$c$ के कितने मानों के लिए सरल रेखा $y = 4x + c$ वक्र $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ को स्पर्श करती है?

दीर्घवृत्त $S \equiv \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ के नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{27}+y^{2}=1$ पर बिंदु $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है,जहाँ $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो $\theta$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इस स्पर्श रेखा द्वारा अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों का योग न्यूनतम हो।

यदि $3x + 4y = 12\sqrt{2}$ किसी $a \in R$ के लिए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ की स्पर्श रेखा है,तो दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) जिसके अक्ष निर्देशांक अक्ष हैं,और इसकी मुख्य और लघु अक्षों की लंबाई क्रमशः $2a$ और $2b$ है,बिंदुओं $(2,2)$ और $(3,1)$ से होकर गुजरता है,तो $3a^2+5b^2=$

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए,जिसका मध्य-बिंदु $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ है।