પ્રથમ થેલીમાં $3$ લાલ અને $5$ કાળા દડા છે અને બીજી થેલીમાં $6$ લાલ અને $4$ કાળા દડા છે. દરેક થેલીમાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે. એક દડો લાલ અને બીજો કાળો હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

બે વ્યક્તિઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી એક નિષ્પક્ષ પાસો (જેની બાજુઓ પર $1$ થી $6$ અંકિત છે) ફેંકે છે,જેની શરૂઆત $A$ કરે છે. જે વ્યક્તિ અગાઉના ખેલાડીના પરિણામથી અલગ પરિણામ મેળવે તે જીતે છે. $B$ જીતે તેની સંભાવના કેટલી?

જો $A$ અને $B$ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ અને $P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{1}{3}$ થાય,તો $P(A)$ ની કિંમત શોધો. (અહીં,$\bar{E}$ એ ઘટના $E$ ની પૂરક ઘટના છે)

સ્તંભ-$I$ માં આપેલા વિધાનોને સ્તંભ-$II$ સાથે જોડો.

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$(A)$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક રેખા રેખાઓ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ અને $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માં મળે છે. જો લંબાઈ $PQ=d$ હોય,તો $d^2$ છે	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો છે	$(q)$ $0$
$(C)$ શૂન્યતર સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ અને $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ હોય,તો $\mu$ ના શક્ય મૂલ્યો છે	$(r)$ $4$
$(D)$ ધારો કે $f$ એ $[-\pi, \pi]$ પરનું વિધેય છે,જ્યાં $f(0)=9$ અને $x \neq 0$ માટે $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ છે. $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ નું મૂલ્ય છે	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$

થેલી $A$ માં $3$ સફેદ અને $4$ લાલ દડા છે,થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $5$ લાલ દડા છે,અને થેલી $C$ માં $5$ સફેદ અને $6$ લાલ દડા છે. જો આ ત્રણેય થેલીઓમાંથી દરેકમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો એક સફેદ અને બે લાલ દડા મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

$50$ સ્ક્રૂના જથ્થામાંથી $5$ ખામીયુક્ત સ્ક્રૂ છે. જો $3$ સ્ક્રૂ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો ત્રણેય સ્ક્રૂ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $(a)$ પુરવણી સહિત અને $(b)$ પુરવણી રહિત પસંદગી માટે અનુક્રમે કેટલી થાય?