यदि $\bar{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,और $\bar{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है,तो $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के समतल में एक सदिश,जिसका $\bar{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,वह है

मान लीजिए कि दो गैर-संरेख इकाई सदिश $\hat{a}$ और $\hat{b}$ एक न्यून कोण बनाते हैं। एक बिंदु $P$ इस प्रकार गति करता है कि किसी भी समय $t$ पर स्थिति सदिश $\overline{OP}$ (जहाँ $O$ मूल बिंदु है) $\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ द्वारा दिया जाता है। जब $P$ मूल बिंदु $O$ से सबसे दूर होता है,तो $M$ को $\overline{OP}$ की लंबाई और $\hat{u}$ को $\overline{OP}$ की दिशा में इकाई सदिश मानें। तब,

मान लीजिए कि $\overrightarrow{x}$ एक सदिश है जो $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ सदिशों वाले समतल में स्थित है। यदि सदिश $\overrightarrow{x}$,$(3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ के लंबवत है और $\overrightarrow{a}$ पर इसका प्रक्षेप $\frac{17\sqrt{6}}{2}$ है,तो $|\overrightarrow{x}|^{2}$ का मान ...... है।

यदि एक $\Delta ABC$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ हैं,तो उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ $\angle A$ का समद्विभाजक $BC$ से मिलता है।

यदि $\bar{a}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$,$\bar{b}=(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ और $\bar{c}=(3 \hat{i}+\hat{j})$ इस प्रकार हैं कि $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$,$\bar{c}$ पर लंब है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है। मान लीजिए $u = \overrightarrow{AB}$ और $v = \overrightarrow{AC}$ है। यदि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,तो $\triangle ABD$ में शीर्ष $B$ से होकर जाने वाली माध्यिका की लंबाई क्या होगी?