यदि 1, omega, omega^2, omega^3, dots, omega^{ | vedclass

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Question

(C) चूंकि $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ इकाई के $n$ मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं।अतः,हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते ह

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$n$

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(C) चूंकि $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ इकाई के $n$ मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं।अतः,हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:$x^n - 1 = (x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$दोनों पक्षों को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{x^n - 1}{x - 1} = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र का उपयोग करते हुए,बायां पक्ष सरल होकर होता है:$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$अब,दोनों पक्षों में $x = 1$ रखने पर:$1^{n-1} + 1^{n-2} + \dots + 1 + 1 = (1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1})$चूंकि बाईं ओर कुल $n$ पद हैं,इसलिए योग $n$ है।अतः,$(1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1}) = n$।

यदि $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \dots, \omega^{n-1}$ इकाई के $n$ मूल ($n^{th}$ roots of unity) हैं,तो $(1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1})$ का मान क्या होगा?

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