int frac{2 x^{12}+5 x^9}{left(x^5+x^3+1right) | vedclass

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Question

(B) समाकलन $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} \,d x$ को हल करने के लिए, हम हर (denominator) में से $x^5$ को बाहर निकालते हैं: $

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$\frac{x^{10}}{2\left(x^5+x^3+1\right)^2}+C$

Vedclass · Answer

(B) समाकलन $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} \,d x$ को हल करने के लिए, हम हर (denominator) में से $x^5$ को बाहर निकालते हैं: $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left[x^5\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)\right]^3} \,d x$ $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{x^{15}\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$ $I = \int \frac{\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}}{\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$ माना $t = 1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}$. तब $dt = \left(-\frac{2}{x^3}-\frac{5}{x^6}\right) dx$, जिसका अर्थ है कि $-dt = \left(\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}\right) dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{-dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$ $t$ का मान वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{1}{2\left(\frac{x^5+x^3+1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{x^{10}}{2\left(x^5+x^3+1\right)^2} + C$

$\int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} \,d x$ का मान (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है) क्या होगा?

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मान लीजिए $I(x) = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + \tan x)}{(x \tan x + 1)^2} dx$ है। यदि $I(0) = 0$ है,तो $I(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \sqrt{3-2x-x^2} \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

यदि $\int \frac{1-(\cot x)^{2019}}{\tan x+(\cot x)^{2020}} dx = \frac{1}{n} \ln |(f(x))^n + (g(x))^n| + c$ है,तो $n[(f(x))^4 + (g(x))^4]_{x=\frac{\pi}{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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