IIT JEE 1983 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{z_1 + z_3}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{z_2 + z_4}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$\frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{z_2 + z_4}{2}$ થાય.
તેથી,$z_1 + z_3 = z_2 + z_4$.

(B) આપેલ છે $\omega = \frac{1 - iz}{z - i}$ અને $|\omega| = 1$.
$|\frac{1 - iz}{z - i}| = 1$
$|1 - iz| = |z - i|$
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|1 - i(x + iy)| = |x + iy - i|$
$|1 - ix + y| = |x + i(y - 1)|$
$|(1 + y) - ix| = |x + i(y - 1)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1 + y)^2 + (-x)^2 = x^2 + (y - 1)^2$
$1 + y^2 + 2y + x^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2y$
$2y = -2y$
$4y = 0 \implies y = 0$.
તેથી $z = x + iy$ માં $y = 0$ હોવાથી $z = x$,જે દર્શાવે છે કે $z$ વાસ્તવિક અક્ષ પર છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0), A(z_1),$ અને $B(z_2)$ છે. $\Delta OAB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ ની આસપાસ સદિશ $OA$ નું $60^\circ$ ($\pi/3$ રેડિયન) પરિભ્રમણ સદિશ $OB$ સાથે સંપાતી થાય.
તેથી,$z_2 = z_1 e^{\pm i\pi/3}$.
આથી $\frac{z_2}{z_1} = \cos(\pi/3) \pm i \sin(\pi/3) = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $2z_2 = z_1(1 \pm i\sqrt{3})$,અથવા $2z_2 - z_1 = \pm i\sqrt{3} z_1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2z_2 - z_1)^2 = -3z_1^2$.
$4z_2^2 - 4z_1 z_2 z_1^2 = -3z_1^2$.
$4z_1^2 4z_2^2 = 4z_1 z_2$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $z_1^2 z_2^2 = z_1 z_2$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x = 2.\overline{357} = 2.357357357...$
આને $x = 2 + 0.357357357...$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = 0.357357357... = \frac{357}{1000} + \frac{357}{1000^2} + \frac{357}{1000^3} + ...$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{357}{1000}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{1000}$ છે.
સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{357}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{357}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{357}{999}$.
તેથી,$x = 2 + \frac{357}{999} = \frac{2 \times 999 + 357}{999} = \frac{1998 + 357}{999} = \frac{2355}{999}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 3x + 1 = 0$ છે.
તેને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = 3, c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.
અહીં $D > 0$ અને $D$ એ પૂર્ણવર્ગ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સંમેય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 1}{4}$.
આમ,બીજ $x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ અને $x = \frac{-4}{4} = -1$ મળે છે.
બંને બીજ સંમેય સંખ્યાઓ છે.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha^n$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\alpha = (\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + ((\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}})^n = -\frac{b}{a}$
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + (\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -\frac{b}{a}$
બંને બાજુ $a$ વડે ગુણતા:
$a \cdot \frac{c^{\frac{1}{n+1}}}{a^{\frac{1}{n+1}}} + a \cdot \frac{c^{\frac{n}{n+1}}}{a^{\frac{n}{n+1}}} = -b$
$a^{\frac{n}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{\frac{1}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$(a^n c)^{\frac{1}{n+1}} + (a c^n)^{\frac{1}{n+1}} = -b$.

(A) પ્રથમ,$m$ પુરુષોને એક હરોળમાં $m!$ રીતે ગોઠવો.
કારણ કે $n < m$ અને કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસી શકે,તેથી આપણે પુરુષો વચ્ચેની જગ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$m!$ ગોઠવણીઓમાંથી કોઈપણ એકમાં,$(m + 1)$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) છે જ્યાં $n$ સ્ત્રીઓને બેસાડી શકાય છે.
આ $(m + 1)$ જગ્યાઓમાં $n$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^{m+1}P_n$ છે.
તેથી,ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $m! \times {}^{m+1}P_n$ છે.
$= m! \times \frac{(m + 1)!}{(m + 1 - n)!} = \frac{m! (m + 1)!}{(m - n + 1)!}$.

(A) $\left( \frac{x}{2} - \frac{3}{x^2} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r \left( \frac{x}{2} \right)^{10-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r \frac{3^r}{2^{10-r}} x^{10-3r}$ મળે.
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $4$ લઈએ:
$10 - 3r = 4$ $\Rightarrow 3r = 6$ $\Rightarrow r = 2$.
$r = 2$ મૂકતા:
$T_{2+1} = {}^{10}C_2 (-1)^2 \frac{3^2}{2^{10-2}} x^4 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times 1 \times \frac{9}{256} x^4 = \frac{405}{256} x^4$.
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $\frac{405}{256}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1 + ax)^n = 1 + n(ax) + \frac{n(n - 1)}{2}(ax)^2 + .... = 1 + 8x + 24x^2 + ....$
$x$ અને $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$na = 8$ --- $(1)$
$\frac{n(n - 1)}{2}a^2 = 24$ --- $(2)$
$(1)$ પરથી,$n = \frac{8}{a}$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{(\frac{8}{a})(\frac{8}{a} - 1)}{2}a^2 = 24$
$\frac{8}{2a} \times (8 - a) \times a = 24$
$4(8 - a) = 24$
$8 - a = 6$
$a = 2$
$a = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$n(2) = 8 \Rightarrow n = 4$.
આમ,$a = 2$ અને $n = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{1 - \cos B}{\sin B}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 - \cos B = 2\sin^2(B/2)$ અને $\sin B = 2\sin(B/2)\cos(B/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan A = \frac{2\sin^2(B/2)}{2\sin(B/2)\cos(B/2)} = \frac{\sin(B/2)}{\cos(B/2)} = \tan(B/2)$.
આમ,$A = B/2$,જેનો અર્થ છે કે $2A = B$.
તેથી,$\tan 2A = \tan B$.

(B) ધારો કે લાઇટહાઉસની ઊંચાઈ $h = 60 \ m$ છે અને લાઇટહાઉસના પાયાથી હોડીનું અંતર $x \ m$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,હોડીથી ટોચનો ઉત્સેધકોણ એ અવસેધકોણ જેટલો જ એટલે કે $15^\circ$ હોય છે.
તેથી,$\tan(15^\circ) = \frac{60}{x}$.
માટે,$x = 60 \cot(15^\circ) = 60 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \right) \ m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 8/3)$,$B(1, 3)$,અને $C(82, 30)$ છે.
આ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(3 - 30) + 1(30 - 8/3) + 82(8/3 - 3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0 + (90 - 8)/3 + 82(-1/3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |82/3 - 82/3| = 0$
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવતા નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |6(5 - (-2)) + (-3)(-2 - 3) + 4(3 - 5)| = 24.5$.
$\Delta PBC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |x(5 - (-2)) + (-3)(-2 - y) + 4(y - 5)| = \frac{7}{2} |x + y - 2|$.
ગુણોત્તર = $\frac{\text{Area}(\Delta PBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left| \frac{x + y - 2}{7} \right|$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$,$B(at_2t_3, a(t_2 + t_3))$,અને $C(at_3t_1, a(t_3 + t_1))$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{1}{t_3}$ છે.
$A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ $t_3x + y = a(t_1 + t_2 + t_1t_2t_3)$ છે.
તે જ રીતે,$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ $t_1x + y = a(t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$x = -a$ અને $y = a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(-a, a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3))$ છે.

(B) રેખાઓ $x + 2y - 10 = 0$ અને $2x + y + 5 = 0$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે તેમને એકસાથે ઉકેલીએ.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y - 20 = 0$.
તેમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(2x + 4y - 20) - (2x + y + 5) = 0$,જે $3y - 25 = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી $y = 25/3$.
$y = 25/3$ ને $x + 2y - 10 = 0$ માં મૂકતા: $x + 2(25/3) - 10 = 0 \implies x + 50/3 - 30/3 = 0 \implies x = -20/3$.
છેદબિંદુ $(-20/3, 25/3)$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$5x + 4y = 0$ માટે:
$5(-20/3) + 4(25/3) = -100/3 + 100/3 = 0$.
આમ,રેખા $5x + 4y = 0$ છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(B) ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: $21x + 77y - 101 = 0$
કિસ્સો $2$: $11x - 3y + 9 = 0$
લઘુકોણના દ્વિભાજકને ઓળખવા માટે,$a_1a_2 + b_1b_2$ ની નિશાની તપાસો. અહીં $a_1=3, b_1=-4, a_2=12, b_2=5$ છે.
$a_1a_2 + b_1b_2 = 36 - 20 = 16 > 0$.
જ્યારે $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$ હોય,ત્યારે લઘુકોણનો દ્વિભાજક $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = -\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ દ્વારા મળે છે,જે $11x - 3y + 9 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $p$ એ શિરોબિંદુ $(2, -1)$ થી પાયા $x + y - 2 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના લંબ અંતરનું સૂત્ર $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,વેધ $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આપેલ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે.
સમીકરણોની જોડી ઉકેલતા:
$1$) $x + y = 4$ અને $3x + y = 4$: બાદબાકી કરતા $2x = 0 \implies x = 0, y = 4$. શિરોબિંદુ $A(0, 4)$.
$2$) $3x + y = 4$ અને $x + 3y = 4$: ઉકેલતા $x = 1, y = 1$. શિરોબિંદુ $B(1, 1)$.
$3$) $x + y = 4$ અને $x + 3y = 4$: બાદબાકી કરતા $2y = 0 \implies y = 0, x = 4$. શિરોબિંદુ $C(4, 0)$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2} = 4\sqrt{2}$
અહીં $AB = BC$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(A) આપેલ રેખા: $4x - 3y - 10 = 0 \implies x = \frac{3y + 10}{4}$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ માં મૂકતા:
$(\frac{3y + 10}{4})^2 + y^2 - 2(\frac{3y + 10}{4}) + 4y - 20 = 0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $16$ વડે ગુણતા:
$(3y + 10)^2 + 16y^2 - 8(3y + 10) + 64y - 320 = 0$.
$9y^2 + 60y + 100 + 16y^2 - 24y - 80 + 64y - 320 = 0$.
$25y^2 + 100y - 300 = 0$.
$y^2 + 4y - 12 = 0$.
$(y + 6)(y - 2) = 0$.
તેથી,$y = -6$ અથવા $y = 2$.
$y = -6$ માટે,$x = \frac{3(-6) + 10}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y = 2$ માટે,$x = \frac{3(2) + 10}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
બિંદુઓ $(-2, -6)$ અને $(4, 2)$ છે.

(C) વર્તુળ $S = 0$ ની જીવા જેનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ હોય તેનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = x x_1 + y y_1 - a^2$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x x_1 + y y_1 - a^2 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$
બંને બાજુ $a^2$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$x x_1 + y y_1 = x_1^2 + y_1^2$.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
આપેલ છે $S_1: x^2 + y^2 + 13x - 3y = 0$ અને $S_2: 2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25 = 0$.
જરૂરી સમીકરણ $(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + \lambda (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$ છે.
વર્તુળ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(1 + 1 + 13 - 3) + \lambda (2 + 2 + 4 - 7 - 25) = 0$
$12 - 24\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$2(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$
$4x^2 + 4y^2 + 30x - 13y - 25 = 0$.

(C) પરવલય $y = x^2$ માટે $(2, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{1}{2}(y + 4) = x(2)$ એટલે કે $4x - y - 4 = 0$ છે.
વર્તુળ આ બિંદુએ સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $(2, 4)$ બિંદુએ દોરેલા અભિલંબ પર હશે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $4$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{4}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$ એટલે કે $x + 4y = 18$ મળે.
તેથી,$h + 4k = 18$ $(i)$.
વર્તુળ $(0, 1)$ અને $(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન હોય:
$(h - 2)^2 + (k - 4)^2 = (h - 0)^2 + (k - 1)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4h + 6k = 19$ $(ii)$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,$k = \frac{53}{10}$ અને $h = -\frac{16}{5}$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $\left( -\frac{16}{5}, \frac{53}{10} \right)$ છે.

(B) $L$'$H$ôpital's rule નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({2^x} - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}({{(1 + x)}^{1/2}} - 1)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + x)}^{ - 1/2}}}}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{{{2^0}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + 0)}^{ - 1/2}}}} = \frac{{1 \cdot \ln 2}}{{\frac{1}{2}}} = 2\ln 2 = \ln({2^2}) = \ln 4$.

(B) $ASSASSIN$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $A(2), S(4), I(1), N(1)$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{8!}{2!4!1!1!} = 840$.
કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા બાકીના અક્ષરો $A, A, I, N$ ને ગોઠવીએ. આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
આ $4$ અક્ષરો $5$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે: $\_ L_1 \_ L_2 \_ L_3 \_ L_4 \_$.
આપણે $5$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ $S$ માટે પસંદ કરવાની છે. જે $\binom{5}{4} = 5$ રીતે થઈ શકે.
સાનુકૂળ ગોઠવણી $ = 12 \times 5 = 60$.
જરૂરી સંભાવના $ = \frac{60}{840} = \frac{1}{14}$.

(D) સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B \cup C) = 0.3 + 0.4 + 0.8 - 0.08 - x - 0.28 + 0.09 = 1.23 - x$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B \cup C) \ge 0.75$,તેથી $1.23 - x \ge 0.75$,જેનો અર્થ છે કે $x \le 0.48$.
કોઈપણ ઘટનાઓ $B$ અને $C$ માટે,$P(BC) \ge P(ABC) = 0.09$.
વધુમાં,$P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(BC) = 0.4 + 0.8 - x = 1.2 - x \le 1$,તેથી $x \ge 0.2$.
આમ,$0.2 \le x \le 0.48$. આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ વિસ્તાર સાથે મેળ ખાતું નથી.

(A) $52$ પત્તાંમાંથી $n$ પત્તાં ખેંચવાની કુલ રીતો $52 \times 51 \times \dots \times (52 - n + 1)$ છે.
$n$ મા પત્તે બીજો એક્કો મળે તે માટે,પ્રથમ $(n-1)$ પત્તાંમાં બરાબર એક એક્કો હોવો જોઈએ અને $n$ મા પત્તે એક્કો હોવો જોઈએ.
પ્રથમ $(n-1)$ ખેંચાણમાં પ્રથમ એક્કાનું સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $(n-1)$ છે.
પ્રથમ એક્કો પસંદ કરવાની રીતો $4$ છે,અને બાકીના $(n-2)$ પત્તાં $48$ બિન-એક્કા પત્તાંમાંથી $P(48, n-2)$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
$n$ મા પત્તે બીજો એક્કો પસંદ કરવાની રીતો $3$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $(n-1) \times 4 \times P(48, n-2) \times 3$ છે.
$n$ ખેંચાણ માટેના કુલ પરિણામો $P(52, n)$ છે.
$P(N=n) = \frac{(n-1) \times 4 \times 3 \times \frac{48!}{(48-(n-2))!}}{\frac{52!}{(52-n)!}} = \frac{12(n-1) \times 48! \times (52-n)!}{52! \times (50-n)!} = \frac{12(n-1)(52-n)(51-n)}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{(n-1)(52-n)(51-n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$.

(C) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં,$x^k$ નો સહગુણક $^{2n}C_k$ છે,જ્યાં $0 \le k \le 2n$ છે.
આપેલ છે કે $x^{3r}$ અને $x^{r+2}$ ના સહગુણકો સમાન છે,તેથી $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_a = ^{n}C_b$ નો ઉપયોગ કરતા,જેનો અર્થ $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય છે,આપણને બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$. જોકે,આપેલ છે કે $r > 1$,તેથી આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow 2n = 4r + 2$ $\Rightarrow n = 2r + 1$.
આમ,સાચો સંબંધ $n = 2r + 1$ છે.

(D) બિંદુ $P(x,y)$ નો બિંદુપથ $|AP - BP| = 6$ શરત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$A = (0,4)$ અને $B = (0,-4)$ છે.
$AP = \sqrt{x^2 + (y-4)^2}$ અને $BP = \sqrt{x^2 + (y+4)^2}$ છે.
$|\sqrt{x^2 + (y-4)^2} - \sqrt{x^2 + (y+4)^2}| = 6$.
આ અતિવલય (hyperbola) ની વ્યાખ્યા છે જેના નાભિઓ $(0,4)$ અને $(0,-4)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ છે,તેથી $ae = 4$.
અચળ તફાવત $2a = 6$ છે,તેથી $a = 3$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે અને મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
સમીકરણ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$ થાય છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ અને $C(h, k)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H$ એ $(0, 0)$ છે.
$CH \perp AB$ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ છે.
વેધ $CH$ નો ઢાળ $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ થાય.
$CH$ એ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,જેનો અર્થ છે $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
તે જ રીતે,$AH \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
વેધ $AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,તેથી $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $(1)$ પરથી,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ માં મૂકતા: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
તેથી $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 7 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x+9 & x+9 & x+9 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
$R_1$ માંથી $(x+9)$ સામાન્ય લેતા:
$(x+9) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+9) [1(x^2 - 12) - 1(2x - 14) + 1(12 - 7x)] = 0$.
$(x+9) [x^2 - 12 - 2x + 14 + 12 - 7x] = 0$.
$(x+9) (x^2 - 9x + 14) = 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x+9) (x-2) (x-7) = 0$.
આમ,બીજ $x = -9, 2, 7$ છે.
તેથી બાકીના બે બીજ $2$ અને $7$ છે.

(B) ધારો કે $\theta = \cos^{-1} \frac{4}{5}$. તેથી $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
$\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - (16/25)}}{4/5} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ થાય.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\tan \left[ \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} \right]$ મળે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17}{6} \right) \right] = \frac{17}{6}$.

(B) આપેલ સદિશો $a = i + 2j + 2k$ અને $b = 3i + 6j + 2k$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $b$ નું માન શોધો:
$|b| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7.$
ત્યારબાદ,$a$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a}$ શોધો:
$|a| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$
$\hat{a} = \frac{a}{|a|} = \frac{i + 2j + 2k}{3}.$
જરૂરી સદિશનું માન $|b|$ છે અને દિશા $\hat{a}$ છે,તેથી તે $|b|\hat{a}$ થશે:
$7 \times \left( \frac{i + 2j + 2k}{3} \right) = \frac{7}{3}(i + 2j + 2k).$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC}$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB}$.
તે જ રીતે,$\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {BC}$.
તેથી,$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\overrightarrow {AB}$ નું મૂલ્ય સદિશ $\overrightarrow {BC}$ ના મૂલ્ય જેટલું છે,એટલે કે $|\overrightarrow {AB}| = |\overrightarrow {BC}|$.
બે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(60, 3)$,$B(40, -8)$ અને $C(a, -52)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સદિશ $\overrightarrow{BC}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\overrightarrow{AB} = (40 - 60)i + (-8 - 3)j = -20i - 11j$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 40)i + (-52 - (-8))j = (a - 40)i - 44j$.
સમરેખતા માટે,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{BC}$ થાય.
$-20i - 11j = k((a - 40)i - 44j)$.
$j$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-11 = -44k$,જે આપણને $k = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$ આપે છે.
$i$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-20 = k(a - 40)$.
$k = \frac{1}{4}$ મૂકતા: $-20 = \frac{1}{4}(a - 40)$.
$-80 = a - 40$.
$a = -80 + 40 = -40$.

(C) ધારો કે ક્ષૈતિજ બળ $\vec{F_1} = P_1 \hat{i}$ છે અને નમેલું બળ $\vec{F_2}$ છે.
પરિણામી બળ $\vec{R}$ શિરોલંબ દિશામાં છે,તેથી $\vec{R} = P \hat{j}$.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$,તેથી $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1} = -P_1 \hat{i} + P \hat{j}$.
$\vec{F_2}$ અને શિરોલંબ અક્ષ ($y$-અક્ષ) વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 60^\circ = \frac{\vec{F_2} \cdot \hat{j}}{|\vec{F_2}| |\hat{j}|}$.
$\frac{1}{2} = \frac{(-P_1 \hat{i} + P \hat{j}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{(-P_1)^2 + P^2}} = \frac{P}{\sqrt{P_1^2 + P^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{P^2}{P_1^2 + P^2} \Rightarrow P_1^2 + P^2 = 4P^2 \Rightarrow P_1^2 = 3P^2 \Rightarrow P_1 = P\sqrt{3}$.
નમેલા બળનું મૂલ્ય $|\vec{F_2}| = \sqrt{P_1^2 + P^2} = \sqrt{3P^2 + P^2} = \sqrt{4P^2} = 2P$ છે.
આમ,બે બળો $P\sqrt{3}$ અને $2P$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ છે.
સમતલમાં બે સદિશો: $\vec{AB} = i + j - 3k$ અને $\vec{BC} = -2i + 2j + 2k$ છે.
સમતલનો લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 8i + 4j + 4k$.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{8i + 4j + 4k}{\sqrt{96}} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$ અને $C(3, -1, 2)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (2-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 2\hat{i}$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - (-6)) + \hat{k}(0 - 4) = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
હવે,તેનું માન શોધીએ:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ધારો કે સદિશો $\vec{a} = 2i - 3j + 0k$,$\vec{b} = i + j - k$,અને $\vec{c} = 3i + 0j - k$ છે.
સંગામી ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
આ ઘનફળ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}|$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |2(1(-1) - (-1)(0)) - (-3)(1(-1) - (-1)(3)) + 0|$
$V = |2(-1) + 3(-1 + 3)|$
$V = |-2 + 3(2)|$
$V = |-2 + 6| = |4| = 4$.
આમ,સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $4$ ઘન એકમ છે.

(A) આપેલ છે કે $x$ એ શૂન્યતર સદિશ છે જેથી $x \cdot a = 0, x \cdot b = 0$ અને $x \cdot c = 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $x$ એ સદિશો $a, b$ અને $c$ દરેકને લંબ છે.
જો $x$ એ $a, b$ અને $c$ ને લંબ શૂન્યતર સદિશ હોય,તો $a, b$ અને $c$ એ $x$ ને લંબ સમતલમાં આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,સદિશો $a, b$ અને $c$ સમતલીય છે.
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $[a, b, c] = 0$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \cos (\log x)$.
તેથી $f(y) = \cos (\log y)$.
આપણે $f(x)f(y) - \frac{1}{2}[f(x/y) + f(xy)]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\log(a/b) = \log a - \log b$ અને $\log(ab) = \log a + \log b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x/y) = \cos(\log(x/y)) = \cos(\log x - \log y)$
$f(xy) = \cos(\log(xy)) = \cos(\log x + \log y)$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(x)f(y) - \frac{1}{2}[\cos(\log x - \log y) + \cos(\log x + \log y)]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2\cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \log x$ અને $B = \log y$ છે:
$= \cos(\log x)\cos(\log y) - \frac{1}{2}[2\cos(\log x)\cos(\log y)]$
$= \cos(\log x)\cos(\log y) - \cos(\log x)\cos(\log y) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (a - x^n)^{1/n}$.
$f[f(x)]$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ને વિધેય $f$ માં મૂકીશું:
$f[f(x)] = (a - [f(x)]^n)^{1/n}$
$f(x)$ માટેનું પદ મૂકતા:
$f[f(x)] = (a - [(a - x^n)^{1/n}]^n)^{1/n}$
અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$f[f(x)] = (a - (a - x^n))^{1/n}$
$f[f(x)] = (a - a + x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = (x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = x$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$f(0)$ ની કિંમત $\lim_{x \to 0} f(x)$ જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + kx)}{x} = k$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લક્ષને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1 + ax)}{x} - \frac{\log(1 - bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \left( a \cdot \frac{\log(1 + ax)}{ax} - (-b) \cdot \frac{\log(1 - bx)}{-bx} \right)$
$= a(1) + b(1) = a + b$.
તેથી,$f(0) = a + b$.

(B) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખો:
$\frac{x - 1}{(x + 1)^3} = \frac{(x + 1) - 2}{(x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3}$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$.
તો $f'(x) = \frac{d}{dx} [(x + 1)^{-2}] = -2(x + 1)^{-3} = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.
આમ,સંકલન આ મુજબ બને છે:
$\int e^x \left[ \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3} \right] \, dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
$f(x)$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{e^x}{(x + 1)^2} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /4} {\frac{{\sin x + \cos x}}{{9 + 16\sin 2x}}\,dx}$.
$t = \sin x - \cos x$ આદેશ લેતા,$dt = (\cos x + \sin x)dx$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
જ્યારે $x = \pi /4$,ત્યારે $t = \sin(\pi /4) - \cos(\pi /4) = 0$.
વળી,$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$,તેથી $\sin 2x = 1 - t^2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{9 + 16(1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{25 - 16t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{16} \int_{-1}^0 \frac{dt}{(5/4)^2 - t^2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2(5/4)} \left[ \log \left| \frac{5/4 + t}{5/4 - t} \right| \right]_{-1}^0$.
$I = \frac{1}{40} \left[ \log \left| \frac{5 + 4t}{5 - 4t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{40} \left[ \log(1) - \log \left| \frac{1}{9} \right| \right]$.
$I = \frac{1}{40} [0 - (-\log 9)] = \frac{1}{40} \log(3^2) = \frac{2}{40} \log 3 = \frac{1}{20} \log 3$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx$ ..... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot(\pi/2 - x)}}{\sqrt{\cot(\pi/2 - x)} + \sqrt{\tan(\pi/2 - x)}} \, dx$
કારણ કે $\cot(\pi/2 - x) = \tan x$ અને $\tan(\pi/2 - x) = \cot x$,તેથી:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}} \, dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx$
$2I = \int_0^{\pi /2} 1 \, dx$
$2I = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(B) ધારો કે $x = a$ આગળનો યામ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
વક્ર $y = 1 + \frac{8}{x^2}$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = 2$ તથા $x = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{2}^{4} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx$
$A = \left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{4}$
$A = \left( 4 - \frac{8}{4} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = (4 - 2) - (2 - 4) = 2 - (-2) = 4$ ચોરસ એકમ.
કારણ કે યામ $x = a$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $x = 2$ થી $x = a$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા એટલે કે $4 / 2 = 2$ હોવું જોઈએ.
$\int_{2}^{a} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx = 2$
$\left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{a} = 2$
$\left( a - \frac{8}{a} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = 2$
$a - \frac{8}{a} - (2 - 4) = 2$
$a - \frac{8}{a} + 2 = 2$
$a - \frac{8}{a} = 0$
$a^2 - 8 = 0$
$a^2 = 8$
$a = \pm 2\sqrt{2}$.
પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી જ્યાં $x > 0$ છે,તેથી $a = 2\sqrt{2}$ મળે.

(D) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલી ટિકિટ પરનો નંબર છે. બદલી સાથે પસંદગી કરવામાં આવતી હોવાથી,દરેક પસંદગી સ્વતંત્ર છે.
દરેક પસંદગી માટે,ટિકિટ પરનો નંબર $9$ કે તેથી ઓછો હોય તેની સંભાવના $P(X \le 9) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ છે.
$7$ ટિકિટોમાં સૌથી મોટો નંબર $9$ હોય તેની સંભાવના $P(\text{max} = 9) = P(\text{max} \le 9) - P(\text{max} \le 8)$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{max} \le 9) = (\frac{9}{15})^7 = (\frac{3}{5})^7$.
$P(\text{max} \le 8) = (\frac{8}{15})^7$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $(\frac{3}{5})^7 - (\frac{8}{15})^7$ છે.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.