int cos sqrt{x} , dx = (जहाँ C समाकलन का एक स | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\sqrt{x} = t$ है। तब $x = t^2$,जि

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$2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + C$

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(A) समाकलन $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\sqrt{x} = t$ है। तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है कि $dx = 2t \, dt$ है। इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int \cos(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int t \cos t \, dt$। अब,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ है। मान लीजिए $u = t$ और $dv = \cos t \, dt$ है। तब $du = dt$ और $v = \sin t$ होगा। $I = 2 [t \sin t - \int \sin t \, dt]$। $I = 2 [t \sin t - (-\cos t)] + C$। $I = 2 [t \sin t + \cos t] + C$। $t = \sqrt{x}$ का मान वापस रखने पर: $I = 2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + C$।

$\int \cos \sqrt{x} \, dx =$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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यदि $\int \frac{\sqrt{x}}{x(x+1)} dx = k \tan^{-1} m + c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो:

माना $n \geq 2$ के लिए $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$ और $g(x) = \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f)}_{n \text{ बार }}(x)$ है। तो $\int x^{n-2} g(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \cdot d x = \dots + C$. जहाँ,$(0 < |x| < 1)$.

$\int \frac{x}{x^4 + x^2 + 1} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int \frac{2x^2}{x^3+1} dx$

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