IIT JEE 1983 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની અવસ્થા બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ નું સૂત્ર $Q = mL$ છે,જ્યાં $L$ એ ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
તેથી,ગુપ્ત ઉષ્મા $L$ માટેનું સૂત્ર $L = \frac{Q}{m}$ થાય.
ઉષ્મા $Q$ એ ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1]$ છે.
આ કિંમતોને $L$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[M^1]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોણીય વેગમાન $(L)$ એ રેખીય વેગમાન $(p)$ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતર $(r)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$L = p \times r$.
રેખીય વેગમાન $p = m \times v$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M]$ છે.
વેગ $v$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L{T^{ - 1}}]$ છે.
અંતર $r$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M] \times [L{T^{ - 1}}] \times [L] = [M{L^2}{T^{ - 1}}]$ થાય છે.

(A) કેપેસીટન્સ $C$ એ વિદ્યુતભાર $Q$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $C = \frac{Q}{V}$ છે.
કારણ કે $V = \frac{W}{Q}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,આપણે લખી શકીએ $C = \frac{Q^2}{W}$.
વિદ્યુતભાર $Q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A^1T^1]$ છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $C = \frac{[A^1T^1]^2}{[M^1L^2T^{-2}]} = \frac{[A^2T^2]}{[M^1L^2T^{-2}]}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[C] = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ મળે છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$L = \frac{2E}{i^2}$ મળે છે.
ઉર્જા $E$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
પ્રવાહ $i$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[A]$ છે.
આ કિંમતો $L$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A]^2} = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ટોર્ક $( \tau)$ ને બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \tau = \text{બળ} \times \text{અંતર}$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
અંતરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = Mr^2\omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ એ રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બે બિંદુવત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થાય છે: $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,$L_{initial} = L_{final}$ થાય.
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$
નવા કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$\omega' = \frac{Mr^2\omega}{(M + 2m)r^2} = \frac{M\omega}{M + 2m}$.

(B) વિદ્યુતભારિત પોલા ધાતુના ગોળા માટે,ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) જેટલું હોય છે $(E = -dV/dr)$. જો $E = 0$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,જેમાં કેન્દ્રનો પણ સમાવેશ થાય છે,ત્યાંનું સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
અહીં સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $10\, V$ આપેલું હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન પણ $10\, V$ થશે.

(C) શરૂઆતમાં,સ્વીચ $S$ બંધ છે. બંને કેપેસિટર $A$ અને $B$ સમાંતરમાં $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલા છે. દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા:
$U_1 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ --- $(i)$
જ્યારે સ્વીચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલ રહે છે,તેથી તેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ રહે છે. કેપેસિટર $B$ બેટરીથી અલગ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે. કેપેસિટર $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV$ હતો.
$K = 3$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક ભર્યા પછી,દરેક કેપેસિટરનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ થાય છે.
કેપેસિટર $A$ માટે,પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ રહે છે. નવી ઉર્જા $U_{A}' = \frac{1}{2}C'V^2 = \frac{1}{2}(3C)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$ છે.
કેપેસિટર $B$ માટે,વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે. નવી ઉર્જા $U_{B}' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{1}{6}CV^2$ છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ કુલ ઉર્જા:
$U_2 = U_{A}' + U_{B}' = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \left(\frac{9+1}{6}\right)CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$ --- (ii)
ડાયઇલેક્ટ્રિક પહેલા અને પછી કુલ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{(5/3)CV^2} = \frac{3}{5}$

(C) આ પરિપથમાં $2 \, V$ ની બેટરી ત્રણ $30 \, \Omega$ ના અવરોધોના ડેલ્ટા નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી છે.
ત્રિકોણનો એક છેડો બેટરીના ઋણ ધ્રુવ સાથે અને તેની સામેની બાજુ ધન ધ્રુવ સાથે જોડાયેલ છે.
આથી,બે $30 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે અને આ સંયોજન ત્રીજા $30 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{(30 + 30) \times 30}{(30 + 30) + 30} = \frac{60 \times 30}{90} = 20 \, \Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \, A$ થાય.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં રહેલા નાના પ્રવાહ ખંડ $d\overrightarrow{l}$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $d\overrightarrow{F} = i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ લૂપ માટે,કુલ ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = \oint i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B})$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ સમાન હોવાથી,તેને સંકલનની બહાર લઈ શકાય છે: $\overrightarrow{F} = i(\oint d\overrightarrow{l}) \times \overrightarrow{B}$.
કોઈપણ બંધ લૂપ માટે,તમામ સૂક્ષ્મ લંબાઈના ખંડોનો સદિશ સરવાળો $\oint d\overrightarrow{l}$ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = i(0) \times \overrightarrow{B} = 0$ થાય છે.

(A) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી કક્ષામાં સમાઈ શકતા ઈલેક્ટ્રોનની (અને તેથી તત્વોની) મહત્તમ સંખ્યા $2n^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 1$ માટે,તત્વોની સંખ્યા $2(1)^2 = 2$ છે.
$n = 2$ માટે,તત્વોની સંખ્યા $2(2)^2 = 8$ છે.
$n = 3$ માટે,તત્વોની સંખ્યા $2(3)^2 = 18$ છે.
$n = 4$ માટે,તત્વોની સંખ્યા $2(4)^2 = 32$ છે.
કારણ કે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ $4$ થી વધી શકતો નથી,તેથી શક્ય તત્વોની કુલ સંખ્યા એ $n=1, 2, 3,$ અને $4$ કક્ષાઓમાં રહેલા તત્વોનો સરવાળો છે.
કુલ તત્વો $= 2 + 8 + 18 + 32 = 60$.

(D) ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ માટે,પદ $\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4}$ તમામ હાઇડ્રોજન જેવા તત્વો માટે અચળ છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ મેળવવા માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
- હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$: $Z = 1$
- ડ્યુટેરિયમ પરમાણુ $(D)$: $Z = 1$
- એક-આયનીકૃત હિલિયમ $(He^+)$: $Z = 2$
- દ્વિ-આયનીકૃત લિથિયમ $(Li^{2+})$: $Z = 3$
જેহেতু $Li^{2+}$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z = 3)$ સૌથી વધુ છે,તેથી તે લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ ધરાવતી વર્ણપટ રેખા ઉત્પન્ન કરશે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયમાં ન્યુક્લિયસની અંદર ન્યુટ્રોનનું પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનમાં (અથવા તેનાથી ઉલટું) રૂપાંતર થાય છે.
$\beta$-કણો એ આ પ્રક્રિયા દરમિયાન ન્યુક્લિયસમાંથી ઉત્સર્જિત થતા ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોન છે.
તેઓ ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોન હોવાથી,તેઓ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર ધરાવે છે ($\beta^-$ માટે ઋણ અને $\beta^+$ માટે ધન).
તેથી,$\beta$-કિરણો એ ન્યુક્લિયસ દ્વારા ઉત્સર્જિત વીજભારિત કણો છે.

(B) રેડિયેશનની તીવ્રતા $I$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ ઘટે છે: $I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે。
આપેલ છે કે પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 64 I_{\text{safe}}$, આપણે તીવ્રતા $I_{\text{safe}}$ સુધી પહોંચાડવાની જરૂર છે。
તેથી, $\frac{I_{\text{safe}}}{64 I_{\text{safe}}} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
કારણ કે $64 = 2^6$, તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$, જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
કુલ સમય $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 2 \text{ કલાક}$.
$t = 6 \times 2 = 12 \text{ કલાક}$.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તન કોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ પરસ્પર લંબ છે,તેથી પરાવર્તન કોણ $r$,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$ અને વક્રીભવન કોણ $r'$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આમ,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જે સૂચવે છે કે $r' = 90^{\circ} - r$. કારણ કે $i = r$,તેથી $r' = 90^{\circ} - i$.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા,પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin r'}{\sin i}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $C$ એ વક્રીભવનાંક સાથે $\sin C = \frac{1}{\mu}$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$\sin C = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
આમ,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(\tan i)$ થશે.