IIT JEE 1984 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) समरूपता के कारण,किसी भी क्षण पर,चारों व्यक्ति एक ऐसे वर्ग के कोनों पर होंगे जिसकी भुजा की लंबाई धीरे-धीरे कम हो रही है। वे अंततः वर्ग के केंद्र $O$ पर मिलेंगे।
प्रत्येक व्यक्ति का वेग $v$ है। किसी भी क्षण पर,केंद्र $O$ की ओर निर्देशित व्यक्ति के वेग का घटक $v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र $O$ से प्रत्येक व्यक्ति की प्रारंभिक दूरी वर्ग के विकर्ण की आधी है,जो $\frac{d\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र तक पहुँचने में लगा समय त्रिज्यीय दिशा में वेग के घटक द्वारा विभाजित दूरी है:
$t = \frac{\text{दूरी}}{\text{वेग का घटक}} = \frac{d/\sqrt{2}}{v/\sqrt{2}} = \frac{d}{v}$.

(C) दिया गया है कि शक्ति $P$ नियत है। हम जानते हैं कि $P = Fv = mav = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v$.
इस व्यंजक का समाकलन करने पर: $\frac{P}{m} dt = v dv$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{P}{m} dt = \int v dv \implies \frac{P}{m} t = \frac{v^2}{2}$.
अतः,$v^2 = \frac{2P}{m} t$,जिससे $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $ds = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right)$.
इसलिए,$s \propto t^{3/2}$.

(A) मान लीजिए शेल का द्रव्यमान $M$ है। जब इसे $v$ वेग से $\theta$ कोण पर दागा जाता है,तो उच्चतम बिंदु पर इसका वेग क्षैतिज दिशा में $v_x = v \cos \theta$ होता है।
विस्फोट से ठीक पहले शेल का संवेग $P_i = Mv \cos \theta$ है।
विस्फोट के बाद,शेल $m = M/2$ द्रव्यमान के दो समान टुकड़ों में विभाजित हो जाता है।
एक टुकड़ा अपने पथ पर वापस लौटता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग $-v \cos \theta$ (मूल क्षैतिज दिशा के विपरीत) हो जाता है।
मान लीजिए दूसरे टुकड़े का वेग $V$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$P_i = P_f$
$Mv \cos \theta = m(-v \cos \theta) + mV$
चूंकि $m = M/2$,हमारे पास है:
$Mv \cos \theta = \frac{M}{2}(-v \cos \theta) + \frac{M}{2}V$
$M/2$ से विभाजित करने पर:
$2v \cos \theta = -v \cos \theta + V$
$V = 3v \cos \theta$
अतः,दूसरे टुकड़े की गति $3v \cos \theta$ है।

(A) $r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $R = 8.3\, J/(mol \cdot K)$,$T = 300\, K$ (कमरे का तापमान),और $v_{rms} = 1920\, m/s$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.3 \times 300}{(1920)^2}$.
$M = \frac{7470}{3686400} \approx 0.002026\, kg/mol \approx 2 \times 10^{-3}\, kg/mol = 2\, g/mol$.
$H_2$ का मोलर द्रव्यमान $2\, g/mol$ है। अतः,वह गैस $H_2$ है।

(B) दिए गए समीकरण $Y = Y_0 \sin 2\pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ से करने पर:
हमें आयाम $a = Y_0$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$,और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम कण वेग $(v_{\max})_{\text{particle}} = a\omega = Y_0 \times 2\pi f$ होता है।
तरंग वेग $v_{\text{wave}} = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi f}{2\pi / \lambda} = f\lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम कण वेग,तरंग वेग का चार गुना है:
$(v_{\max})_{\text{particle}} = 4 v_{\text{wave}}$
$Y_0 \times 2\pi f = 4 f\lambda$
दोनों पक्षों को $4f$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda = \frac{2\pi Y_0}{4} = \frac{\pi Y_0}{2}$.

(D) दी गई राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$L = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$C = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$R = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$1$. $\frac{1}{RC}$ के लिए: समय नियतांक $\tau = RC$ की विमा समय $[T]$ होती है। अतः,$\frac{1}{RC}$ की विमा $[T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति है।
$2$. $\frac{R}{L}$ के लिए: अनुपात $\frac{R}{L}$ की विमा $[M L^2 T^{-3} A^{-2}] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति है।
$3$. $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ के लिए: अनुनादी आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ की विमा $[T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति है।
$4$. $\frac{C}{L}$ के लिए: विमा $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [M^{-2} L^{-4} T^6 A^4]$ है। यह आवृत्ति की विमा को नहीं दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) समस्या की सममिति के कारण,$A$ और $B$ पर स्थित आवेशों के कारण $Q$ पर लगने वाले बल के $Y$-अक्ष के अनुदिश घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे,जबकि $X$-अक्ष के अनुदिश घटक जुड़ जाएंगे और मूलबिंदु $O$ की ओर निर्देशित होंगे। इस बल के प्रभाव में,आवेश $Q$ मूलबिंदु $O$ की ओर गति करेगा।
यदि किसी समय आवेश $Q$,$O$ से $x$ दूरी पर है,तो आवेश $Q$ पर कुल बल:
$F_{net} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right)$
$F_{net} = - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2qQx}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$
चूंकि प्रत्यानयन बल $F_{net}$ विस्थापन $x$ के समानुपाती नहीं है (यह रैखिक नहीं है),इसलिए गति दोलनी होगी (जिसका आयाम $2a$ है) लेकिन सरल आवर्त गति नहीं होगी।

(C) दिए गए परिपथ में $4$ संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। प्रत्येक संधारित्र $A$ क्षेत्रफल और $d$ दूरी वाली दो निकटवर्ती प्लेटों द्वारा बनता है। प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्लेट $1$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ी है। यह प्लेट $2$ के साथ एक संधारित्र बनाती है। प्लेट $1$ पर आवेश $q_1 = +CV = +\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ है।
प्लेट $4$ बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी है। यह दो संधारित्रों के लिए एक प्लेट के रूप में कार्य करती है: एक प्लेट $3$ के साथ और दूसरी प्लेट $5$ के साथ। चूंकि प्लेट $4$ ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी है,इसलिए प्लेट $4$ के दोनों ओर आवेश ऋणात्मक होगा। प्लेट $4$ पर कुल आवेश $q_4 = -CV - CV = -2CV = -\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ है।
अतः,प्लेट $1$ और $4$ पर आवेश क्रमशः $\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ और $-\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ है।

(D) परमाणु प्रतिक्रियाएं तब होती हैं जब नाभिक नए उत्पाद बनाने के लिए परस्पर क्रिया करते हैं। कार्बन-नाइट्रोजन चक्र में,$_6C^{12} + _1H^1 \to _7N^{13} + 2 \text{ MeV}$ और $_7N^{14} + _1H^1 \to _8O^{15} + 7.3 \text{ MeV}$ सुविदित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित परमाणु संलयन (nuclear fusion) प्रक्रियाएं हैं जो तारों में होती हैं। विकल्प $(a)$ में दी गई प्रतिक्रिया इस संदर्भ में एक मानक परमाणु संलयन प्रतिक्रिया नहीं है। इसलिए,$(b)$ और $(c)$ दोनों संभावित परमाणु प्रतिक्रियाएं हैं।

(D) एक डायोड एक एकदिशीय स्विच के रूप में कार्य करता है,जो धारा को एक दिशा में प्रवाहित होने देता है,जिससे यह रेक्टिफिकेशन के लिए उपयुक्त हो जाता है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
ट्रायोड का उपयोग भी रेक्टिफायर के रूप में किया जा सकता है,इसके ग्रिड को कैथोड से जोड़कर,जो इसे डायोड की तरह कार्य करने में सक्षम बनाता है। हालाँकि,मानक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट सिद्धांत में,ट्रायोड का उपयोग मुख्य रूप से प्रवर्धन (amplification) के लिए किया जाता है। कथन $(B)$ तकनीकी रूप से गलत है क्योंकि ट्रायोड का उपयोग रेक्टिफायर के रूप में किया जा सकता है।
ट्रायोड द्वारा सिग्नल का प्रवर्धन उसके $I-V$ अभिलक्षण वक्र के रैखिक क्षेत्र में कार्य करके प्राप्त किया जाता है,जो यह सुनिश्चित करता है कि आउटपुट सिग्नल बिना किसी विरूपण के इनपुट सिग्नल की सटीक नकल है। अतः,कथन $(C)$ सही है।
चूंकि $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) मान लीजिए $P$ पर्दे पर वह बिंदु है जो स्लिट $S_1$ के ठीक सामने है। $S_1$ और $S_2$ से $P$ तक पहुँचने वाली प्रकाश किरणों के बीच पथ अंतर इस प्रकार है:
$\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{b^2 + d^2} - d$
$d >> b$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$\Delta x = d(1 + \frac{b^2}{d^2})^{1/2} - d \approx d(1 + \frac{b^2}{2d^2}) - d = \frac{b^2}{2d}$
विनाशी व्यतिकरण (अनुपस्थित तरंगदैर्घ्य) के लिए,पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
पथ अंतर के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{b^2}{2d} = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{b^2}{(2n - 1)d}$
$n = 1$ के लिए,$\lambda = \frac{b^2}{d}$.
$n = 2$ के लिए,$\lambda = \frac{b^2}{3d}$.
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।