IIT JEE 1983 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को एक ही मध्य बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $\frac{z_1 + z_3}{2}$ है।
विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु $\frac{z_2 + z_4}{2}$ है।
चूंकि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $\frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{z_2 + z_4}{2}$ होगा।
अतः,$z_1 + z_3 = z_2 + z_4$।

(B) दिया गया है $\omega = \frac{1 - iz}{z - i}$ और $|\omega| = 1$।
$|\frac{1 - iz}{z - i}| = 1$
$|1 - iz| = |z - i|$
$z = x + iy$ रखने पर:
$|1 - i(x + iy)| = |x + iy - i|$
$|1 - ix + y| = |x + i(y - 1)|$
$|(1 + y) - ix| = |x + i(y - 1)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1 + y)^2 + (-x)^2 = x^2 + (y - 1)^2$
$1 + y^2 + 2y + x^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2y$
$2y = -2y$
$4y = 0 \implies y = 0$।
चूंकि $z = x + iy$ और $y = 0$,इसलिए $z = x$,जिसका अर्थ है कि $z$ वास्तविक अक्ष पर स्थित है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0), A(z_1),$ और $B(z_2)$ हैं। चूँकि $\Delta OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है,मूल बिंदु $O$ के परितः सदिश $OA$ का $60^\circ$ ($\pi/3$ रेडियन) घूर्णन सदिश $OB$ के संपाती होना चाहिए।
अतः,$z_2 = z_1 e^{\pm i\pi/3}$.
इसका अर्थ है $\frac{z_2}{z_1} = \cos(\pi/3) \pm i \sin(\pi/3) = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $2z_2 = z_1(1 \pm i\sqrt{3})$,या $2z_2 - z_1 = \pm i\sqrt{3} z_1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2z_2 - z_1)^2 = -3z_1^2$.
$4z_2^2 - 4z_1 z_2 z_1^2 = -3z_1^2$.
$4z_1^2 4z_2^2 = 4z_1 z_2$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $z_1^2 z_2^2 = z_1 z_2$ प्राप्त होता है।

(C) माना $x = 2.\overline{357} = 2.357357357...$
इसे $x = 2 + 0.357357357...$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y = 0.357357357... = \frac{357}{1000} + \frac{357}{1000^2} + \frac{357}{1000^3} + ...$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{357}{1000}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{1000}$ है।
योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{357}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{357}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{357}{999}$।
अतः,$x = 2 + \frac{357}{999} = \frac{2 \times 999 + 357}{999} = \frac{1998 + 357}{999} = \frac{2355}{999}$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + 3x + 1 = 0$ है।
इसे $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = 3, c = 1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$ है।
चूंकि $D > 0$ और $D$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल वास्तविक और परिमेय हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{-4}{4} = -1$ हैं।
दोनों मूल परिमेय संख्याएँ हैं।

(B) माना मूल $\alpha$ और $\alpha^n$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
दूसरे समीकरण से,$\alpha = (\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}}$.
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर:
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + ((\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}})^n = -\frac{b}{a}$
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + (\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -\frac{b}{a}$
दोनों पक्षों को $a$ से गुणा करने पर:
$a \cdot \frac{c^{\frac{1}{n+1}}}{a^{\frac{1}{n+1}}} + a \cdot \frac{c^{\frac{n}{n+1}}}{a^{\frac{n}{n+1}}} = -b$
$a^{\frac{n}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{\frac{1}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$(a^n c)^{\frac{1}{n+1}} + (a c^n)^{\frac{1}{n+1}} = -b$.

(A) सबसे पहले,$m$ पुरुषों को एक पंक्ति में $m!$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
चूंकि $n < m$ है और कोई भी दो महिलाएं एक साथ नहीं बैठ सकती हैं,इसलिए हम पुरुषों के बीच के स्थानों पर विचार करते हैं।
$m!$ व्यवस्थाओं में से किसी भी एक में,$(m + 1)$ उपलब्ध स्थान (सिरों सहित) हैं जहाँ $n$ महिलाओं को बैठाया जा सकता है।
इन $(m + 1)$ स्थानों में $n$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^{m+1}P_n$ है।
इसलिए,गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $m! \times {}^{m+1}P_n$ है।
$= m! \times \frac{(m + 1)!}{(m + 1 - n)!} = \frac{m! (m + 1)!}{(m - n + 1)!}$.

(A) $\left( \frac{x}{2} - \frac{3}{x^2} \right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r \left( \frac{x}{2} \right)^{10-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r$ है।
इसे सरल करने पर,$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r \frac{3^r}{2^{10-r}} x^{10-3r}$ प्राप्त होता है।
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $4$ के बराबर रखें:
$10 - 3r = 4$ $\Rightarrow 3r = 6$ $\Rightarrow r = 2$.
$r = 2$ रखने पर:
$T_{2+1} = {}^{10}C_2 (-1)^2 \frac{3^2}{2^{10-2}} x^4 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times 1 \times \frac{9}{256} x^4 = \frac{405}{256} x^4$.
अतः,$x^4$ का गुणांक $\frac{405}{256}$ है।

(A) दिया गया द्विपद विस्तार: $(1 + ax)^n = 1 + n(ax) + \frac{n(n - 1)}{2}(ax)^2 + .... = 1 + 8x + 24x^2 + ....$
$x$ और $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$na = 8$ --- $(1)$
$\frac{n(n - 1)}{2}a^2 = 24$ --- $(2)$
$(1)$ से,$n = \frac{8}{a}$। इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(\frac{8}{a})(\frac{8}{a} - 1)}{2}a^2 = 24$
$\frac{8}{2a} \times (8 - a) \times a = 24$
$4(8 - a) = 24$
$8 - a = 6$
$a = 2$
$a = 2$ को $(1)$ में रखने पर:
$n(2) = 8 \Rightarrow n = 4$.
अतः,$a = 2$ और $n = 4$ है।

(A) दिया गया है $\tan A = \frac{1 - \cos B}{\sin B}$।
अर्ध-कोण सूत्रों $1 - \cos B = 2\sin^2(B/2)$ और $\sin B = 2\sin(B/2)\cos(B/2)$ का उपयोग करने पर:
$\tan A = \frac{2\sin^2(B/2)}{2\sin(B/2)\cos(B/2)} = \frac{\sin(B/2)}{\cos(B/2)} = \tan(B/2)$।
अतः,$A = B/2$,जिसका अर्थ है $2A = B$।
इसलिए,$\tan 2A = \tan B$।

(B) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h = 60 \ m$ है और लाइटहाउस के पाद से नाव की दूरी $x \ m$ है।
समकोण त्रिभुज में,नाव से शीर्ष का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर यानी $15^\circ$ होता है।
अतः,$\tan(15^\circ) = \frac{60}{x}$।
इसलिए,$x = 60 \cot(15^\circ) = 60 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \right) \ m$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(0, 8/3)$,$B(1, 3)$,और $C(82, 30)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या ये बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं,हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(3 - 30) + 1(30 - 8/3) + 82(8/3 - 3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0 + (90 - 8)/3 + 82(-1/3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |82/3 - 82/3| = 0$
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं और त्रिभुज नहीं बनाते हैं। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |6(5 - (-2)) + (-3)(-2 - 3) + 4(3 - 5)| = 24.5$.
$\Delta PBC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |x(5 - (-2)) + (-3)(-2 - y) + 4(y - 5)| = \frac{7}{2} |x + y - 2|$.
अनुपात = $\frac{\text{Area}(\Delta PBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left| \frac{x + y - 2}{7} \right|$.

(B) माना शीर्ष $A(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$,$B(at_2t_3, a(t_2 + t_3))$,और $C(at_3t_1, a(t_3 + t_1))$ हैं।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{1}{t_3}$ है।
$A$ से $BC$ पर लंब का समीकरण $t_3x + y = a(t_1 + t_2 + t_1t_2t_3)$ है।
इसी प्रकार,$B$ से $AC$ पर लंब का समीकरण $t_1x + y = a(t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर,$x = -a$ और $y = a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(-a, a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3))$ है।

(B) रेखाओं $x + 2y - 10 = 0$ और $2x + y + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए,हम उन्हें एक साथ हल करते हैं।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y - 20 = 0$ प्राप्त होता है।
इसमें से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(2x + 4y - 20) - (2x + y + 5) = 0$,जो $3y - 25 = 0$ में सरल हो जाता है,इसलिए $y = 25/3$ है।
$y = 25/3$ को $x + 2y - 10 = 0$ में रखने पर: $x + 2(25/3) - 10 = 0 \implies x + 50/3 - 30/3 = 0 \implies x = -20/3$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-20/3, 25/3)$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$5x + 4y = 0$ के लिए:
$5(-20/3) + 4(25/3) = -100/3 + 100/3 = 0$ है।
अतः,रेखा $5x + 4y = 0$ प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है।

(B) कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ द्वारा दिए जाते हैं।
स्थिति $1$: $21x + 77y - 101 = 0$
स्थिति $2$: $11x - 3y + 9 = 0$
न्यूनकोण समद्विभाजक की पहचान करने के लिए,$a_1a_2 + b_1b_2$ का चिह्न जाँचें। यहाँ $a_1=3, b_1=-4, a_2=12, b_2=5$ है।
$a_1a_2 + b_1b_2 = 36 - 20 = 16 > 0$ है।
जब $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$ होता है,तो न्यूनकोण समद्विभाजक $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = -\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ द्वारा प्राप्त होता है,जो $11x - 3y + 9 = 0$ है।

(C) माना कि $p$ शीर्ष $(2, -1)$ से आधार $x + y - 2 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज के लिए,शीर्षलंब $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
हल करने पर,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
समीकरणों के युग्मों को हल करने पर:
$1$) $x + y = 4$ और $3x + y = 4$: घटाने पर $2x = 0 \implies x = 0, y = 4$। शीर्ष $A(0, 4)$।
$2$) $3x + y = 4$ और $x + 3y = 4$: हल करने पर $x = 1, y = 1$। शीर्ष $B(1, 1)$।
$3$) $x + y = 4$ और $x + 3y = 4$: घटाने पर $2y = 0 \implies y = 0, x = 4$। शीर्ष $C(4, 0)$।
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2} = 4\sqrt{2}$
चूंकि $AB = BC$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।

(A) दी गई रेखा: $4x - 3y - 10 = 0 \implies x = \frac{3y + 10}{4}$.
इसे वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3y + 10}{4})^2 + y^2 - 2(\frac{3y + 10}{4}) + 4y - 20 = 0$.
हर को हटाने के लिए $16$ से गुणा करने पर:
$(3y + 10)^2 + 16y^2 - 8(3y + 10) + 64y - 320 = 0$.
$9y^2 + 60y + 100 + 16y^2 - 24y - 80 + 64y - 320 = 0$.
$25y^2 + 100y - 300 = 0$.
$y^2 + 4y - 12 = 0$.
$(y + 6)(y - 2) = 0$.
अतः,$y = -6$ या $y = 2$.
$y = -6$ के लिए,$x = \frac{3(-6) + 10}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y = 2$ के लिए,$x = \frac{3(2) + 10}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
बिंदु $(-2, -6)$ और $(4, 2)$ हैं।

(C) वृत्त $S = 0$ की उस जीवा का समीकरण जिसका मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ है,$T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = x x_1 + y y_1 - a^2$ और $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x x_1 + y y_1 - a^2 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$
दोनों पक्षों में $a^2$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x x_1 + y y_1 = x_1^2 + y_1^2$.

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
दिया गया है $S_1: x^2 + y^2 + 13x - 3y = 0$ और $S_2: 2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25 = 0$।
अभीष्ट समीकरण $(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + \lambda (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$ है।
चूंकि वृत्त $(1, 1)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$(1 + 1 + 13 - 3) + \lambda (2 + 2 + 4 - 7 - 25) = 0$
$12 - 24\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$।
$\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$2(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$
$4x^2 + 4y^2 + 30x - 13y - 25 = 0$।

(C) परवलय $y = x^2$ के लिए $(2, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{1}{2}(y + 4) = x(2)$ अर्थात $4x - y - 4 = 0$ है।
चूंकि वृत्त इस बिंदु पर स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(h, k)$ बिंदु $(2, 4)$ पर अभिलंब (normal) पर स्थित होगा।
स्पर्श रेखा की ढाल $4$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{4}$ होगी।
अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$ अर्थात $x + 4y = 18$ है।
अतः,$h + 4k = 18$ $(i)$.
वृत्त $(0, 1)$ और $(2, 4)$ से गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से इन बिंदुओं की दूरी समान होगी:
$(h - 2)^2 + (k - 4)^2 = (h - 0)^2 + (k - 1)^2$.
इसे सरल करने पर $4h + 6k = 19$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$k = \frac{53}{10}$ और $h = -\frac{16}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $\left( -\frac{16}{5}, \frac{53}{10} \right)$ है।

(B) $L$'$H$ôpital's rule का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({2^x} - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}({{(1 + x)}^{1/2}} - 1)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + x)}^{ - 1/2}}}}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{{{2^0}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + 0)}^{ - 1/2}}}} = \frac{{1 \cdot \ln 2}}{{\frac{1}{2}}} = 2\ln 2 = \ln({2^2}) = \ln 4$.

(B) $ASSASSIN$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $A(2), S(4), I(1), N(1)$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{8!}{2!4!1!1!} = 840$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $S$ एक साथ न आएं,हम पहले शेष अक्षरों $A, A, I, N$ को व्यवस्थित करते हैं। इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
ये $4$ अक्षर $5$ रिक्त स्थान बनाते हैं: $\_ L_1 \_ L_2 \_ L_3 \_ L_4 \_$.
हमें इन $5$ स्थानों में से $4$ स्थानों में $S$ को रखना है। $5$ में से $4$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{5}{4} = 5$ हैं।
अनुकूल व्यवस्था $ = 12 \times 5 = 60$.
आवश्यक प्रायिकता $ = \frac{60}{840} = \frac{1}{14}$.

(D) समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $P(A \cup B \cup C) = 0.3 + 0.4 + 0.8 - 0.08 - x - 0.28 + 0.09 = 1.23 - x$.
दिया है कि $P(A \cup B \cup C) \ge 0.75$,इसलिए $1.23 - x \ge 0.75$,जिसका अर्थ है $x \le 0.48$.
किसी भी घटना $B$ और $C$ के लिए,$P(BC) \ge P(ABC) = 0.09$.
इसके अतिरिक्त,$P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(BC) = 0.4 + 0.8 - x = 1.2 - x \le 1$,इसलिए $x \ge 0.2$.
इस प्रकार,$0.2 \le x \le 0.48$. दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिसर से मेल नहीं खाता है।

(A) $52$ पत्तों में से $n$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $52 \times 51 \times \dots \times (52 - n + 1)$ हैं।
$n$ वें पत्ते पर दूसरा इक्का प्राप्त करने के लिए,पहले $(n-1)$ पत्तों में ठीक एक इक्का होना चाहिए और $n$ वें पत्ते पर एक इक्का होना चाहिए।
पहले $(n-1)$ ड्रा में पहले इक्के की स्थिति चुनने के तरीके $(n-1)$ हैं।
पहला इक्का चुनने के तरीके $4$ हैं,और शेष $(n-2)$ पत्ते $48$ गैर-इक्का पत्तों में से $P(48, n-2)$ तरीकों से चुने जाते हैं।
$n$ वें ड्रा पर दूसरा इक्का चुनने के तरीके $3$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $(n-1) \times 4 \times P(48, n-2) \times 3$ है।
$n$ ड्रा के लिए कुल परिणाम $P(52, n)$ हैं।
$P(N=n) = \frac{(n-1) \times 4 \times 3 \times \frac{48!}{(48-(n-2))!}}{\frac{52!}{(52-n)!}} = \frac{12(n-1) \times 48! \times (52-n)!}{52! \times (50-n)!} = \frac{12(n-1)(52-n)(51-n)}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{(n-1)(52-n)(51-n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$.

(C) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में,$x^k$ का गुणांक $^{2n}C_k$ है,जहाँ $0 \le k \le 2n$ है।
दिया गया है कि $x^{3r}$ और $x^{r+2}$ के गुणांक समान हैं,इसलिए $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$ है।
गुणधर्म $^{n}C_a = ^{n}C_b$ का उपयोग करते हुए,जिसका अर्थ है $a = b$ या $a + b = n$,हमें दो स्थितियाँ मिलती हैं:
स्थिति $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$। हालाँकि,यह दिया गया है कि $r > 1$,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow 2n = 4r + 2$ $\Rightarrow n = 2r + 1$।
अतः,सही संबंध $n = 2r + 1$ है।

(D) बिंदु $P(x,y)$ का बिंदुपथ $|AP - BP| = 6$ शर्त द्वारा परिभाषित है।
यहाँ,$A = (0,4)$ और $B = (0,-4)$ हैं।
$AP = \sqrt{x^2 + (y-4)^2}$ और $BP = \sqrt{x^2 + (y+4)^2}$ है।
$|\sqrt{x^2 + (y-4)^2} - \sqrt{x^2 + (y+4)^2}| = 6$ है।
यह अतिपरवलय (hyperbola) की परिभाषा है जिसके नाभिक $(0,4)$ और $(0,-4)$ हैं।
नाभिकों के बीच की दूरी $2ae = 8$ है,इसलिए $ae = 4$ है।
स्थिर अंतर $2a = 6$ है,इसलिए $a = 3$ है।
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$ है।
केंद्र $(0,0)$ पर है और अनुप्रस्थ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
समीकरण $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$ है।

(D) माना शीर्ष $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ और $C(h, k)$ हैं। लंबकेंद्र $H$ का मान $(0, 0)$ है।
चूंकि $CH \perp AB$,$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ है।
शीर्षलंब $CH$ की ढाल $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ है।
$CH$ बिंदु $(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,जिसका अर्थ है $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
इसी प्रकार,$AH \perp BC$ होने के कारण,$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
शीर्षलंब $AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ है।
$AH \perp BC$ होने के कारण,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,इसलिए $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $(1)$ से,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ में रखने पर: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
तब $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 7 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} x+9 & x+9 & x+9 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
$R_1$ से $(x+9)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x+9) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x+9) [1(x^2 - 12) - 1(2x - 14) + 1(12 - 7x)] = 0$.
$(x+9) [x^2 - 12 - 2x + 14 + 12 - 7x] = 0$.
$(x+9) (x^2 - 9x + 14) = 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x+9) (x-2) (x-7) = 0$.
अतः,मूल $x = -9, 2, 7$ हैं।
इसलिए अन्य दो मूल $2$ और $7$ हैं।

(B) माना कि $\theta = \cos^{-1} \frac{4}{5}$. तब $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - (16/25)}}{4/5} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\tan \left[ \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} \right]$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17}{6} \right) \right] = \frac{17}{6}$.

(B) दिए गए सदिश $a = i + 2j + 2k$ और $b = 3i + 6j + 2k$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $b$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|b| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7.$
इसके बाद,$a$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a}$ ज्ञात करें:
$|a| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$
$\hat{a} = \frac{a}{|a|} = \frac{i + 2j + 2k}{3}.$
अभीष्ट सदिश का परिमाण $|b|$ है और दिशा $\hat{a}$ है,इसलिए यह $|b|\hat{a}$ होगा:
$7 \times \left( \frac{i + 2j + 2k}{3} \right) = \frac{7}{3}(i + 2j + 2k).$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC}$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB}$.
इसी प्रकार,$\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {BC}$.
अतः,$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$.
इसका अर्थ है कि सदिश $\overrightarrow {AB}$ का परिमाण सदिश $\overrightarrow {BC}$ के परिमाण के बराबर है,अर्थात $|\overrightarrow {AB}| = |\overrightarrow {BC}|$.
चूंकि दो भुजाओं $AB$ और $BC$ की लंबाई समान है,इसलिए बिंदु $A, B, C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(A) माना बिंदु $A(60, 3)$,$B(40, -8)$ और $C(a, -52)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\overrightarrow{AB}$ को सदिश $\overrightarrow{BC}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\overrightarrow{AB} = (40 - 60)i + (-8 - 3)j = -20i - 11j$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 40)i + (-52 - (-8))j = (a - 40)i - 44j$.
संरेखता के लिए,किसी अदिश $k$ के लिए $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{BC}$ होना चाहिए।
$-20i - 11j = k((a - 40)i - 44j)$.
$j$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-11 = -44k$,जिससे $k = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$i$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-20 = k(a - 40)$.
$k = \frac{1}{4}$ रखने पर: $-20 = \frac{1}{4}(a - 40)$.
$-80 = a - 40$.
$a = -80 + 40 = -40$.

(C) मान लीजिए क्षैतिज बल $\vec{F_1} = P_1 \hat{i}$ है और झुका हुआ बल $\vec{F_2}$ है।
परिणामी बल $\vec{R}$ ऊर्ध्वाधर दिशा में है,इसलिए $\vec{R} = P \hat{j}$।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम से,$\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$,इसलिए $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1} = -P_1 \hat{i} + P \hat{j}$।
$\vec{F_2}$ और ऊर्ध्वाधर अक्ष ($y$-अक्ष) के बीच का कोण $60^\circ$ है।
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हुए: $\cos 60^\circ = \frac{\vec{F_2} \cdot \hat{j}}{|\vec{F_2}| |\hat{j}|}$।
$\frac{1}{2} = \frac{(-P_1 \hat{i} + P \hat{j}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{(-P_1)^2 + P^2}} = \frac{P}{\sqrt{P_1^2 + P^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{P^2}{P_1^2 + P^2} \Rightarrow P_1^2 + P^2 = 4P^2 \Rightarrow P_1^2 = 3P^2 \Rightarrow P_1 = P\sqrt{3}$।
झुके हुए बल का परिमाण $|\vec{F_2}| = \sqrt{P_1^2 + P^2} = \sqrt{3P^2 + P^2} = \sqrt{4P^2} = 2P$ है।
अतः,दो बल $P\sqrt{3}$ और $2P$ हैं।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ हैं।
समतल में दो सदिश: $\vec{AB} = i + j - 3k$ और $\vec{BC} = -2i + 2j + 2k$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 8i + 4j + 4k$.
इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{8i + 4j + 4k}{\sqrt{96}} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$.

(B) त्रिभुज के शीर्ष $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$ और $C(3, -1, 2)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (2-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 2\hat{i}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की गणना:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - (-6)) + \hat{k}(0 - 4) = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ वर्ग इकाई है।

(C) माना सदिश $\vec{a} = 2i - 3j + 0k$,$\vec{b} = i + j - k$,और $\vec{c} = 3i + 0j - k$ हैं।
संगामी किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
इसकी गणना सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के रूप में की जाती है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |2(1(-1) - (-1)(0)) - (-3)(1(-1) - (-1)(3)) + 0|$
$V = |2(-1) + 3(-1 + 3)|$
$V = |-2 + 3(2)|$
$V = |-2 + 6| = |4| = 4$.
अतः,समांतर षट्फलक का आयतन $4$ घन इकाई है।

(A) दिया गया है कि $x$ एक शून्येतर सदिश है जिसके लिए $x \cdot a = 0, x \cdot b = 0$ और $x \cdot c = 0$ है।
इसका अर्थ है कि सदिश $x$,सदिशों $a, b$ और $c$ में से प्रत्येक के लंबवत है।
यदि $x$ एक शून्येतर सदिश है जो $a, b$ और $c$ के लंबवत है,तो $a, b$ और $c$ को $x$ के लंबवत एक समतल में स्थित होना चाहिए।
अतः,सदिश $a, b$ और $c$ समतलीय हैं।
किन्हीं भी तीन समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $[a, b, c] = 0$।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \cos (\log x)$.
अतः $f(y) = \cos (\log y)$.
हमें $f(x)f(y) - \frac{1}{2}[f(x/y) + f(xy)]$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\log(a/b) = \log a - \log b$ और $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करते हुए:
$f(x/y) = \cos(\log(x/y)) = \cos(\log x - \log y)$
$f(xy) = \cos(\log(xy)) = \cos(\log x + \log y)$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x)f(y) - \frac{1}{2}[\cos(\log x - \log y) + \cos(\log x + \log y)]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2\cos A \cos B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \log x$ और $B = \log y$ है:
$= \cos(\log x)\cos(\log y) - \frac{1}{2}[2\cos(\log x)\cos(\log y)]$
$= \cos(\log x)\cos(\log y) - \cos(\log x)\cos(\log y) = 0$.

(C) दिया गया है $f(x) = (a - x^n)^{1/n}$।
$f[f(x)]$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को फलन $f$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f[f(x)] = (a - [f(x)]^n)^{1/n}$
$f(x)$ का मान रखने पर:
$f[f(x)] = (a - [(a - x^n)^{1/n}]^n)^{1/n}$
आंतरिक पद को सरल करने पर:
$f[f(x)] = (a - (a - x^n))^{1/n}$
$f[f(x)] = (a - a + x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = (x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = x$.

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0)$ का मान $\lim_{x \to 0} f(x)$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$.
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए,हम सीमा को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1 + ax)}{x} - \frac{\log(1 - bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \left( a \cdot \frac{\log(1 + ax)}{ax} - (-b) \cdot \frac{\log(1 - bx)}{-bx} \right)$
$= a(1) + b(1) = a + b$.
अतः,$f(0) = a + b$.

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें:
$\frac{x - 1}{(x + 1)^3} = \frac{(x + 1) - 2}{(x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3}$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$.
तब $f'(x) = \frac{d}{dx} [(x + 1)^{-2}] = -2(x + 1)^{-3} = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.
इस प्रकार,समाकलन बन जाता है:
$\int e^x \left[ \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3} \right] \, dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
$f(x)$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{e^x}{(x + 1)^2} + c$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi /4} {\frac{{\sin x + \cos x}}{{9 + 16\sin 2x}}\,dx}$.
$t = \sin x - \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = (\cos x + \sin x)dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
जब $x = \pi /4$,तब $t = \sin(\pi /4) - \cos(\pi /4) = 0$.
साथ ही,$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$,इसलिए $\sin 2x = 1 - t^2$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{9 + 16(1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{25 - 16t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right|$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{16} \int_{-1}^0 \frac{dt}{(5/4)^2 - t^2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2(5/4)} \left[ \log \left| \frac{5/4 + t}{5/4 - t} \right| \right]_{-1}^0$.
$I = \frac{1}{40} \left[ \log \left| \frac{5 + 4t}{5 - 4t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{40} \left[ \log(1) - \log \left| \frac{1}{9} \right| \right]$.
$I = \frac{1}{40} [0 - (-\log 9)] = \frac{1}{40} \log(3^2) = \frac{2}{40} \log 3 = \frac{1}{20} \log 3$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx$ ..... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot(\pi/2 - x)}}{\sqrt{\cot(\pi/2 - x)} + \sqrt{\tan(\pi/2 - x)}} \, dx$
चूंकि $\cot(\pi/2 - x) = \tan x$ और $\tan(\pi/2 - x) = \cot x$,इसलिए:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}} \, dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx$
$2I = \int_0^{\pi /2} 1 \, dx$
$2I = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(B) माना कि $x = a$ पर स्थित कोटि क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
वक्र $y = 1 + \frac{8}{x^2}$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = 2$ तथा $x = 4$ द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{2}^{4} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx$
$A = \left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{4}$
$A = \left( 4 - \frac{8}{4} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = (4 - 2) - (2 - 4) = 2 - (-2) = 4$ वर्ग इकाई।
चूंकि कोटि $x = a$ इस क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,इसलिए $x = 2$ से $x = a$ तक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा यानी $4 / 2 = 2$ होना चाहिए।
$\int_{2}^{a} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx = 2$
$\left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{a} = 2$
$\left( a - \frac{8}{a} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = 2$
$a - \frac{8}{a} - (2 - 4) = 2$
$a - \frac{8}{a} + 2 = 2$
$a - \frac{8}{a} = 0$
$a^2 - 8 = 0$
$a^2 = 8$
$a = \pm 2\sqrt{2}$।
चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है जहाँ $x > 0$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $X$ निकाले गए टिकट पर संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। चूंकि टिकटों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जाता है,इसलिए प्रत्येक चयन स्वतंत्र है।
प्रत्येक चयन के लिए,टिकट पर संख्या $9$ या उससे कम होने की प्रायिकता $P(X \le 9) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ है।
$7$ निकाले गए टिकटों में सबसे बड़ी संख्या $9$ होने की प्रायिकता $P(\text{max} = 9) = P(\text{max} \le 9) - P(\text{max} \le 8)$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{max} \le 9) = (\frac{9}{15})^7 = (\frac{3}{5})^7$.
$P(\text{max} \le 8) = (\frac{8}{15})^7$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $(\frac{3}{5})^7 - (\frac{8}{15})^7$ है।
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।