int_0^{1/2} frac{x sin^{-1} x}{sqrt{1 - x^2}} | vedclass

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Question

(B) माना $t = \sin^{-1} x$. तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. जब $x = 0$,तो $t = 0$. जब $x = 1/2$,तो $t = \sin^{-1}(1/2) = \pi/6$. साथ ही,$x = \s

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$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$

Vedclass · Answer

(B) माना $t = \sin^{-1} x$. तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. जब $x = 0$,तो $t = 0$. जब $x = 1/2$,तो $t = \sin^{-1}(1/2) = \pi/6$. साथ ही,$x = \sin t$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $\int_0^{\pi/6} t \sin t \, dt$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = t$,$dv = \sin t \, dt$. तब $du = dt$,$v = -\cos t$. $\int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t$. निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $[-t \cos t + \sin t]_0^{\pi/6} = (-\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})) - (0 + 0)$. $= -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$.

$\int_0^{1/2} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

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यदि $f(x) = \sin(\tan^{-1} x)$ है,तो $\int_0^1 x f''(x) dx =$

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