IIT JEE 1998 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સરવાળો $S = \sum\limits_{n = 1}^{13} {({i^n} + {i^{n + 1}})} $ છે.
આને $S = \sum\limits_{n = 1}^{13} {i^n} + \sum\limits_{n = 1}^{13} {i^{n + 1}}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને $13$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
પ્રથમ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{i(1 - i^{13})}{1 - i}$ છે. $i^4 = 1$ હોવાથી,$i^{13} = i^{12} \times i = 1 \times i = i$.
તેથી,પ્રથમ સરવાળો $\frac{i(1 - i)}{1 - i} = i$ થાય.
બીજી શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{i^2(1 - i^{13})}{1 - i} = \frac{-1(1 - i)}{1 - i} = -1$ થાય.
તેથી,$S = i + (-1) = i - 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + \omega - \omega^2)^7 = (-\omega^2 - \omega^2)^7$
$= (-2\omega^2)^7$
$= (-2)^7 \times (\omega^2)^7$
$= -128 \times \omega^{14}$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \times \omega^2 = 1^4 \times \omega^2 = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $-128\omega^2$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $T_m = a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ અને $T_n = a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$.
તેથી,$d = \frac{1}{mn}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $d$ ની કિંમત મૂકતા: $a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a = \frac{1}{mn}$.
હવે,$T_{mn} = a + (mn - 1)d = \frac{1}{mn} + (mn - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + mn - 1}{mn} = \frac{mn}{mn} = 1$.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $2 \ln y = \ln x + \ln z$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા,$2 + 2 \ln y = 2 + \ln x + \ln z$ મળે.
આને $2(1 + \ln y) = (1 + \ln x) + (1 + \ln z)$ તરીકે લખી શકાય.
આ સૂચવે છે કે $(1 + \ln x), (1 + \ln y), (1 + \ln z)$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ માં રહેલા પદોના વ્યસ્ત $H.P.$ માં હોવાથી,$\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ એ $H.P.$ માં છે.

(B) કોઈપણ સ્થાન પર,$2, 5$ અને $7$ અંકોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે,તેથી આવી ધન $n$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $3^n$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $900$ અલગ સંખ્યાઓ બનાવવાની છે,તેથી આપણે અસમતા $3^n \ge 900$ લઈએ છીએ.
$3$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$3^6 = 729 < 900$
$3^7 = 2187 \ge 900$
આમ,$n$ ની સૌથી નાની કિંમત $7$ છે.

(C) દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(a)$ $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$,જે અસંમેય છે.
$(b)$ $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$,જે અસંમેય છે.
$(c)$ $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{4}$,જે સંમેય છે.
$(d)$ $\sin 15^\circ \cos 75^\circ = \sin^2 15^\circ = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$,જે અસંમેય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin P, \sin Q, \sin R$ એ $A.P.$ માં છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin P} = \frac{b}{\sin Q} = \frac{c}{\sin R} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિવૃતની ત્રિજ્યા છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin P = \frac{a}{2R}, \sin Q = \frac{b}{2R}, \sin R = \frac{c}{2R}$.
જેથી $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $p_1, p_2, p_3$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ માંથી દોરેલા વેધ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$.
તેથી,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
$a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
$2\Delta$ વડે ગુણતા,$\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,$p_1, p_2, p_3$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને તેમના મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ $M_1$ છે અને વિકર્ણ $QS$ નું મધ્યબિંદુ $M_2$ છે.
$M_1 = M_2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{1+5}{2}, \frac{2+7}{2}) = (3, 4.5)$
$QS$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{4+a}{2}, \frac{6+b}{2})$
યામોને સરખાવતા:
$\frac{4+a}{2} = 3$ $\Rightarrow 4+a = 6$ $\Rightarrow a = 2$
$\frac{6+b}{2} = 4.5$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$
આમ,$a = 2$ અને $b = 3$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2),$ અને $R(x_3, y_3)$ છે,જ્યાં $x_i, y_i \in \mathbb{Q}$.
$1$. મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ દ્વારા મળે છે. સંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ભાગાકાર સંમેય હોવાથી,મધ્યકેન્દ્ર હંમેશા સંમેય બિંદુ છે.
$2$. પરિકેન્દ્ર $(x, y)$ એ સમીકરણો $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$ અને $(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2$ નું સમાધાન કરે છે. આ સમીકરણો સંમેય સહગુણકો સાથેના સુરેખ સમીકરણોમાં પરિણમે છે. તેથી,પરિકેન્દ્ર હંમેશા સંમેય બિંદુ છે.
$3$. અંતઃકેન્દ્ર $\left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a, b, c$ બાજુની લંબાઈ છે. બાજુની લંબાઈમાં વર્ગમૂળ હોવાથી,તે સામાન્ય રીતે અસંમેય હોય છે. તેથી,અંતઃકેન્દ્ર હંમેશા સંમેય બિંદુ હોતું નથી.

(D) ધારો કે વિકર્ણોના સમીકરણો $L_1: x + 3y = 4$ અને $L_2: 6x - 2y = 7$ છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -1/3$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -6/(-2) = 3$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-1/3) \times 3 = -1$ હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને લંબ છે.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોય,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2 + y^2 = 2^2$ અને $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$ છે.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $(3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-24)} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(0, 0)$ અને $C_2(3, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ છે.
અહીં $d = |r_2 - r_1| = |7 - 2| = 5$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને અંતઃસ્પર્શ કરે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો અંતઃસ્પર્શ કરે,ત્યારે ફક્ત $1$ સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $16x^2 + 25y^2 = 400$ છે. $400$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે,જે $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ ધરાવતું ઉપવલય છે.
અહીં,$a = 5$ અને $b = 4$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે,જે $F_1$ અને $F_2$ સાથે મેળ ખાય છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ થી બે નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$PF_1 + PF_2 = 2a = 2 \times 5 = 10$.

(A) દરેક સિક્કાનો ઉછાળ એ સ્વતંત્ર ઘટના છે.
પાંચમા ઉછાળમાં હેડ (head) આવવાની ઘટના પ્રથમ ચાર ઉછાળના પરિણામો પર આધારિત નથી.
તેથી,પાંચમા ઉછાળમાં હેડ આવવાની સંભાવના $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ છે.

(B) ધારો કે ચાર મશીનો $M_1, M_2, F_1, F_2$ છે,જ્યાં $F$ ખામીયુક્ત મશીન દર્શાવે છે અને $M$ કાર્યરત મશીન દર્શાવે છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે બંને ખામીયુક્ત મશીનો બરાબર બે પરીક્ષણોમાં ઓળખાઈ જાય.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ પરીક્ષણમાં ખામીયુક્ત મશીન મળવું જોઈએ અને બીજા પરીક્ષણમાં પણ ખામીયુક્ત મશીન મળવું જોઈએ.
પ્રથમ બે પરીક્ષણો માટે $4$ માંથી $2$ મશીનો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ છે.
પ્રથમ બે પરીક્ષણો માટે $2$ માંથી $2$ ખામીયુક્ત મશીનો પસંદ કરવાની રીતો $^2P_2 = 2 \times 1 = 2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ છે.

(B) $7$ સફેદ દડા અને $3$ કાળા દડાને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $\binom{10}{3} = \frac{10!}{7!3!} = 120$ છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા $7$ સફેદ દડાને ગોઠવીએ છીએ. આનાથી $8$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $3$ કાળા દડા મૂકી શકાય છે.
$8$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3} = 56$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
ધારો કે $b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b_n = \frac{0}{^nC_0} + \frac{1}{^nC_1} + \frac{2}{^nC_2} + \dots + \frac{n}{^nC_n}$.
તે જ રીતે,$b_n = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r + (n-r)}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r} = na_n$.
તેથી,$b_n = \frac{1}{2}na_n$.

(C) એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત નિયમિત ષટ્કોણમાં,બાજુની લંબાઈ ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે,તેથી $A_0 A_1 = 1$.
નિયમિત ષટ્કોણનો આંતરિક ખૂણો $120^\circ$ હોવાથી,$\triangle A_0 A_1 A_2$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$A_0 A_2^2 = A_0 A_1^2 + A_1 A_2^2 - 2(A_0 A_1)(A_1 A_2) \cos(120^\circ)$
$A_0 A_2^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
આમ,$A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,$A_0 A_4 = A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
લંબાઈનો ગુણાકાર $A_0 A_1 \times A_0 A_2 \times A_0 A_4 = 1 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ થાય.

(C) રેખા $y = 4x + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ ને સ્પર્શે છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y = 4x + c$ મૂકતા:
$\frac{x^2}{4} + (4x + c)^2 = 1$
$x^2 + 4(16x^2 + 8cx + c^2) = 4$
$x^2 + 64x^2 + 32cx + 4c^2 - 4 = 0$
$65x^2 + 32cx + (4c^2 - 4) = 0$
રેખા વક્રને સ્પર્શે તે માટે વિવેચક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ:
$\Delta = (32c)^2 - 4(65)(4c^2 - 4) = 0$
$1024c^2 - 16(65)(c^2 - 1) = 0$
$16$ વડે ભાગતા:
$64c^2 - 65(c^2 - 1) = 0$
$64c^2 - 65c^2 + 65 = 0$
$-c^2 + 65 = 0$
$c^2 = 65$
$c = \pm \sqrt{65}$
આમ,$c$ માટે $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x^2 + y^2 = a^2$ અને $xy = c^2$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = \frac{c^2}{x}$ મૂકતા:
$x^2 + \frac{c^4}{x^2} = a^2$
$x^4 - a^2 x^2 + c^4 = 0$
આ $x$ માં દ્વિ-વર્ગીય સમીકરણ છે. જેના બીજ $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$ ($x^3$ નો સહગુણક $0$ છે) અને બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 x_3 x_4 = c^4$ થાય.
બંને સમીકરણો $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,સંમિતિ દ્વારા $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0$ અને $y_1 y_2 y_3 y_4 = c^4$ મળે.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos 2(x - 1)}}{x - 1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$,તેથી $1 - \cos 2(x - 1) = 2\sin^2(x - 1)$.
આમ,$f(x) = \frac{\sqrt{2\sin^2(x - 1)}}{x - 1} = \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 1)|}{x - 1}$.
જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{2}|\sin h|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \sqrt{2} \frac{\sin h}{h} = \sqrt{2}$.
ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{2}|\sin(-h)|}{-h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{2}\sin h}{-h} = -\sqrt{2}$.
$\text{RHL} \neq \text{LHL}$ હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(A) ધારો કે $P(W_i)$ અને $P(B_i)$ એ $i$-માં બોક્સમાંથી સફેદ અને કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
$P(W_1) = \frac{3}{4}, P(B_1) = \frac{1}{4}$
$P(W_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, P(B_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(W_3) = \frac{1}{4}, P(B_3) = \frac{3}{4}$
બે સફેદ અને એક કાળો દડો નીચેની ત્રણ રીતે પસંદ કરી શકાય:

$Way 1$	$W, W, B$
$Way 2$	$W, B, W$
$Way 3$	$B, W, W$

જરૂરી સંભાવના $= P(W_1)P(W_2)P(B_3) + P(W_1)P(B_2)P(W_3) + P(B_1)P(W_2)P(W_3)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(C) ધારો કે સમાચારપત્રોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક વિદ્યાર્થી $5$ સમાચારપત્રો વાંચે છે,તેથી વાંચનનો કુલ આંકડો $300 \times 5 = 1500$ થાય.
દરેક સમાચારપત્ર $60$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચવામાં આવે છે,તેથી વાંચનનો કુલ આંકડો $60 \times n$ પણ થાય.
બંનેને સરખાવતા,$60n = 1500$.
તેથી,$n = \frac{1500}{60} = 25$.

(C) ધારો કે સમાચારપત્રોની સંખ્યા $n$ છે.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચનનો કુલ આંકડો = $300 \times 5 = 1500$.
સમાચારપત્રો દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા વાંચનનો કુલ આંકડો = $n \times 60$.
બંને કુલ વાંચન દર્શાવતા હોવાથી:
$60n = 1500$
$n = \frac{1500}{60}$
$n = 25$.
આમ,સમાચારપત્રોની સંખ્યા $25$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$ છે.
ધારો કે $t = \sin x$. તો સમીકરણ $3t^2 - 7t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 - 6t - t + 2 = 0 \implies 3t(t - 2) - 1(t - 2) = 0 \implies (3t - 1)(t - 2) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{3}$ અથવા $t = 2$.
કારણ કે $\sin x$ ની કિંમત $2$ ન હોઈ શકે,તેથી $\sin x = \frac{1}{3}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{3}$ માટે $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $[2\pi, 4\pi]$ માં,બીજા $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $[4\pi, 5\pi]$ માં,$1$ ઉકેલ મળે છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $2 + 2 + 1 = 5$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક: $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{6i}&{ - 3i}&1\\4&{3i}&{ - 1}\\{20}&3&i\end{array}} \right| = x + iy$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 6i((3i)(i) - (3)(-1)) - (-3i)((4)(i) - (20)(-1)) + 1((4)(3) - (20)(3i))$
$\Delta = 6i(3i^2 + 3) + 3i(4i + 20) + (12 - 60i)$
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $3i^2 + 3 = 3(-1) + 3 = 0$.
$\Delta = 6i(0) + 12i^2 + 60i + 12 - 60i$
$\Delta = 0 + 12(-1) + 60i + 12 - 60i$
$\Delta = -12 + 12 + 60i - 60i = 0$
આમ,$x + iy = 0 + 0i$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ અને $y = 0$.

(C) ત્રણ સદિશો $u, v, w$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[u, v, w] = u \cdot (v \times w)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અદિશ ત્રિગુણકના ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,$[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$.
વિકલ્પ $(a)$ એ $u \cdot (v \times w) = [u, v, w]$ છે.
વિકલ્પ $(b)$ એ $(v \times w) \cdot u = [v, w, u] = [u, v, w]$ છે.
વિકલ્પ $(d)$ એ $(u \times v) \cdot w = [u, v, w]$ છે.
વિકલ્પ $(c)$ એ $v \cdot (u \times w) = [v, u, w] = -[u, v, w]$ છે.
કારણ કે $[u, v, w] \neq -[u, v, w]$ (સામાન્ય રીતે),વિકલ્પ $(c)$ બાકીના વિકલ્પો સમાન નથી.

(A) ધારો કે $u$,$v$,અને $w$ સદિશો છે.
$1$. $u \cdot (v \times w)$ ધ્યાનમાં લો: $(v \times w)$ અભિવ્યક્તિ એક સદિશ આપે છે. સદિશ $u$ નો પરિણામી સદિશ $(v \times w)$ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત છે અને તે એક અદિશ આપે છે. તેથી,આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે.
$2$. $(u \cdot v) \cdot w$ ધ્યાનમાં લો: $(u \cdot v)$ અભિવ્યક્તિ એક અદિશ આપે છે. અદિશનો સદિશ $w$ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ નથી.
$3$. $(u \cdot v) \times w$ ધ્યાનમાં લો: $(u \cdot v)$ અભિવ્યક્તિ એક અદિશ આપે છે. અદિશનો સદિશ $w$ સાથેનો ક્રોસ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ નથી.
તેથી,માત્ર પ્રથમ અભિવ્યક્તિ જ અર્થપૂર્ણ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = y$.
$f(x) = 3x - 5$ હોવાથી,આપણને $y = 3x - 5$ મળે છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવીએ:
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x = f^{-1}(y)$,તેથી $f^{-1}(y) = \frac{y + 5}{3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$ મળે છે.
$f(x) = 3x - 5$ એ સુરેખ વિધેય હોવાથી,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે,તેથી $f$ નું વ્યસ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(D) આપેલ છે $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$.
આપણે $x$ અને $x^2$ ની તુલના કરીએ:
$x \le x^2 \Rightarrow x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x(x - 1) \ge 0$.
આ અસમતા $x \le 0$ અથવા $x \ge 1$ માટે સાચી છે.
તેથી,$h(x) = \begin{cases} x & x \le 0 \\ x^2 & 0 < x < 1 \\ x & x \ge 1 \end{cases}$.
$h(x)$ એ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત છે કારણ કે $x=0$ $(0=0)$ અને $x=1$ $(1=1)$ પર વિધેયના ભાગો મળે છે.
$h(x)$ એ $x=0$ અને $x=1$ પર વિકલનીય નથી કારણ કે આ બિંદુઓ પર ડાબી અને જમણી બાજુના વિકલિતો સમાન નથી.
$x > 1$ માટે,$h(x) = x$,તેથી $h'(x) = 1$.
તેથી,બધા વિધાનો $(a)$,$(b)$,અને $(c)$ સાચા છે.

(A) આપેલ છે: $g(f(x)) = |\sin x|$ અને $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
ચાલો વિકલ્પ $A$ ચકાસીએ: $f(x) = \sin^2 x$ અને $g(x) = \sqrt{x}$.
પગલું $1$: $g(f(x))$ ની ગણતરી કરો.
$g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$. આ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
પગલું $2$: $f(g(x))$ ની ગણતરી કરો.
$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$. આ પણ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.
આપણે વિધેયને $f(x) = \frac{x^2 + 1 - 2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $x^2 + 1 \ge 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $0 < \frac{2}{x^2 + 1} \le 2$.
આ અસમતાને $1$ માંથી બાદ કરતા,આપણને $1 - 2 \le 1 - \frac{2}{x^2 + 1} < 1 - 0$ મળે છે.
આમ,$-1 \le f(x) < 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $x^2 = 0$,એટલે કે $x = 0$.
$f(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = -1$.
તેથી,$f$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = -\sin x - \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\sin x + \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x) = 0$ મળે છે.
$x = 0$ આગળ,$f'(0) = -\sin(0) - \sqrt{2} \sin(0) = 0$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ: $f''(x) = -\cos x - 2 \cos (\sqrt{2} x)$.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = -\cos(0) - 2 \cos(0) = -1 - 2 = -3$.
$f''(0) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
$\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,વિધેય $f(x)$ આવર્તનીય નથી. $\cos x$ અને $\cos (\sqrt{2} x)$ બંને એકસાથે $1$ માત્ર $x = 0$ આગળ જ હોઈ શકે. અન્ય કોઈપણ $x \neq 0$ માટે,સરવાળો $\cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ એ $2$ કરતા ઓછો જ રહેશે. આમ,$x = 0$ એ એકમાત્ર બિંદુ છે જ્યાં મહત્તમ મૂલ્ય $2$ પ્રાપ્ત થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $h(x) = f(x) - (f(x))^2 + (f(x))^3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3(f(x))^2 f'(x)$
$f'(x)$ સામાન્ય લેતા:
$h'(x) = f'(x) [1 - 2f(x) + 3(f(x))^2]$
દ્વિઘાત પદાવલિ $3(f(x))^2 - 2f(x) + 1$ નું વિશ્લેષણ કરવા માટે,પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરીએ:
$3(f(x))^2 - 2f(x) + 1 = 3 \left( (f(x))^2 - \frac{2}{3}f(x) + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$
કારણ કે $(f(x) - \frac{1}{3})^2 \ge 0$,તેથી પદ $(f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,$h'(x) = 3f'(x) \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$.
કૌંસમાં રહેલું પદ હંમેશા ધન હોવાથી,$h'(x)$ ની નિશાની $f'(x)$ ની નિશાની જેવી જ રહેશે.
આમ,જ્યારે $f$ વધતું વિધેય હોય ત્યારે $h$ પણ વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{2a} \frac{f(x)}{f(x) + f(2a - x)} \, dx$ ..... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{2a} \frac{f(2a - x)}{f(2a - x) + f(2a - (2a - x))} \, dx$
$I = \int_0^{2a} \frac{f(2a - x)}{f(2a - x) + f(x)} \, dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{2a} \left( \frac{f(x)}{f(x) + f(2a - x)} + \frac{f(2a - x)}{f(2a - x) + f(x)} \right) \, dx$
$2I = \int_0^{2a} \frac{f(x) + f(2a - x)}{f(x) + f(2a - x)} \, dx$
$2I = \int_0^{2a} 1 \, dx$
$2I = [x]_0^{2a} = 2a$
$I = a$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$
સંકલન $\int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$ ને $-\int_1^x {t\,f(t)\,dt}$ તરીકે લખતા:
$\int_0^x {f(t)\,dt} = x - \int_1^x {t\,f(t)\,dt}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dx} \left( \int_0^x {f(t)\,dt} \right) = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} \left( \int_1^x {t\,f(t)\,dt} \right)$
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - xf(x)$
$f(x)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$f(x) + xf(x) = 1$
$f(x)(1 + x) = 1$
$f(x) = \frac{1}{1 + x}$
હવે,$f(1)$ શોધવા માટે $x = 1$ મૂકતા:
$f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $A$ અને આપેલી ઘટના $B$ માટે જ્યાં $P(B) > 0$ હોય,ત્યારે શરતી સંભાવના $P(A/B) + P(\overline{A}/B) = 1$ નું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $(a)$ માટે:
$P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} + \frac{P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P(E \cap F) + P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P((E \cup \overline{E}) \cap F)}{P(F)} = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{P(F)}{P(F)} = 1$.
આમ,$(a)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(c)$ માટે:
તે જ રીતે,$F$ ને $\overline{F}$ વડે બદલતા (જ્યાં $P(\overline{F}) = 1 - P(F) > 0$),આપણને $P(E/\overline{F}) + P(\overline{E}/\overline{F}) = 1$ મળે છે.
આમ,$(c)$ પણ સાચું છે.
તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $P(E) \le P(F)$ અને $P(E \cap F) > 0.$
$P(E) \le P(F)$ નો અર્થ એ નથી કે $E \subseteq F.$
$P(E \cap F) > 0$ સૂચવે છે કે $E$ અને $F$ નો છેદગણ ખાલી નથી,પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે એક ઘટના બીજી ઘટનાનો ઉપગણ છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે $S = \{1, 2, 3\}$ છે. ધારો કે $E = \{1, 2\}$ અને $F = \{2, 3\}$.
તો $P(E) = 2/3$ અને $P(F) = 2/3$,તેથી $P(E) \le P(F)$ સાચું છે.
વળી $P(E \cap F) = P(\{2\}) = 1/3 > 0$.
જોકે,$E \not\subseteq F$ અને $F \not\subseteq E$.
આમ,આપેલી કોઈ પણ ગર્ભિતાર્થ સાચી ઠરતી નથી.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A \cap B)$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A)P\left(\frac{B}{A}\right)$,તેથી:
$2P(A)P\left(\frac{B}{A}\right) = P(A) + P(B)$.

(D) આપેલ છે કે સદિશો $a, b, c$ સુરેખ રીતે આધારિત છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $[a, b, c] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા રચાયેલ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
આપેલ છે કે $|c| = \sqrt{3}$,તેથી $|c|^2 = 3$.
$1^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$
$1 + \alpha^2 + 1^2 = 3$
$\alpha^2 + 2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
આમ,$\alpha = \pm 1$ અને $\beta = 1$.

(A) વિધેય $f(x) = x - [x]$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,જેને $\{x\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અંતરાલ $[-1, 1]$ માટે,આપણે સંકલનને $x = 0$ આગળ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx$.
$-1 \le x < 0$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $f(x) = x - (-1) = x + 1$.
$0 \le x < 1$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = x - 0 = x$.
હવે,સંકલનની ગણતરી કરીએ:
$\int_{-1}^{0} (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} = (0 + 0) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -(-1/2) = 1/2$.
$\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = 1/2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1/2 + 1/2 = 1$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = (c_1 + c_2) \cos (x + c_3) - c_4 e^{x + c_5}$.
અચળાંકોને જૂથબદ્ધ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવી શકાય છે:
ધારો કે $A = c_1 + c_2$ અને $B = c_4 e^{c_5}$.
તેથી સમીકરણ $y = A \cos (x + c_3) - B e^x$ બને છે.
કોસાઇન પદનું વિસ્તરણ કરતા: $y = A (\cos x \cos c_3 - \sin x \sin c_3) - B e^x$.
$y = (A \cos c_3) \cos x - (A \sin c_3) \sin x - B e^x$.
ધારો કે $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = -A \sin c_3$,અને $K_3 = -B$.
આમ,$y = K_1 \cos x + K_2 \sin x + K_3 e^x$.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $(K_1, K_2, K_3)$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.