IIT JEE 1984 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સમાનતાને કારણે,કોઈપણ ક્ષણે,ચાર વ્યક્તિઓ એક એવા ચોરસના ખૂણા પર હશે જેની બાજુની લંબાઈ ધીમે ધીમે ઘટે છે. તેઓ અંતે ચોરસના કેન્દ્ર $O$ પર મળશે.
દરેક વ્યક્તિનો વેગ $v$ છે. કોઈપણ ક્ષણે,કેન્દ્ર $O$ તરફ નિર્દેશિત વ્યક્તિના વેગનો ઘટક $v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ થી દરેક વ્યક્તિનું પ્રારંભિક અંતર ચોરસના વિકર્ણનું અડધું છે,જે $\frac{d\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં વેગના ઘટક વડે ભાગાકાર કરેલ અંતર છે:
$t = \frac{\text{અંતર}}{\text{વેગનો ઘટક}} = \frac{d/\sqrt{2}}{v/\sqrt{2}} = \frac{d}{v}$.

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $P = Fv = mav = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v$.
આ સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\frac{P}{m} dt = v dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{P}{m} dt = \int v dv \implies \frac{P}{m} t = \frac{v^2}{2}$.
આથી,$v^2 = \frac{2P}{m} t$,જે આપણને $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ આપે છે.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $ds = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right)$.
તેથી,$s \propto t^{3/2}$.

(A) ધારો કે શેલનું દળ $M$ છે. જ્યારે તેને $v$ વેગથી $\theta$ ખૂણે છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પથના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ તેનો વેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $v_x = v \cos \theta$ હોય છે.
વિસ્ફોટ પહેલાં શેલનું વેગમાન $P_i = Mv \cos \theta$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,શેલ $m = M/2$ દળના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
એક ટુકડો તેના પથ પર પાછો ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ $-v \cos \theta$ (મૂળ સમક્ષિતિજ દિશાની વિરુદ્ધ) થાય છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $V$ છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$P_i = P_f$
$Mv \cos \theta = m(-v \cos \theta) + mV$
કારણ કે $m = M/2$,તેથી:
$Mv \cos \theta = \frac{M}{2}(-v \cos \theta) + \frac{M}{2}V$
$M/2$ વડે ભાગતા:
$2v \cos \theta = -v \cos \theta + V$
$V = 3v \cos \theta$
આમ,બીજા ટુકડાની ઝડપ $3v \cos \theta$ છે.

(A) $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$ મળે છે.
આપેલ છે: $R = 8.3\, J/(mol \cdot K)$,$T = 300\, K$ (ઓરડાનું તાપમાન),અને $v_{rms} = 1920\, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.3 \times 300}{(1920)^2}$.
$M = \frac{7470}{3686400} \approx 0.002026\, kg/mol \approx 2 \times 10^{-3}\, kg/mol = 2\, g/mol$.
$H_2$ નું મોલર દળ $2\, g/mol$ છે. તેથી,તે વાયુ $H_2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Y = Y_0 \sin 2\pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં કંપવિસ્તાર $a = Y_0$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$,અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મળે છે.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_{\max})_{\text{particle}} = a\omega = Y_0 \times 2\pi f$ થાય.
તરંગ વેગ $v_{\text{wave}} = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi f}{2\pi / \lambda} = f\lambda$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ કણ વેગ એ તરંગ વેગ કરતાં ચાર ગણો છે:
$(v_{\max})_{\text{particle}} = 4 v_{\text{wave}}$
$Y_0 \times 2\pi f = 4 f\lambda$
બંને બાજુ $4f$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lambda = \frac{2\pi Y_0}{4} = \frac{\pi Y_0}{2}$.

(D) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$L = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$C = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$R = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$1$. $\frac{1}{RC}$ માટે: ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ નું પરિમાણ સમય $[T]$ છે. તેથી,$\frac{1}{RC}$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$2$. $\frac{R}{L}$ માટે: ગુણોત્તર $\frac{R}{L}$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$3$. $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ માટે: રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$4$. $\frac{C}{L}$ માટે: પરિમાણ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [M^{-2} L^{-4} T^6 A^4]$ છે. આ આવૃત્તિનું પરિમાણ દર્શાવતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સમસ્યાની સંમિતિને કારણે,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને લીધે $Q$ પર લાગતા બળના $Y$-અક્ષ પરના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરશે,જ્યારે $X$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થશે અને તે ઉગમબિંદુ $O$ ની દિશામાં હશે. આ બળની અસર હેઠળ,વિદ્યુતભાર $Q$ એ $O$ તરફ ગતિ કરશે.
જો કોઈ સમયે વિદ્યુતભાર $Q$ એ $O$ થી $x$ અંતરે હોય,તો વિદ્યુતભાર $Q$ પરનું કુલ બળ:
$F_{net} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right)$
$F_{net} = - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2qQx}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$
અહીં પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net}$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના પ્રમાણમાં નથી (તે રેખીય નથી),તેથી ગતિ દોલિત હશે (જેનો કંપવિસ્તાર $2a$ છે) પરંતુ તે સરળ આવર્ત ગતિ હશે નહીં.

(C) આપેલ પરિપથમાં $4$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. દરેક કેપેસિટર $A$ ક્ષેત્રફળ અને $d$ અંતર ધરાવતી બે પાસપાસેની પ્લેટો દ્વારા બને છે. દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે. તે પ્લેટ $2$ સાથે એક કેપેસિટર બનાવે છે. પ્લેટ $1$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = +CV = +\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ છે.
પ્લેટ $4$ બેટરીના ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે. તે બે કેપેસિટર માટે એક પ્લેટ તરીકે કાર્ય કરે છે: એક પ્લેટ $3$ સાથે અને બીજી પ્લેટ $5$ સાથે. પ્લેટ $4$ ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,પ્લેટ $4$ ની બંને બાજુઓ પરનો વિદ્યુતભાર ઋણ હશે. પ્લેટ $4$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_4 = -CV - CV = -2CV = -\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ છે.
આમ,પ્લેટ $1$ અને $4$ પરનો વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ અને $-\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ છે.

(D) ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓ ત્યારે થાય છે જ્યારે ન્યુક્લિયસ નવા ઉત્પાદનો બનાવવા માટે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. કાર્બન-નાઈટ્રોજન ચક્રમાં,$_6C^{12} + _1H^1 \to _7N^{13} + 2 \text{ MeV}$ અને $_7N^{14} + _1H^1 \to _8O^{15} + 7.3 \text{ MeV}$ એ જાણીતી અને પ્રાયોગિક રીતે ચકાસાયેલ ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયાઓ છે જે તારાઓમાં થાય છે. વિકલ્પ $(a)$ માં આપેલી પ્રતિક્રિયા આ સંદર્ભમાં પ્રમાણભૂત ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રતિક્રિયા નથી. તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને શક્ય ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓ છે.

(D) ડાયોડ એક દિશાકીય સ્વીચ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે પ્રવાહને એક દિશામાં વહેવા દે છે,જે તેને રેક્ટિફિકેશન માટે યોગ્ય બનાવે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ટ્રાયોડનો ઉપયોગ પણ રેક્ટિફાયર તરીકે થઈ શકે છે,તેના ગ્રીડને કેથોડ સાથે જોડીને,જે તેને ડાયોડની જેમ કાર્ય કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. જોકે,પ્રમાણભૂત ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ થિયરીમાં,ટ્રાયોડનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે એમ્પ્લીફિકેશન માટે થાય છે. વિધાન $(B)$ તકનીકી રીતે ખોટું છે કારણ કે ટ્રાયોડનો ઉપયોગ રેક્ટિફાયર તરીકે થઈ શકે છે.
ટ્રાયોડ દ્વારા સિગ્નલનું એમ્પ્લીફિકેશન તેના $I-V$ લાક્ષણિકતા વક્રના રેખીય પ્રદેશમાં કાર્ય કરીને પ્રાપ્ત થાય છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે આઉટપુટ સિગ્નલ એ ઇનપુટ સિગ્નલની વિકૃતિ વિનાની નકલ છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) ધારો કે $P$ એ પડદા પરનું બિંદુ છે જે સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે. $S_1$ અને $S_2$ થી $P$ પર પહોંચતા પ્રકાશના કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{b^2 + d^2} - d$
$d >> b$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta x = d(1 + \frac{b^2}{d^2})^{1/2} - d \approx d(1 + \frac{b^2}{2d^2}) - d = \frac{b^2}{2d}$
વિનાશક વ્યતિકરણ (ગેરહાજર તરંગલંબાઇઓ) માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{b^2}{2d} = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{b^2}{(2n - 1)d}$
$n = 1$ માટે,$\lambda = \frac{b^2}{d}$.
$n = 2$ માટે,$\lambda = \frac{b^2}{3d}$.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.