IIT JEE 1984 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) चूंकि $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ इकाई के $n$ मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं।
अतः,हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^n - 1 = (x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
दोनों पक्षों को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^n - 1}{x - 1} = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र का उपयोग करते हुए,बायां पक्ष सरल होकर होता है:
$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
अब,दोनों पक्षों में $x = 1$ रखने पर:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \dots + 1 + 1 = (1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1})$
चूंकि बाईं ओर कुल $n$ पद हैं,इसलिए योग $n$ है।
अतः,$(1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1}) = n$।

(A) दी गई श्रेणी $3 \cdot 8 + 6 \cdot 11 + 9 \cdot 14 + 12 \cdot 17 + \dots$ है।
प्रथम गुणनखंड $3, 6, 9, 12, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी में हैं और इनका ${n^{th}}$ पद $3n$ है।
द्वितीय गुणनखंड $8, 11, 14, 17, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी में हैं और इनका ${n^{th}}$ पद $8 + (n - 1)3 = 3n + 5$ है।
अतः,दी गई श्रेणी का ${n^{th}}$ पद $T_n = 3n(3n + 5)$ होगा।

(B) मान लीजिए $S_2$ उन पूर्णांकों का योग है जो $2$ से विभाज्य हैं,$S_5$ उन पूर्णांकों का योग है जो $5$ से विभाज्य हैं,और $S_{10}$ उन पूर्णांकों का योग है जो $2$ और $5$ दोनों से विभाज्य हैं (अर्थात $10$ से विभाज्य)।
$S_2 = 2 + 4 + \dots + 100 = \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550$.
$S_5 = 5 + 10 + \dots + 100 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$.
$S_{10} = 10 + 20 + \dots + 100 = \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) के अनुसार,अभीष्ट योग $S_2 + S_5 - S_{10} = 2550 + 1050 - 550 = 3050$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$ है।
व्यंजक को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x - 1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 1$।
समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{2}{x - 1}$ जोड़ने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,मूल समीकरण की शर्त के अनुसार $x \neq 1$ है।
चूंकि संभावित समाधान $x = 1$ समीकरण के डोमेन में नहीं है,इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

(D) माना $y = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$.
तब $y(x - c) = x^2 - (a + b)x + ab$,जिसे $x^2 - (a + b + y)x + (ab + cy) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए:
$D = (a + b + y)^2 - 4(ab + cy) \ge 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 + 2y(a + b - 2c) + (a - b)^2 \ge 0$ प्राप्त होता है।
फलन के सभी वास्तविक मान $y$ ग्रहण करने के लिए,$y$ में यह द्विघात समीकरण सभी $y$ के लिए अऋणात्मक होना चाहिए। चूँकि $y^2$ का गुणांक धनात्मक है,यह द्विघात समीकरण सभी वास्तविक मान लेगा यदि इसका विविक्तकर $D_y < 0$ हो।
$D_y = [2(a + b - 2c)]^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$4(a + b - 2c)^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$(a + b - 2c)^2 - (a - b)^2 < 0$.
$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$(a + b - 2c - a + b)(a + b - 2c + a - b) < 0$.
$(2b - 2c)(2a - 2c) < 0$.
$4(b - c)(a - c) < 0$.
$(c - b)(c - a) < 0$.
यह असमिका तभी सत्य है जब $c$,$a$ और $b$ के बीच स्थित हो,अर्थात $a < c < b$ या $b < c < a$।

(C) माना $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 + 3x + 4}$.
दोनों पक्षों को $(x^2 + 3x + 4)$ से गुणा करने पर,हमें $y(x^2 + 3x + 4) = x^2 - 3x + 4$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(y - 1)x^2 + 3(y + 1)x + 4(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = [3(y + 1)]^2 - 4(y - 1)(4(y - 1)) \ge 0$.
$9(y + 1)^2 - 16(y - 1)^2 \ge 0$.
$(3(y + 1))^2 - (4(y - 1))^2 \ge 0$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$(3y + 3 - 4y + 4)(3y + 3 + 4y - 4) \ge 0$.
$(-y + 7)(7y - 1) \ge 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,$(y - 7)(7y - 1) \le 0$.
यह असमिका $\frac{1}{7} \le y \le 7$ के लिए सत्य है।
अतः,अधिकतम मान $7$ और न्यूनतम मान $\frac{1}{7}$ है।

(A) माना $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)\text{।}$
चूंकि $f(x)$ एक धनात्मक अग्रणी गुणांक वाला द्विघात बहुपद है,हम $x = a, b, c, d$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(a) = 2(a - b)(a - d) > 0$ (क्योंकि $a < b$ और $a < d$ है)।
$f(b) = (b - a)(b - c) < 0$ (क्योंकि $b > a$ और $b < c$ है)।
$f(c) = 2(c - b)(c - d) < 0$ (क्योंकि $c > b$ और $c < d$ है)।
$f(d) = (d - a)(d - c) > 0$ (क्योंकि $d > a$ और $d > c$ है)।
चूंकि $f(a) > 0$ और $f(b) < 0$ है,इसलिए $(a, b)$ के बीच एक मूल स्थित है।
चूंकि $f(c) < 0$ और $f(d) > 0$ है,इसलिए $(c, d)$ के बीच एक मूल स्थित है।
अतः,समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल हैं।

(B) दिया गया समीकरण ${x^2} - 3kx + 2{e^{2\log k}} - 1 = 0$ है।
चूंकि ${e^{2\log k}} = {e^{\log {k^2}}} = {k^2}$,समीकरण ${x^2} - 3kx + 2{k^2} - 1 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,मूलों का गुणनफल $2{k^2} - 1$ है।
मूलों का गुणनफल $7$ दिया गया है,इसलिए $2{k^2} - 1 = 7$,जिसका अर्थ है $2{k^2} = 8$,अतः ${k^2} = 4$,जिससे $k = \pm 2$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण में $\log k$ मौजूद है,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $k = 2$।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (-3k)^2 - 4(1)(2{k^2} - 1) = 9{k^2} - 8{k^2} + 4 = {k^2} + 4$।
चूंकि किसी भी वास्तविक $k$ के लिए ${k^2} + 4 > 0$ होता है,इसलिए मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।
अतः,$k=2$ के लिए मूल वास्तविक हैं।

(C) हम जानते हैं कि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$.
अतः,$\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi }{8}) = -\cos \frac{\pi }{8}$ और $\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{{3\pi }}{8}) = -\cos \frac{{3\pi }}{8}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)$
पदों को समूहित करने पर:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$E = \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
$E = \sin^2 \frac{\pi }{8} \sin^2 \frac{{3\pi }}{8}$
सर्वसमिका $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \left( \sin \frac{\pi }{8} \sin \frac{{3\pi }}{8} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{{2\pi }}{8} - \cos \frac{{4\pi }}{8} \right) \right)^2$
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{2} \right) \right)^2$
चूंकि $\cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi }{2} = 0$:
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{8}$.

(B) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,$\cos A + \cos B + \cos C$ का अधिकतम मान $\frac{3}{2}$ होता है,जो केवल तभी प्राप्त होता है जब $A = B = C = 60^{\circ}$ हो।
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{3}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
जेन्सेन की असमिका के अनुसार,$\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ का अधिकतम मान $\frac{1}{8}$ है,इसलिए यह समानता केवल तभी संभव है जब $A = B = C = 60^{\circ}$ हो।
अतः,त्रिभुज समबाहु है।

(C) माना तीसरी भुजा की ढाल $m$ है। बिंदु $(1, -10)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y + 10 = m(x - 1)$ है,जिसे $mx - y - (m + 10) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,तीसरी भुजा दी गई दो भुजाओं के साथ समान कोण बनाती है। दी गई रेखाओं की ढाल $m_1 = 7$ और $m_2 = -1$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}| = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$,हमें प्राप्त होता है:
$|\frac{m - 7}{1 + 7m}| = |\frac{m + 1}{1 - m}|$.
इस समीकरण को हल करने पर,हमें $m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$ प्राप्त होता है।
$m = \frac{1}{3}$ के लिए,समीकरण $x - 3y - 31 = 0$ प्राप्त होता है।
$m = -3$ के लिए,समीकरण $3x + y + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएँ $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $3x - 4y - 3.5 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$ है।
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|7.5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$ है।
चूँकि व्यास $1.5$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ होगी।

(C) माना जीवा का मध्य बिंदु $C(h, k)$ है।
चूंकि जीवा मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए मूल बिंदु और जीवा के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
मूल बिंदु से मध्य बिंदु $C(h, k)$ की दूरी $d = \sqrt{h^2 + k^2}$ है।
मूल बिंदु,मध्य बिंदु और जीवा के एक अंतिम बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,मूल बिंदु पर कोण $45^\circ$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\cos(45^\circ) = \frac{d}{r}$,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
यहाँ $r = 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{h^2 + k^2}{4}$,जो सरल होकर $h^2 + k^2 = 2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 2$ है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और $B$ के निर्देशांक $(x_2, y_2)$ हैं।
दिए गए समीकरणों से,भुज के लिए $x_1 + x_2 = -2a$ और $x_1x_2 = -b^2$ है।
इसी प्रकार,कोटि के लिए $y_1 + y_2 = -2p$ और $y_1y_2 = -q^2$ है।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$ मिलता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2 + y^2 + 2ax + 2py - b^2 - q^2 = 0$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{1 - {n^2}}} \right]$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n(n+1)}{2(1 - {n^2})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^2 + n}{2 - 2n^2}$
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1 + \frac{1}{n}}{\frac{2}{n^2} - 2} = \frac{1 + 0}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$.

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (1 - x)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)$.
$y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,जब $x \to 1$,तब $y \to 0$ और $x = 1 - y$.
अतः $L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{{\pi (1 - y)}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi y}}{2}} \right)$.
सर्वसमिका $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \cot \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{y}{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}$.
$\frac{\pi }{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\pi }{2}} \cdot \frac{{\frac{{\pi y}}{2}}}{{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}} = \frac{2}{\pi } \cdot 1 = \frac{2}{\pi }$.

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ प्रत्येक पासे पर समान संख्या आती है,वे $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), \text{ और } (6, 6, 6)$ हैं।
ऐसे $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।

(B) घटना $A$ या $B$ में से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $A$ और $B$ के सममित अंतर $P(A \Delta B)$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $A$ घटित हो और $B$ न हो,या $B$ घटित हो और $A$ न हो:
$P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
गुणधर्म $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ और $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$= (P(A) - P(A \cap B)) + (P(B) - P(A \cap B))$
$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$.

(A) माना सम्मिश्र संख्याएँ $z_1, z_2, z_3$ एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A, B, C$ को निरूपित करती हैं।
चूँकि $|z_1| = |z_2| = |z_3|$ है,मूल बिंदु $O$ सभी शीर्षों $A, B, C$ से समान दूरी पर है।
इसका अर्थ है कि मूल बिंदु $O$ समबाहु त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र है।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र,केंद्रक और लंबकेंद्र एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
यदि $G$ केंद्रक है,तो $G = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ होगा।
चूँकि केंद्रक $G$ परिकेंद्र $O$ (जो मूल बिंदु $0$ है) के साथ संपाती है,इसलिए $\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$z_1 + z_2 + z_3 = 0$।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए हमारे पास संबंध $2b = a + c$ है,जिसे $a - 2b + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सरल रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
इसे शर्त $a(1) + b(-2) + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि रेखा बिंदु $(x, y) = (1, -2)$ के लिए समीकरण को संतुष्ट करती है।
अतः,रेखा $ax + by + c = 0$ हमेशा बिंदु $(1, -2)$ से होकर गुजरती है।

(A) कुल बिंदुओं की संख्या = $3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख (collinear) होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते। हमें उन मामलों को घटाना होगा जहाँ $3$ बिंदु एक ही भुजा से चुने गए हैं:
$1$. भुजा $AB$ पर बिंदु: $^{3}C_3 = 1$ तरीका।
$2$. भुजा $BC$ पर बिंदु: $^{4}C_3 = 4$ तरीके।
$3$. भुजा $CA$ पर बिंदु: $^{5}C_3 = 10$ तरीके।
कुल संरेख समुच्चय = $1 + 4 + 10 = 15$.
त्रिभुजों की संख्या = $220 - 15 = 205$.

(A) समघात रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए गैर-शून्य समाधान होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\lambda(\lambda^2 - (-1)) - 1(-\lambda - (-1)) + 1(1 - (-\lambda)) = 0$
$\lambda(\lambda^2 + 1) - 1(-\lambda + 1) + 1(1 + \lambda) = 0$
$\lambda^3 + \lambda + \lambda - 1 + 1 + \lambda = 0$
$\lambda^3 + 3\lambda = 0$
$\lambda(\lambda^2 + 3) = 0$
इससे $\lambda = 0$ या $\lambda^2 = -3$ प्राप्त होता है। चूंकि $\lambda$ को वास्तविक होना चाहिए,$\lambda^2 = -3$ का कोई वास्तविक समाधान नहीं है।
अतः,$\lambda$ का एकमात्र वास्तविक मान $0$ है।

(D) हम सूत्र $2\tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$2\tan^{-1}\left( \frac{1}{5} \right)$ की गणना करें:
$2\tan^{-1}\left( \frac{1}{5} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right)$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखें:
$\tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right) - \frac{\pi}{4} \right] = \tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right) - \tan^{-1}(1) \right]$.
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5/12 - 1}{1 + (5/12)(1)} \right) \right] = \frac{5/12 - 1}{1 + 5/12} = \frac{-7/12}{17/12} = -\frac{7}{17}$.

(B) चूंकि बल $a, b$ और $c$ परस्पर लंबवत हैं,उन्हें क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश निरूपित किया जा सकता है।
मान लीजिए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i}$,$\vec{b} = 10\hat{j}$,और $\vec{c} = 11\hat{k}$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
परिणामी का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{(2)^2 + (10)^2 + (11)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{R}| = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.

(D) मान लीजिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{OA} = a + b$,$\vec{OB} = a - b$ और $\vec{OC} = a + kb$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ होना चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (a - b) - (a + b) = -2b$ की गणना करें।
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (a + kb) - (a - b) = (k + 1)b$ की गणना करें।
संरेखता के लिए,$-2b = \lambda(k + 1)b$ होना चाहिए।
इसका तात्पर्य है कि $-2 = \lambda(k + 1)$। चूंकि $\lambda$ कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए $k$ कोई भी वास्तविक मान ले सकता है।
अतः,प्रत्येक वास्तविक संख्या $k$ के लिए बिंदु संरेख हैं।

(B) निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
दिए गए मूल घटक $(2p, 1)$ हैं और नए घटक $(p+1, 1)$ हैं।
परिमाण का वर्ग $x^2 + y^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$.
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$.
$3p^2 - 2p - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $3p^2 - 3p + p - 1 = 0$.
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$.
$(3p+1)(p-1) = 0$.
इस प्रकार,$p = 1$ या $p = -\frac{1}{3}$।

(A) दिया गया फलन $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ है।
$y$ के पदों में $x$ ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$y(x - 1) = x + 2$
$yx - y = x + 2$
$yx - x = y + 2$
$x(y - 1) = y + 2$
$x = \frac{y + 2}{y - 1}$
चूंकि $f(y) = \frac{y + 2}{y - 1}$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x = f(y)$।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$.
सबसे पहले,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 - h) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 + h) = \lim_{h \to 0} (0 + h)^2 = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है।
अब,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$.
चूंकि $Lf'(0) = Rf'(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ है।
अवकलज $f'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 2x, & x \ge 0 \end{cases}$ है।
अब,$x = 0$ पर $f'(x)$ के सांतत्य की जाँच करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = f'(0) = 0$,इसलिए $f'(x)$,$x = 0$ पर सतत है।
अंत में,$x = 0$ पर $f'(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$Lf''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(0 - h) - f'(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.
$Rf''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(0 + h) - f'(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(0 + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$.
चूंकि $Lf''(0) \neq Rf''(0)$,इसलिए $f'(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) माना $I = \int \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$.
$t = \sin^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \sin t$ और $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int t \sin t \, dt$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
$u = t$ और $dv = \sin t \, dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = -\cos t$ प्राप्त होता है।
$I = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t + c$.
चूँकि $t = \sin^{-1} x$,इसलिए $\sin t = x$ और $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$ होता है।
मान रखने पर,$I = -(\sin^{-1} x) \sqrt{1 - x^2} + x + c = x - \sqrt{1 - x^2} \sin^{-1} x + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x} = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2\cos x)}$.
अंश और हर को $\sin x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sin x \, dx}{\sin^2 x(1 + 2\cos x)} = \int \frac{\sin x \, dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2\cos x)} = \int \frac{\sin x \, dx}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(1 + 2\cos x)}$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x \, dx = dt$,अतः $\sin x \, dx = -dt$.
$I = - \int \frac{dt}{(1 - t)(1 + t)(1 + 2t)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{(1 - t)(1 + t)(1 + 2t)} = \frac{A}{1 - t} + \frac{B}{1 + t} + \frac{C}{1 + 2t}$.
गुणांकों को हल करने पर,हमें $A = \frac{1}{6}$,$B = -\frac{1}{2}$,$C = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$I = - \int \left( \frac{1/6}{1 - t} - \frac{1/2}{1 + t} + \frac{4/3}{1 + 2t} \right) dt$.
$I = - \left[ \frac{1}{6} \frac{\log |1 - t|}{-1} - \frac{1}{2} \log |1 + t| + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \log |1 + 2t| \right] + C$.
$I = \frac{1}{6} \log |1 - t| + \frac{1}{2} \log |1 + t| - \frac{2}{3} \log |1 + 2t| + C$.
$t = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{6} \log |1 - \cos x| + \frac{1}{2} \log |1 + \cos x| - \frac{2}{3} \log |1 + 2\cos x| + C$.

(B) माना $t = \sin^{-1} x$.
तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
जब $x = 0$,तो $t = 0$.
जब $x = 1/2$,तो $t = \sin^{-1}(1/2) = \pi/6$.
साथ ही,$x = \sin t$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int_0^{\pi/6} t \sin t \, dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = t$,$dv = \sin t \, dt$.
तब $du = dt$,$v = -\cos t$.
$\int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t$.
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[-t \cos t + \sin t]_0^{\pi/6} = (-\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})) - (0 + 0)$.
$= -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$.

(C) दी गई शर्तें:
$(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$
$(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$
इन्हें सदिशों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\vec{DA} \cdot \vec{CB} = 0 \Rightarrow \vec{DA} \perp \vec{CB}$
$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0 \Rightarrow \vec{DB} \perp \vec{AC}$
चूंकि $\vec{DA}$ भुजा $BC$ पर लंब है और $\vec{DB}$ भुजा $AC$ पर लंब है,इसलिए बिंदु $D$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,बिंदु $D$ त्रिभुज $ABC$ का लंबकेंद्र है।

(B) दी गई रेखाओं को सममित रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
पहली रेखा $x = ay + b$ और $z = cy + d$ के लिए,हमारे पास $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ है।
अतः,पहली रेखा के दिक अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।
दूसरी रेखा $x = a'y + b'$ और $z = c'y + d'$ के लिए,हमारे पास $\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'}$ है।
अतः,दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(a', 1, c')$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंबवत होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$aa' + 1 + cc' = 0$,जिसका अर्थ है कि $aa' + cc' = -1$।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}} dx$ है।
कोष्ठक से $x^4$ कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{x^2 [x^4(1 + \frac{1}{x^4})]^{3/4}} dx = \int \frac{1}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} dx = \int \frac{1}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} dx$.
माना $t = 1 + \frac{1}{x^4}$।
तब $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\frac{1}{4} t^{-3/4} dt = -\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/4}}{1/4} + c = -t^{1/4} + c$।
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = -(1 + \frac{1}{x^4})^{1/4} + c = -(\frac{x^4 + 1}{x^4})^{1/4} + c = -\frac{(x^4 + 1)^{1/4}}{x} + c$।