IIT JEE 1998 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया योग $S = \sum\limits_{n = 1}^{13} {({i^n} + {i^{n + 1}})} $ है।
इसे $S = \sum\limits_{n = 1}^{13} {i^n} + \sum\limits_{n = 1}^{13} {i^{n + 1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों $13$ पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी हैं।
पहली श्रेणी का योग $\frac{i(1 - i^{13})}{1 - i}$ है। चूँकि $i^4 = 1$,इसलिए $i^{13} = i^{12} \times i = 1 \times i = i$.
अतः,पहला योग $\frac{i(1 - i)}{1 - i} = i$ है।
दूसरी श्रेणी का योग $\frac{i^2(1 - i^{13})}{1 - i} = \frac{-1(1 - i)}{1 - i} = -1$ है।
इसलिए,$S = i + (-1) = i - 1$।

(D) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$(1 + \omega - \omega^2)^7 = (-\omega^2 - \omega^2)^7$
$= (-2\omega^2)^7$
$= (-2)^7 \times (\omega^2)^7$
$= -128 \times \omega^{14}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \times \omega^2 = 1^4 \times \omega^2 = \omega^2$.
अतः,व्यंजक का मान $-128\omega^2$ है।

(C) मान लीजिए प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $T_m = a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ और $T_n = a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = \frac{1}{mn}$ है।
पहले समीकरण में $d$ का मान रखने पर: $a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a = \frac{1}{mn}$ है।
अब,$T_{mn} = a + (mn - 1)d = \frac{1}{mn} + (mn - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + mn - 1}{mn} = \frac{mn}{mn} = 1$ है।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $2 \ln y = \ln x + \ln z$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$2 + 2 \ln y = 2 + \ln x + \ln z$ प्राप्त होता है।
इसे $2(1 + \ln y) = (1 + \ln x) + (1 + \ln z)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दर्शाता है कि $(1 + \ln x), (1 + \ln y), (1 + \ln z)$ एक $A.P.$ में हैं।
चूंकि $A.P.$ के पदों के व्युत्क्रम $H.P.$ में होते हैं,इसलिए $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ एक $H.P.$ में हैं।

(B) चूंकि किसी भी स्थान पर,$2, 5$ और $7$ अंकों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है,इसलिए ऐसी धनात्मक $n$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $3^n$ है।
हमें कम से कम $900$ अलग संख्याएँ बनानी हैं,इसलिए हम असमिका $3^n \ge 900$ का उपयोग करते हैं।
$3$ की घातों की गणना करने पर:
$3^6 = 729 < 900$
$3^7 = 2187 \ge 900$
अतः,$n$ का सबसे छोटा मान $7$ है।

(C) प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$(a)$ $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$,जो अपरिमेय है।
$(b)$ $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$,जो अपरिमेय है।
$(c)$ $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{4}$,जो परिमेय है।
$(d)$ $\sin 15^\circ \cos 75^\circ = \sin^2 15^\circ = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$,जो अपरिमेय है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) दिया गया है कि $\sin P, \sin Q, \sin R$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin P} = \frac{b}{\sin Q} = \frac{c}{\sin R} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इसका अर्थ है कि $\sin P = \frac{a}{2R}, \sin Q = \frac{b}{2R}, \sin R = \frac{c}{2R}$।
अतः $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
माना $p_1, p_2, p_3$ क्रमशः शीर्ष $P, Q, R$ से डाले गए शीर्षलंब हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इसलिए,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$।
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होंगे।
$2\Delta$ से गुणा करने पर,$\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः $p_1, p_2, p_3$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को अपने मध्य बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $PR$ का मध्य बिंदु $M_1$ है और विकर्ण $QS$ का मध्य बिंदु $M_2$ है।
चूँकि $M_1 = M_2$,हमें प्राप्त होता है:
$PR$ का मध्य बिंदु $= (\frac{1+5}{2}, \frac{2+7}{2}) = (3, 4.5)$
$QS$ का मध्य बिंदु $= (\frac{4+a}{2}, \frac{6+b}{2})$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{4+a}{2} = 3$ $\Rightarrow 4+a = 6$ $\Rightarrow a = 2$
$\frac{6+b}{2} = 4.5$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$
अतः,$a = 2$ और $b = 3$.

(A) माना शीर्ष $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2),$ और $R(x_3, y_3)$ हैं,जहाँ $x_i, y_i \in \mathbb{Q}$ है।
$1$. केंद्रक $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि परिमेय संख्याओं का योग और भागफल परिमेय होता है,इसलिए केंद्रक हमेशा एक परिमेय बिंदु होता है।
$2$. परिकेंद्र $(x, y)$ समीकरणों $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$ और $(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2$ को संतुष्ट करता है। ये परिमेय गुणांकों वाले रैखिक समीकरणों में सरल हो जाते हैं। अतः,परिकेंद्र हमेशा एक परिमेय बिंदु होता है।
$3$. अंतःकेंद्र $\left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ भुजाओं की लंबाई हैं। चूँकि भुजाओं की लंबाई में वर्गमूल शामिल होते हैं,इसलिए वे आमतौर पर अपरिमेय होते हैं। अतः,अंतःकेंद्र हमेशा एक परिमेय बिंदु नहीं होता है।

(D) माना विकर्णों के समीकरण $L_1: x + 3y = 4$ और $L_2: 6x - 2y = 7$ हैं।
$L_1$ की ढाल $m_1 = -1/3$ है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = -6/(-2) = 3$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-1/3) \times 3 = -1$,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत हैं।
वह समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,समचतुर्भुज कहलाता है।

(B) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2 + y^2 = 2^2$ और $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$ हैं।
$S_2$ के लिए,केंद्र $(3, 4)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-24)} = \sqrt{49} = 7$ है।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ है और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
केंद्रों $C_1(0, 0)$ और $C_2(3, 4)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ है।
चूंकि $d = |r_2 - r_1| = |7 - 2| = 5$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।

(C) दिया गया समीकरण $16x^2 + 25y^2 = 400$ है। $400$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है,जो $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ वाला एक दीर्घवृत्त है।
यहाँ,$a = 5$ और $b = 4$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,जो $F_1$ और $F_2$ के समान हैं।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ से दोनों नाभियों की दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,$PF_1 + PF_2 = 2a = 2 \times 5 = 10$।

(A) सिक्के का प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।
पांचवें उछाल में हेड (head) आने की घटना पहले चार उछालों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,पांचवें उछाल में हेड आने की प्रायिकता $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि चार मशीनें $M_1, M_2, F_1, F_2$ हैं,जहाँ $F$ एक खराब मशीन को दर्शाता है और $M$ एक कार्यशील मशीन को दर्शाता है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि दोनों खराब मशीनें ठीक दो परीक्षणों में पहचानी जाती हैं।
इसका मतलब है कि पहले परीक्षण में एक खराब मशीन मिलनी चाहिए और दूसरे परीक्षण में भी एक खराब मशीन मिलनी चाहिए।
पहले दो परीक्षणों के लिए $4$ में से $2$ मशीनों को चुनने के कुल तरीके $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ हैं।
पहले दो परीक्षणों के लिए $2$ में से $2$ खराब मशीनों को चुनने के तरीके $^2P_2 = 2 \times 1 = 2$ हैं।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।

(B) $7$ सफेद गेंदों और $3$ काली गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\binom{10}{3} = \frac{10!}{7!3!} = 120$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम पहले $7$ सफेद गेंदों को व्यवस्थित करते हैं। इससे $8$ संभावित स्थान (गैप) बनते हैं जहाँ $3$ काली गेंदें रखी जा सकती हैं।
$8$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{8}{3} = 56$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ है।

(C) दिया गया है $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
माना $b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$b_n = \frac{0}{^nC_0} + \frac{1}{^nC_1} + \frac{2}{^nC_2} + \dots + \frac{n}{^nC_n}$.
साथ ही,$b_n = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r + (n-r)}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r} = na_n$.
अतः,$b_n = \frac{1}{2}na_n$.

(C) इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित एक नियमित षट्भुज में,भुजा की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है,इसलिए $A_0 A_1 = 1$.
चूंकि नियमित षट्भुज का आंतरिक कोण $120^\circ$ होता है,इसलिए $\triangle A_0 A_1 A_2$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$A_0 A_2^2 = A_0 A_1^2 + A_1 A_2^2 - 2(A_0 A_1)(A_1 A_2) \cos(120^\circ)$
$A_0 A_2^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
अतः,$A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
समरूपता द्वारा,$A_0 A_4 = A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
लंबाइयों का गुणनफल $A_0 A_1 \times A_0 A_2 \times A_0 A_4 = 1 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ है।

(C) रेखा $y = 4x + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ को स्पर्श करती है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y = 4x + c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{4} + (4x + c)^2 = 1$
$x^2 + 4(16x^2 + 8cx + c^2) = 4$
$x^2 + 64x^2 + 32cx + 4c^2 - 4 = 0$
$65x^2 + 32cx + (4c^2 - 4) = 0$
रेखा के वक्र को स्पर्श करने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $\Delta = 0$ होना चाहिए:
$\Delta = (32c)^2 - 4(65)(4c^2 - 4) = 0$
$1024c^2 - 16(65)(c^2 - 1) = 0$
$16$ से विभाजित करने पर:
$64c^2 - 65(c^2 - 1) = 0$
$64c^2 - 65c^2 + 65 = 0$
$-c^2 + 65 = 0$
$c^2 = 65$
$c = \pm \sqrt{65}$
अतः,$c$ के $2$ संभावित मान हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 = a^2$ और $xy = c^2$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y = \frac{c^2}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + \frac{c^4}{x^2} = a^2$
$x^4 - a^2 x^2 + c^4 = 0$
यह $x$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है। इसके मूल $x_1, x_2, x_3, x_4$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$ ($x^3$ का गुणांक $0$ है) और मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 = c^4$ होता है।
चूंकि दोनों समीकरण $x$ और $y$ के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए सममिति द्वारा $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0$ और $y_1 y_2 y_3 y_4 = c^4$ प्राप्त होता है।
अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(D) माना $f(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos 2(x - 1)}}{x - 1}$.
हम जानते हैं कि $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$,इसलिए $1 - \cos 2(x - 1) = 2\sin^2(x - 1)$.
अतः,$f(x) = \frac{\sqrt{2\sin^2(x - 1)}}{x - 1} = \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 1)|}{x - 1}$.
दायां सीमा $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{2}|\sin h|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \sqrt{2} \frac{\sin h}{h} = \sqrt{2}$.
बायां सीमा $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{2}|\sin(-h)|}{-h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{2}\sin h}{-h} = -\sqrt{2}$.
चूंकि $\text{RHL} \neq \text{LHL}$,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(A) माना $P(W_i)$ और $P(B_i)$ क्रमशः $i$-वें बक्से से एक सफेद और एक काली गेंद निकालने की प्रायिकताएं हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
$P(W_1) = \frac{3}{4}, P(B_1) = \frac{1}{4}$
$P(W_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, P(B_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(W_3) = \frac{1}{4}, P(B_3) = \frac{3}{4}$
दो सफेद और एक काली गेंद को $3$ बक्सों से निम्नलिखित तीन तरीकों से निकाला जा सकता है:

$Way 1$	$W, W, B$
$Way 2$	$W, B, W$
$Way 3$	$B, W, W$

अभीष्ट प्रायिकता $= P(W_1)P(W_2)P(B_3) + P(W_1)P(B_2)P(W_3) + P(B_1)P(W_2)P(W_3)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(C) माना समाचार पत्रों की संख्या $n$ है।
चूंकि प्रत्येक छात्र $5$ समाचार पत्र पढ़ता है,इसलिए कुल पठन संख्या $300 \times 5 = 1500$ है।
चूंकि प्रत्येक समाचार पत्र $60$ छात्रों द्वारा पढ़ा जाता है,इसलिए कुल पठन संख्या $60 \times n$ भी है।
दोनों को बराबर करने पर,$60n = 1500$।
अतः,$n = \frac{1500}{60} = 25$।

(C) माना समाचार पत्रों की संख्या $n$ है।
छात्रों द्वारा कुल पठन की संख्या = $300 \times 5 = 1500$।
समाचार पत्रों द्वारा प्रदान की गई कुल पठन की संख्या = $n \times 60$।
चूंकि दोनों कुल पठन की संख्या को दर्शाते हैं,इसलिए:
$60n = 1500$
$n = \frac{1500}{60}$
$n = 25$।
अतः,समाचार पत्रों की संख्या $25$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$ है।
माना $t = \sin x$,तो समीकरण $3t^2 - 7t + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 6t - t + 2 = 0 \implies 3t(t - 2) - 1(t - 2) = 0 \implies (3t - 1)(t - 2) = 0$।
अतः,$t = \frac{1}{3}$ या $t = 2$।
चूंकि $\sin x$ का मान $2$ नहीं हो सकता,इसलिए $\sin x = \frac{1}{3}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल मिलते हैं।
अंतराल $[2\pi, 4\pi]$ में,$2$ और हल मिलते हैं।
अंतराल $[4\pi, 5\pi]$ में,$1$ हल मिलता है।
कुल हलों की संख्या = $2 + 2 + 1 = 5$।

(B) दिया गया सारणिक: $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{6i}&{ - 3i}&1\\4&{3i}&{ - 1}\\{20}&3&i\end{array}} \right| = x + iy$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 6i((3i)(i) - (3)(-1)) - (-3i)((4)(i) - (20)(-1)) + 1((4)(3) - (20)(3i))$
$\Delta = 6i(3i^2 + 3) + 3i(4i + 20) + (12 - 60i)$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $3i^2 + 3 = 3(-1) + 3 = 0$.
$\Delta = 6i(0) + 12i^2 + 60i + 12 - 60i$
$\Delta = 0 + 12(-1) + 60i + 12 - 60i$
$\Delta = -12 + 12 + 60i - 60i = 0$
अतः,$x + iy = 0 + 0i$,जिसका अर्थ है $x = 0$ और $y = 0$.

(C) तीन सदिशों $u, v, w$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[u, v, w] = u \cdot (v \times w)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के चक्रीय गुण के अनुसार,$[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ होता है।
विकल्प $(a)$ है $u \cdot (v \times w) = [u, v, w]$।
विकल्प $(b)$ है $(v \times w) \cdot u = [v, w, u] = [u, v, w]$।
विकल्प $(d)$ है $(u \times v) \cdot w = [u, v, w]$।
विकल्प $(c)$ है $v \cdot (u \times w) = [v, u, w] = -[u, v, w]$।
चूंकि $[u, v, w] \neq -[u, v, w]$ (सामान्यतः),इसलिए विकल्प $(c)$ अन्य विकल्पों के बराबर नहीं है।

(A) मान लीजिए कि $u$,$v$,और $w$ सदिश हैं।
$1$. $u \cdot (v \times w)$ पर विचार करें: $(v \times w)$ व्यंजक एक सदिश परिणाम देता है। सदिश $u$ का परिणामी सदिश $(v \times w)$ के साथ अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) परिभाषित है और यह एक अदिश मान देता है। अतः,यह व्यंजक अर्थपूर्ण है।
$2$. $(u \cdot v) \cdot w$ पर विचार करें: $(u \cdot v)$ व्यंजक एक अदिश मान देता है। एक अदिश का सदिश $w$ के साथ अदिश गुणन परिभाषित नहीं है। अतः,यह व्यंजक अर्थपूर्ण नहीं है।
$3$. $(u \cdot v) \times w$ पर विचार करें: $(u \cdot v)$ व्यंजक एक अदिश मान देता है। एक अदिश का सदिश $w$ के साथ सदिश गुणन (क्रॉस प्रोडक्ट) परिभाषित नहीं है। अतः,यह व्यंजक अर्थपूर्ण नहीं है।
इसलिए,केवल पहला व्यंजक ही अर्थपूर्ण है।

(B) माना $f(x) = y$ है।
चूँकि $f(x) = 3x - 5$ है,इसलिए $y = 3x - 5$ होगा।
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का मान $y$ के पदों में निकालते हैं:
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$।
परिभाषा के अनुसार,$x = f^{-1}(y)$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{y + 5}{3}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x) = 3x - 5$ एक रैखिक फलन है,यह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों है,इसलिए $f$ का प्रतिलोम फलन अस्तित्व में है।

(D) दिया गया है $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$।
हम $x$ और $x^2$ की तुलना करते हैं:
$x \le x^2 \Rightarrow x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x(x - 1) \ge 0$.
यह असमिका $x \le 0$ या $x \ge 1$ के लिए सत्य है।
अतः,$h(x) = \begin{cases} x & x \le 0 \\ x^2 & 0 < x < 1 \\ x & x \ge 1 \end{cases}$।
$h(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है क्योंकि $x=0$ $(0=0)$ और $x=1$ $(1=1)$ पर फलन के भाग मिलते हैं।
$h(x)$ $x=0$ और $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि इन बिंदुओं पर बाएँ और दाएँ अवकलज समान नहीं हैं।
$x > 1$ के लिए,$h(x) = x$,इसलिए $h'(x) = 1$।
अतः,सभी कथन $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सही हैं।

(A) दिया गया है: $g(f(x)) = |\sin x|$ और $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$।
आइए विकल्प $A$ की जाँच करें: $f(x) = \sin^2 x$ और $g(x) = \sqrt{x}$।
चरण $1$: $g(f(x))$ की गणना करें।
$g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$। यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
चरण $2$: $f(g(x))$ की गणना करें।
$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$। यह भी दी गई शर्त से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.
हम फलन को $f(x) = \frac{x^2 + 1 - 2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,हमारे पास $x^2 + 1 \ge 1$ है,जिसका अर्थ है $0 < \frac{2}{x^2 + 1} \le 2$।
इस असमिका को $1$ से घटाने पर,हमें $1 - 2 \le 1 - \frac{2}{x^2 + 1} < 1 - 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$-1 \le f(x) < 1$।
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $x^2 = 0$,अर्थात $x = 0$।
$f(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = -1$।
इसलिए,$f$ का न्यूनतम मान $-1$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ है।
उच्चिष्ठ (maxima) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = -\sin x - \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\sin x + \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x) = 0$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$f'(0) = -\sin(0) - \sqrt{2} \sin(0) = 0$.
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = -\cos x - 2 \cos (\sqrt{2} x)$.
$x = 0$ पर,$f''(0) = -\cos(0) - 2 \cos(0) = -1 - 2 = -3$.
चूँकि $f''(0) < 0$ है,फलन $x = 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ प्राप्त करता है।
चूँकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है,फलन $f(x)$ आवर्ती (periodic) नहीं है। $\cos x$ और $\cos (\sqrt{2} x)$ दोनों का मान एक साथ $1$ केवल $x = 0$ पर ही हो सकता है। किसी अन्य $x \neq 0$ के लिए,योग $\cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ का मान $2$ से कम होगा। अतः,$x = 0$ ही वह एकमात्र बिंदु है जहाँ अधिकतम मान $2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $h(x) = f(x) - (f(x))^2 + (f(x))^3$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3(f(x))^2 f'(x)$
$f'(x)$ को कॉमन लेने पर:
$h'(x) = f'(x) [1 - 2f(x) + 3(f(x))^2]$
द्विघात व्यंजक $3(f(x))^2 - 2f(x) + 1$ का विश्लेषण करने के लिए,पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$3(f(x))^2 - 2f(x) + 1 = 3 \left( (f(x))^2 - \frac{2}{3}f(x) + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$
चूंकि $(f(x) - \frac{1}{3})^2 \ge 0$,इसलिए पद $(f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$ हमेशा धनात्मक है।
अतः,$h'(x) = 3f'(x) \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$।
चूंकि कोष्ठक में दिया गया पद हमेशा धनात्मक है,इसलिए $h'(x)$ का चिह्न $f'(x)$ के चिह्न के समान होगा।
इस प्रकार,जब $f$ वर्धमान है तो $h$ भी वर्धमान है।

(A) माना $I = \int_0^{2a} \frac{f(x)}{f(x) + f(2a - x)} \, dx$ ..... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{2a} \frac{f(2a - x)}{f(2a - x) + f(2a - (2a - x))} \, dx$
$I = \int_0^{2a} \frac{f(2a - x)}{f(2a - x) + f(x)} \, dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{2a} \left( \frac{f(x)}{f(x) + f(2a - x)} + \frac{f(2a - x)}{f(2a - x) + f(x)} \right) \, dx$
$2I = \int_0^{2a} \frac{f(x) + f(2a - x)}{f(x) + f(2a - x)} \, dx$
$2I = \int_0^{2a} 1 \, dx$
$2I = [x]_0^{2a} = 2a$
$I = a$

(A) दिया गया समीकरण: $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$
समाकलन $\int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$ को $-\int_1^x {t\,f(t)\,dt}$ के रूप में लिखने पर:
$\int_0^x {f(t)\,dt} = x - \int_1^x {t\,f(t)\,dt}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dx} \left( \int_0^x {f(t)\,dt} \right) = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} \left( \int_1^x {t\,f(t)\,dt} \right)$
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - xf(x)$
$f(x)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$f(x) + xf(x) = 1$
$f(x)(1 + x) = 1$
$f(x) = \frac{1}{1 + x}$
अब,$f(1)$ ज्ञात करने के लिए $x = 1$ रखने पर:
$f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ और दी गई घटना $B$ के लिए जहाँ $P(B) > 0$ है,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A/B) + P(\overline{A}/B) = 1$ का पालन करती है।
विकल्प $(a)$ के लिए:
$P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} + \frac{P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P(E \cap F) + P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P((E \cup \overline{E}) \cap F)}{P(F)} = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{P(F)}{P(F)} = 1$.
अतः,$(a)$ सत्य है।
विकल्प $(c)$ के लिए:
इसी प्रकार,$F$ को $\overline{F}$ से प्रतिस्थापित करने पर (जहाँ $P(\overline{F}) = 1 - P(F) > 0$),हमें $P(E/\overline{F}) + P(\overline{E}/\overline{F}) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(c)$ भी सत्य है।
इसलिए,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है कि $P(E) \le P(F)$ और $P(E \cap F) > 0.$
$P(E) \le P(F)$ का अर्थ यह नहीं है कि $E \subseteq F.$
$P(E \cap F) > 0$ यह दर्शाता है कि $E$ और $F$ का सर्वनिष्ठ रिक्त नहीं है,लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि एक घटना दूसरी घटना का उपसमुच्चय है।
उदाहरण के लिए,मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $E = \{1, 2\}$ और $F = \{2, 3\}$ है।
तब $P(E) = 2/3$ और $P(F) = 2/3$,इसलिए $P(E) \le P(F)$ सत्य है।
साथ ही $P(E \cap F) = P(\{2\}) = 1/3 > 0$.
हालाँकि,$E \not\subseteq F$ और $F \not\subseteq E$.
अतः,दिए गए निहितार्थों में से कोई भी आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(C) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिया गया है कि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$
चूँकि $P(A \cap B) = P(A)P\left(\frac{B}{A}\right)$,इसलिए:
$2P(A)P\left(\frac{B}{A}\right) = P(A) + P(B)$.

(D) दिया गया है कि सदिश $a, b, c$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[a, b, c] = 0$.
इसका अर्थ है कि उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
दिया गया है कि $|c| = \sqrt{3}$,इसलिए $|c|^2 = 3$.
$1^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$
$1 + \alpha^2 + 1^2 = 3$
$\alpha^2 + 2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
अतः,$\alpha = \pm 1$ और $\beta = 1$.

(A) फलन $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जिसे $\{x\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अंतराल $[-1, 1]$ के लिए,हम समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx$.
$-1 \le x < 0$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $f(x) = x - (-1) = x + 1$.
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = x - 0 = x$.
अब,समाकलनों की गणना करें:
$\int_{-1}^{0} (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} = (0 + 0) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -(-1/2) = 1/2$.
$\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = 1/2$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $1/2 + 1/2 = 1$.

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = (c_1 + c_2) \cos (x + c_3) - c_4 e^{x + c_5}$.
अचरों को समूहित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:
माना $A = c_1 + c_2$ और $B = c_4 e^{c_5}$.
तब समीकरण $y = A \cos (x + c_3) - B e^x$ हो जाता है।
कोसाइन पद का विस्तार करने पर: $y = A (\cos x \cos c_3 - \sin x \sin c_3) - B e^x$.
$y = (A \cos c_3) \cos x - (A \sin c_3) \sin x - B e^x$.
माना $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = -A \sin c_3$,और $K_3 = -B$.
इस प्रकार,$y = K_1 \cos x + K_2 \sin x + K_3 e^x$.
यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(K_1, K_2, K_3)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,दिए गए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।