समतलों $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\bar{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ के प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर एक सदिश है

तीन रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}, \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r} = \hat{k} + \mu \hat{j}, \mu \in R$,और $L_3: \overrightarrow{r} = \hat{i} + \hat{j} + v\hat{k}, v \in R$ दी गई हैं। $L_2$ पर स्थित किस बिंदु (बिंदुओं) $Q$ के लिए हम $L_1$ पर एक बिंदु $P$ और $L_3$ पर एक बिंदु $R$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $P, Q$ और $R$ संरेख हों?

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के समानांतर रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $Q$,समतल $S: x + y + z = 5$ के सापेक्ष बिंदु $P(1, 0, 1)$ का प्रतिबिंब है। यदि $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाली और रेखा $PQ$ के समानांतर एक रेखा $L$,समतल $S$ को $R$ पर मिलती है,तो $QR^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(1, 1, \lambda)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं,तो $\lambda$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(1, 1, 1)$ की मूल बिंदु और समतल $x - y + z + k = 0$ से दूरियों का गुणनफल $5$ है,तो $k =$