MHT CET 2024 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ વિધેય $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ છે.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસવા માટે,આપણે $g(-u)$ ની કિંમત શોધીએ:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(e^{-u})$.
આ કિંમત $g(-u)$ માં મૂકતા:
$g(-u) = 2(\frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(e^{-u})) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \cot^{-1}(e^{-u})$.
કારણ કે $\cot^{-1}(e^{-u}) = \tan^{-1}(e^u)$,તેથી:
$g(-u) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u) = -(2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = -g(u)$.
આમ,$g(u)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે તપાસવા માટે,આપણે વિકલન $g'(u)$ શોધીએ:
$g'(u) = \frac{d}{du} [2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}] = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
બધા $u \in (-\infty, \infty)$ માટે $e^u > 0$ હોવાથી,$g'(u) > 0$ થાય.
તેથી,$g(u)$ એ $(-\infty, \infty)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} |x| + [x], & -1 \le x < 1 \\ x + |x|, & 1 \le x < 2 \\ x + [x], & 2 \le x \le 3 \end{cases}$.
$-1 \le x < 0$ માટે,$f(x) = -x + (-1) = -(x+1)$.
$0 \le x < 1$ માટે,$f(x) = x + 0 = x$.
$1 \le x < 2$ માટે,$f(x) = x + x = 2x$.
$2 \le x < 3$ માટે,$f(x) = x + 2$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = 3 + [3] = 3 + 3 = 6$.
સાતત્ય તપાસતા:
$x = 0$ પર: $LHL = \lim_{x \to 0^-} -(x+1) = -1$,$RHL = \lim_{x \to 0^+} x = 0$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x = 0$ પર અસતત છે.
$x = 1$ પર: $LHL = \lim_{x \to 1^-} x = 1$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x = 1$ પર અસતત છે.
$x = 2$ પર: $LHL = \lim_{x \to 2^-} 2x = 4$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4$. $LHL = RHL = f(2) = 4$ હોવાથી,$f$ એ $x = 2$ પર સતત છે.
$x = 3$ પર: $LHL = \lim_{x \to 3^-} (x+2) = 5$,$f(3) = 6$. $LHL \neq f(3)$ હોવાથી,$f$ એ $x = 3$ પર અસતત છે.
આમ,$f$ એ $x = 0, 1, 3$ (ત્રણ બિંદુઓ) પર અસતત છે.

(B) ધારો કે $I = \int \left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} ~d x$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \left[ x e^{x+\frac{1}{x}} \left(1-\frac{1}{x^2}\right) + e^{x+\frac{1}{x}} \right] d x$.
આ $\int [x f'(x) + f(x)] dx$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $f(x) = e^{x+\frac{1}{x}}$.
કારણ કે $\frac{d}{dx} (e^{x+\frac{1}{x}}) = e^{x+\frac{1}{x}} \cdot (1 - \frac{1}{x^2}) = f'(x)$,
તેથી સંકલનનું મૂલ્ય $x f(x) + c$ થાય છે.
આમ,$I = x e^{x+\frac{1}{x}} + c$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{2x+3x}{1-(2x)(3x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{5x}{1-6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(6x - 1)(x + 1) = 0$
આથી $x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
શરત $x \geq 0$ હોવાથી,આપણે $x = -1$ ને સ્વીકારી શકીએ નહીં.
આમ,$x = \frac{1}{6}$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.
તેથી,ગણ $A = \{\frac{1}{6}\}$ એ એક ઘટક ધરાવતો ગણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$
નિત્યસમ $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6x^2 + 6x - x - 1 = 0$
$6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
આથી $x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
ગણ $A$ એ $x \geq 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે $x = -1$ ને સ્વીકારીશું નહીં.
આમ,$x = \frac{1}{6}$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.
તેથી,ગણ $A = \{\frac{1}{6}\}$ એ એક ઘટક ધરાવતો ગણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \frac{\pi}{2}$.
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
હવે,$\cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{169-144}{169}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,$\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$,તેથી $x = 5$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$
નિત્યસમ $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}}\right)-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$
સૂત્ર $\tan ^{-1}(A) - \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}}-\sqrt{\cos \alpha}}{1+\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}} \cdot \sqrt{\cos \alpha}}\right]=x$
$\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1-\cos \alpha}{\sqrt{\cos \alpha}}}{2}\right]=x$
$\tan x = \frac{1-\cos \alpha}{2\sqrt{\cos \alpha}}$
હવે,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}$
$\sin x = \frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ છે.
$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x(x+1) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ $0 \leq \sqrt{x^2+x+1} \leq 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $0 \leq x^2+x+1 \leq 1$.
અસમતા $x^2+x+1 \leq 1$ એ $x^2+x \leq 0$ માં પરિણમે છે,અથવા $x(x+1) \leq 0$.
$x(x+1) \geq 0$ અને $x(x+1) \leq 0$ ને જોડતા,આપણને $x(x+1) = 0$ મળે છે.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
જો $x = 0$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ બને છે.
જો $x = -1$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ બને છે.
બંને કિંમતો સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) ધારો કે $x = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$.
પ્રથમ,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ ને $\tan ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ નો સરવાળો કરો:
$\tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{16+5}{12}}{\frac{36-20}{36}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{21}{12} \times \frac{36}{16}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$.
કારણ કે $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cot ^{-1} \frac{16}{63}$,આપણે તેને $\sin ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ. ધારો કે $\theta = \tan ^{-1} \frac{63}{16}$,તો $\tan \theta = \frac{63}{16}$,તેથી $\sin \theta = \frac{63}{65}$.
આમ,$\sin ^{-1} \frac{63}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$ ($\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ અને $\sin ^{-1} \frac{16}{65} = \cos ^{-1} \frac{63}{65}$ નો ઉપયોગ કરીને).
અભિવ્યક્તિ $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ બને છે.

(C) ગર્ભિત વિધાન $p \rightarrow r$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ એ $T$ હોય અને $r$ એ $F$ હોય.
અહીં,$p \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ અસત્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $p = T$ અને $(\sim p \vee \sim q) = F$.
$p = T$ હોવાથી,$\sim p = F$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $(F \vee \sim q) = F$ મળે છે.
વિકલ્પ અસત્ય હોવા માટે,બંને ઘટકો અસત્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$\sim q = F$,જેનો અર્થ છે કે $q = T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T$ અને $q = T$ છે.

(A) ગર્ભિત વિધાન $p \rightarrow (q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ સત્ય હોય અને અનુગ $(q \vee r)$ અસત્ય હોય.
કારણ કે $(q \vee r)$ અસત્ય છે,તેથી $q$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.

(C) $BARRACK$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, R, R, B, C, K$.
કિસ્સો $I$: બધા ચાર અક્ષરો અલગ હોય. ${A, R, B, C, K}$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરતા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{4} \times 4! = 5 \times 24 = 120$.
કિસ્સો $II$: બે અક્ષરો સમાન $(R, R)$ અને બે અલગ હોય. ${A, B, C, K}$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરતા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{4}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 6 \times 12 = 72$.
કિસ્સો $III$: બે અક્ષરો સમાન $(A, A)$ અને બે અલગ હોય. ${R, B, C, K}$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરતા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{4}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 6 \times 12 = 72$.
કિસ્સો $IV$: બે અક્ષરો $A, A$ અને બે $R, R$ હોય.
રીતોની સંખ્યા $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 120 + 72 + 72 + 6 = 270$.

(D) ધારો કે ત્રણ વિભાગોમાંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા $(n_1, n_2, n_3)$ છે,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ અને $i = 1, 2, 3$ માટે $n_i \ge 1$ છે.
$(n_1, n_2, n_3)$ ના શક્ય સંયોજનો $(3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3), (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2)$ છે.
પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંયોજનોના ગુણાકારના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$= ({ }^5C_3 \times { }^5C_1 \times { }^5C_1) + ({ }^5C_1 \times { }^5C_3 \times { }^5C_1) + ({ }^5C_1 \times { }^5C_1 \times { }^5C_3) + ({ }^5C_2 \times { }^5C_2 \times { }^5C_1) + ({ }^5C_2 \times { }^5C_1 \times { }^5C_2) + ({ }^5C_1 \times { }^5C_2 \times { }^5C_2)$
$= (10 \times 5 \times 5) + (5 \times 10 \times 5) + (5 \times 5 \times 10) + (10 \times 10 \times 5) + (10 \times 5 \times 10) + (5 \times 10 \times 10)$
$= 250 + 250 + 250 + 500 + 500 + 500$
$= 2250$

(B) $8$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓમાંથી $11$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે.
જ્યારે ઓછામાં ઓછા $6$ પુરુષો લેવામાં આવે,ત્યારે સમિતિમાં નીચે મુજબના સંયોજનો હોઈ શકે:
($6$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ),($7$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓ),અથવા ($8$ પુરુષો અને $3$ સ્ત્રીઓ).
$m = {}^{8}C_{6} \times {}^{5}C_{5} + {}^{8}C_{7} \times {}^{5}C_{4} + {}^{8}C_{8} \times {}^{5}C_{3}$
$m = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
જ્યારે ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ લેવામાં આવે,ત્યારે સમિતિમાં નીચે મુજબના સંયોજનો હોઈ શકે:
($3$ સ્ત્રીઓ અને $8$ પુરુષો),($4$ સ્ત્રીઓ અને $7$ પુરુષો),અથવા ($5$ સ્ત્રીઓ અને $6$ પુરુષો).
$n = {}^{5}C_{3} \times {}^{8}C_{8} + {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{7} + {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{6}$
$n = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
તેથી,$m = n = 78$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$k^2 + 2k + k + 2k + 5k^2 = 1$
$6k^2 + 5k = 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$6k^2 + 6k - k - 1 = 0$
$6k(k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$(6k - 1)(k + 1) = 0$
$P(X) \geq 0$ હોવાથી,$k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{6}$ (કારણ કે $k = -1$ શક્ય નથી).
આપણે $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 2) = k + 2k + 5k^2 = 3k + 5k^2$.
$k = \frac{1}{6}$ મૂકતા:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2$
$P(X > 2) = \frac{1}{2} + \frac{5}{36}$
$P(X > 2) = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) \left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા: $k \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનું સ્વરૂપ $\sum_{n=0}^{\infty} (a+nd)r^n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ છે,જ્યાં $a=1, d=1, r=\frac{1}{5}$.
સરવાળો ગણતા: $k \left[ \frac{1}{1-\frac{1}{5}} + \frac{1 \times \frac{1}{5}}{(1-\frac{1}{5})^2} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{5}{4} + \frac{1/5}{16/25} \right] = 1 \Rightarrow k \left[ \frac{5}{4} + \frac{5}{16} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{20+5}{16} \right] = 1 \Rightarrow k \left( \frac{25}{16} \right) = 1 \Rightarrow k = \frac{16}{25}$.
હવે,$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k(1)(1) = k$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $4x, x$ અને $x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$4x + x + x = 180^{\circ}$,એટલે કે $6x = 180^{\circ}$,તેથી $x = 30^{\circ}$.
ખૂણાઓ $120^{\circ}, 30^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ અને $c = k \sin 30^{\circ}$.
સૌથી મોટી બાજુ $a$ છે ($120^{\circ}$ ની સામેની બાજુ).
સૌથી મોટી બાજુ અને પરિમિતિનો ગુણોત્તર $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(81)^{\sin ^2 x} + (81)^{\cos ^2 x} = 30 \dots (i)$
ધારો કે $y = 81^{\sin ^2 x}$.
તેથી $81^{\cos ^2 x} = 81^{(1 - \sin ^2 x)} = \frac{81}{81^{\sin ^2 x}} = \frac{81}{y}$.
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા,$y + \frac{81}{y} = 30$.
$y^2 - 30y + 81 = 0$.
$(y - 27)(y - 3) = 0$.
તેથી $y = 27$ અથવા $y = 3$.
કિસ્સો $1$: $81^{\sin ^2 x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^2 x} = 3^3 \implies 4 \sin ^2 x = 3 \implies \sin ^2 x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x \in [0, \pi]$ હોવાથી,$\sin x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $81^{\sin ^2 x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^2 x} = 3^1 \implies 4 \sin ^2 x = 1 \implies \sin ^2 x = \frac{1}{4} \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$.
$x \in [0, \pi]$ હોવાથી,$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
ઉકેલો $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ છે.
આમ,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ છેદતી હોય,તો તેની શરત $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
નિશ્ચાયક આ મુજબ થશે: $\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$.
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$.
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$.
$2k - 9 = 0$.
$k = \frac{9}{2}$.

(A) રેખા $\vec{r}$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ ને $Q(1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપેલ $P(3, 2, 6)$ માટે,સદિશ $\vec{PQ}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$.
સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર હોવાથી,તે સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$1(-3\mu - 2) - 4(\mu - 3) + 3(5\mu - 4) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{1}{4}$.

(A) રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-m}{2}$ એ સમતલ $2x-4y+z=7$ માં આવેલી છે.
પ્રથમ,બિંદુ $(4, 2, m)$ રેખા પર આવેલું છે,તેથી તે સમતલ પર પણ હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(4, 2, m)$ ને સમતલના સમીકરણ $2x-4y+z=7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + m = 7$
$8 - 8 + m = 7$
$m = 7$
બીજું,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -4, 1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ડોટ પ્રોડક્ટ તપાસતા: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે. બિંદુ $(4, 2, 7)$ સમતલ પર હોવાથી,આખી રેખા સમતલમાં આવેલી છે.
આમ,$m$ ની કિંમત $7$ છે.

(B) સમીકરણ $a \cos x + b \sin x = c$ સ્વરૂપનું છે,જેનો ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો $-\sqrt{a^2 + b^2} \leq c \leq \sqrt{a^2 + b^2}$ હોય.
અહીં,$a = 7$,$b = 5$,અને $c = 2k + 1$.
તેથી,$-\sqrt{7^2 + 5^2} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{7^2 + 5^2}$.
$-\sqrt{49 + 25} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{49 + 25}$.
$-\sqrt{74} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{74}$.
$\sqrt{74} \approx 8.602$ હોવાથી,$-8.602 \leq 2k + 1 \leq 8.602$.
બધી બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $-9.602 \leq 2k \leq 7.602$.
$2$ વડે ભાગતા: $-4.801 \leq k \leq 3.801$.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $8$ છે.

(D) $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$ . . . . . . $(i)$
ધારો કે $y = \sin x$.
તેથી અસમતા $2 y^2 + 3 y - 2 > 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(2 y - 1)(y + 2) > 0$ મળે છે.
કારણ કે $\sin x$ હંમેશા $\geq -1$ હોય છે,તેથી $(y + 2)$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,$2 y - 1 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x > \frac{1}{2}$.
પ્રમાણિત અંતરાલ માટે,આ $x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$ આપે છે.
આપેલ છે કે $x^2 - x - 2 < 0$,જેના અવયવ $(x - 2)(x + 1) < 0$ થાય છે.
આનો અર્થ છે કે $x \in (-1, 2)$.
$x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$ અને $x \in (-1, 2)$ નો છેદ લેતા,જ્યાં $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ અને $\frac{5 \pi}{6} \approx 2.61$ છે,છેદગણ $\left(\frac{\pi}{6}, 2\right)$ મળે છે.

(D) ગણ $P$ માટે: $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$
$\Rightarrow \tan \theta = \sqrt{2} + 1$
ગણ $Q$ માટે: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$
$\Rightarrow \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \sin \theta$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \tan \theta$
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
આમ,બંને ગણ $P$ અને $Q$ એ $\theta$ ની સમાન કિંમતો દર્શાવે છે જે $\tan \theta = \sqrt{2} + 1$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી $P = Q$.

(D) ધારો કે $AD$ એ $\triangle ABC$ માં શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા છે.
મધ્યગા સદિશ $\overline{AD}$ નું સૂત્ર $\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$ છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\overline{AD} = \frac{(3 \hat{i} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k})}{2}$
$\overline{AD} = \frac{8 \hat{i} - 2 \hat{j} + 8 \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = 4 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$
હવે,મધ્યગા $\overline{AD}$ ની લંબાઈ (માન) શોધીએ:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{16 + 1 + 16}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{33}$ એકમ.

(A) આપેલ છે કે,$|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=1$ અને $|\overline{c}|=2$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a})\overline{c}$.
કારણ કે $|\overline{a}|=1$,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણ $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} = \overline{0}$ માં મૂકતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - \overline{c} + \overline{b} = \overline{0}$.
પદ ગોઠવતા $(\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - \overline{c} = -\overline{b}$ મળે.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા:
$|(\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - \overline{c}|^2 = |-\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 |\overline{a}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c})(\overline{a} \cdot \overline{c}) = |\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2(1) + 4 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 1$.
$-(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = -3 \Rightarrow (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 3$.
તેથી,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \sqrt{3}$ (કારણ કે ખૂણો લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta > 0$).
$|\overline{a}||\overline{c}| \cos \theta = \sqrt{3} \Rightarrow (1)(2) \cos \theta = \sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.

(B) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ. તેથી,આપણી પાસે નિશ્ચાયક સમીકરણ છે:
$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
ધારો કે $t = \lambda^2$. તો સમીકરણ $t^3 - 3t - 2 = 0$ બને છે.
મૂલ્યો ચકાસતા,$t = -1$ માટે,$(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. તેથી $(t+1)$ એક અવયવ છે.
$(t+1)(t^2 - t - 2) = 0$
$(t+1)(t+1)(t-2) = 0$
$(t+1)^2(t-2) = 0$
આમ,$t = -1$ અથવા $t = 2$.
કારણ કે $t = \lambda^2$,આપણી પાસે $\lambda^2 = -1$ (કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી) અથવા $\lambda^2 = 2$ છે.
વાસ્તવિક $\lambda$ માટે,$\lambda = \pm \sqrt{2}$.
તેથી,$\lambda$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.

(D) આપેલ છે: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}=\frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$
આપેલ સમીકરણને સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\overline{b}$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ કારણ કે જમણી બાજુએ $\overline{b}$ વાળું પદ નથી. તેથી,$(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
હવે,$\overline{a}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$,આપણી પાસે છે:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,આપણે $|\overline{b}||\overline{c}|$ વડે ભાગી શકીએ:
$\cos \theta = -\frac{1}{3}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
$\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો હોવાથી,$0 \le \theta \le \pi$,તેથી $\sin \theta$ ધન હોવો જોઈએ:
$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

(A) બિંદુઓના યામ $P(-2, -1)$,$Q(4, 0)$,$R(3, 3)$,અને $S(-3, 2)$ છે.
બાજુઓના ઢાળની ગણતરી કરો:
$m_{PQ} = \frac{0 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{1}{6}$
$m_{SR} = \frac{3 - 2}{3 - (-3)} = \frac{1}{6}$
$m_{QR} = \frac{3 - 0}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3$
$m_{PS} = \frac{2 - (-1)}{-3 - (-2)} = \frac{3}{-1} = -3$
અહીં $m_{PQ} = m_{SR}$ અને $m_{QR} = m_{PS}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે,તેથી $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ તપાસો:
$PQ = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$
$QR = \sqrt{(3 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
$PQ \neq QR$ હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
પાસપાસેની બાજુઓના ઢાળનો ગુણાકાર તપાસો:
$m_{PQ} \times m_{QR} = \frac{1}{6} \times (-3) = -0.5 \neq -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ નથી,તેથી પાસપાસેની બાજુઓ લંબ નથી,એટલે કે તે લંબચોરસ નથી.
તેથી,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,જે સમબાજુ કે લંબચોરસ નથી.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
પ્રથમ,$\overline{a}$ નું માન શોધીએ: $|\overline{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધીએ:
$\overline{a} \times \overline{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=3$ છે.
$\overline{c}$ અને $\overline{a} \times \overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ હોવાથી,સદિશ ગુણાકારના માનનું સૂત્ર વાપરતા:
$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા: $3 = 3 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2}$.
આથી $|\overline{c}| = 2$ મળે.
હવે,શરત $|\overline{c}-\overline{a}|=3$ નો ઉપયોગ કરીએ. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 3^2$.
$|\overline{c}|=2$ અને $|\overline{a}|=3$ મૂકતા:
$2^2 + 3^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$4 + 9 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$13 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 2$.

(C) ધારો કે $\vec{d_1} = 8 \hat{i} - 6 \hat{j}$ અને $\vec{d_2} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72 \hat{i} + 96 \hat{j} + 50 \hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2} = \sqrt{5184 + 9216 + 2500} = \sqrt{16900} = 130$.
અંતે,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ થાય.
સદિશો $5 \overline{a} + 4 \overline{b}$ અને $\overline{a} - 2 \overline{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ થાય.
$(5 \overline{a} + 4 \overline{b}) \cdot (\overline{a} - 2 \overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 10(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 4(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 - 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
અહીં $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ અને $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ મૂકતા:
$5(1)^2 - 6 \cos \theta - 8(1)^2 = 0$
$5 - 6 \cos \theta - 8 = 0$
$-6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overline{c}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$.
સદિશ $\overline{v}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\overline{v} = m\overline{a} + n\overline{b}$.
$\overline{v} = m(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + n(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (m+n)\hat{i} + (m-n)\hat{j} + (m+n)\hat{k} \quad \dots(i)$
$\overline{v}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{v} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{(m+n)(1) + (m-n)(-1) + (m+n)(-1)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$m+n - m+n - m-n = 1 \implies n-m = 1 \implies n = m+1$.
$n = m+1$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\overline{v} = (m+m+1)\hat{i} + (m-(m+1))\hat{j} + (m+m+1)\hat{k} = (2m+1)\hat{i} - \hat{j} + (2m+1)\hat{k}$.
જો $m=1$ લઈએ,તો $\overline{v} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ છે: $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=4, |\overline{c}|=4$.
શરત મુજબ,$\overline{b}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\overline{c}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ.
$\frac{\overline{b} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} = \frac{\overline{c} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} \Rightarrow \overline{b} \cdot \overline{a} = \overline{c} \cdot \overline{a} \Rightarrow (\overline{b} - \overline{c}) \cdot \overline{a} = 0 \dots (i)$.
વળી,$\overline{b}$ એ $\overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$.
હવે,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b} - \overline{c}|^2 + 2 \overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c})$.
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c}) = 0$.
તેથી,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{b} \cdot \overline{c})$.
કિંમતો મૂકતા: $|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = (2)^2 + (4)^2 + (4)^2 - 2(0) = 4 + 16 + 16 = 36$.
તેથી,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}| = \sqrt{36} = 6$.

(B) $L-R$ સર્કિટ માટે ઈમ્પીડન્સ $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $L-C-R$ સર્કિટ બની જાય છે.
$L-C-R$ સર્કિટ માટે ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કારણ કે $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (ધારી લઈએ કે સર્કિટ રેઝોનન્સમાં નથી જ્યાં $X_L = X_C$),તેથી કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z_2$ એ $Z_1$ કરતા ઓછો છે.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{Z}$.
જેમ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે,તેમ સર્કિટમાં વહેતો ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ $I$ વધે છે.

(C) $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z_{LR} = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LCR$ સર્કિટ બને છે.
$LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z_{LCR} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (ધારી લઈએ કે $X_C$ શૂન્ય નથી),સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{Z}$.
જેમ કે $I \propto \frac{1}{Z}$,ઈમ્પીડન્સ $Z$ માં ઘટાડો થવાથી સર્કિટમાં વહેતો ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ $I$ વધે છે.

(D) $A.C.$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L = 2\pi f L$ એ ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે ગૂંચળામાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોરની પરમીએબિલિટી વધે છે,જે ગૂંચળાના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ માં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે.
જેમ $L$ વધે છે,તેમ ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ વધે છે.
પરિણામે,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ વધે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V/Z$ હોવાથી,$Z$ માં વધારો થવાથી બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા $I^2 R$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,પ્રવાહમાં ઘટાડો થવાથી બલ્બની તેજસ્વિતા ઘટે છે.

(A) જ્યારે '$l$' લંબાઈનો એક વાહક સળિયો '$B$' જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેના એક છેડાની આસપાસ '$\omega$' જેટલા કોણીય વેગથી ફરે છે,ત્યારે પ્રેરિત e.m.f. '$e$' નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગ '$\omega$' એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ '$n$' (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ) સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\omega = 2 \pi n$
'$\omega$' ની આ કિંમતને e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} B (2 \pi n) l^2$
$e = B \pi n l^2$
પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા '$n$' શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$n = \frac{e}{B \pi l^2}$

(C) સોલેનોઈડના આત્મ-પ્રેરકત્વનું સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ છે.
જ્યારે આયર્ન કોર દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરમીએબિલિટી $\mu = \mu_0 \mu_r$ થાય છે. નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ એ $L' = \frac{\mu_0 \mu_r (N')^2 A}{l}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\mu_r = 1000$ અને $N' = \frac{N}{10}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $L' = \frac{\mu_0 \times 1000 \times (N/10)^2 A}{l} = \frac{\mu_0 \times 1000 \times N^2 A}{100 \times l} = 10 \times \left( \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \right)$.
શરૂઆતનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.1 \ H$ હોવાથી,$L' = 10 \times L = 10 \times 0.1 \ H = 1 \ H$ થાય.

(B) ધારો કે $r$ એ દરેક શિરોબિંદુથી સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
ત્રણ વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_{2q} + V_{-q} + V_{-q} = \frac{k(2q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} = \frac{k}{r} (2q - q - q) = 0$.
આમ,કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે,પાયા પરના બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર પાયા તરફ નિર્દેશિત પરિણામી ક્ષેત્ર આપશે,જ્યારે ઉપરના $2q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેનાથી દૂર (નીચેની તરફ) નિર્દેશિત થશે. આ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો એકબીજાને નાબૂદ કરતા ન હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{Kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $r_1$ એ બિંદુ $A$ (જ્યાં વિદ્યુતભાર $q_1 = 2 \mu C$ છે) થી અંતર છે અને $r_2$ એ બિંદુ $B$ (જ્યાં વિદ્યુતભાર $q_2 = -3 \mu C$ છે) થી અંતર છે,જ્યાં કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $V_A + V_B = 0$.
$\frac{K(2 \times 10^{-6})}{r_1} + \frac{K(-3 \times 10^{-6})}{r_2} = 0$
$\frac{2}{r_1} = \frac{3}{r_2}$
$\frac{r_2}{r_1} = \frac{3}{2}$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ અંતર $1 \ m$ હોવાથી,$r_1 + r_2 = 1 \ m$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 1 - r_1$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{1 - r_1}{r_1} = \frac{3}{2}$
$2(1 - r_1) = 3r_1$
$2 - 2r_1 = 3r_1$
$5r_1 = 2$
$r_1 = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
આમ,બિંદુ $A$ થી અંતર $0.4 \ m$ છે.

(C) મીટર સ્કેલ તેના ગુરુત્વકેન્દ્ર પર ટેકવેલી છે,જે $50 \text{ cm}$ ના નિશાન પર છે.
સ્કેલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,આધાર બિંદુ ($50 \text{ cm}$ નિશાન) ની સાપેક્ષમાં ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક અને એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક સમાન હોવા જોઈએ.
આધાર બિંદુથી પ્રથમ વજન '$w$' નું અંતર $d_1 = |50 \text{ cm} - 20 \text{ cm}| = 30 \text{ cm}$ છે.
આધાર બિંદુથી બીજા વજન $(25 \text{ g})$ નું અંતર $d_2 = |74 \text{ cm} - 50 \text{ cm}| = 24 \text{ cm}$ છે.
મોમેન્ટના સિદ્ધાંત મુજબ: $w \times d_1 = 25 \text{ g} \times d_2$.
$w \times 30 \text{ cm} = 25 \text{ g} \times 24 \text{ cm}$.
$w = (25 \times 24) / 30 = 600 / 30 = 20 \text{ g}$.
આમ,પદાર્થનું વજન $20 \text{ g}$ છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,જ્યાં $g$ એ સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર,ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ નું મૂલ્ય $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{g}{4}$ થાય છે.
ઊંચાઈ $h$ પર આવર્તકાળ $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_h}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{g_h}} = \sqrt{\frac{g}{g/4}} = \sqrt{4} = 2$.

(D) સામાન્ય દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુ પાસે $3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો હોય છે,જે કુલ $5$ મુક્તિના અંશો બનાવે છે.
જ્યારે એક વધારાનો કંપનનો પ્રકાર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યારે તે $2$ મુક્તિના અંશો ઉમેરે છે (એક ગતિ ઊર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઊર્જા માટે).
તેથી,મુક્તિના અંશોની કુલ સંખ્યા $f = 5 + 2 = 7$ થાય છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2} R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = 7$ મૂકતા,આપણને $C_V = \frac{7}{2} R$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{R}{C_v} = 0.4$
$C_V = \frac{R}{0.4} = \frac{R}{2/5} = \frac{5R}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,$C_P = C_V + R$.
$C_V$ ની કિંમત મૂકતા: $C_P = \frac{5R}{2} + R = \frac{7R}{2}$
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\gamma = \frac{7R/2}{5R/2} = \frac{7}{5} = 1.4$.
દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ હોય છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{fR}{2} = \frac{5R}{2}$ થાય છે.
ગણતરી કરેલ $C_V$ એ દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુના મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતું હોવાથી,વાયુ દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓનો બનેલો છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{\frac{A}{\pi}}}$ મળે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે ઉકેલતા,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે છે.
કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ ને $m = IA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ નું સમીકરણ મૂકતા,$m = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) \times A$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$m = \frac{2B}{\mu_0} \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \times A = \frac{2B A^{3/2}}{\mu_0 \pi^{1/2}}$ થાય છે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ઋણ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi < 0)$ ધરાવે છે.
- સમજૂતી: ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રત્યે નબળી ઋણ સસેપ્ટિબિલિટી દર્શાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સહેજ અપાકર્ષાય છે.
- પેરામેગ્નેટિક અથવા ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોથી વિપરીત, જે ધન સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવે છે, ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત ચુંબકીય મોમેન્ટ વિકસાવે છે.
- જ્યારે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ કોઈ ચુંબકીય ગુણધર્મો જાળવી રાખતા નથી.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r g \rho}$ છે.
અહીં $h, T, r$ અને $g$ ત્રણેય પ્રવાહી માટે સમાન છે,તેથી $\cos \theta \propto \rho$ થાય.
આપેલ છે કે $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,તેથી $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ મળે.
કોસાઈન વિધેય $[0, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય હોવાથી,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મોટું હોય તેમ $\theta$ નું મૂલ્ય નાનું હોય.
તેથી,$\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ મળે.
પ્રવાહી કેશનળીમાં ઉપર ચઢતું હોવાથી,સંપર્કકોણ લઘુકોણ $(0 \le \theta < \frac{\pi}{2})$ હોવો જોઈએ.
આમ,સાચો સંબંધ $0 \le \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \frac{\pi}{2}$ છે.

(A) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
વોચ ગ્લાસમાં દોલન કરતા ગોળાના કિસ્સામાં,લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L$ એ વોચ ગ્લાસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ જેટલી હોય છે.
અહીં,$R = L = 1.6 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$
$T = 2 \pi \sqrt{0.16}$
$T = 2 \pi \times 0.4$
$T = 0.8 \pi \ s$.

(D) તંત્ર $(a)$ માટે: અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K$ છે. આવર્તકાળ $T_a = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ છે.
તંત્ર $(b)$ માટે: બે સ્પ્રિંગો શ્રેણીમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $\frac{1}{K_{eff}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ થાય,તેથી $K_{eff} = \frac{K}{2}$ મળે. આવર્તકાળ $T_b = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$ થાય.
તંત્ર $(c)$ માટે: બે સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K + K = 2K$ થાય. આવર્તકાળ $T_c = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ થાય.
$T_b = \sqrt{2} T_a$ અને $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ પરથી,આપણે $T_a = \sqrt{2} T_c$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $T_b$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$ મળે.

(A) $3$-હાઇડ્રોક્સીબ્યુટેનોઇક એસિડ ($\beta$-હાઇડ્રોક્સીબ્યુટીરિક એસિડ) અને $3$-હાઇડ્રોક્સીપેન્ટેનોઇક એસિડ ($\beta$-હાઇડ્રોક્સીવેલેરિક એસિડ) ના સંઘનન પોલિમરાઇઝેશન દ્વારા બનતા કોપોલિમરને પોલિ-$\beta$-હાઇડ્રોક્સીબ્યુટાયરેટ-કો-$\beta$-હાઇડ્રોક્સીવેલેરેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેને ટૂંકમાં $PHBV$ કહેવાય છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$n(HO-CH(CH_3)-CH_2-COOH) + n(HO-CH(CH_2CH_3)-CH_2-COOH)$ $\rightarrow [-O-CH(CH_3)-CH_2-CO-O-CH(CH_2CH_3)-CH_2-CO-]_n + 2nH_2O$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર સહસંયોજક બંધો દ્વારા વ્યાપક ક્રોસ-લિંકિંગ ધરાવતા નથી. આવું ક્રોસ-લિંકિંગ થર્મોસેટિંગ પોલિમરની લાક્ષણિકતા છે.

(A) $(1)$ ફ્લેક્સ છોડ: લિનન એ ફ્લેક્સ છોડ ($Linum$ $usitatissimum$) માંથી મેળવવામાં આવતું કુદરતી રેસા છે. આ રેસા ફ્લેક્સ છોડના થડમાંથી મેળવવામાં આવે છે અને તે તેમની મજબૂતી,ટકાઉપણું અને શ્વાસ લેવાની ક્ષમતા માટે જાણીતા છે. લિનન એ માનવો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા સૌથી જૂના કાપડના રેસામાંનું એક છે.
$(2)$ કપાસનો છોડ: કપાસના રેસા કપાસના છોડ $(Gossypium)$ માંથી આવે છે,ફ્લેક્સમાંથી નહીં. કપાસનો ઉપયોગ સુતરાઉ કાપડ જેવા કાપડ બનાવવા માટે વ્યાપકપણે થાય છે,પરંતુ તે લિનનથી અલગ સામગ્રી છે.
$(3)$ શેરડીનો છોડ: શેરડી અથવા વાંસ જેવો શેરડીનો છોડ લિનનનો સ્ત્રોત નથી. જોકે,વાંસના રેસાનો ઉપયોગ કેટલાક કિસ્સાઓમાં કાપડ બનાવવા માટે થાય છે,પરંતુ આ લિનનનો સ્ત્રોત નથી.
$(4)$ રબરનો છોડ: રબર રબરના ઝાડ ($Hevea$ $brasiliensis$) ના લેટેક્સમાંથી આવે છે અને તેનો ઉપયોગ રબરની વસ્તુઓ બનાવવા માટે થાય છે,લિનન કાપડ માટે નહીં.

(A) $-CO-NH-$ લિંકેજ એ એમાઈડ સમૂહની લાક્ષણિકતા છે,જે પોલિયામાઈડ્સ (જેમ કે નાયલોન) અને અમુક સંઘનન પોલિમરમાં જોવા મળે છે.
યુરિયા ફોર્માલ્ડિહાઈડ રેઝિન એ યુરિયા અને ફોર્માલ્ડિહાઈડ વચ્ચેની સંઘનન પ્રક્રિયા દ્વારા બને છે.
યુરિયા ફોર્માલ્ડિહાઈડ રેઝિનનું બંધારણ: $[-NH-CO-NH-CH_2-]_n$ છે.
આ બંધારણમાં સ્પષ્ટપણે $-CO-NH-$ લિંકેજ જોવા મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $Glyptal$ એ ગ્લિસરોલ અને થેલિક એનહાઇડ્રાઈડના સંઘનન પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા મેળવવામાં આવતો પોલિએસ્ટર છે. તેનો ઉપયોગ રંગો અને લેકર્સના ઉત્પાદનમાં થાય છે.

(A) ઓર્લોન,જેને પોલીએક્રિલોનાઈટ્રાઈલ $(PAN)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે એક કૃત્રિમ પોલિમર છે જે ઊન જેવું દેખાય છે અને તેનો ઉપયોગ ઊનના વિકલ્પ તરીકે થાય છે. તે એક્રિલોનાઈટ્રાઈલ મોનોમરના પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે,જેનું રાસાયણિક સૂત્ર $CH_2=CHCN$ છે.

(D) $Dacron$ અને $Nylon \ 6$: સંશ્લેષિત પોલિમર.
$Wool$: કુદરતી પોલિમર.
$Cellulose \ nitrate$: અર્ધ-સંશ્લેષિત પોલિમર.

(D) પોલીએક્રિલોનાઈટ્રાઈલ $(PAN)$ નો ઉપયોગ એક્રેલિક ફાઈબરના સ્વરૂપમાં ઊનના વિકલ્પ તરીકે થાય છે.
આ કૃત્રિમ રેસાઓનો ઉપયોગ ઘણીવાર એવા કાપડ બનાવવા માટે થાય છે જે ઊન જેવા દેખાય છે,જેમ કે કપડાં અને ધાબળામાં.

(B) Buna-$S$ એ $1,3-$બ્યુટાડાઈન અને સ્ટાયરીનનું સોડિયમ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં સહ-પોલિમરાઈઝેશન (copolymerization) કરીને બનાવવામાં આવતું કૃત્રિમ રબર છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$n(CH_2=CH-CH=CH_2) + n(C_6H_5CH=CH_2) \xrightarrow{Na} -[CH_2-CH=CH-CH_2-CH(C_6H_5)-CH_2]_n-$

(C) નાયલોન $6$ એ કેપ્રોલેક્ટમને પાણી સાથે ઊંચા તાપમાને $(533-543 \ K)$ ગરમ કરીને તૈયાર કરવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,ચક્રીય કેપ્રોલેક્ટમ રિંગમાં રહેલો એમાઈડ બંધ તૂટે છે,જે રિંગ ઓપનિંગ પોલીમરાઈઝેશન તરફ દોરી જાય છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$\epsilon$-કેપ્રોલેક્ટમ ($n$ અણુઓ) $\xrightarrow{H_2O, 533-543 \ K} [NH-(CH_2)_5-CO]_n$ (નાયલોન $6$).

(D) પોલિએસ્ટર રેસાનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ટેરીવૂલ જેવા મિશ્રિત કાપડ બનાવવા માટે થાય છે,જે પોલિએસ્ટર અને ઊનનું મિશ્રણ છે.

(D) $1$. તે યોગશીલ પોલીમરાઈઝેશન દ્વારા બને છે: કુદરતી રબર આઈસોપ્રીન એકમોના યોગશીલ પોલીમરાઈઝેશન દ્વારા બને છે. આ સાચું છે.
$2$. તે એક રેખીય પોલીમર છે: કુદરતી રબર મુખ્યત્વે આઈસોપ્રીનનો રેખીય પોલીમર છે,જોકે તેમાં થોડા અંશે શાખાઓ હોઈ શકે છે. આ સાચું છે.
$3$. તેમાં $C=C$ ની $cis$ ગોઠવણી હોય છે: કુદરતી રબરનું પ્રાથમિક બંધારણ $cis-1,4-polyisoprene$ છે,જે તેને સ્થિતિસ્થાપકતા આપે છે. આ સાચું છે.
$4$. તેમાં મોનોમર એકમો તરીકે બ્યુટાડાઈન અને સ્ટાયરીન હોય છે: આ ખોટું છે. બ્યુટાડાઈન અને સ્ટાયરીન એ સ્ટાયરીન-બ્યુટાડાઈન રબર $(SBR)$ તરીકે ઓળખાતા કૃત્રિમ રબરના મોનોમર છે,કુદરતી રબરના નહીં. કુદરતી રબર આઈસોપ્રીન $(2-methyl-1,3-butadiene)$ ને તેના મોનોમર તરીકે ધરાવે છે.

(A) નિયોપ્રીન એ ક્લોરોપ્રીન ($2-$ક્લોરો$-1,3-$બ્યુટાડાઈન) ના ફ્રી રેડિકલ પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા બનતું કૃત્રિમ રબર (ઈલાસ્ટોમર) છે.
તે એક હોમોપોલિમર છે,કોપોલિમર નથી,કારણ કે તે એક જ પ્રકારના મોનોમર એકમમાંથી બને છે.
તેનો ઉપયોગ ગેસોલિનના પરિવહન માટે હોઝ પાઈપો તૈયાર કરવા માટે થાય છે કારણ કે તે તેલ અને રસાયણો સામે પ્રતિરોધક છે.
મોનોમર ક્લોરોપ્રીન $(CH_2=CCl-CH=CH_2)$ એક અસંતૃપ્ત સંયોજન છે.
તેથી,તે કોપોલિમર છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) પોલિથીન (વિકલ્પ $C$) એ થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર છે. થર્મોપ્લાસ્ટિક એવા પદાર્થો છે જે ચોક્કસ તાપમાનથી ઉપર નરમ અથવા ઘાટ આપી શકાય તેવા બને છે અને ઠંડા પડતા સખત થઈ જાય છે. તેમને તેમના રાસાયણિક ગુણધર્મો ગુમાવ્યા વિના ઘણી વખત ફરીથી ઓગાળી અને ઘાટ આપી શકાય છે. પોલિથીન,જેને સામાન્ય રીતે પોલિઇથિલિન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,તેનો ઉપયોગ તેની લવચીકતા,મજબૂતી અને રિસાયક્લેબિલિટીને કારણે પેકેજિંગ ફિલ્મ,કન્ટેનર અને કેબલના ઇન્સ્યુલેશન જેવી એપ્લિકેશન્સમાં વ્યાપકપણે થાય છે.
યુરિયા ફોર્માલ્ડિહાઈડ રેઝિન (વિકલ્પ $A$) અને બેકેલાઈટ (વિકલ્પ $B$) એ થર્મોસેટિંગ પોલિમરના ઉદાહરણો છે,જે ગરમ થયા પછી કાયમી ધોરણે સખત થઈ જાય છે અને તેને ફરીથી ઘાટ આપી શકાતો નથી.
બ્યુના-$N$ (વિકલ્પ $D$) એ કૃત્રિમ રબર છે,થર્મોપ્લાસ્ટિક નથી.

(A) આપેલ પોલિમર $-(CH_2-CH(CONH_2))_n-$ છે,જે પોલીએક્રિલામાઇડ છે.
પોલીએક્રિલામાઇડ એ મોનોમર એક્રિલામાઇડ $(CH_2=CH-CONH_2)$ ના યોગશીલ પોલિમરાઇઝેશન દ્વારા બને છે.
તેથી,સાચો મોનોમર એક્રિલામાઇડ છે.

(B) ડેક્રોન (જેને ટેરીલીન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ એક પોલિએસ્ટર છે જે ઈથિલીન ગ્લાયકોલ (એક ડાયહાઈડ્રિક આલ્કોહોલ) અને ટેરેપ્થેલિક એસિડ (એક એરોમેટિક ડાયકાર્બોક્સિલિક એસિડ) ના ઝિંક એસિટેટ-એન્ટિમની ટ્રાયોક્સાઈડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં $420-460 \ K$ તાપમાને સંઘનન પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા બને છે.

(D) $PHBV$ (Poly-$\beta$-hydroxybutyrate-co-$\beta$-hydroxyvalerate) એ $3$-હાઇડ્રોક્સીબ્યુટેનોઇક એસિડ અને $3$-હાઇડ્રોક્સીપેન્ટેનોઇક એસિડના સહ-પોલીમરાઇઝેશન દ્વારા બનતો પોલિએસ્ટર છે.
તેની પોલીમર શૃંખલામાં એસ્ટર લિંકેજ $(-COO-)$ હોય છે,જે નીચે મુજબ છે:
$[-O-CH(CH_3)-CH_2-CO-O-CH(CH_2CH_3)-CH_2-CO-]_n$.

(B) $PVC$ (પોલિવિનાઇલ ક્લોરાઇડ) નો ઉપયોગ પાણીની પાઈપો,રેઈનકોટ વગેરે બનાવવા માટે થાય છે.

(A) આપેલા પોલિમરની રાસાયણિક સંરચના નીચે મુજબ છે:
$1$. $PAN$ (પોલીએક્રીલોનાઈટ્રાઈલ): તેનો મોનોમર એક્રીલોનાઈટ્રાઈલ,$CH_2=CH-CN$ છે. પોલિમરની સંરચના $[-CH_2-CH(CN)-]_n$ છે. તેમાં સાયનો ગ્રુપ $(-CN)$ માં નાઈટ્રોજન પરમાણુ હોય છે.
$2$. નાયલોન $6$: તે કેપ્રોલેક્ટમમાંથી બનતું પોલીએમાઈડ છે. તેની સંરચના $[-CO-(CH_2)_5-NH-]_n$ છે. તેમાં એમાઈડ લિંકેજ $(-CONH-)$ માં નાઈટ્રોજન હોય છે.
$3$. નાયલોન $6,6$: તે હેક્ઝામિથિલીન ડાયએમાઈન અને એડિપિક એસિડમાંથી બનતું પોલીએમાઈડ છે. તેમાં એમાઈડ લિંકેજમાં નાઈટ્રોજન હોય છે.
$4$. નાયલોન $2-6$: તે ગ્લાયસીન અને એમિનોકેપ્રોઈક એસિડનું પોલીએમાઈડ કોપોલિમર છે. તેમાં પણ નાઈટ્રોજન હોય છે.
નોંધ: આપેલા તમામ વિકલ્પોમાં નાઈટ્રોજન હાજર છે. જો પ્રશ્નનો અર્થ એમાઈડ લિંકેજની ગેરહાજરી હોય,તો $PAN$ સાચો જવાબ છે કારણ કે તેમાં નાઈટ્રાઈલ ગ્રુપ $(-CN)$ હોય છે.

(D) પોલીસ્ટાયરીન એ એરોમેટિક સ્ટાયરીન અણુઓના મોનોમેરિક એકમોથી બનેલું પોલિમર છે.
પોલીસ્ટાયરીનનો ઉપયોગ ફોમ-આધારિત ઉત્પાદનો બનાવવા માટે થાય છે,જેમાં તેના હળવા વજન અને ઇન્સ્યુલેટીંગ ગુણધર્મોને કારણે ડિસ્પોઝેબલ કપ અને પ્લેટનો સમાવેશ થાય છે.

(B) $HO-CH_2-CH_2-OH$ મોનોમરને ઇથિલીન ગ્લાયકોલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેનો ઉપયોગ ડેક્રોન (જેને ટેરીલીન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) ની બનાવટમાં થાય છે.
ડેક્રોન એ ઇથિલીન ગ્લાયકોલ અને ટેરેપ્થેલિક એસિડના સંઘનન પોલીમરાઇઝેશન દ્વારા $420-460 \ K$ તાપમાને ઝિંક એસિટેટ-એન્ટિમની ટ્રાયોક્સાઇડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં બનતો પોલીએસ્ટર છે.
પ્રક્રિયા: $n \ HO-CH_2-CH_2-OH + n \ HOOC-C_6H_4-COOH \rightarrow [-O-CH_2-CH_2-O-CO-C_6H_4-CO-]_n + 2n \ H_2O$.

(A) યુરિયા-ફોર્માલ્ડિહાઈડ રેઝિન એ યુરિયા $(NH_2CONH_2)$ અને ફોર્માલ્ડિહાઈડ $(HCHO)$ ના સંઘનન પોલીમરાઈઝેશન દ્વારા બનતો થર્મોસેટિંગ પોલીમર છે.
આ પ્રક્રિયામાં મિથાઈલોલ યુરિયા વ્યુત્પન્ન બને છે,જે ત્યારબાદ ક્રોસ-લિંક્ડ નેટવર્ક બંધારણ બનાવવા માટે વધુ સંઘનન પામે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન બનતી રેખીય પોલીમર શૃંખલાનું પુનરાવર્તિત એકમ $[NH-CO-NH-CH_2]_n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પોલિમરને તેમના આંતરઆણ્વિય બળોના આધારે વિવિધ પ્રકારોમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે,જેમ કે ઇલાસ્ટોમર્સ,રેસા (fibres),થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર અને થર્મોસેટિંગ પોલિમર.
- $Fibres$ એ દોરા જેવા ઘન પદાર્થો છે જે ઉચ્ચ તણાવ શક્તિ અને ઉચ્ચ મોડ્યુલસ ધરાવે છે.
- $Polyesters$ (જેમ કે પોલિઇથિલિન ટેરેફ્થાલેટ અથવા $PET$) રેસાના ઉત્તમ ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમાં હાઇડ્રોજન બોન્ડિંગ અથવા ડાયપોલ-ડાયપોલ આંતરક્રિયા જેવા મજબૂત આંતરઆણ્વિય બળો હોય છે,જે તેમને કાપડના ઉપયોગ માટે લાંબા,પાતળા દોરામાં ફેરવવાની મંજૂરી આપે છે.
- $Vulcanized$ $rubber$ એ ઇલાસ્ટોમર છે,જ્યારે $Polythene$ અને $Polyvinyls$ એ થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર છે.

(D) ત્રીજી હરોળના સંક્રાંતિ તત્વો $5d$ શ્રેણીના છે.
તેમાં રૂથેનિયમ $(Ru)$ અને ઓસ્મિયમ $(Os)$ સૌથી વધુ $+8$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.
આ $RuO_4$ અને $OsO_4$ જેવા સંયોજનોમાં જોવા મળે છે.

(A) ધારો કે $Fe$ નો ઓક્સિડેશન આંક $x$ છે.
$\left[ Fe(CN)_6 \right]^{4-}$ સંકીર્ણમાં,$CN^-$ લિગેન્ડ પરનો વીજભાર $-1$ છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ થશે: $x + 6(-1) = -4$.
$x - 6 = -4$.
$x = +2$.
આમ,$Fe$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+2$ છે.

(D) એમોર્ફસ (અસ્ફટિકમય) ઘન પદાર્થો સ્વભાવે આઈસોટ્રોપિક હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ દરેક દિશામાં વક્રીભવનાંક,વિદ્યુત વાહકતા વગેરે જેવા ભૌતિક ગુણધર્મો માટે સમાન મૂલ્ય દર્શાવે છે.
મેટાલિક ગ્લાસ એ એક એમોર્ફસ ઘન છે.
તેથી,તે સ્વભાવે આઈસોટ્રોપિક છે.

(B) સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થો સ્વભાવે વિષમદિગ્ધર્મી (anisotropic) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના ભૌતિક ગુણધર્મો જેવા કે વક્રીભવનાંક,ઉષ્મીય વાહકતા અને વિદ્યુત વાહકતા અલગ-અલગ દિશામાં માપતા બદલાય છે. તેથી,સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થ સમદિગ્ધર્મી છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) $(1)$ નેનોરોડ્સ: $1D$ સ્ટ્રક્ચર: એક પરિમાણમાં લંબાયેલું (લંબાઈ),બાકીના બેમાં મર્યાદિત (પહોળાઈ અને ઊંચાઈ).
$(2)$ નેનોપાર્ટિકલ્સ: $0D$ સ્ટ્રક્ચર: કોઈપણ પરિમાણમાં લંબાયેલું નથી,બધી દિશાઓમાં મર્યાદિત (સામાન્ય રીતે ગોળાકાર).
$(3)$ થિન ફિલ્મ્સ: $2D$ સ્ટ્રક્ચર: એક પરિમાણમાં પાતળું (જાડાઈ) પરંતુ બાકીના બેમાં વિસ્તરેલું (લંબાઈ અને પહોળાઈ).
$(4)$ ફાઇબર્સ: $1D$ સ્ટ્રક્ચર: એક પરિમાણમાં લંબાયેલું (લંબાઈ),બાકીના બેમાં મર્યાદિત.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
એકમ કોષનું દળ ઘનતા $(\rho)$ અને કદ $(a^3)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\rho \times a^3 = 3 \times 10^{-22} \ g$ છે.
$0.3 \ g$ ધાતુમાં એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}} = \frac{0.3 \ g}{3 \times 10^{-22} \ g} = 1.0 \times 10^{21}$ એકમ કોષો.
દરેક $bcc$ એકમ કોષમાં $2$ પરમાણુઓ હોવાથી,પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $2 \times (1.0 \times 10^{21}) = 2.0 \times 10^{21}$ પરમાણુઓ થાય.

(B) એક-પરિમાણીય નેનો-મટીરીયલ: એક-પરિમાણીય નેનો-મટીરીયલમાં એક પરિમાણ નેનો સ્કેલની બહાર હોય છે અને બે પરિમાણ નેનો સ્કેલની અંદર હોય છે. તમે તેને વાયર તરીકે કલ્પી શકો છો. $1D$ નેનો-મટીરીયલના ઉદાહરણોમાં નેનોટ્યુબ્સ,નેનોરોડ્સ અને નેનોવાયર્સનો સમાવેશ થાય છે.

(A) $X$-Ray Diffraction $(XRD)$:
- આ એક પ્રાયોગિક તકનીક છે જેનો ઉપયોગ સ્ફટિકની પરમાણ્વીય અને આણ્વિય રચના નક્કી કરવા માટે થાય છે,જેમાં સ્ફટિકીય લેટીસ આપાત $X$-ray કિરણોને ઘણી ચોક્કસ દિશાઓમાં વિવર્તિત કરે છે.
- તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સ્ફટિકની ત્રિ-પરિમાણીય આણ્વિય રચના મેળવવા માટે થાય છે.
- ઉચ્ચ સાંદ્રતા ધરાવતા શુદ્ધ નમૂનાને સ્ફટિકીકૃત કરવામાં આવે છે અને આ સ્ફટિકોને વિવર્તન ભાતનું વિશ્લેષણ કરવા માટે $X$-ray કિરણોના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે.

(A) તત્વ $B$ ના પરમાણુઓ $ccp$ રચના બનાવે છે. ધારો કે $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
ઉદ્ભવતા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ છે.
તત્વ $A$ ના પરમાણુઓ આ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $1/3$ ભાગ રોકે છે.
તેથી,$A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2n \times 1/3 = 2n/3$ થાય.
$A$ પરમાણુઓ અને $B$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $(2n/3) : n = 2/3 : 1 = 2 : 3$ છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_2B_3$ છે.

(B) સિલિકા $(SiO_2)$ એ સહસંયોજક ઘન (નેટવર્ક ઘન તરીકે પણ ઓળખાય છે) છે.
આ બંધારણમાં,સિલિકોન અને ઓક્સિજનના પરમાણુઓ સતત ત્રિ-પરિમાણીય નેટવર્કમાં મજબૂત સહસંયોજક બંધો દ્વારા જોડાયેલા હોય છે.
આ વિસ્તૃત બંધારણને કારણે સિલિકાની કઠિનતા અને ગલનબિંદુ ખૂબ ઊંચું હોય છે.

(C) $fcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{2} a = 4 r$ છે।
$a$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $a = 2 \sqrt{2} r$.
આપેલ છે $r = 139 \ pm = 139 \times 10^{-10} \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 2 \times 1.414 \times 139 \ pm = 393.1 \ pm$.
સેન્ટીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $a = 393.1 \times 10^{-10} \ cm = 3.93 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ છે,જ્યાં $a^3$ એ એકમ કોષનું કદ $(V)$ છે.
$V$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $V = a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{4 \times 27 \ g \ mol^{-1}}{16.0 \times 10^{23} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}}$.
$V = \frac{108}{16.0 \times 10^{23}} \ cm^3 = 6.75 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) $bcc$ એકમ કોષમાં,$8$ ખૂણા પરના પરમાણુઓ છે,જેમાંથી દરેક એકમ કોષમાં $\frac{1}{8}$ ફાળો આપે છે,અને $1$ અંતઃકેન્દ્રિત પરમાણુ છે,જે એકમ કોષમાં $1$ ફાળો આપે છે.
કણોની કુલ સંખ્યા = $(\frac{1}{8} \times 8) + 1 = 1 + 1 = 2$.

(A) ધાતુનું દળ $m = 10.8 \ g$ છે.
એક એકમ કોષનું દળ ઘનતા $(\rho)$ અને કદ $(a^3)$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે,જે $\rho a^3 = 7.2 \times 10^{-22} \ g$ છે.
એકમ કોષોની સંખ્યા ધાતુના કુલ દળને એક એકમ કોષના દળ વડે ભાગીને મેળવી શકાય છે:
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{m}{\rho a^3} = \frac{10.8 \ g}{7.2 \times 10^{-22} \ g} = 1.5 \times 10^{22}$.

(C) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે।
આપેલ ધારની લંબાઈ $(a) = 380 \ pm$.
તેથી, ત્રિજ્યા $(r) = \frac{a}{2} = \frac{380 \ pm}{2} = 190 \ pm$.

(D) $bcc$ એકમ કોષમાં $2$ પરમાણુઓ હોય છે.
$bcc$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $68\%$ છે,જેનો અર્થ છે કે એકમ કોષના કુલ કદના $68\%$ ભાગ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ છે.
પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $= 0.68 \times \text{એકમ કોષનું કદ}$.
પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $= 0.68 \times 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3 = 1.02 \times 10^{-22} \ cm^3$.

(D) $hcp$ રચનાઓમાં,દરેક ગોળો $12$ પાડોશી ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો હોય છે: $6$ તેના પોતાના સ્તરમાં,$3$ ઉપરના સ્તરમાં અને $3$ નીચેના સ્તરમાં.
તેથી,$hcp$ રચનામાં કોઈપણ ગોળાનો સવર્ગ આંક $12$ છે.

(B) $FCC$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ઘનતા $\rho$ માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{63 \ g \ mol^{-1} \times 4}{28 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
$\rho = \frac{252}{28} \ g \ cm^{-3} = 9.0 \ g \ cm^{-3}$.

(D) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ છે.
અહીં,$fcc$ બંધારણ માટે એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
મોલર દળ $M = 63.5 \ g \ mol^{-1}$ આપેલ છે.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3$ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a^3 = \frac{4 \times 63.5}{5.5 \times 10^{24}}$.
$a^3 = \frac{254}{5.5 \times 10^{24}} = 4.618 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) એકમ કોષનું કદ $V_{total} = 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3$ આપેલ છે.
$bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં પેકિંગ ક્ષમતા $68 \%$ હોય છે.
તેથી,ખાલી અવકાશ (void volume) ની ટકાવારી $100 \% - 68 \% = 32 \%$ છે.
ખાલી અવકાશનું કદ $= 32 \% \text{ of } V_{total} = 0.32 \times 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3$.
ખાલી અવકાશનું કદ $= 0.48 \times 10^{-22} \ cm^3 = 4.8 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ છે.
$r$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ મળે છે.
આપેલ કિંમત $a = 530 \ pm$ મૂકતા:
$r = \frac{530 \times \sqrt{3}}{4} \approx \frac{530 \times 1.732}{4} = \frac{917.96}{4} \approx 229.5 \ pm$.
તેથી, ધાતુના પરમાણુની ત્રિજ્યા $229.5 \ pm$ છે.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતા $(\rho)$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ છે.
આપેલ છે: $\rho = 8.6 \ g \ cm^{-3}$ અને $a^3 \times N_{A} = 22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $8.6 \ g \ cm^{-3} = \frac{M \times 2}{22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
તેથી,$M = \frac{8.6 \times 22.0}{2} = \frac{189.2}{2} = 94.6 \ g \ mol^{-1}$.

(A) ટ્રાયક્લિનિક ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ એ સ્ફટિકશાસ્ત્રની સાત ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમોમાંની એક છે. આ સિસ્ટમમાં,એકમ કોષ સૌથી ઓછી સમપ્રમાણતા ધરાવે છે: ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ અલગ-અલગ હોય છે અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓ પણ અલગ-અલગ હોય છે અને તે $90^{\circ}$ હોતા નથી.
ટ્રાયક્લિનિક સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓ:
- એકમ કોષમાં $a \neq b \neq c$ (બધી બાજુઓ અલગ લંબાઈની હોય છે).
- અક્ષો વચ્ચેના ખૂણા $\alpha \neq \beta \neq \gamma$ છે,અને તે બધા $90^{\circ}$ નથી.
ટ્રાયક્લિનિક સિસ્ટમમાં માત્ર એક જ પ્રકારનો એકમ કોષ હોય છે,જે પ્રિમિટિવ (સાદો) એકમ કોષ છે. સમપ્રમાણતાના અભાવને કારણે,અન્ય કોઈ પ્રકારના એકમ કોષો (જેમ કે બોડી-સેન્ટર્ડ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ) શક્ય નથી.
તેથી,ટ્રાયક્લિનિક ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમમાં હાજર વિવિધ પ્રકારના એકમ કોષોની કુલ સંખ્યા $1$ છે.

(C) સાદા ઘન $(SCC)$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $52.4 \%$ છે.
તેથી,ખાલી અવકાશની ટકાવારી $100 \% - 52.4 \% = 47.6 \%$ છે.
આપેલ છે,એકમ કોષનું કદ = $5.5 \times 10^{-22} \ cm^3$.
ખાલી અવકાશનું કદ = $5.5 \times 10^{-22} \ cm^3$ ના $47.6 \%$.
ખાલી અવકાશનું કદ = $\frac{47.6}{100} \times 5.5 \times 10^{-22} \ cm^3 = 2.618 \times 10^{-22} \ cm^3 \approx 2.619 \times 10^{-22} \ cm^3$.

(B) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ખૂણાઓ પર અને દરેક ફલકના કેન્દ્રમાં હાજર હોય છે.
ખૂણાઓ પરના પરમાણુઓની સંખ્યા $= 8 \times \frac{1}{8} = 1$.
ફલકના કેન્દ્રો પરના પરમાણુઓની સંખ્યા $= 6 \times \frac{1}{2} = 3$.
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= 1 + 3 = 4$.

(B) $BCC$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $2$ છે.
પરમાણુની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ છે.
એક પરમાણુનું કદ $V_{atom} = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદ $(V)$ $Z \times V_{atom} = 2 \times \frac{4}{3} \pi \left( \frac{\sqrt{3}a}{4} \right)^3$ થાય.
$V = \frac{8}{3} \pi \left( \frac{3 \sqrt{3} a^3}{64} \right) = \frac{\sqrt{3} \pi a^3}{8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) $bcc$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ છે.
એકમ કોષનું કદ $a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ થાય.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $a^3 = \frac{23 \ g \ mol^{-1} \times 2}{1 \ g \ cm^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$.
$a^3 = \frac{46}{6.022 \times 10^{23}} \ cm^3 \approx 7.638 \times 10^{-23} \ cm^3$.
આમ,કદ આશરે $7.6 \times 10^{-23} \ cm^3$ છે.