IIT JEE 1984 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કારણ કે $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ એ એકમના $n$ મૂળ છે,તેથી તેઓ સમીકરણ $x^n - 1 = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,આપણે બહુપદીને આ રીતે લખી શકીએ:
$x^n - 1 = (x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
બંને બાજુ $(x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{x^n - 1}{x - 1} = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ:
$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
હવે,બંને બાજુ $x = 1$ મૂકતા:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \dots + 1 + 1 = (1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1})$
ડાબી બાજુએ કુલ $n$ પદો હોવાથી,સરવાળો $n$ થાય છે.
આમ,$(1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1}) = n$.

(A) આપેલ શ્રેણી $3 \cdot 8 + 6 \cdot 11 + 9 \cdot 14 + 12 \cdot 17 + \dots$ છે.
પ્રથમ અવયવો $3, 6, 9, 12, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને તેનું ${n^{th}}$ પદ $3n$ છે.
બીજા અવયવો $8, 11, 14, 17, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને તેનું ${n^{th}}$ પદ $8 + (n - 1)3 = 3n + 5$ છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણીનું ${n^{th}}$ પદ $T_n = 3n(3n + 5)$ થશે.

(B) ધારો કે $S_2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે,$S_5$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે,અને $S_{10}$ એ $2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે (એટલે કે $10$ વડે વિભાજ્ય).
$S_2 = 2 + 4 + \dots + 100 = \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550$.
$S_5 = 5 + 10 + \dots + 100 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$.
$S_{10} = 10 + 20 + \dots + 100 = \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550$.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંત મુજબ,જરૂરી સરવાળો $S_2 + S_5 - S_{10} = 2550 + 1050 - 550 = 3050$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$.
પદ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $x - 1 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \neq 1$.
સમીકરણની બંને બાજુએ $\frac{2}{x - 1}$ ઉમેરતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.
જોકે,મૂળ સમીકરણની શરત મુજબ $x \neq 1$ છે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ $x = 1$ એ સમીકરણના પ્રદેશમાં આવતો નથી,તેથી આ સમીકરણને કોઈ બીજ નથી.

(D) ધારો કે $y = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$.
તેથી $y(x - c) = x^2 - (a + b)x + ab$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - (a + b + y)x + (ab + cy) = 0$ થાય છે.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (a + b + y)^2 - 4(ab + cy) \ge 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 + 2y(a + b - 2c) + (a - b)^2 \ge 0$ મળે છે.
વિધેય તમામ વાસ્તવિક કિંમતો $y$ ધારણ કરે તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y$ માટે અઋણ હોવું જોઈએ. જોકે,$y^2$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો લેશે જો તેનો વિવેચક $D_y < 0$ હોય.
$D_y = [2(a + b - 2c)]^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$4(a + b - 2c)^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$(a + b - 2c)^2 - (a - b)^2 < 0$.
$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a + b - 2c - a + b)(a + b - 2c + a - b) < 0$.
$(2b - 2c)(2a - 2c) < 0$.
$4(b - c)(a - c) < 0$.
$(c - b)(c - a) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જો $c$ એ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે હોય,એટલે કે $a < c < b$ અથવા $b < c < a$.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 + 3x + 4}$.
બંને બાજુ $(x^2 + 3x + 4)$ વડે ગુણતા,આપણને $y(x^2 + 3x + 4) = x^2 - 3x + 4$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(y - 1)x^2 + 3(y + 1)x + 4(y - 1) = 0$ મળે છે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [3(y + 1)]^2 - 4(y - 1)(4(y - 1)) \ge 0$.
$9(y + 1)^2 - 16(y - 1)^2 \ge 0$.
$(3(y + 1))^2 - (4(y - 1))^2 \ge 0$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(3y + 3 - 4y + 4)(3y + 3 + 4y - 4) \ge 0$.
$(-y + 7)(7y - 1) \ge 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$(y - 7)(7y - 1) \le 0$.
આ અસમતા $\frac{1}{7} \le y \le 7$ માટે સાચી છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $7$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{7}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)$.
$f(x)$ એ ધન અગ્ર સહગુણક ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદી છે,તેથી આપણે $x = a, b, c, d$ માટે $f(x)$ ની કિંમત તપાસીએ:
$f(a) = 2(a - b)(a - d) > 0$ (કારણ કે $a < b$ અને $a < d$).
$f(b) = (b - a)(b - c) < 0$ (કારણ કે $b > a$ અને $b < c$).
$f(c) = 2(c - b)(c - d) < 0$ (કારણ કે $c > b$ અને $c < d$).
$f(d) = (d - a)(d - c) > 0$ (કારણ કે $d > a$ અને $d > c$).
$f(a) > 0$ અને $f(b) < 0$ હોવાથી,$(a, b)$ ની વચ્ચે એક બીજ છે.
$f(c) < 0$ અને $f(d) > 0$ હોવાથી,$(c, d)$ ની વચ્ચે એક બીજ છે.
આમ,સમીકરણના બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ ${x^2} - 3kx + 2{e^{2\log k}} - 1 = 0$ છે.
${e^{2\log k}} = {e^{\log {k^2}}} = {k^2}$ હોવાથી,સમીકરણ ${x^2} - 3kx + 2{k^2} - 1 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ છે.
અહીં,બીજનો ગુણાકાર $2{k^2} - 1$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $7$ આપેલ હોવાથી,$2{k^2} - 1 = 7$,જેનો અર્થ છે $2{k^2} = 8$,તેથી ${k^2} = 4$,એટલે કે $k = \pm 2$.
મૂળ સમીકરણમાં $\log k$ હોવાથી,$k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = 2$.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-3k)^2 - 4(1)(2{k^2} - 1) = 9{k^2} - 8{k^2} + 4 = {k^2} + 4$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $k$ માટે ${k^2} + 4 > 0$ હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક રહે છે.
આમ,$k=2$ માટે બીજ વાસ્તવિક છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$.
તેથી,$\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi }{8}) = -\cos \frac{\pi }{8}$ અને $\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{{3\pi }}{8}) = -\cos \frac{{3\pi }}{8}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
$E = \sin^2 \frac{\pi }{8} \sin^2 \frac{{3\pi }}{8}$
નિત્યસમ $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \left( \sin \frac{\pi }{8} \sin \frac{{3\pi }}{8} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{{2\pi }}{8} - \cos \frac{{4\pi }}{8} \right) \right)^2$
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{2} \right) \right)^2$
કારણ કે $\cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos \frac{\pi }{2} = 0$:
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{8}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,$\cos A + \cos B + \cos C$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{3}{2}$ છે,જે ફક્ત ત્યારે જ મળે છે જ્યારે $A = B = C = 60^{\circ}$ હોય.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{3}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{1}{8}$ મળે છે.
જેન્સેનની અસમતા મુજબ,$\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{1}{8}$ હોવાથી,આ સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $A = B = C = 60^{\circ}$ હોય.
આમ,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.

(C) ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $(1, -10)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y + 10 = m(x - 1)$ છે,જે $mx - y - (m + 10) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ આપેલી બે બાજુઓ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે. આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 7$ અને $m_2 = -1$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}| = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$,આપણને મળે છે:
$|\frac{m - 7}{1 + 7m}| = |\frac{m + 1}{1 - m}|$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $m = \frac{1}{3}$ અથવા $m = -3$ મળે છે.
$m = \frac{1}{3}$ માટે,સમીકરણ $x - 3y - 31 = 0$ મળે છે.
$m = -3$ માટે,સમીકરણ $3x + y + 7 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $3x - 4y - 3.5 = 0$ મળે છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$.
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|7.5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વ્યાસ $1.5$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $C(h, k)$ છે.
જીવા ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી ઉગમબિંદુ અને જીવાના અંત્યબિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ઉગમબિંદુથી મધ્યબિંદુ $C(h, k)$ નું અંતર $d = \sqrt{h^2 + k^2}$ છે.
ઉગમબિંદુ,મધ્યબિંદુ અને જીવાના એક અંત્યબિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઉગમબિંદુ પાસેનો ખૂણો $45^\circ$ છે.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(45^\circ) = \frac{d}{r}$,જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r = 2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{h^2 + k^2}{4}$,જેનું સાદું રૂપ $h^2 + k^2 = 2$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2)$ છે.
આપેલ સમીકરણો પરથી,$x_1 + x_2 = -2a$ અને $x_1x_2 = -b^2$ મળે છે.
તે જ રીતે,$y_1 + y_2 = -2p$ અને $y_1y_2 = -q^2$ મળે છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$ મળે છે.
આમ,અંતિમ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2ax + 2py - b^2 - q^2 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ પદ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{1 - {n^2}}} \right]$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ નીચે મુજબ થશે:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n(n+1)}{2(1 - {n^2})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^2 + n}{2 - 2n^2}$
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1 + \frac{1}{n}}{\frac{2}{n^2} - 2} = \frac{1 + 0}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (1 - x)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)$.
$y = 1 - x$ આદેશ લેતા,જ્યારે $x \to 1$,ત્યારે $y \to 0$ અને $x = 1 - y$.
તેથી $L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{{\pi (1 - y)}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi y}}{2}} \right)$.
નિત્યસમ $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \cot \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{y}{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}$.
$\frac{\pi }{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\pi }{2}} \cdot \frac{{\frac{{\pi y}}{2}}}{{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}} = \frac{2}{\pi } \cdot 1 = \frac{2}{\pi }$.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
દરેક પાસા પર સમાન સંખ્યા આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), \text{ અને } (6, 6, 6)$ છે.
આવા $6$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ છે.

(B) ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $A$ અને $B$ ના સંમિત તફાવત $P(A \Delta B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ બને અને $B$ ન બને,અથવા $B$ બને અને $A$ ન બને:
$P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ અને $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= (P(A) - P(A \cap B)) + (P(B) - P(A \cap B))$
$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$.

(A) ધારો કે સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ દર્શાવે છે.
$|z_1| = |z_2| = |z_3|$ હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ એ બધા શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ થી સમાન અંતરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઉગમબિંદુ $O$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે.
જો $G$ એ મધ્યકેન્દ્ર હોય,તો $G = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ પરિકેન્દ્ર $O$ (જે ઉગમબિંદુ $0$ છે) સાથે સંપાતી હોવાથી,$\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} = 0$ મળે.
તેથી,$z_1 + z_2 + z_3 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી આપણી પાસે સંબંધ $2b = a + c$ છે,જેને $a - 2b + c = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
સુરેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
આને શરત $a(1) + b(-2) + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા બિંદુ $(x, y) = (1, -2)$ માટે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,રેખા $ax + by + c = 0$ હંમેશા બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા = $3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
જોકે,એક જ બાજુ પર આવેલા બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી. આપણે તે કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જ્યાં $3$ બિંદુઓ એક જ બાજુ પરથી પસંદ કરવામાં આવ્યા હોય:
$1$. બાજુ $AB$ પરના બિંદુઓ: $^{3}C_3 = 1$ રીત.
$2$. બાજુ $BC$ પરના બિંદુઓ: $^{4}C_3 = 4$ રીતો.
$3$. બાજુ $CA$ પરના બિંદુઓ: $^{5}C_3 = 10$ રીતો.
કુલ સમરેખ બિંદુઓના સમૂહ = $1 + 4 + 10 = 15$.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $220 - 15 = 205$.

(A) સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે શૂન્યતર ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda(\lambda^2 - (-1)) - 1(-\lambda - (-1)) + 1(1 - (-\lambda)) = 0$
$\lambda(\lambda^2 + 1) - 1(-\lambda + 1) + 1(1 + \lambda) = 0$
$\lambda^3 + \lambda + \lambda - 1 + 1 + \lambda = 0$
$\lambda^3 + 3\lambda = 0$
$\lambda(\lambda^2 + 3) = 0$
આનાથી $\lambda = 0$ અથવા $\lambda^2 = -3$ મળે છે. કારણ કે $\lambda$ વાસ્તવિક હોવું જોઈએ,$\lambda^2 = -3$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$\lambda$ માટે માત્ર એક જ વાસ્તવિક કિંમત $0$ છે.

(D) આપણે સૂત્ર $2\tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$2\tan^{-1}\left( \frac{1}{5} \right)$ ની ગણતરી કરો:
$2\tan^{-1}\left( \frac{1}{5} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right)$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો:
$\tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right) - \frac{\pi}{4} \right] = \tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right) - \tan^{-1}(1) \right]$.
સૂત્ર $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5/12 - 1}{1 + (5/12)(1)} \right) \right] = \frac{5/12 - 1}{1 + 5/12} = \frac{-7/12}{17/12} = -\frac{7}{17}$.

(B) બળો $a, b$ અને $c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમને અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ અક્ષો પર દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i}$,$\vec{b} = 10\hat{j}$,અને $\vec{c} = 11\hat{k}$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ થશે.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{(2)^2 + (10)^2 + (11)^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{R}| = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે જેના સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = a + b$,$\vec{OB} = a - b$ અને $\vec{OC} = a + kb$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોય તે માટે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે $\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (a - b) - (a + b) = -2b$ ગણો.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (a + kb) - (a - b) = (k + 1)b$ ગણો.
સમરેખતા માટે,$-2b = \lambda(k + 1)b$.
આનો અર્થ એ છે કે $-2 = \lambda(k + 1)$. કારણ કે $\lambda$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,$k$ કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે.
આમ,$k$ ની દરેક વાસ્તવિક કિંમત માટે બિંદુઓ સમરેખ છે.

(B) યામ પદ્ધતિના પરિભ્રમણ દરમિયાન સદિશનું માન અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે મૂળ ઘટકો $(2p, 1)$ છે અને નવા ઘટકો $(p+1, 1)$ છે.
સદિશના માનનો વર્ગ $x^2 + y^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$.
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$.
$3p^2 - 2p - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $3p^2 - 3p + p - 1 = 0$.
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$.
$(3p+1)(p-1) = 0$.
આમ,$p = 1$ અથવા $p = -\frac{1}{3}$.

(A) આપેલ વિધેય $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ છે.
$y$ ના પદમાં $x$ શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$y(x - 1) = x + 2$
$yx - y = x + 2$
$yx - x = y + 2$
$x(y - 1) = y + 2$
$x = \frac{y + 2}{y - 1}$
કારણ કે $f(y) = \frac{y + 2}{y - 1}$ છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $x = f(y)$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$.
પ્રથમ,આપણે $x = 0$ પર સાતત્ય ચકાસીએ:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 - h) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 + h) = \lim_{h \to 0} (0 + h)^2 = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ પર સતત છે.
હવે,આપણે $x = 0$ પર વિકલનીયતા ચકાસીએ:
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$.
કારણ કે $Lf'(0) = Rf'(0) = 0$,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ પર વિકલનીય છે અને $f'(0) = 0$.
વિકલિત $f'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 2x, & x \ge 0 \end{cases}$ છે.
હવે,$x = 0$ પર $f'(x)$ નું સાતત્ય ચકાસીએ:
$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = f'(0) = 0$,તેથી $f'(x)$ એ $x = 0$ પર સતત છે.
છેલ્લે,$x = 0$ પર $f'(x)$ ની વિકલનીયતા ચકાસીએ:
$Lf''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(0 - h) - f'(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.
$Rf''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(0 + h) - f'(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(0 + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$.
કારણ કે $Lf''(0) \neq Rf''(0)$,તેથી $f'(x)$ એ $x = 0$ પર વિકલનીય નથી.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$.
$t = \sin^{-1} x$ આદેશ લેતા,$x = \sin t$ અને $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ મળે.
સંકલન $I = \int t \sin t \, dt$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
$u = t$ અને $dv = \sin t \, dt$ લેતા,$du = dt$ અને $v = -\cos t$ મળે.
$I = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t + c$.
$t = \sin^{-1} x$ હોવાથી,$\sin t = x$ અને $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I = -(\sin^{-1} x) \sqrt{1 - x^2} + x + c = x - \sqrt{1 - x^2} \sin^{-1} x + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x} = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2\cos x)}$.
અંશ અને છેદને $\sin x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sin x \, dx}{\sin^2 x(1 + 2\cos x)} = \int \frac{\sin x \, dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2\cos x)} = \int \frac{\sin x \, dx}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(1 + 2\cos x)}$.
ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x \, dx = dt$,એટલે કે $\sin x \, dx = -dt$.
$I = - \int \frac{dt}{(1 - t)(1 + t)(1 + 2t)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(1 - t)(1 + t)(1 + 2t)} = \frac{A}{1 - t} + \frac{B}{1 + t} + \frac{C}{1 + 2t}$.
સહગુણકો શોધતા,આપણને $A = \frac{1}{6}$,$B = -\frac{1}{2}$,$C = \frac{4}{3}$ મળે છે.
$I = - \int \left( \frac{1/6}{1 - t} - \frac{1/2}{1 + t} + \frac{4/3}{1 + 2t} \right) dt$.
$I = - \left[ \frac{1}{6} \frac{\log |1 - t|}{-1} - \frac{1}{2} \log |1 + t| + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \log |1 + 2t| \right] + C$.
$I = \frac{1}{6} \log |1 - t| + \frac{1}{2} \log |1 + t| - \frac{2}{3} \log |1 + 2t| + C$.
$t = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{6} \log |1 - \cos x| + \frac{1}{2} \log |1 + \cos x| - \frac{2}{3} \log |1 + 2\cos x| + C$.

(B) ધારો કે $t = \sin^{-1} x$.
તેથી $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$.
જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $t = \sin^{-1}(1/2) = \pi/6$.
વળી,$x = \sin t$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_0^{\pi/6} t \sin t \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = t$,$dv = \sin t \, dt$.
તેથી $du = dt$,$v = -\cos t$.
$\int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[-t \cos t + \sin t]_0^{\pi/6} = (-\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})) - (0 + 0)$.
$= -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$.

(C) આપેલ શરતો:
$(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$
$(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$
આને સદિશોના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\vec{DA} \cdot \vec{CB} = 0 \Rightarrow \vec{DA} \perp \vec{CB}$
$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0 \Rightarrow \vec{DB} \perp \vec{AC}$
અહીં $\vec{DA}$ એ બાજુ $BC$ ને લંબ છે અને $\vec{DB}$ એ બાજુ $AC$ ને લંબ છે,તેથી બિંદુ $D$ એ $\Delta ABC$ ના વેધનું છેદબિંદુ છે.
તેથી,બિંદુ $D$ એ $\Delta ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે.

(B) આપેલ રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
પ્રથમ રેખા $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ છે.
આમ,પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, 1, c)$ છે.
બીજી રેખા $x = a'y + b'$ અને $z = c'y + d'$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'}$ છે.
આમ,બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(a', 1, c')$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
દિકગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$ મળે છે.
તેથી,$aa' + 1 + cc' = 0$,જેનો અર્થ છે કે $aa' + cc' = -1$.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{1}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}} dx$ છે.
કૌંસમાંથી $x^4$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1}{x^2 [x^4(1 + \frac{1}{x^4})]^{3/4}} dx = \int \frac{1}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} dx = \int \frac{1}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} dx$.
ધારો કે $t = 1 + \frac{1}{x^4}$.
તેથી $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int -\frac{1}{4} t^{-3/4} dt = -\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/4}}{1/4} + c = -t^{1/4} + c$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = -(1 + \frac{1}{x^4})^{1/4} + c = -(\frac{x^4 + 1}{x^4})^{1/4} + c = -\frac{(x^4 + 1)^{1/4}}{x} + c$.