रेखा frac{x+1}{2}=frac{y-2}{1}=frac{z-3}{-2} | vedclass

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Question

(C) एक रेखा जिसके दिशा सदिश $\vec{b}$ है और एक समतल जिसके अभिलंब सदिश $\vec{n}$ है,के बीच का कोण $	heta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\sin 	heta = \left

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$\sqrt{\frac{5}{3}}$

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(C) एक रेखा जिसके दिशा सदिश $\vec{b}$ है और एक समतल जिसके अभिलंब सदिश $\vec{n}$ है,के बीच का कोण $	heta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\sin 	heta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} ight|$.यहाँ,रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - \lambda\hat{k}$ है।दिया गया है $	heta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}ight)$। चूंकि $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$,इसलिए $\sin 	heta = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}ight)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$।सूत्र में मान रखने पर:$\frac{1}{3} = \left| \frac{(2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-\lambda)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-\lambda)^2}} ight|$$\frac{1}{3} = \left| \frac{2 - 2 + 2\lambda}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda^2}} ight|$$\frac{1}{3} = \left| \frac{2\lambda}{3 \sqrt{5 + \lambda^2}} ight|$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\frac{1}{9} = \frac{4\lambda^2}{9(5 + \lambda^2)}$$5 + \lambda^2 = 4\lambda^2$$3\lambda^2 = 5$$\lambda^2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \lambda = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ और समतल $x-2y-\lambda z=3$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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