જો $e_{1}$ અને $e_{2}$ એ વક્રો $16x^{2}-9y^{2}=144$ અને $9x^{2}-16y^{2}=144$ ની ઉત્કેન્દ્રતા દર્શાવતા હોય,તો $\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $Q(3 \sec \phi, 2 \tan \phi)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બે બિંદુઓ છે,જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ અને $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{2}$ છે. તો $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો $y$-યામ (ordinate) શોધો.

જો અતિવલયનું સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ હોય,તો તેના સંયુગ્મી અતિવલયનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે બિંદુઓ $P_1\left(\frac{\pi}{4}\right), P_2\left(\frac{3 \pi}{4}\right), P_3\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ અને $P_4\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ જે પ્રચલિત સ્વરૂપમાં આપેલ છે,તે અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ પર આવેલા છે. તો આ ચાર બિંદુઓ તે ક્રમમાં શું બનાવે છે?

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\sec \alpha$ હોય,તો અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો અને તેના કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ નો સ્પર્શક $x-$અક્ષને $P$ માં અને $y-$અક્ષને $Q$ માં મળે છે. રેખાઓ $PR$ અને $QR$ એવી રીતે દોરવામાં આવી છે કે જેથી $OPRQ$ એક લંબચોરસ બને (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે). તો $R$ એ કયા પર આવેલું છે?