IIT JEE 1998 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) થયેલું કાર્ય રેખા સંકલન $W = \int \overrightarrow F \cdot d\overrightarrow r = \int (-K(y\hat i + x\hat j)) \cdot (dx\hat i + dy\hat j) = -K \int (y\,dx + x\,dy) = -K \int d(xy)$ દ્વારા મળે છે.
માર્ગ $1$: $(0, 0)$ થી $(a, 0)$ સુધી. અહીં $y = 0$,તેથી $dy = 0$. થયેલું કાર્ય $W_1 = -K \int_0^a (0) dx = 0$.
માર્ગ $2$: $(a, 0)$ થી $(a, a)$ સુધી. અહીં $x = a$,તેથી $dx = 0$. થયેલું કાર્ય $W_2 = -K \int_0^a (a) dy = -K[ay]_0^a = -Ka^2$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 0 + (-Ka^2) = -Ka^2$.

(B) $1$. શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
કુલંબના નિયમ મુજબ,$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
તેથી,$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4\pi F r^2}$.
પરિમાણો: $[q] = [IT]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$.
કિંમતો મૂકતા: $[\varepsilon_0] = \frac{[IT][IT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{I^2 T^2}{ML^3 T^{-2}} = M^{-1} L^{-3} T^4 I^2$.
$2$. શૂન્યાવકાશની પરમીબિલિટી $(\mu_0)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતા બળ પરથી,$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2\pi r}$.
તેથી,$\mu_0 = \frac{F \cdot 2\pi r}{I_1 I_2 l}$.
પરિમાણો: $[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$,$[I] = [I]$,$[l] = [L]$.
કિંમતો મૂકતા: $[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[I][I][L]} = MLT^{-2}I^{-2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે સૌથી નીચલું બિંદુ $A$ છે અને સમક્ષિતિજ સ્થિતિ $B$ છે। $A$ પર, વેગ $\vec{u} = u \hat{i}$ છે。
$A$ અને $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$v^2 = u^2 - 2gL$
$v = \sqrt{u^2 - 2gL}$.
સ્થિતિ $B$ પર, વેગ શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે, તેથી $\vec{v} = v \hat{j} = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j}$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u} = v \hat{j} - u \hat{i}$ છે。
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + u^2} = \sqrt{(u^2 - 2gL) + u^2} = \sqrt{2u^2 - 2gL} = \sqrt{2(u^2 - gL)}$ છે.

(A) પૃથ્વી દ્વારા ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,ઉપગ્રહનો પ્રવેગ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઉપગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે. તેથી,ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં,ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં પૃથ્વીથી ઉપગ્રહનું અંતર $r$ બદલાતું હોવાથી,કોણીય વેગમાન $(L = mvr \sin \theta)$ જાળવી રાખવા માટે કક્ષીય વેગ $v$ બદલાવો જોઈએ. પરિણામે,રેખીય વેગમાન $p = mv$ અચળ રહેતું નથી.

(C) જ્યારે ગોળો પ્રવાહીમાં તરે છે,ત્યારે તેનું વજન તેના પર લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust force) જેટલું હોય છે.
ધારો કે ગોળાનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho$ છે.
ગોળાનું વજન = $V \rho g$
ઓઈલ દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = (ઓઈલમાં રહેલું કદ) $\times$ (ઓઈલની ઘનતા) $\times g = (V/2) \times 0.8 \times g = 0.4 Vg$
મર્ક્યુરી દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = (મર્ક્યુરીમાં રહેલું કદ) $\times$ (મર્ક્યુરીની ઘનતા) $\times g = (V/2) \times 13.6 \times g = 6.8 Vg$
કુલ ઉત્પ્લાવક બળ = $0.4 Vg + 6.8 Vg = 7.2 Vg$
વજન અને કુલ ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા:
$V \rho g = 7.2 Vg$
$\rho = 7.2 \; g/cm^3$

(D) આદર્શ વાયુ માટે,ઝડપ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,${v_p} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$,અને $\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા:
${v_p} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
${v_{rms}} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
આમ,${v_p} < \bar{v} < {v_{rms}}$,જે સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માટે:
${E_{av}} = \frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{3kT}{m} \right) = \frac{3}{2} kT$.
કારણ કે ${v_p}^2 = \frac{2kT}{m}$,તેથી $kT = \frac{1}{2} m v_p^2$.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
${E_{av}} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} m v_p^2 \right) = \frac{3}{4} m v_p^2$,જે સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ હોય છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ અને નાઈટ્રોજન $(N_2)$ બંને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે ભ્રમણીય ગતિ સાથે સંકળાયેલા $2$ સ્વતંત્રતાના અંશ હોય છે.
તેથી,દરેક અણુ માટે સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ થાય.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં સમાન તાપમાને $(T = 300 K)$ હોવાથી,$O_2$ અને $N_2$ બંને માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $k_B T$ થશે.
આમ,પ્રતિ $O_2$ અણુ અને પ્રતિ $N_2$ અણુ દીઠ સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $k_B T : k_B T = 1:1$ થાય છે.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુનું અવસ્થા સમીકરણ $PV = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $P = -V \frac{dP}{dV}$.
તેથી,સમતાપી બલ્ક મોડ્યુલસ $B_T = P$ થાય.

(D) જ્યારે બરફ $273 \, K$ તાપમાને અને વાતાવરણીય દબાણે પીગળે છે,ત્યારે તેનું કદ ઘટે છે કારણ કે આ તાપમાને પાણીની ઘનતા બરફ કરતા વધારે હોય છે.
સિસ્ટમ દ્વારા થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ ઋણ હોવાથી,બરફ-પાણીની સિસ્ટમ દ્વારા વાતાવરણ પર થતું કાર્ય ઋણ હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વાતાવરણ દ્વારા બરફ-પાણીની સિસ્ટમ પર ધન કાર્ય થાય છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = \Delta Q - W$. પીગળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન,સિસ્ટમ દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે,તેથી $\Delta Q > 0$. કારણ કે $W < 0$ છે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \Delta Q - W$ એ $\Delta U = \Delta Q + |W|$ બને છે,જે ધન છે. તેથી,સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા વધે છે. આમ,વિકલ્પ $(C)$ પણ સાચો છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,અંતિમ જવાબ $(D)$ છે.

(C) પ્રક્રિયા સમતાપી છે,તેથી $T = \text{અચળ}$.
$PV = \mu RT$ હોવાથી,$P = \frac{\mu RT}{V}$ મળે.
પાત્ર $A$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_A RT}{V} - \frac{\mu_A RT}{2V} = \frac{\mu_A RT}{2V} \dots (i)$.
પાત્ર $B$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $1.5 \Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_B RT}{V} - \frac{\mu_B RT}{2V} = \frac{\mu_B RT}{2V} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,$\frac{\Delta P}{1.5 \Delta P} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{1}{1.5} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\mu = \frac{m}{M}$ હોવાથી,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી $\frac{m_A/M}{m_B/M} = \frac{2}{3} \implies \frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3m_A = 2m_B$.

(D) આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p$ અને અચળ કદે $C_v$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4$ છે.
સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત છે,તેથી આ પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) છે. આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \mu C_p (\Delta T)_A$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર છે,તેથી આ પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે. આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \mu C_v (\Delta T)_B$ છે.
બંનેને સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવતી હોવાથી,$\mu C_p (\Delta T)_A = \mu C_v (\Delta T)_B$ થાય.
$(\Delta T)_B$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$(\Delta T)_B = \frac{C_p}{C_v} (\Delta T)_A = \gamma (\Delta T)_A$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\Delta T)_B = 1.4 \times 30 \ K = 42 \ K$.

(D) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ ${\lambda _m}T = b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે ${\lambda _m} = \frac{b}{T} = \frac{2.88 \times {10^6}}{2880} = 1000\;nm$.
આનો અર્થ એ છે કે કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણ વક્રનું શિખર $1000\;nm$ પર મળે છે.
નાના તરંગલંબાઈના અંતરાલ $\Delta \lambda$ માં ઉત્સર્જિત ઊર્જા $U$ એ તે અંતરાલમાં $E_{\lambda} - \lambda$ વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે.
વક્રનું શિખર $1000\;nm$ પર હોવાથી,વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિ $E_{\lambda}$ એ $1000\;nm$ પર મહત્તમ છે.
અંતરાલોની સરખામણી કરતા,${U_2}$ માટેનો અંતરાલ ($999\;nm$ થી $1000\;nm$) એ શિખર તરંગલંબાઈની સૌથી નજીક છે,જ્યારે ${U_1}$ માટેનો અંતરાલ ($499\;nm$ થી $500\;nm$) તેનાથી દૂર છે.
તેથી,${U_2}$ માટે વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ${U_1}$ માટેના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે,જે સૂચવે છે કે ${U_2} > {U_1}$.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U(x) = k|x|^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx} = -3k|x|^2 \text{sgn}(x)$ છે.
$m$ દળ ધરાવતો કણ જે $a$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,તેની કુલ ઊર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે અને તે અંતિમ સ્થાને $(x = a)$ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$E = U(a) = ka^3$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર,ઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2 + k|x|^3 = ka^3$ છે.
આમ,$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - |x|^3)}$.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે: $T = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{v} = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - x^3)}}$.
ધારો કે $x = ay$,તો $dx = a dy$. જ્યારે $x=0, y=0$ અને જ્યારે $x=a, y=1$.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{0}^{1} \frac{a dy}{\sqrt{a^3(1 - y^3)}} = 4 \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{1 - y^3}}$.
આ સંકલન એક અચળાંક હોવાથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$.

(D) લંબગત તરંગ માટે કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = a\omega = a(2\pi n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v_{\max} = v/10,$ જ્યાં $v = 10 \ m/s,$ તેથી $v_{\max} = 10/10 = 1 \ m/s.$
$a = 10^{-3} \ m$ મૂકતા,આપણને $10^{-3} \times 2\pi n = 1 \implies n = \frac{10^3}{2\pi} \ Hz$ મળે છે.
તરંગની ઝડપના સંબંધ $v = n\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{10}{10^3 / 2\pi} = 2\pi \times 10^{-2} \ m$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) ચોરસ પ્લેટની ધાર ક્લેમ્પ કરેલી હોવાથી,બધી સીમાઓ પર સ્થાનાંતર $u(x, y)$ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$1$. $y = 0$ (ધાર $OA$) પર,$0 \le x \le L$ માટે $u(x, 0) = 0$.
$2$. $x = L$ (ધાર $AB$) પર,$0 \le y \le L$ માટે $u(L, y) = 0$.
$3$. $y = L$ (ધાર $BC$) પર,$0 \le x \le L$ માટે $u(x, L) = 0$.
$4$. $x = 0$ (ધાર $OC$) પર,$0 \le y \le L$ માટે $u(0, y) = 0$.
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરતા:
- વિકલ્પ $(a)$ માટે: $u(0, y) = a \cos(0) \cos(\frac{\pi y}{2L}) = a \cos(\frac{\pi y}{2L}) \neq 0$,બધા $y$ માટે.
- વિકલ્પ $(b)$ માટે: $u(x, y) = a \sin(\frac{\pi x}{L}) \sin(\frac{\pi y}{L})$. અહીં,$x=0, x=L, y=0, y=L$ પર $u = 0$ થાય છે. આ સીમા શરતોનું પાલન કરે છે.
- વિકલ્પ $(c)$ માટે: $u(x, y) = a \sin(\frac{\pi x}{L}) \sin(\frac{2\pi y}{L})$. અહીં,$x=0, x=L, y=0, y=L/2, y=L$ પર $u = 0$ થાય છે. આ પણ સીમા શરતોનું પાલન કરે છે.
આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને માન્ય અભિવ્યક્તિઓ છે.

(B) તારની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{10^{-2}}{0.4} = 2.5 \times 10^{-2}\, kg/m$ છે.
તારમાં તરંગ પલ્સનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.6}{2.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{160}{2.5}} = \sqrt{64} = 8\, m/s$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,પલ્સ સમાન કળામાં શરૂઆતના બિંદુએ પાછો આવવો જોઈએ. જ્યારે પલ્સ જડિત છેડા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેની કળામાં $\pi$ જેટલો ફેરફાર થાય છે. બે પરાવર્તન પછી (કુલ $2L$ અંતર કાપ્યા પછી),પલ્સની કળામાં કુલ $2\pi$ જેટલો ફેરફાર થાય છે,જેથી તે તેની મૂળ કળામાં પાછો ફરે છે.
તેથી,પલ્સ દ્વારા $2L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\Delta t_{\min} = \frac{2L}{v} = \frac{2 \times 0.4}{8} = \frac{0.8}{8} = 0.1\, s$ છે.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે મણકા સળિયાના કેન્દ્રમાં હોય,ત્યારે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
શરૂઆતનું કોણીય વેગમાન $L_1 = I_1{\omega _0} = \left( \frac{ML^2}{12} \right){\omega _0}$ છે.
જ્યારે મણકા સળિયાના છેડા પર પહોંચે છે,ત્યારે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{12} + m\left( \frac{L}{2} \right)^2 + m\left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{4} + \frac{mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{L^2(M + 6m)}{12}$ થાય છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_2 = I_2\omega ' = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right)\omega '$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_1 = L_2$:
$\left( \frac{ML^2}{12} \right){\omega _0} = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right)\omega '$
$\omega ' = \frac{M{\omega _0}}{M + 6m}$.

(A) સમાન ચોરસ પ્લેટ માટે,પ્લેટના સમતલમાં રહેલી અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે,જો અક્ષ ચોરસની ભૂમિતિની સાપેક્ષમાં સંમિત હોય.
ધારો કે $I_Z$ એ ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલને લંબ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_Z = I_{AB} + I_{A'B'}$,જ્યાં $AB$ અને $A'B'$ એ પ્લેટના સમતલમાં પરસ્પર લંબ બે અક્ષો છે.
ચોરસ સંમિત હોવાથી,$I_{AB} = I_{A'B'} = I$ થાય. તેથી,$I_Z = 2I$.
તે જ રીતે,પ્લેટના સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ બે પરસ્પર લંબ અક્ષો $CD$ અને $C'D'$ માટે,$I_Z = I_{CD} + I_{C'D'}$.
ચોરસની પરિભ્રમણીય સંમિતિને કારણે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમતલની કોઈપણ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા અચળ અને $I$ જેટલી હોય છે. તેથી,$I_{CD} = I$.

(D) આપેલ છે કે ટોર્ક $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$. કારણ કે $\overrightarrow{\tau} = \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$,તેથી $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$.
$1$. સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{L}$ બંનેને લંબ છે. આમ,$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \perp \overrightarrow{L}$,તેથી વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
$2$. $\overrightarrow{L}$ નું મૂલ્ય ચકાસવા માટે,$L^2 = \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{L}$ લો. સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{d}{dt}(L^2) = 2\overrightarrow{L} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$. કારણ કે $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \perp \overrightarrow{L}$,તેથી ડોટ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{L} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = 0$ થાય. તેથી,$\frac{d}{dt}(L^2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે મૂલ્ય $L$ અચળ છે. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
$3$. કારણ કે $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$,$\overrightarrow{L}$ ના બદલાવનો દર હંમેશા $\overrightarrow{A}$ ને લંબ હોય છે. $\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં $\overrightarrow{L}$ નો ઘટક $L_A = \overrightarrow{L} \cdot \hat{A}$ દ્વારા મળે છે. સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dL_A}{dt} = \frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \cdot \hat{A} = (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}) \cdot \hat{A}$. કારણ કે સદિશ ગુણાકાર $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L})$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ છે,તેથી $\hat{A}$ સાથેનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે. આમ,$\frac{dL_A}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં $\overrightarrow{L}$ નો ઘટક અચળ છે. તેથી વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(d)$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સ્થાન અને વિદ્યુતભારોની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \left( \frac{q}{x_0} + \frac{q}{3x_0} + \frac{q}{5x_0} + \dots \right) - \left( \frac{q}{2x_0} + \frac{q}{4x_0} + \frac{q}{6x_0} + \dots \right) \right]$
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x_0} \left[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots \right]$
ટેલર શ્રેણી $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા, $x=1$ માટે, આપણને $\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ મળે છે.
તેથી, $V = \frac{q \ln 2}{4\pi\varepsilon_0 x_0}$.

(D) કેન્દ્રથી $z_0$ અંતરે રહેલી વિદ્યુતભારિત રીંગની અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q z_0}{(R^2 + z_0^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $P$ પાસે ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $F = -qE = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q q z_0}{(R^2 + z_0^2)^{3/2}}$ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ હંમેશા ઉગમબિંદુ $O$ ની દિશામાં લાગે છે. જ્યારે કણ ઉગમબિંદુને ઓળંગે છે,ત્યારે બળની દિશા ઉલટાય છે,જે તેને હંમેશા કેન્દ્ર તરફ ખેંચે છે. આમ,$z_0 > 0$ ના તમામ મૂલ્યો માટે ગતિ આવર્ત છે.
જો $z_0 \ll R$ હોય,તો આપણે $(R^2 + z_0^2)^{3/2} \approx R^3$ તરીકે લઈ શકીએ.
તેથી બળ $F \approx -\left( \frac{Q q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} \right) z_0$ થાય છે.
અહીં $F \propto -z_0$ હોવાથી,નાના $z_0$ માટે ગતિ આશરે સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(D) અવાહક નક્કર ગોળા માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
ગોળાની અંદર $(r < R)$: $E = \frac{kQr}{R^3}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto r$. તેથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $E$ વધે છે.
ગોળાની બહાર $(r > R)$: $E = \frac{kQ}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$. તેથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $E$ ઘટે છે.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) ઋણ પ્લેટ $x = 0$ પર છે અને ધન પ્લેટ $x = 3d$ પર છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ હોય છે. તેથી,સમગ્ર વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા $x = 3d$ થી $x = 0$ તરફ (એટલે કે,ઋણ $x$-દિશામાં) રહે છે. આમ,દિશા સમાન રહે છે.
હવામાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{air} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ છે અને ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબમાં $E_{dielectric} = \frac{\sigma}{K\varepsilon_0}$ છે. $K > 1$ હોવાથી,મૂલ્યો અલગ-અલગ છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા સંબંધિત છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-અક્ષ તરફ હોવાથી,$E_x < 0$ છે. તેથી,$-\frac{dV}{dx} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dV}{dx} > 0$. આનો અર્થ એ છે કે જેમ આપણે $x = 0$ (ઋણ પ્લેટ) થી $x = 3d$ (ધન પ્લેટ) તરફ જઈએ છીએ તેમ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ સતત વધે છે.
તેથી,વિધાનો $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટને જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ સરળ બનાવીએ છીએ.
પ્રથમ,છેલ્લા ભાગમાં $2\,\Omega$ નો અવરોધ $4\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $8\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે. આ ભાગનો અવરોધ $R_1 = \frac{(2+4) \times 8}{(2+4) + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}\,\Omega$ છે.
આની સાથે $2\,\Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં ઉમેરતા $R_2 = 2 + \frac{24}{7} = \frac{38}{7}\,\Omega$ મળે છે.
આ પછીના $8\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_3 = \frac{(\frac{38}{7}) \times 8}{(\frac{38}{7}) + 8} = \frac{304}{94} = \frac{152}{47}\,\Omega$.
બાકીના શ્રેણી અવરોધો ($3\,\Omega$ અને $2\,\Omega$) ઉમેરતા,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 3 + 2 + \frac{152}{47} \approx 8.23\,\Omega$ મળે છે.
જોકે,આપેલ ઉકેલની આકૃતિ મુજબ: મુખ્ય પ્રવાહ $I = 1\,A$ છે. સર્કિટના વિભાજન મુજબ,$4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0.25\,A$ છે.

(A) ભ્રમણ કરતા વીજભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = \frac{2q}{T} = \frac{2q\omega}{2\pi} = \frac{q\omega}{\pi}$ છે.
તંત્રની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ છે,જ્યાં $A = \pi R^2$ એ કણો દ્વારા બનતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$M = (\frac{q\omega}{\pi})(\pi R^2) = q\omega R^2$.
કેન્દ્રની સાપેક્ષ તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
અક્ષથી $R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના બે કણો માટે,$I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$.
તેથી,$L = (2mR^2)\omega = 2mR^2\omega$.
આમ,મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{q\omega R^2}{2mR^2\omega} = \frac{q}{2m}$ થાય.

(D) ધારો કે બે તાર $xy$-સમતલમાં,$y$-અક્ષને સમાંતર,$x = -d/2$ અને $x = d/2$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
મધ્યબિંદુ (ઉગમબિંદુ) પર,પ્રથમ તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સમતલની અંદરની તરફ ($-z$ દિશામાં) છે અને બીજા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પણ સમતલની અંદરની તરફ ($-z$ દિશામાં) છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2$ એ તારના સમતલને લંબ ($-z$ દિશામાં) છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નો વેગ $v$ એ તારના સમતલને લંબ ( $z$ દિશામાં) આપેલો છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ એકરેખીય (બંને $z$-અક્ષ પર) હોવાથી,તેમનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ $v \times B = 0$ થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર પર લાગતા ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $0$ છે.

(B) જ્યારે $l$ લંબાઈનો ધાતુનો સળિયો સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં,સળિયાની લંબાઈ અને વેગ બંનેને લંબ દિશામાં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) પ્રેરિત થાય છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,સળિયામાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ અનુભવે છે. આ બળને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન સળિયાના એક છેડે એકઠા થાય છે,જેનાથી છેડાઓ વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત સર્જાય છે.
આ વીજભારનું અલગીકરણ સળિયાની અંદર એક આંતરિક વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન કરે છે,જે વીજભારો પર વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ લગાડે છે,જે ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ચુંબકીય બળ અને વિદ્યુત બળ સમાન થાય છે,એટલે કે $qE = qvB$,જેનો અર્થ છે કે $E = vB$.
સળિયાની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવાથી,સળિયાની લંબાઈ સાથે સ્થિતિમાન બદલાય છે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.

(D) પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $e$ એ $e = \frac{d\phi}{dt} = L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નો એકમ $[L] = \frac{[\text{Weber}]}{[\text{Ampere}]}$ થાય છે.
કારણ કે $e = \frac{d\phi}{dt}$,આપણી પાસે $[\text{Volt}] = \frac{[\text{Weber}]}{[\text{Second}]}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $[\text{Weber}] = [\text{Volt} \cdot \text{Second}]$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $[L] = \frac{[\text{Volt} \cdot \text{Second}]}{[\text{Ampere}]}$ મળે છે.
વળી,ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ છે. તેથી,$[\text{Joule}] = [L] \cdot [\text{Ampere}]^2$,જેનો અર્થ છે કે $[L] = \frac{[\text{Joule}]}{[\text{Ampere}]^2}$.
તેથી,આપેલા તમામ અભિવ્યક્તિઓ હેનરીને સમાન છે.

(B) $i$ પ્રવાહ ધરાવતી $L$ બાજુવાળી મોટી ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}i}{L}$
$l$ બાજુવાળી નાની લૂપ કેન્દ્ર પર મૂકેલી હોવાથી અને $L \gg l$ હોવાથી, આપણે ધારી શકીએ કે નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગભગ સમાન છે.
નાની લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = B \times (\text{નાની લૂપનું ક્ષેત્રફળ}) = B \times l^2$
$\phi = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}i}{L} \right) l^2$
વ્યાખ્યા મુજબ, $\phi = Mi$, જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે。
$Mi = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}l^2}{L} \right) i$
$M = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}l^2}{L}$
તેથી, $M \propto \frac{l^2}{L}$.

(C) પદાર્થનું કાર્ય વિધેય $W_0 = 4.0 \,eV$ આપેલ છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ છે.
તેનું સૂત્ર: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ છે.
અંદાજિત મૂલ્ય $hc \approx 12400 \,eV \cdot \mathring{A}$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{4.0 \,eV} = 3100 \,\mathring{A}$.
$1 \,nm = 10 \,\mathring{A}$ હોવાથી,$\lambda_0 = 310 \,nm$ મળે છે.

(B) સતત $X$-રે સ્પેક્ટ્રમ લક્ષ્યને અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનના મંદનને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે,જે $E_{\max} = eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન તેમની કુલ ગતિ ઉર્જા કરતા ઓછી કોઈપણ ઉર્જા ગુમાવી શકે છે,તેથી $\lambda_{\min}$ કરતા મોટી તમામ તરંગલંબાઇના ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય છે.
તેથી,સતત $X$-રે સ્પેક્ટ્રમ માટે તરંગલંબાઇનો વિસ્તાર $\lambda_{\min}$ થી $\infty$ સુધીનો છે.

(D) બોહર મોડેલ મુજબ,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $r \propto n^2$ અને $v \propto \frac{1}{n}$,તેથી $T \propto n^3$ મળે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક અવસ્થામાં આવર્તકાળ અંતિમ અવસ્થા કરતા આઠ ગણો છે: $T_{n_1} = 8 T_{n_2}$.
પ્રમાણસરતા મૂકતા: $n_1^3 = 8 n_2^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $n_1 = 2 n_2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(a)$ માટે: $n_1 = 4, n_2 = 2$. અહીં $4 = 2(2)$,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $(b)$ માટે: $n_1 = 6, n_2 = 3$. અહીં $6 = 2(3)$,જે સાચું છે.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને શક્યતાઓ સાચી છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય એ એક સંભાવનાત્મક (stochastic) પ્રક્રિયા છે.
$t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયસના ક્ષય થવાની સંભાવના $t = 0$ થી $t = \infty$ સુધીના સમયગાળામાં વિસ્તરેલી છે.
તેથી,કોઈ ચોક્કસ ન્યુક્લિયસ ક્યારે ક્ષય પામશે તે ચોક્કસપણે કહેવું અશક્ય છે. કોઈપણ ન્યુક્લિયસ $t > 0$ ના કોઈપણ ક્ષણે ક્ષય પામવાની સંભાવના ધરાવે છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) દળ ક્ષતિને કારણે ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે,જે ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા માટે જવાબદાર છે.
$_{10}^{20}Ne$ ન્યુક્લિયસ માટે,જેમાં $10$ પ્રોટોન અને $10$ ન્યુટ્રોન હોય છે,દળ ${M_1}$ એ ${M_1} < 10({m_p} + {m_n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિકલ્પ $(a)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
$_{20}^{40}Ca$ ન્યુક્લિયસ માટે,જેમાં $20$ પ્રોટોન અને $20$ ન્યુટ્રોન હોય છે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $_{10}^{20}Ne$ કરતા વધારે હોય છે. હલકા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા દળ ક્રમાંક સાથે વધતી હોવાથી,$_{20}^{40}Ca$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ દળ ક્ષતિ $_{10}^{20}Ne$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,$_{20}^{40}Ca$ ન્યુક્લિયસનું દળ ${M_2}$ એ $_{10}^{20}Ne$ ન્યુક્લિયસના દળ ${M_1}$ ના બમણા કરતા ઓછું હોય છે,એટલે કે ${M_2} < 2{M_1}$. આ વિકલ્પ $(c)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) જ્યારે $PN-$ જંકશન રચાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન $N-$ વિસ્તારમાંથી $P-$ વિસ્તારમાં અને હોલ્સ $P-$ વિસ્તારમાંથી $N-$ વિસ્તારમાં પ્રસરણ પામે છે.
આ પ્રસરણને કારણે જંકશનની નજીક $N-$ વિસ્તારમાં આયનીકૃત દાતા (ધન વીજભાર) અને $P-$ વિસ્તારમાં આયનીકૃત સ્વીકારક (ઋણ વીજભાર) રહી જાય છે,જે ડેપ્લેશન લેયર બનાવે છે.
આ વીજભારના વિતરણને કારણે,એક પોટેન્શિયલ બેરિયર રચાય છે જેથી $N-$ બાજુ $P-$ બાજુ કરતા ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ હંમેશા ઉચ્ચ સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે,તેથી જંકશન પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $N-$ પ્રકારની બાજુથી $P-$ પ્રકારની બાજુ તરફ હોય છે.

(D) કોમન એમિટર $(CE)$ એમ્પ્લીફાયર કન્ફિગરેશનમાં,ટ્રાન્ઝિસ્ટરને એક્ટિવ રીજનમાં કાર્યરત કરવું આવશ્યક છે.
એક્ટિવ રીજન માટે,બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ હોવું જોઈએ અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ-બાયસ્ડ હોવું જોઈએ.
તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
વધુમાં,$CE$ એમ્પ્લીફાયરમાં,ઇનપુટ સિગ્નલ બેઝ-એમિટર સર્કિટમાં આપવામાં આવે છે,જે બેઝ-એમિટર જંકશન પર લાગુ $DC$ બાયસ વોલ્ટેજ સાથે શ્રેણીમાં હોય છે.
તેથી,વિધાન $(c)$ પણ સાચું છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $(i)$ એ ક્રાંતિકોણ $(C)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$i > C$
બંને બાજુ સાઈન લેતા,આપણને મળે $\sin i > \sin C$.
આપેલ છે કે $i = 45^\circ$,તેથી $\sin 45^\circ > \frac{1}{n}$.
કારણ કે $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અસમતા આ મુજબ બનશે: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $n > \sqrt{2}$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,આપણને $n > 1.414$ ની જરૂર છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $(a)$ $1.3 < 1.414$ (ખોટું).
વિકલ્પ $(b)$ $1.6 > 1.414$ (સાચું).
વિકલ્પ $(c)$ $1.5 > 1.414$ (સાચું).
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને $n$ માટે શક્ય મૂલ્યો છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન પામીને $\mu_{1}$ થી $\mu_{2}$ માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
અહીં પદાર્થ હવામાં $(\mu_{1} = 1.0)$ છે અને પ્રતિબિંબ કાચમાં $(\mu_{2} = 1.5)$ છે.
ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,પદાર્થનું અંતર $u = -PO = -x$ અને પ્રતિબિંબનું અંતર $v = +OQ = +x$ (કારણ કે $PO = OQ = x$). વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધન લેવામાં આવે છે કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર કાચની અંદર છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1.0}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$
તેથી,અંતર $PO = 5 R$ થાય.

(D) શરૂઆતમાં,$C$ પર રહેલી વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે અને પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે,જેથી $C$ પર પ્રતિબિંબ રચાય છે. જ્યારે અરીસાને પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ પરની વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો હવા દ્વારા મુસાફરી કરે છે અને પછી પાણીમાં પ્રવેશે છે. પાણીની સપાટી પર વક્રીભવનને કારણે,કિરણો લંબ તરફ વળે છે. આ કિરણો પછી અંતર્ગોળ અરીસા પર અથડાય છે અને પરાવર્તિત થાય છે. પરાવર્તન પછી,તેઓ ફરીથી પાણીમાંથી પસાર થાય છે અને પાણીની સપાટી પર લંબથી દૂર વક્રીભવન પામે છે. પરિણામે,કિરણો $C$ અને $O$ ની વચ્ચે આવેલા બિંદુ $I$ પર કેન્દ્રિત થાય છે. આમ,$C$ અને $O$ ની વચ્ચે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.

(D) પહોળાઈની સ્લિટની ધાર પરથી આવતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\theta$ ખૂણે $\Delta x = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$-માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,$n = 1$ લેતા,$d \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ મળે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે પથ તફાવતની કિંમત મૂકતા: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{2} = 3\pi$.
આમ,કળા તફાવત $3\pi$ છે.