GUJCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) साइनसोइडल $AC$ परिपथ के लिए अधिकतम (पीक) वोल्टेज $V_0$ और रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वोल्टेज $V_{rms}$ के बीच का संबंध $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें अधिकतम वोल्टेज और $rms$ वोल्टेज का अनुपात $\frac{V_0}{V_{rms}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इस अनुपात को प्रतिशत में बदलने के लिए $100\%$ से गुणा करने पर:
अतः,प्रतिशत मान $1.414 \times 100\% = 141.4\%$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है $(X_L = X_C)$।
इस स्थिति में,कुल प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,जिसका अर्थ है कि परिपथ शुद्ध रूप से प्रतिरोधी व्यवहार करता है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद पर,$Z = R$,इसलिए $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ होता है।

(D) शक्ति $P$ का सूत्र $P = V_{rms} \times I_{rms}$ होता है।
यहाँ $P = 12 \text{ W}$ और $V_{rms} = 24 \text{ V}$ दिया गया है,इसलिए हम $I_{rms}$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}} = \frac{12}{24} = 0.5 \text{ A}$।
पीक करंट $I_0$ और $I_{rms}$ के बीच संबंध $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ होता है।
$I_{rms}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_0 = 0.5 \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$।

(B) गामा किरणों में उच्च ऊर्जा और उच्च भेदन क्षमता होती है। इनका उपयोग चिकित्सा उपचारों जैसे रेडियोथेरेपी में कैंसर कोशिकाओं के $DNA$ को नुकसान पहुँचाकर उनके विकास को रोकने या उन्हें नष्ट करने के लिए किया जाता है।

(C) निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = 200 \times 10^8 \text{ cm/s}$ है।
सबसे पहले,माध्यम में गति को $\text{m/s}$ में बदलें:
$v = 200 \times 10^8 \times 10^{-2} \text{ m/s} = 2 \times 10^8 \text{ m/s}$।
अपवर्तनांक $n$ का सूत्र $n = \frac{c}{v}$ है।
मान रखने पर: $n = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^8 \text{ m/s}} = 1.5$।

(A) लेंस की शक्ति का सूत्र $P = \frac{1}{f(m)}$ है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी धनात्मक होती है,इसलिए $f_1 = +0.25 \text{ m}$। अतः,$P_1 = \frac{1}{0.25} = +4 \text{ D}$।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f_2 = -0.25 \text{ m}$। अतः,$P_2 = \frac{1}{-0.25} = -4 \text{ D}$।
संपर्क में रखे लेंसों के संयोजन की शक्ति उनकी व्यक्तिगत शक्तियों का बीजगणितीय योग होती है: $P = P_1 + P_2$।
मान रखने पर,$P = 4 \text{ D} + (-4 \text{ D}) = 0 \text{ D}$।

(D) एक समबाहु प्रिज्म में न्यूनतम विचलन की स्थिति के लिए,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है।
संबंध इस प्रकार है: $i = e = \frac{A + \delta_m}{2}$।
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 46^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$i = \frac{60^{\circ} + 46^{\circ}}{2} = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ}$।
अतः,आपतन कोण $53^{\circ}$ है।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र $M \approx \frac{L}{f_o} \times \frac{D}{f_e}$ है,जहाँ $L$ नली की लंबाई है,$f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है,$f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है,और $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है।
चूंकि $M$,नली की लंबाई $L$ के सीधे समानुपाती है $(M \propto L)$,इसलिए नली की लंबाई $L$ बढ़ाने पर संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता बढ़ जाती है।

(C) समान तीव्रता $I_0$ और कलांतर $\phi$ वाली दो तरंगों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
चूंकि $I_1 = I_2 = I_0$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$I_R = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0} \cos \phi$
$I_R = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ का उपयोग करने पर:
$I_R = 2I_0 \cdot 2 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
अतः,परिणामी तीव्रता $I_R$,$\cos^2(\frac{\phi}{2})$ के सीधे आनुपातिक है।

(D) जब प्रकाश एक समांगी समदैशिक (homogeneous isotropic) माध्यम में एक बिंदु स्रोत से अपसरित होता है,तो ऊर्जा सभी दिशाओं में समान रूप से फैलती है। समान कला वाले बिंदुओं का बिंदुपथ स्रोत पर केंद्रित एक गोला बनाता है। अतः,तरंगाग्र गोलाकार होता है।

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.54$ mm $= 0.54 \times 10^{-3}$ m.
स्क्रीन की दूरी $D = 1.8$ m.
केंद्रीय फ्रिंज से $n$ वें दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = \frac{n\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$6$ वें दीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 6$ और $y_6 = 1.2$ cm $= 1.2 \times 10^{-2}$ m.
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.54 \times 10^{-3}}{6 \times 1.8}$.
$\lambda = \frac{0.648 \times 10^{-5}}{10.8} = 0.06 \times 10^{-5}$ m.
$\lambda = 600 \times 10^{-9}$ m $= 600$ nm.

(B) धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए (जिसे फील्ड उत्सर्जन कहा जाता है) आवश्यक विद्युत क्षेत्र आमतौर पर $10^6 \text{ V/cm}$ के क्रम का होता है।
यह मान धातु के कार्य फलन (work function) को दूर करने के लिए आवश्यक इलेक्ट्रोस्टैटिक बल से प्राप्त होता है,जो इलेक्ट्रॉनों को विभव अवरोध (potential barrier) के माध्यम से टनलिंग करने की अनुमति देता है।

(A) स्रोत द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P$,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $(n)$ और एक फोटॉन की ऊर्जा $(E = h\nu)$ के गुणनफल के बराबर होती है।
दिया गया है: शक्ति $P = 4 \times 10^{-3} \text{ W}$,आवृत्ति $\nu = 6 \times 10^{14} \text{ Hz}$,और प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$.
सूत्र: $P = n \cdot h\nu$.
$n$ के लिए सूत्र: $n = \frac{P}{h\nu}$.
मान रखने पर: $n = \frac{4 \times 10^{-3}}{6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}$.
$n = \frac{4 \times 10^{-3}}{39.78 \times 10^{-20}} = \frac{4}{39.78} \times 10^{17} \approx 0.10055 \times 10^{17} = 1.0055 \times 10^{16}$.
अतः,औसतन $n \approx 1 \times 10^{16} \text{ फोटॉन प्रति सेकंड}$ उत्सर्जित होते हैं।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.033 \text{ kg}$
वेग $v = 1 \text{ km/s} = 1000 \text{ m/s} = 10^3 \text{ m/s}$
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.033 \times 1000}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{33}$
$\lambda = 0.2 \times 10^{-34} \text{ m}$
$\lambda = 2 \times 10^{-35} \text{ m}$.

(A) बोर के मॉडल के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ का सूत्र $L = n \frac{h}{2\pi}$ है।
मूल अवस्था (ground state) $n = 1$ के अनुरूप होती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$,और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ है।
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$L = 4 \times \frac{h}{2\pi} = 2 \times \frac{h}{\pi}$।
दिया गया है $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$ और $\pi \approx 3.14$:
$L = 2 \times \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.14} \approx 2 \times 2.111 \times 10^{-34} = 4.222 \times 10^{-34} \text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$।

(D) ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
यहाँ,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$,$v$ वेग,$r$ कक्षीय त्रिज्या $(5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$,और $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js})$ है।
वेग $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{h}{2\pi mr}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 5.3 \times 10^{-11}}$.
इसकी गणना करने पर,$v \approx 2.18 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ प्राप्त होता है।
दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर,हमें $v \approx 2.2 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर मॉडल के अनुसार,मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(TE)$ $-13.6 \text{ eV}$ है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ को $KE = -TE$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है। अतः,$KE = -(-13.6 \text{ eV}) = +13.6 \text{ eV}$।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को $PE = 2 \times TE$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है। अतः,$PE = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$।
इस प्रकार,स्थितिज ऊर्जा $-27.2 \text{ eV}$ है और गतिज ऊर्जा $+13.6 \text{ eV}$ है।

(D) संपर्क बिंदु पर अवरोध की स्थितिज ऊर्जा (potential energy) $U = k \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,प्रत्येक ड्यूटेरॉन का आवेश $q_1 = q_2 = e = 1.6 \times 10^{-19}$ $C$ है।
संपर्क बिंदु पर दो ड्यूटेरॉन के केंद्रों के बीच की दूरी $r = R_1 + R_2 = 2 \text{ fm} + 2 \text{ fm} = 4 \text{ fm} = 4 \times 10^{-15}$ m है।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{(9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2) \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ C})^2}{4 \times 10^{-15} \text{ m}}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{4 \times 10^{-15}}$
$U = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{4 \times 10^{-15}}$
$U = 5.76 \times 10^{-14}$ $J$.

(B) सूर्य में होने वाली प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया,जो मुख्य संलयन प्रक्रिया है,को शुद्ध समीकरण द्वारा इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$4_1^1H + 2e^- \rightarrow ^4_2He + 2\nu_e + 26.7 \text{ MeV}$.
इस प्रक्रिया में,चार हाइड्रोजन नाभिक (प्रोटॉन) मिलकर एक हीलियम नाभिक $(^4_2He)$ बनाते हैं,जिसमें दो न्यूट्रिनो $(
u_e)$ उत्सर्जित होते हैं और लगभग $26.7 \text{ MeV}$ की कुल ऊर्जा मुक्त होती है।

(A) आइसोटोन वे परमाणु होते हैं जिनमें न्यूट्रॉन की संख्या समान होती है।
न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $N = A - Z$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$^{198}_{80}\text{Hg}$ के लिए: $N = 198 - 80 = 118$.
$^{197}_{79}\text{Au}$ के लिए: $N = 197 - 79 = 118$.
चूंकि दोनों परमाणुओं में न्यूट्रॉन की संख्या समान $(118)$ है,इसलिए वे आइसोटोन हैं।
अन्य विकल्पों के लिए:
- $^3_1\text{H}$ $(N=2)$ और $^3_2\text{He}$ $(N=1)$ आइसोटोन नहीं हैं।
- $^{214}_{82}\text{Pb}$ $(N=132)$ और $^{214}_{83}\text{Bi}$ $(N=131)$ आइसोटोन नहीं हैं।
- $^{12}_6\text{C}$ $(N=6)$ और $^{14}_6\text{C}$ $(N=8)$ समस्थानिक (isotopes) हैं,आइसोटोन नहीं।

(D) डायोड आदर्श है और अग्र-अभिनत (forward-biased) है क्योंकि एनोड पर विभव $(+6 \text{ V})$ कैथोड पर विभव $(+5 \text{ V})$ से अधिक है।
अग्र-अभिनति में,एक आदर्श डायोड शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
अतः,परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है:
$I = \frac{V_{\text{applied}}}{R} = \frac{6 \text{ V} - 5 \text{ V}}{100 \text{ } \Omega} = \frac{1 \text{ V}}{100 \text{ } \Omega} = 0.01 \text{ A} = 10 \text{ mA}$.
इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) जब एक $p-n$ जंक्शन पर रिवर्स बायस लगाया जाता है,तो बाहरी बैटरी का ऋणात्मक टर्मिनल $p$-क्षेत्र से और धनात्मक टर्मिनल $n$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह विन्यास अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई को बढ़ाता है।
जैसे-जैसे अवक्षय परत चौड़ी होती है,जंक्शन पर विभव प्राचीर (potential barrier) बढ़ जाता है,जिससे बहुसंख्यक आवेश वाहकों के लिए जंक्शन को पार करना अधिक कठिन हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $RC$ सर्किट के लिए समय नियतांक $\tau$ को प्रतिरोध $R$ और धारिता $C$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\tau = R \times C$.
दिए गए मान $R = 200 \Omega$ और $C = 15 \mu\text{F} = 15 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = 200 \Omega \times 15 \times 10^{-6} \text{ F}$
$\tau = 3000 \times 10^{-6} \text{ s}$
$\tau = 3 \times 10^{-3} \text{ s} = 3 \text{ ms}$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित $2q$ बिंदु आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = k \frac{2q}{r^2}$ है।
$q$ आवेश और $R$ त्रिज्या वाले पतले गोलीय कोश के लिए,केंद्र से $r' = \frac{r}{2}$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करना है। यहाँ $r \gg R$ होने के कारण,$r' > R$ की स्थिति संतुष्ट होती है,जिसका अर्थ है कि कोश अपने केंद्र पर एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है।
अतः,$E' = k \frac{q}{(r/2)^2} = k \frac{q}{r^2/4} = 4k \frac{q}{r^2}$ होगा।
प्रथम समीकरण से,$k \frac{q}{r^2} = \frac{E}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $E'$ के व्यंजक में रखने पर,$E' = 4 \times \frac{E}{2} = 2E$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आवेश $X$-अक्ष पर $0.5R$ के अंतराल पर रखे गए हैं। चूँकि एक आवेश मूल बिंदु (गोले का केंद्र) पर स्थित है,इसलिए आवेशों की स्थितियाँ $x = 0, \pm 0.5R, \pm 1.0R, \pm 1.5R, \dots$ होंगी।
$1.5R$ त्रिज्या वाले गोलीय पृष्ठ के लिए,परिबद्ध आवेश वे हैं जो $x = 0, x = +0.5R, x = -0.5R, x = +1.0R$ और $x = -1.0R$ पर स्थित हैं।
कुल परिबद्ध आवेशों की संख्या $1 + 2 + 2 = 5$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ होता है।
परिबद्ध आवेश का मान रखने पर,$\phi = \frac{5q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) आवेश पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{qE}{2m}$ प्राप्त होता है।
विराम अवस्था $(u = 0)$ से शुरू करते हुए,$n$ सेकंड के बाद गति $v$ को गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
मान रखने पर,$v = 0 + (\frac{qE}{2m}) \times n = \frac{qEn}{2m}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) बिंदु '$A$' ऊपर वाले $+q$ आवेश और नीचे वाले $+q$ आवेश से $l$ दूरी पर है।
बिंदु '$A$' से दोनों $-q$ आवेशों की दूरी $\sqrt{(2l)^2 + l^2} = \sqrt{4l^2 + l^2} = \sqrt{5l^2} = l\sqrt{5}$ है।
बिंदु '$A$' पर चारों आवेशों के कारण कुल विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के विभव के योग के बराबर होता है:
$V_A = k(\frac{q}{l} + \frac{q}{l} - \frac{q}{l\sqrt{5}} - \frac{q}{l\sqrt{5}})$
$V_A = k(\frac{2q}{l} - \frac{2q}{l\sqrt{5}})$
$V_A = \frac{2kq}{l}(1 - \frac{1}{\sqrt{5}})$
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) एक गोलीय चालक के भीतर विद्युत विभव $V$ स्थिर होता है और यह इसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,जिसे $V = \frac{kq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
गोलीय चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
भीतर के विद्युत विभव और सतह पर विद्युत क्षेत्र का अनुपात ज्ञात करने के लिए:
$\frac{V}{E} = \frac{kq/R}{kq/R^2} = \frac{kq}{R} \times \frac{R^2}{kq} = R$.
अतः,अनुपात $R$ है। विकल्प $(B)$ सही है।

(A) एक समांतर प्लेट संधारित्र में,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र एकसमान (uniform) होता है।
चूंकि बल का सूत्र $F = eE$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $E$ एकसमान विद्युत क्षेत्र है,इसलिए प्लेटों के बीच किसी भी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया बल स्थिर रहता है।
अतः,बिंदु $P$ और $Q$ दोनों पर इलेक्ट्रॉनों पर कार्य करने वाले बल समान हैं।
इसलिए,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) धारा $I$ और अपवाह वेग $v_d$ के बीच का संबंध $I = n e A v_d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
इससे,अपवाह वेग को $v_d = \frac{I}{neA}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है कि नई धारा $I' = 2I$ और नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A' = 2A$ है,तो नया अपवाह वेग $v'_d$ इस प्रकार होगा:
$v'_d = \frac{I'}{neA'} = \frac{2I}{ne(2A)} = \frac{I}{neA} = v_d$.
अतः,अपवाह वेग अपरिवर्तित रहता है। विकल्प $(D)$ सही है।

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है।
चित्र से,ब्रिज की भुजाएँ $15 \Omega$,$10 \Omega$,$r \Omega$ और $r \Omega$ तथा $n \Omega$ का समानांतर संयोजन हैं।
मान लीजिए $R_1 = 15 \Omega$,$R_2 = 10 \Omega$,$R_3 = r \Omega$,और $R_4 = \frac{r \cdot n}{r + n} \Omega$ है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने की शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{15}{r} = \frac{10}{\frac{rn}{r+n}}$.
इसे सरल करने पर: $\frac{15}{r} = \frac{10(r+n)}{rn}$.
दोनों तरफ से $r$ को हटाने पर: $15 = \frac{10(r+n)}{n}$.
$15n = 10r + 10n \implies 5n = 10r \implies n = 2r$.
यदि $r = 1.25 \Omega$ लिया जाए,तो $n = 2(1.25) = 2.5 = \frac{5}{2} \Omega$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) यह परिपथ दो श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधकों $R_1 = 64 \, \Omega$ और $R_2 = 32 \, \Omega$ वाला एक वोल्टेज विभाजक है,जो $60 \text{ V} - 0 \text{ V} = 60 \text{ V}$ के विभवांतर से जुड़ा है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 64 \, \Omega + 32 \, \Omega = 96 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{60 \text{ V}}{96 \, \Omega} = \frac{5}{8} \text{ A}$ है।
बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $32 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज है।
$V_{PQ} = I \cdot R_2 = \left( \frac{5}{8} \text{ A} \right) \times 32 \, \Omega = 5 \times 4 = 20 \text{ V}$.

(A) $I$ धारा वहन करने वाली वृत्ताकार रिंग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_c = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग के केंद्र से $x$ दूरी पर उसकी अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = 2\sqrt{2}R$ दिया गया है,इसलिए $(R^2+x^2)$ का मान:
$R^2 + x^2 = R^2 + (2\sqrt{2}R)^2 = R^2 + 8R^2 = 9R^2$.
इस मान को $B_a$ के सूत्र में रखने पर:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(9R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(27R^3)} = \frac{\mu_0 I}{54R}$.
अब,$B_c/B_a$ का अनुपात:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 I}{2R} \div \frac{\mu_0 I}{54R} = \frac{54}{2} = 27$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $27:1$ है।

(C) धारा सुग्राहिता $I_s$ को प्रति इकाई धारा विक्षेप के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $I_s = \frac{\theta}{I} = \frac{NAB}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$N$ फेरों की संख्या है (विमाहीन),$A$ क्षेत्रफल $[L^2]$ है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,और $k$ प्रति इकाई ऐंठन प्रत्यानयन बल आघूर्ण (restoring torque) है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ की विमाएँ $[MT^{-2}A^{-1}]$ हैं।
प्रत्यानयन बल आघूर्ण नियतांक $k$ की विमाएँ बल आघूर्ण के समान होती हैं,जो $[ML^2T^{-2}]$ है।
इन विमाओं को सूत्र में रखने पर: $[I_s] = \frac{[L^2] \cdot [MT^{-2}A^{-1}]}{[ML^2T^{-2}]}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $[I_s] = \frac{L^2 MT^{-2}A^{-1}}{ML^2T^{-2}} = [A^{-1}]$।
अतः,धारा सुग्राहिता का विमीय सूत्र $[A^{-1}]$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में धारा $I$ ले जाने वाले $L$ लंबाई के चालक पर बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रति इकाई लंबाई पर बल का परिमाण $f = I B \sin\theta$ है,जहाँ $\theta$ धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
इस मामले में,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दक्षिण से उत्तर की ओर निर्देशित है,और धारा $I$ भी दक्षिण से उत्तर की ओर बह रही है।
इसलिए,धारा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$,इसलिए प्रति इकाई लंबाई पर बल $f = I \times B \times \sin(0^\circ) = 0 \text{ N/m}$ होगा।

(B) '$a$' त्रिज्या वाले और '$I$' धारा ले जाने वाले एक लंबे बेलनाकार तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $B$,$r$ के सीधे आनुपातिक है $(B \propto r)$,जिसके परिणामस्वरूप केंद्र से सतह तक रैखिक वृद्धि होती है।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $B$,$r$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(B \propto 1/r)$,जिसके परिणामस्वरूप दूरी बढ़ने पर हाइपरबोलिक कमी होती है।
$3$. इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ $r = a$ तक रैखिक वृद्धि और $r > a$ के लिए हाइपरबोलिक कमी दिखाता है। यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(B) अनुचुंबकीय पदार्थों में छोटी धनात्मक चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility) होती है। जब इन्हें एक असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो ये उच्च चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता वाले क्षेत्र की ओर आकर्षित होते हैं। इसलिए,एक अनुचुंबकीय पदार्थ कमजोर चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्र से मजबूत चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्र की ओर गति करने की प्रवृत्ति रखता है।

(B) लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है जो चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले परिवर्तन का विरोध करता है।
चित्र $(a)$ में,चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर $(\times)$ है और बढ़ रहा है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को पृष्ठ के बाहर की ओर $(\bullet)$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना होगा। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त (anticlockwise) धारा के अनुरूप होता है।
चित्र $(b)$ में,चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर $(\bullet)$ है और घट रहा है। इस कमी का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को उसी दिशा में (पृष्ठ के बाहर की ओर) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना होगा। यह भी वामावर्त (anticlockwise) धारा के अनुरूप है।
अतः,छल्ले $(a)$ और छल्ले $(b)$ दोनों में धारा की दिशा वामावर्त है।

(C) द्वितीयक कुंडली में चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $\phi$ और प्राथमिक कुंडली में प्रवाहित धारा $I$ के बीच संबंध $\phi = M I$ है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है।
फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $\Delta \phi$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\Delta \phi = M \Delta I$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है:
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 2 \text{H}$.
धारा में परिवर्तन $\Delta I = I_f - I_i = 30 \text{A} - 0 \text{A} = 30 \text{A}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta \phi = 2 \text{H} \times 30 \text{A} = 60 \text{ Wb}$.
अतः,दूसरी कुंडली के साथ फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $60 \text{ Wb}$ है।

(D) एक $AC$ जनरेटर में प्रेरित emf समीकरण $\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(0) = 0$ होता है।
emf अपना अधिकतम मान तब प्राप्त करता है जब $\sin(\omega t) = 1$ हो।
यह तब होता है जब $\omega t = \frac{\pi}{2}$ हो।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{\pi}{2\omega}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित emf समय $t = \frac{\pi}{2\omega}$ पर अधिकतम होता है।