यदि f(x) = frac{1}{log x} और g(x) = frac{1}{( | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए: $I

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$\frac{x}{\log x} + C$

Vedclass · Answer

(C) हमें समाकलन $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए: $I = \int \frac{1}{\log x} dx - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$. प्रथम पद $\int \frac{1}{\log x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{1}{\log x}$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन के सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ के अनुसार: $\int \frac{1}{\log x} dx = \frac{x}{\log x} - \int x \left( -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} \right) dx$ $= \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$. इस मान को मूल व्यंजक $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \left( \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx \right) - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$ $I = \frac{x}{\log x} + C$.

यदि $f(x) = \frac{1}{\log x}$ और $g(x) = \frac{1}{(\log x)^2}$ है,तो समाकलन $\int \{f(x) - g(x)\} dx$ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

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