।
इस समय पर,$A$ के नाभिकों की संख्या $N_A(t) = N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3$ है।
इस समय पर,$B$ के नाभिकों की संख्या $N_B(t) = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_B} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{6T/T} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$ है।
दिया गया है कि $N_A(t) = N_B(t)$,इसलिए $N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3 = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$ है।
अतः,$\frac{N_A}{N_B} = \frac{(1/2)^6}{(1/2)^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$।

(C) जब लेंस के ऊपरी आधे भाग को ढक दिया जाता है,तो लेंस का शेष निचला आधा भाग अभी भी वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि लेंस का प्रत्येक बिंदु प्रतिबिंब के निर्माण में योगदान देता है। हालाँकि,चूंकि लेंस से गुजरने वाले प्रकाश की कुल मात्रा कम हो जाती है,इसलिए प्रतिबिंब की तीव्रता कम हो जाती है।

(C) दिया गया है: दो उत्तल लेंसों की फोकस दूरी $f_1 = 20 \,cm$ और $f_2 = 30 \,cm$ है।
जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$
$\frac{1}{F} = \frac{3 + 2}{60} = \frac{5}{60}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{12}$
अतः,$F = 12 \,cm$।

(B) सूर्य अनंत पर है, इसलिए $u = \infty$.
प्रकाश दर्पण से $32 \,cm$ की ऊंचाई पर केंद्रित होता है। दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{32} + \frac{1}{\infty} \Rightarrow f = 32 \,cm$.
जब टैंक को $20 \,cm$ की ऊंचाई तक पानी से भर दिया जाता है, तो प्रकाश की किरणें पानी की सतह पर अपवर्तित होती हैं।
दर्पण तल से $32 \,cm$ की दूरी पर प्रतिबिंब बनाएगा। चूंकि पानी का स्तर $20 \,cm$ पर है, इसलिए पानी की सतह से इस प्रतिबिंब की दूरी $BO = 32 \,cm - 20 \,cm = 12 \,cm$ है।
यह प्रतिबिंब पानी की सतह के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। अपवर्तन के कारण, पानी की सतह से आभासी ऊंचाई $BI$ इस प्रकार है:
$BI = \frac{BO}{\mu} = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \,cm$.
अतः, सूर्य का प्रकाश पानी के स्तर से $9 \,cm$ ऊपर केंद्रित होता है।