AP EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) અચળ કદ પર વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta U = n C_V \Delta T$
જ્યાં:
$n = 3 \text{ મોલ}$
$\Delta U = 1080 \ J$
$\Delta T = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20 \ K$
$C_V$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$C_V = \frac{\Delta U}{n \Delta T}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$C_V = \frac{1080}{3 \times 20}$
$C_V = \frac{1080}{60}$
$C_V = 18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
આમ, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ છે.

(C) અચળ દબાણની પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = P \Delta V$
આદર્શ વાયુ માટે, આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ। અચળ દબાણે, $P \Delta V = nR \Delta T$ થાય છે।
તેથી, $W = nR \Delta T$ ... $(i)$
આપેલ છે:
$n = 1.5 \,mol$
$R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$
$\Delta T = (130 + 273) - (30 + 273) = 100 \,K$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$W = 1.5 \times 8.3 \times 100$
$W = 1245 \,J$

(A) કારના એન્જિનનો પાવર $P = 20 kW = 20,000 W$ છે.
મુસાફરી માટેનો સમય $t = 1$ કલાક $= 3600 s$ છે.
એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ ઉપયોગી કાર્ય $W = P \times t = 20,000 \times 3600 = 7.2 \times 10^7 J$ છે.
એન્જિનની થર્મલ કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{in}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_{in}$ એ બળતણના દહન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $\eta = 40 \% = 0.4$, તેથી $Q_{in} = \frac{W}{\eta}$.
$Q_{in} = \frac{7.2 \times 10^7 J}{0.4} = 18 \times 10^7 J$.
$kJ$ માં રૂપાંતરિત કરતા, $Q_{in} = 180,000 kJ$ મળે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 40\% = 0.4$ અને $T_{\text{sink}} = 27^{\circ}C = 300 K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
હવે,બીજા કિસ્સા માટે,સમાન સિંક તાપમાન સાથે કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 50\% = 0.5$ છે.
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.5 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.5} = 600 K$.
સ્ત્રોતના તાપમાનમાં થયેલો વધારો $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 600 K - 500 K = 100 K$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ અને $T_{\text{sink}} = 250 \ K$.
$0.25 = 1 - \frac{250}{T_{\text{source}}} \implies \frac{250}{T_{\text{source}}} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
તેથી,$T_{\text{source}} = \frac{1000}{3} \ K$.
કિસ્સો $2$: અંતિમ કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 50 \% = 0.50$ અને $T_{\text{source}}$ અચળ રહે છે.
$0.50 = 1 - \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} \implies \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} = 0.50$.
$T'_{\text{sink}} = 0.50 \times \frac{1000}{3} = \frac{500}{3} \ K$.
સિંકના તાપમાનમાં ફેરફાર $\frac{1000}{6} \ K$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 400 \,K$, સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300 \,K$, અને કાર્ય $W = 400 \,J$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ છે, જ્યાં $Q_1$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 - \frac{300}{400} = \frac{400}{Q_1}$.
$\frac{1}{4} = \frac{400}{Q_1} \Rightarrow Q_1 = 1600 \,J$.
એન્જિન દ્વારા મુક્ત કરવામાં આવતી ઉર્જા $(Q_2)$ એ $Q_2 = Q_1 - W$ દ્વારા મળે છે.
$Q_2 = 1600 \,J - 400 \,J = 1200 \,J$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે, જ્યાં $T_L = 300 \,K$ અને $T_H = 600 \,K$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$ મળે છે.
પ્રતિ ચક્ર થતું કાર્ય $W$ એ $W = \eta \times Q_H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_H = 800 \,J$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
તેથી, $W = 0.5 \times 800 \,J = 400 \,J$.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_C$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન અને $T_H$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
આપેલ છે: $T_C = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $\eta = 20 \% = 0.2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.2 = 1 - \frac{400}{T_H}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{400}{T_H} = 1 - 0.2 = 0.8$.
$T_H$ માટે ઉકેલતા: $T_H = \frac{400}{0.8} = 500 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_H = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(C) આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_{\text{iso}} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે કુલ આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{\text{total}} = -30 J$ છે,અને પથ બે સમતાપી પ્રક્રિયાઓ અને એક સમોષ્મી પ્રક્રિયાનો બનેલો હોવાથી,$\Delta U_{\text{total}} = \Delta U_{\text{iso1}} + \Delta U_{\text{adiabatic}} + \Delta U_{\text{iso2}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $-30 J = 0 + \Delta U_{\text{adiabatic}} + 0$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta U_{\text{adiabatic}} = -30 J$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ $\Delta Q = \Delta U + W$ થાય છે. સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$W_{\text{adiabatic}} = -\Delta U_{\text{adiabatic}}$ મળે.
તેથી,$W_{\text{adiabatic}} = -(-30 J) = 30 J$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $(S_I)$ એ $\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $(S_A)$ એ $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બંને ઢાળ વચ્ચેનો સંબંધ $S_A = \gamma \times S_I$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{\gamma}$.
અહીં વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે, તેથી પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઉષ્મા એ કરેલા કુલ કાર્ય જેટલી હોય છે: $\Delta Q = \Delta W$.
એક ચક્રમાં થયેલું કુલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Base} = V_B - V_A = 20 \,m^3 - 5 \,m^3 = 15 \,m^3$
$\text{Height} = P_B - P_A = 30 \,N/m^2 - 10 \,N/m^2 = 20 \,N/m^2$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 15 \,m^3 \times 20 \,N/m^2 = 150 \,J$.
ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) હોવાથી, વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ છે, જેનો અર્થ છે કે વાયુ પર કાર્ય થાય છે. તેથી, ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
$20$ ચક્ર માટે, મુક્ત થતી કુલ ઉષ્મા:
$\Delta Q = 20 \times 150 \,J = 3000 \,J = 3 \,kJ$.

(A) આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ: $V_1 = 10 \,L$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \,K$,$p_1 = 12 \,atm$.
અંતિમ સ્થિતિઓ: $V_2 = 6 \,L$,$T_2 = (27 + 30)^{\circ} C = 57^{\circ} C = 330 \,K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
$p_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $p_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{T_1 V_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $p_2 = \frac{12 \times 10 \times 330}{300 \times 6}$.
$p_2 = \frac{120 \times 330}{1800} = \frac{39600}{1800} = 22 \,atm$.

(A) આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે:
$p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma$
આલેખ પરથી કિંમતો મૂકતા ($p_A = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$,$p_B = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_B = 1 \text{ m}^3$):
$32 \times 10^5 \times V_A^{5/3} = 1 \times 10^5 \times (1)^{5/3}$
$V_A^{5/3} = \frac{1}{32} = (2^{-5}) \Rightarrow V_A = (2^{-5})^{3/5} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \text{ m}^3$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $C \rightarrow D$ માટે:
$p_C V_C^\gamma = p_D V_D^\gamma$
આલેખ પરથી કિંમતો મૂકતા ($p_C = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_C = 8 \text{ m}^3$,$p_D = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$):
$1 \times 10^5 \times (8)^{5/3} = 32 \times 10^5 \times V_D^{5/3}$
$(2^3)^{5/3} = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 2^5 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 32 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow V_D = 1 \text{ m}^3$.
ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ માં થયેલ કુલ કાર્ય:
$W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$
$W_{AB} = \frac{p_A V_A - p_B V_B}{\gamma - 1} = \frac{(32 \times 10^5 \times 1/8) - (1 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(4 - 1) \times 10^5}{2/3} = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{BC} = p_B(V_C - V_B) = 1 \times 10^5 \times (8 - 1) = 7 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{CD} = \frac{p_C V_C - p_D V_D}{\gamma - 1} = \frac{(1 \times 10^5 \times 8) - (32 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(8 - 32) \times 10^5}{2/3} = -36 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{DA} = p_D(V_A - V_D) = 32 \times 10^5 \times (1/8 - 1) = 32 \times 10^5 \times (-7/8) = -28 \times 10^5 \text{ J}$.
કુલ કાર્ય $W = (4.5 + 7 - 36 - 28) \times 10^5 \text{ J} = -52.5 \times 10^5 \text{ J}$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 37^{\circ} C = 310.15 \text{ K}$,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$,અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 310.15 \times \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^{1.5-1} = 310.15 \times (2)^{0.5} = 310.15 \times \sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,આપણને $T_2 = 310.15 \times 1.414 \approx 438.55 \text{ K}$ મળે છે.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T_2(^{\circ} C) = 438.55 - 273.15 = 165.4^{\circ} C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,અંતિમ તાપમાન આશરે $165.3^{\circ} C$ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$.
$p_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$p_2 = p_1 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}$.
આપેલ કિંમતો: $p_1 = 4 \text{ atm} = 2^2 \text{ atm}$,$\gamma = 5/3$,$T_1 = 27^{\circ} \text{C} = 300 \text{ K}$,અને $T_2 = 327^{\circ} \text{C} = 600 \text{ K}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$p_2 = 2^2 \left(\frac{300}{600}\right)^{\frac{5/3}{1-5/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5/3}{-2/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{-5/2} = 2^2 \times 2^{5/2}$.
$p_2 = 2^{2 + 5/2} = 2^{9/2} \text{ atm}$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta W$.
એક ચક્રમાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
પાયો $= (20 - 5) \text{ m}^3 = 15 \text{ m}^3$.
વેધ $= (30 - 10) \text{ N/m}^2 = 20 \text{ N/m}^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150 \text{ J}$.
ચક્ર $ABCA$ એ વિષમઘડી (anti-clockwise) હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે.
તેથી,$\Delta W_{\text{cycle}} = -150 \text{ J}$.
$10$ ચક્ર માટે,કુલ કાર્ય $\Delta W_{\text{total}} = 10 \times (-150 \text{ J}) = -1500 \text{ J} = -1.5 \text{ kJ}$.
આમ,શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = -1.5 \text{ kJ}$ છે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે।
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં $\Delta Q = 0$ હોવાથી, $\Delta U = -\Delta W$ મળે।
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = 83 \,J$ આપેલ છે, તેથી $\Delta U = -83 \,J$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે।
અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{11}{10} R$ આપેલ છે, તેથી $C_V = C_p - R = \frac{11}{10} R - R = \frac{1}{10} R$.
કિંમતો મૂકતા: $-83 = 1 \times (\frac{1}{10} \times 8.3) \times (T_f - 125)$.
$-83 = 0.83 \times (T_f - 125)$.
$T_f - 125 = \frac{-83}{0.83} = -100$.
તેથી, $T_f = 125 - 100 = 25^{\circ} C$.

(C) સિસ્ટમની ઉર્જા સમીકરણ $E(t) = \alpha t - \beta t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
ઉર્જા $E$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
પ્રથમ પદ માટે,$\alpha t$ નું પરિમાણ ઉર્જાના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ:
$[\alpha][T] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\alpha] = [ML^2 T^{-2}] / [T] = [ML^2 T^{-3}]$
બીજા પદ માટે,$\beta t^3$ નું પરિમાણ ઉર્જાના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ:
$[\beta][T^3] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\beta] = [ML^2 T^{-2}] / [T^3] = [ML^2 T^{-5}]$
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[ML^2 T^{-3}]$ અને $[ML^2 T^{-5}]$ છે.

(A) ઉર્જા (Energy) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ઝડપ (speed) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા:
$[\text{Energy} \times \text{speed}] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^0 L^1 T^{-1}]$
$= [M^{1+0} L^{2+1} T^{-2-1}]$
$= [M^1 L^3 T^{-3}]$
આને $[M^a L^b T^c]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 3, c = -3$ મળે છે.

(C) સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક સમીકરણ ત્યારે જ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું હોય જો સમીકરણની બંને બાજુના તમામ પદોના પરિમાણો સમાન હોય. ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. આપેલા તમામ વિકલ્પોમાં,પદ $\frac{V}{V_0}$ પરિમાણરહિત છે,તેથી ઘાતાંકીય પદો માન્ય છે.
હવે,આપણે સહગુણકોના પરિમાણો તપાસીએ:
$(A)$ માટે: $[I] = [I_0]$,જે સાચું છે.
$(B)$ માટે: $[I] = [I_0]$,જે સાચું છે.
$(C)$ માટે: $[I] = [I_0 V_0]$. કારણ કે $[V_0]$ એ પોટેન્શિયલ છે,$[I] \neq [I_0 V_0]$. તેથી,$(C)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે.
$(D)$ માટે: $[I] = [I_0] \times [\frac{V}{V_0}]$. કારણ કે $[\frac{V}{V_0}]$ પરિમાણરહિત છે,$[I] = [I_0]$,જે સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ એ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું સમીકરણ છે.

(A) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$ નો $SI$ એકમ જૂલ પ્રતિ કેલ્વિન $(J/K)$ છે.
ઉર્જા $(J)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\left[ML^2 T^{-2}\right]$ છે.
તાપમાન $(K)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\left[K^1\right]$ છે.
તેથી,બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર $\left[ML^2 T^{-2}\right] / \left[K^1\right] = \left[ML^2 T^{-2} K^{-1}\right]$ થાય છે.

(C) એકમ $kg m s^{-2}$ એ ન્યુટન $(N)$ દર્શાવે છે,જે બળનો એકમ છે.
એકમ $kg m^2 s^{-3}$ એ વોટ $(W)$ દર્શાવે છે,જે પાવરનો એકમ છે.
એકમ $kg m^2 s^{-2}$ એ જૂલ $(J)$ દર્શાવે છે,જે કાર્ય અથવા ઉર્જાનો એકમ છે. કાર્યને બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(W = F \times d)$. કારણ કે બળનો એકમ $kg m s^{-2}$ છે અને સ્થાનાંતરનો એકમ $m$ છે,તેથી કાર્યનો એકમ $(kg m s^{-2}) \times m = kg m^2 s^{-2}$ થાય છે.
એકમ $kg m^{-1} s^{-2}$ એ પાસ્કલ $(Pa)$ દર્શાવે છે,જે દબાણનો એકમ છે. દબાણને બળ ભાગ્યા ક્ષેત્રફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(P = F / A)$. તેથી,તેનો એકમ $(kg m s^{-2}) / m^2 = kg m^{-1} s^{-2}$ થાય છે.

(B) પ્રગામી તરંગને $y = f(ax \pm bt)$ સ્વરૂપના વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $(A)$ સ્થિત તરંગ (standing wave) દર્શાવે છે કારણ કે તે અવકાશી અને સમયના વિધેયોનો ગુણાકાર છે.
વિકલ્પ $(B)$ એ આવર્ત વિધેય નથી.
વિકલ્પ $(C)$ ને $A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin(\theta + \phi)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકાય છે,જ્યાં $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. આમ,$y = 5 \sin(5x - 0.5t + \phi)$,જે એક પ્રમાણિત પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(D)$ એ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ અને તરંગ સંખ્યાઓ ધરાવતા બે તરંગોનું સંપાતીકરણ છે,તે એકલ પ્રગામી તરંગ નથી.
તેથી,માત્ર $(C)$ એક પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: ઉદગમની ઝડપ $v_s = 50 \,m/s$, અવલોકનકારની ઝડપ $v_o = -50 \,m/s$ (ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે), ધ્વનિની ઝડપ $v = 350 \,m/s$, અને ઉદગમની આવૃત્તિ $f = 250 \,Hz$.
ડોપ્લર અસર મુજબ, અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right) = 250 \left( \frac{350 - (-50)}{350 - 50} \right) = 250 \left( \frac{400}{300} \right) = \frac{1000}{3} \,Hz$.
ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{v - v_s}{f} = \frac{350 - 50}{250} = \frac{300}{250} = 1.2 \,m = 120 \,cm$.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે, બીટ આવૃત્તિ $f_b = \frac{40}{10} = 4 \,Hz$.
ધારો કે $l_1 = 50 \,cm = 0.5 \,m$ અને $l_2 = 51 \,cm = 0.51 \,m$.
આવૃત્તિઓનો તફાવત $f_1 - f_2 = 4 \,Hz$ છે.
$\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.51 - 0.5}{0.5 \times 0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.01}{0.255} \right) = 4$
$v \left( \frac{0.01}{0.51} \right) = 4$
$v = \frac{4 \times 0.51}{0.01} = 4 \times 51 = 204 \,ms^{-1}$.

(A) $l_O$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot \frac{V}{2 l_O}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે, બીજી હાર્મોનિક $(n=2)$ $f_2 = 2 \cdot \frac{V}{2 l_O} = \frac{V}{l_O}$ છે.
$l_C$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{V}{4 l_C}$ છે.
આપેલ છે કે ખુલ્લી પાઇપની બીજી હાર્મોનિક એ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ સમાન છે:
$\frac{V}{l_O} = \frac{V}{4 l_C}$.
$l_O = 80 \,cm$ મૂકતા:
$\frac{1}{80} = \frac{1}{4 l_C}$.
$4 l_C = 80$.
$l_C = 20 \,cm$.

(A) હવામાં અવાજની ઝડપ માધ્યમના તાપમાન પર આધાર રાખે છે. આશરે $20^{\circ} \text{C}$ જેટલા ઓરડાના તાપમાને સૂકી હવા માટે,અવાજની ઝડપ લગભગ $343 \text{ m s}^{-1}$ જેટલી હોય છે.
આ મૂલ્ય આશરે $3.4 \times 10^2 \text{ m s}^{-1}$ ની બરાબર છે.

(C) જ્યારે અવલોકનકાર $O$ અને ઉદગમ $S$ બંને એકબીજાની નજીક આવતા હોય ત્યારે ડોપ્લર અસરને કારણે મળતી આભાસી આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ ... $(i)$
અહીં,અવલોકનકાર (ટ્રેન $B$) ની ઝડપ,$v_o = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$.
ઉદગમ (ટ્રેન $A$) ની ઝડપ,$v_s = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340 \ m/s$.
ઉદગમની મૂળ આવૃત્તિ,$f = 640 \ Hz$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$f' = 640 \left( \frac{340 + 10}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{350}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.09375 = 700 \ Hz$.
તેથી,ટ્રેન $B$ માં બેઠેલા મુસાફર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $700 \ Hz$ છે.

(D) આપેલી દોરીના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m_{string}}{l} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 2 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ છે.
દોરી પરના લંબગત તરંગોની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે. પદાર્થ લટકાવેલ હોવાથી,$T = M_{body} \times g$ થાય.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{M_{body} \times g}{\mu}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$f_0^2 = \frac{M_{body} \times g}{4l^2 \mu}$ મળે.
પદાર્થના દળ માટે સૂત્ર: $M_{body} = \frac{4l^2 f_0^2 \mu}{g}$.
કિંમતો મૂકતા: $M_{body} = \frac{4 \times (1)^2 \times (100)^2 \times (2 \times 10^{-3})}{10} = \frac{4 \times 10000 \times 0.002}{10} = \frac{80}{10} = 8 \ kg$.

(A) ખેંચાયેલી દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે:
તણાવ $T = 25 \,N$
લંબાઈ $L = 1 \,m$
દળ $M = 490 \,g = 0.49 \,kg$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.49 \,kg}{1 \,m} = 0.49 \,kg/m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{25}{0.49}} = \sqrt{\frac{2500}{49}} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \,m/s$.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે તણાવ $T$ સમાન છે,તેથી તાર $A$ અને $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_A}{f_B} = \frac{\frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\mu_A}}}{\frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\mu_B}}} = \frac{L_B}{L_A} \sqrt{\frac{\mu_B}{\mu_A}}$
આપણને લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ ને $\mu = \frac{m}{L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\mu_A}{\mu_B}$ છે:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{m_A / L_A}{m_B / L_B} = \left( \frac{m_A}{m_B} \right) \left( \frac{L_B}{L_A} \right)$
આપેલ છે કે $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{1}$ અને $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$,તેથી:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \left( \frac{2}{1} \right) = \frac{4}{1}$
આમ,$\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{1}{4}$.
આ કિંમતોને આવૃત્તિ ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{f_A}{f_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(B) ધારો કે ઉચ્ચતમ બિંદુ $A$ અને નિમ્નતમ બિંદુ $B$ પર તણાવ બળો અનુક્રમે $T_A$ અને $T_B$ છે.
ઉચ્ચતમ બિંદુ $A$ પર,કણ પર લાગતા બળો તણાવ $T_A$ (નીચેની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ:
$T_A + mg = \frac{mv_A^2}{r}$
આપેલ છે કે $v_A = \sqrt{7gr}$,તેથી:
$T_A + mg = \frac{m(7gr)}{r} = 7mg$
$T_A = 6mg$
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_B^2$
$\frac{1}{2}m(7gr) + 2mgr = \frac{1}{2}mv_B^2$
$3.5mgr + 2mgr = 0.5mv_B^2$
$5.5mgr = 0.5mv_B^2 \Rightarrow v_B^2 = 11gr$
નિમ્નતમ બિંદુ $B$ પર,બળો તણાવ $T_B$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ:
$T_B - mg = \frac{mv_B^2}{r}$
$T_B = mg + \frac{m(11gr)}{r} = 12mg$
તણાવ બળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_A}{T_B} = \frac{6mg}{12mg} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગનું મહત્તમ સંકોચન $x$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દળની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
પ્લેટફોર્મની પ્રારંભિક સ્થિતિને સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર તરીકે લેતા:
પ્રારંભિક ઉર્જા = $m g h$
અંતિમ ઉર્જા = $\frac{1}{2} k x^2 - m g x$
બંનેને સરખાવતા:
$m g h = \frac{1}{2} k x^2 - m g x$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,$h = 1 \ m$,$k = 15 \ N \ m^{-1}$):
$1 \times 10 \times 1 = \frac{1}{2} \times 15 \times x^2 - 1 \times 10 \times x$
$10 = 7.5 x^2 - 10 x$
$7.5 x^2 - 10 x - 10 = 0$
$2/5$ વડે ગુણતા:
$3 x^2 - 4 x - 4 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 3 \times (-4)}}{2 \times 3}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}$
સંકોચન $x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x = \frac{12}{6} = 2 \ m$.

(B) દડાનું દળ $m = 300 g = 0.3 kg$ છે. દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલી કુલ ઊંચાઈ $H = 10 m + 1.5 m = 11.5 m$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે અટકી જાય છે,તેથી ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ છે.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ (નીચેની તરફ) અને રેતીનું અવરોધક બળ (ઉપરની તરફ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_g = mgH = 0.3 \times 10 \times 11.5 = 34.5 J$.
રેતીના અવરોધ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_R = -F_R \times d$,જ્યાં $d = 1.5 m$ છે.
પ્રમેય લાગુ પાડતા: $W_g + W_R = 0
\Rightarrow 34.5 - F_R \times 1.5 = 0
\Rightarrow F_R = \frac{34.5}{1.5} = 23 N$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,આકૃતિમાં દર્શાવેલ બિંદુ $B$ પર:
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ માં ઘટાડો = ગતિ ઉર્જા $(KE)$ માં વધારો
$mg(H - h) = \frac{1}{2} mv^2$
$v = \sqrt{2g(H - h)}$
બિંદુ $C$ છોડ્યા પછી,તકતી $h$ ઊંચાઈથી પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$h = \frac{1}{2} gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
બિંદુ $D$ થી તકતી દ્વારા કપાતું આડું અંતર $s$ છે:
$s = v \times t = \sqrt{2g(H - h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$s = \sqrt{4h(H - h)} = 2\sqrt{hH - h^2}$
મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{ds}{dh} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{hH - h^2}} \cdot (H - 2h) = 0$
$H - 2h = 0 \Rightarrow h = \frac{H}{2}$
$h = \frac{H}{2}$ ની કિંમત $s$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s_{max} = \sqrt{4 \cdot \frac{H}{2} \cdot (H - \frac{H}{2})} = \sqrt{2H \cdot \frac{H}{2}} = \sqrt{H^2} = H$

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
આપેલ છે:
બળ $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \text{ N}$
સ્થાનાંતર $\overrightarrow{S} = 6 \hat{i} \text{ m}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 7 \text{ J}$
થયેલું કાર્ય $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i}) = (4 \times 6) + (-15 \times 0) = 24 \text{ J}$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$K_f - K_i = W$
$K_f - 7 = 24$
$K_f = 24 + 7 = 31 \text{ J}$
તેથી, સ્થાનાંતરના અંતે ગતિઊર્જા $31 \text{ J}$ થશે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
આપેલ છે કે,ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = -25 \ J$ (કારણ કે તેમાં ઘટાડો થાય છે).
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r} = (3 \hat{i} - 4 \hat{\jmath}) \ m$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $r = |\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m$ છે.
બળનું મૂલ્ય $F = 10 \ N$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{r} = F r \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $-25 = 10 \times 5 \times \cos \theta$.
$-25 = 50 \cos \theta$.
$\cos \theta = -25 / 50 = -1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(-1/2) = 120^{\circ}$.

(D) આપેલ છે: હોડીનું દળ, $m = 700 \,kg$. પ્રારંભિક ઝડપ, $v_1 = 24 \,ms^{-1}$. અંતિમ ઝડપ, $v_2 = 6 \,ms^{-1}$. ઘર્ષણ બળ, $f = 35v$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, અવરોધક બળ $f = -m \frac{dv}{dt}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $35v = -700 \frac{dv}{dt}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dv}{v} = -\frac{35}{700} dt = -\frac{1}{20} dt$.
બંને બાજુ $v_1$ થી $v_2$ અને $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{24}^{6} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{1}{20} dt$.
$\ln(\frac{6}{24}) = -\frac{t}{20}$.
$\ln(\frac{1}{4}) = -\frac{t}{20}$.
$-\ln(4) = -\frac{t}{20} \Rightarrow t = 20 \ln(4) = 20 \ln(2^2) = 40 \ln(2)$.
$\ln(2) \approx 0.693$ લેતા, $t = 40 \times 0.693 = 27.72 \,s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $t \approx 28 \,s$.

(A) સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈ $L = 25 \ cm$ છે.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $\Delta x_i = (50 \ cm - 25 \ cm) = 25 \ cm = 0.25 \ m$.
અંતિમ વિસ્તરણ $\Delta x_f = (60 \ cm - 25 \ cm) = 35 \ cm = 0.35 \ m$.
સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલું હોય છે.
$W = \frac{1}{2} K (\Delta x_f^2 - \Delta x_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.35^2 - 0.25^2)$
$W = 25 \times (0.1225 - 0.0625)$
$W = 25 \times 0.06 = 1.5 \ J$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$,પાવર $P = 1.2 \ W$,સમય $t = 6 \ s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$.
બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = 1.2 \times 6 = 7.2 \ J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ મણકાની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$.
કારણ કે $u = 0$,તેથી $W = \frac{1}{2} m v^2$.
$7.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times v^2$.
$7.2 = 0.2 \times v^2$.
$v^2 = \frac{7.2}{0.2} = 36$.
$v = \sqrt{36} = 6 \ m \ s^{-1}$.

(C)
બળ દ્વારા કાર્ય કરવાનો દર એટલે પાવર $(P)$.
આપેલ છે:
દળ $m = 50 \,kg$
ઝડપ $v = 4 \,ms^{-1}$
બળ $F = 500 \,N$
ખૂણો $\theta = 30^\circ$ (સમક્ષિતિજ સાથે)
પાવરનું સૂત્ર:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$P = 500 \times 4 \times \cos 30^\circ$
$P = 2000 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$P = 1000 \sqrt{3} \,W$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$P = 1000 \times 1.732 = 1732 \,W$

(C) આપેલ છે: બળ $F = 5 \,N$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, સમય $t = 3 \,s$, અને તત્કાલિન પાવર $P = 5 \,W$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{m}$ મળે છે.
$t = 3 \,s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $v = u + at = 0 + (\frac{5}{m}) \times 3 = \frac{15}{m} \,m/s$ થાય.
તત્કાલિન પાવરનું સૂત્ર $P = F \cdot v$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = 5 \times (\frac{15}{m})$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $1 = \frac{15}{m}$, તેથી $m = 15 \,kg$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે, $\text{Power} = \frac{\text{Work done}}{\text{Time}}$.
$\Rightarrow P = \frac{W}{t} = \frac{F \times s}{t}$.
$\Rightarrow P = \frac{mgh}{t}$ ... $(i)$.
અહીં, મુસાફરોનું કુલ વજન $mg = 50 \times 600 \,N = 30,000 \,N$ છે.
ઊંચાઈ $h = 100 \,m$ છે.
પાવર $P = 15 \,kW = 15,000 \,W$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{mgh}{P}$.
$t = \frac{30,000 \times 100}{15,000}$.
$t = \frac{3,000,000}{15,000} = 200 \,s$.

(D) ચલ બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F \cdot dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં $F = Kx^3$, $K = 2 \,N \cdot m^{-3}$ અને સ્થાનાંતર $x = 0 \,m$ થી $x = 2 \,m$ સુધીનું છે。
$W = \int_{0}^{2} Kx^3 dx = K \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 2 \times \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right)$.
$W = 2 \times \left( \frac{16}{4} \right) = 2 \times 4 = 8 \,J$.

(D) આપેલ છે, બ્લોકનું સ્થાનાંતર $x = 5t^2$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2) = 10t \,m/s$.
$t = 0 \,s$ સમયે, $v_0 = 10(0) = 0 \,m/s$.
$t = 3 \,s$ સમયે, $v_1 = 10(3) = 30 \,m/s$.
$t = 5 \,s$ સમયે, $v_2 = 10(5) = 50 \,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
પ્રથમ $3 \,s$ માં થયેલ કાર્ય: $W_1 = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(30^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(900)$.
પ્રથમ $5 \,s$ માં થયેલ કાર્ય: $W_2 = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(50^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(2500)$.
ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{900}{2500} = \frac{9}{25}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$,પ્રવેગ $a(x) = \beta x$,જ્યાં $\beta = 5 \,s^{-2}$.
બળ $F = m \cdot a = 1 \cdot (5x) = 5x \,N$.
કાર્ય $W = \int_{x_1}^{x_2} F dx$.
એકમોને મીટરમાં ફેરવતા: $x_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$ અને $x_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
$W = \int_{0.02}^{0.05} 5x dx = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.02}^{0.05}$.
$W = \frac{5}{2} [ (0.05)^2 - (0.02)^2 ]$.
$W = 2.5 [ 25 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4} ]$.
$W = 2.5 \times 21 \times 10^{-4} = 52.5 \times 10^{-4} \,J$.

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$m = 2 \,kg$
ઢાળનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
કાપેલું અંતર,$d = 4 \,m$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$
બ્લોકને અચળ ઝડપે ખેંચવામાં આવતો હોવાથી,ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
તેથી,દોરડામાં રહેલું તણાવ $T$ એ સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$T = mg \sin \theta$
$T = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$T = 20 \times 0.5 = 10 \,N$
તણાવ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W = T \times d \times \cos(0^{\circ})$
$W = 10 \,N \times 4 \,m \times 1$
$W = 40 \,J$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $(R)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $R = R_0 A^{1/3}$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto A^{1/3}$.
અહીં,$R_0$ એ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
પરમાણ્વીય ઘનતા $(\rho)$ એ દળ અને કદનો ગુણોત્તર છે: $\rho = \frac{\text{mass}}{\text{volume}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3}$,જ્યાં $m$ એ એક ન્યુક્લિયોનનું દળ છે.
$R = R_0 A^{1/3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\rho = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
આમ,પરમાણ્વીય ઘનતા $\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
અન્ય વિકલ્પો માટે: બંધન ઉર્જા $E = \Delta m c^2$,તેથી $E \propto \Delta m$ (સીધા પ્રમાણમાં,વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નહીં).
ભારે ન્યુક્લિયસનું હળવા ન્યુક્લિયસમાં રૂપાંતરણ થાય ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(A) વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે કારણ કે દળ ક્ષતિને કારણે ન્યુક્લિયર દળ તેના ઘટકોના દળ કરતા ઓછું હોય છે.
વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે કારણ કે સમાન સંખ્યામાં પ્રોટોન ધરાવતા ન્યુક્લાઇડ્સને આઇસોટોપ્સ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $(d)$ ખોટો છે કારણ કે ન્યુક્લિયર ફ્યુઝનમાં,બે કે તેથી વધુ હલકા ન્યુક્લિયસ જોડાઈને ભારે ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે; કારણ કે ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં $Q$-મૂલ્ય $= K.E_{\text{final}} - K.E_{\text{initial}}$ છે.

(C) ન્યુક્લિયસનું કદ $V$ તેના દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = R_0 A^{1/3}$ છે.
આમ,$V = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$,જે સૂચવે છે કે $V \propto A$.
આપેલ છે કે $A_2 = 3 A_1$,તેથી કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{3 A_1} = \frac{1}{3}$.

(B) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_{1/2} = 5730 \text{ વર્ષ}$ અને $\ln 2 = -\ln 0.5 = 0.7$ આપેલ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{0.7}{5730} \text{ વર્ષ}^{-1}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,જ્યાં $N(t) = 0.75 N_0$.
આમ,$0.75 = e^{-\lambda t}$,જેનો અર્થ છે કે $\ln(0.75) = -\lambda t$.
આપેલ છે કે $\ln(0.75) = -0.3$,તેથી $-0.3 = -\left(\frac{0.7}{5730}\right) t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{0.3 \times 5730}{0.7} = \frac{1719}{0.7} \approx 2455.7 \text{ વર્ષ}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,નમૂનાની ઉંમર $2456 \text{ વર્ષ}$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ એટલે તે સમયગાળો કે જેમાં આપેલા નમૂનામાં રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતાં અડધી થઈ જાય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $N_0$ એ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા હોય,તો એક અર્ધ-આયુષ્ય પછી,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ એ $N_0/2$ થાય છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 10^8 \text{ વર્ષ}$ છે.
તેને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $T_{1/2} = 10^8 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 \approx 3.15 \times 10^{15} \,s$.
એક્ટિવિટી $R = 10^4 \,Bq$ આપેલ છે.
એક્ટિવિટી $R$, ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = \lambda N$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ છે.
એક્ટિવિટીના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$.
$N$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $N = \frac{R \times T_{1/2}}{0.693}$.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{10^4 \times 3.15 \times 10^{15}}{0.693} \approx 4.54 \times 10^{19}$.
આમ, હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા આશરે $4.5 \times 10^{19}$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 1 \,kg = 1000 \,g$. અંતિમ જથ્થો $N_t = 125 \,g$. અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 12.5 \,y$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેતો જથ્થો $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $125 = 1000 \times (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 125/1000 = 1/8$.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$, તેથી $n = 3$.
કુલ સમય $N = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
$N = 3 \times 12.5 \,y = 37.5 \,years$.

(D) ધારો કે $A$ ના પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે. $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી,$A$ ના બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_A = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
તત્વ $A$ એ $B$ માં રૂપાંતરિત થતું હોવાથી,$B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_B = N_0 - N_A = N_0 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$ થશે.
$A$ અને $B$ ના પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{N_0 (1/2)^n}{N_0 (1 - (1/2)^n)} = \frac{1}{8}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{(1/2)^n}{1 - (1/2)^n} = \frac{1}{8}$ મળે છે.
ધારો કે $x = (1/2)^n$. તો $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{8} \implies 8x = 1 - x \implies 9x = 1 \implies x = \frac{1}{9}$.
કારણ કે $(1/2)^3 = 1/8$ અને $(1/2)^4 = 1/16$,અને $1/16 < 1/9 < 1/8$ હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1.5 \ hrs$ આપેલ છે,તેથી સમય $t = n \times T_{1/2}$.
$3 < n < 4$ હોવાથી,સમય $t$ એ $3 \times 1.5 = 4.5 \ hrs$ અને $4 \times 1.5 = 6 \ hrs$ ની વચ્ચે હશે.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત નક્કર ગોળાની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વિદ્યુતભાર $-q$ હોવાથી,તેના પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -qE = -\frac{Q q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
આ બળ $F = -kr$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં બળ અચળાંક $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}}$ મળે છે.

(C) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P_1 = -1.75 D$ અને $P_2 = +2.25 D$ આપેલ છે.
તેથી,$P = -1.75 + 2.25 = 0.5 D$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને પાવર $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = \frac{1}{P}$ (મીટરમાં) છે.
$f = \frac{1}{0.5} = 2 \,m$.
કારણ કે $1 \,m = 100 \,cm$,તેથી $f = 2 \times 100 = 200 \,cm$.

(A) ક્રાંતિકોણ $(i_c)$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણનું તે મૂલ્ય છે જેના માટે પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ $90^{\circ}$ થાય છે.
અહીં,ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 2$ અને પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1$ છે.
ક્રાંતિકોણ માટેનું સૂત્ર $\sin(i_c) = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin(i_c) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ થાય.

(C) ક્રાંતિકોણ $i_c$ એ આપાતકોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જેના માટે વક્રીભૂતકોણ $90^{\circ}$ હોય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
આપેલ છે,પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 2$ અને બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = \sqrt{3}$ છે.
ક્રાંતિકોણ માટેનું સૂત્ર $\sin i_c = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sin i_c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે,તેથી $i_c = 60^{\circ}$ થાય.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +4 \ cm$ અને $R_2 = -8 \ cm$ લેવામાં આવે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{-8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2+1}{8} \right) = (0.5) \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{1.5}{8} = \frac{3}{16}$.
તેથી,$f = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$ થાય.

(C) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે:
$u = -30 \ cm$,$f = -20 \ cm$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3-2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$
$v = -12 \ cm$ (પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સની ડાબી બાજુ $12 \ cm$ પર રચાય છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે:
અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \ cm$ છે.
$u = -(12 + 5) = -17 \ cm$,$f = +10 \ cm$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-17} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{17} = \frac{17 - 10}{170} = \frac{7}{170}$
$v = \frac{170}{7} \approx 24.29 \ cm$ બહિર્ગોળ લેન્સની જમણી બાજુ.
બહિર્ગોળ લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સની જમણી બાજુ $5 \ cm$ પર હોવાથી,અંતર્ગોળ લેન્સથી અંતિમ પ્રતિબિંબનું અંતર $24.29 + 5 = 29.29 \ cm$ (જમણી બાજુ) થશે.

(B) આપેલ છે કે, પડદા અને વસ્તુ વચ્ચેનું અંતર, $d = 100 \,cm$.
બહિર્ગોળ લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર, $x = 20 \,cm$.
ડિસ્પ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $f = \frac{d^2 - x^2}{4d}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{(100)^2 - (20)^2}{4 \times 100}$
$f = \frac{10000 - 400}{400}$
$f = \frac{9600}{400}$
$f = 24 \,cm$.
તેથી, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $24 \,cm$ છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ (ડાયોપ્ટરમાં) અને તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $P = \frac{1}{f(m)}$.
જો કેન્દ્રલંબાઈ સેન્ટિમીટરમાં $(cm)$ હોય, તો સૂત્ર આ મુજબ થાય: $P = \frac{100}{f(cm)}$.
અહીં આપેલ પાવર $P = +2.0 \,D$ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$2.0 = \frac{100}{f(cm)}$
$f(cm) = \frac{100}{2.0} = 50 \,cm$.
આમ, જરૂરી બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $50 \,cm$ છે.

(C) બે લેન્સની સિસ્ટમમાંથી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ સમાંતર રીતે બહાર નીકળે તે માટે, પ્રથમ લેન્સનું બીજું મુખ્ય કેન્દ્ર અને બીજા લેન્સનું પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોવા જોઈએ。
ધારો કે $L_1$ એ $f_1 = -15 \,cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અપસારી લેન્સ છે અને $L_2$ એ $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અભિસારી લેન્સ છે。
$L_1$ પર આપાત થતું સમાંતર કિરણપુંજ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર $F_1$ માંથી અપસરણ પામતું હોય તેમ લાગે છે, જે $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $15 \,cm$ અંતરે છે。
કિરણો $L_2$ માંથી સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે, $L_2$ પર આપાત થતા કિરણો તેના મુખ્ય કેન્દ્ર $F_2$ માંથી આવતા હોય તેમ લાગવું જોઈએ, જે $L_2$ ની ડાબી બાજુએ તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ જેટલા અંતરે આવેલું છે。
સિસ્ટમની ભૂમિતિ મુજબ, બે લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 40 \,cm$ છે。
મુખ્ય કેન્દ્ર $F_1$ એ $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $15 \,cm$ અંતરે છે. તેથી, $L_2$ થી $F_1$ નું અંતર $15 \,cm + 40 \,cm = 55 \,cm$ થાય。
કિરણો સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે $F_1$ અને $F_2$ એક જ બિંદુ પર હોવા જોઈએ, તેથી અભિસારી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = 55 \,cm$ થાય。

(C) પાણી માટે, $\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} = 12 \,cm$.
$\text{આભાસી ઊંડાઈ} = 9 \,cm$.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ છે।
જ્યારે પાણીને $\mu_l = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહી દ્વારા બદલવામાં આવે છે, ત્યારે નવી આભાસી ઊંડાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{નવી આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu_l} = \frac{12}{1.5} = 8 \,cm$.
માઈક્રોસ્કોપ શરૂઆતમાં $9 \,cm$ પર ફોકસ થયેલું હતું અને હવે તેને $8 \,cm$ પર ફોકસ કરવાની જરૂર છે।
તેથી, માઈક્રોસ્કોપને ખસેડવાનું અંતર $9 \,cm - 8 \,cm = 1 \,cm$ થશે.

(C) ટેલિસ્કોપ માટે વિભેદન સીમા $(\theta_R)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\theta_R = \frac{1.22 \lambda}{a}$
આપેલ છે:
$\lambda = 6000 \text{ \AA} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$a = 100 \text{ inch} = 100 \times 2.54 \text{ cm} = 254 \text{ cm} = 2.54 \text{ m}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta_R = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2.54}$
$\theta_R \approx \frac{7.32 \times 10^{-7}}{2.54} \approx 2.88 \times 10^{-7} \text{ rad}$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા:
$\theta_R \approx 2.9 \times 10^{-7} \text{ rad}$

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
આપેલ છે: $n_1 = 2$,$i = 30^{\circ}$,$n_2 = 1$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times \sin 30^{\circ} = 1 \times \sin r$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી:
$2 \times 0.5 = \sin r$
$1 = \sin r$
આમ,$r = \arcsin(1) = 90^{\circ}$.

(A) ધારો કે $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તનકોણ એ આપાતકોણ જેટલો જ હોય છે,જે $i$ છે.
આપાતબિંદુ પર સીધી રેખા પરના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
આમ,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $i + r = 90^{\circ}$,અથવા $r = 90^{\circ} - i$ મળે છે.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_1 \sin i = n_2 \sin r$
અહીં $n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = 1.4$ (કાચ) છે:
$1 \cdot \sin i = 1.4 \cdot \sin(90^{\circ} - i)$
કારણ કે $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,તેથી:
$\sin i = 1.4 \cos i$
$\frac{\sin i}{\cos i} = 1.4$
$\tan i = 1.4$
$i = \tan^{-1}(1.4)$

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,હવાના સાપેક્ષમાં પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $(n_{la})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n_{la} = \frac{\sin \theta}{\sin \alpha}$
વ્યાખ્યા મુજબ,ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ (પ્રવાહી) માં એવો આપાતકોણ છે જેના માટે પાતળા માધ્યમ (હવા) માં વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ થાય છે.
પ્રવાહીના સાપેક્ષમાં હવાનો વક્રીભવનાંક $(n_{al})$ છે:
$n_{al} = \frac{1}{n_{la}} = \frac{\sin \theta_c}{\sin 90^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી:
$\sin \theta_c = \frac{1}{n_{la}}$
$n_{la}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\sin \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\sin \theta}$

(C) ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે કે,$hc = 1242 \ eV-nm$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda = 621 \ nm$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $E = \frac{1242 \ eV-nm}{621 \ nm} = 2 \ eV$ મળે છે.
જેহেতু ફોટોનની ઉર્જા અર્ધવાહકના બેન્ડ ગેપ સાથે મેળ ખાય છે,તેથી ઈલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી બનાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા એ બેન્ડ ગેપ ઉર્જા જેટલી જ હોય છે.
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા $2 \ eV$ છે.

(D) સોલિડ-સ્ટેટ ફિઝિક્સમાં,પદાર્થોને તેમની એનર્જી બેન્ડ ગેપના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
ધાતુઓમાં વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે બેન્ડ ગેપ અસરકારક રીતે $0 eV$ હોય છે.
અર્ધવાહકોમાં નાની બેન્ડ ગેપ હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $1 eV$ થી $3 eV$ ની વચ્ચે હોય છે.
અવાહકોમાં ખૂબ જ મોટી એનર્જી બેન્ડ ગેપ હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $3 eV$ કરતા વધારે હોય છે,જે સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનના પ્રવાહને અટકાવે છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી અવાહકોમાં સૌથી મોટી બેન્ડ ગેપ હોય છે.

(C) વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v$ એ આઉટપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ અને ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$A_v = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{2.5 \ V}{0.02 \ V} = 125$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $CE$ એમ્પ્લીફાયર માટે વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v = \beta \times \frac{R_c}{R_b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ પ્રવાહ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર છે,$R_c$ એ કલેક્ટર અવરોધ છે અને $R_b$ એ બેઝ અવરોધ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$125 = \beta \times \frac{2.5 \ k\Omega}{1.5 \ k\Omega}$.
$125 = \beta \times \frac{5}{3}$.
$\beta = 125 \times \frac{3}{5} = 25 \times 3 = 75$.
આમ,પ્રવાહ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $75$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,ત્રણેય $OR$ ગેટના આઉટપુટને $AND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $B$ છે,કારણ કે $A$ ના ઇનપુટ લાઇન પર $NOT$ ગેટ છે. તેથી,પ્રથમ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(\bar{A}+B)$ છે.
બીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{C}$ છે,કારણ કે $A$ અને $C$ બંને ઇનપુટ લાઇન પર $NOT$ ગેટ છે. તેથી,બીજા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(\bar{A}+\bar{C})$ છે.
ત્રીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $\bar{C}$ છે,કારણ કે $C$ ના ઇનપુટ લાઇન પર $NOT$ ગેટ છે. તેથી,ત્રીજા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(B+\bar{C})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ તેના ઇનપુટનો ગુણાકાર (તાર્કિક ગુણાકાર) છે,તેથી લોજિક સર્કિટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ ત્રણેય $OR$ ગેટના આઉટપુટનો ગુણાકાર છે:
$Y = (\bar{A}+B) \cdot (\bar{A}+\bar{C}) \cdot (B+\bar{C})$.

(A) $1$. પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $0$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $1 \cdot 0 = 0$ થશે.
$2$. પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0 + 1 = 1$ થશે.
$3$. બીજો $OR$ ગેટ (જે $AND$ ગેટ અને પ્રથમ $OR$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે) ના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0 + 1 = 1$ થશે.
$4$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ થશે.
$5$. $NOT$ ગેટનું ઇનપુટ $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{1} = 0$ થશે.
$6$. અંતિમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $Y=1$ અને $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $0$ છે,તેથી $Z = 1 + 0 = 1$ થશે.
આમ,$Y=1$ અને $Z=1$ મળે છે.

(B) કયા લોજિક ગેટ્સ ફક્ત ત્યારે જ હાઈ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે જ્યારે તમામ ઇનપુટ લો $(0)$ હોય, તે સમજવા માટે આપણે બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ માટે તેમના ટ્રુથ ટેબલ તપાસીએ:
$1$. $NOR$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = \overline{A+B}$ છે। જ્યારે $A=0$ અને $B=0$ હોય, ત્યારે $A+B=0$, તેથી $Y=1$ મળે છે। અન્ય કોઈપણ સંયોજન માટે, આઉટપુટ $0$ મળે છે।
$2$. $NAND$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = \overline{AB}$ છે। જ્યારે $A=0$ અને $B=0$ હોય, ત્યારે $AB=0$, તેથી $Y=1$ મળે છે। જોકે, $A=0, B=1$ અથવા $A=1, B=0$ માટે પણ આઉટપુટ $1$ મળે છે।
પ્રશ્ન મુજબ: "હાઈ આઉટપુટ મેળવવા માટે તમામ ઇનપુટ લો હોવા જોઈએ"। $NOR$ ગેટ માટે, $Y=1$ ફક્ત ત્યારે જ મળે છે જ્યારે $A=0$ અને $B=0$ હોય। તેથી, $NOR$ અને $NAND$ એ સામાન્ય રીતે આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં સાચો વિકલ્પ ગણાય છે।

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$,$B$,અને $C$ છે. સર્કિટ $NAND$ ગેટ્સ અને $OR$ ગેટ્સની બનેલી છે.
$1$. ઉપરના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $A$ બંને ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot A} = \bar{A}$ છે.
$2$. વચ્ચેના બે $NAND$ ગેટમાં અનુક્રમે $(A, B)$ અને $(B, C)$ ઇનપુટ છે,જે $\overline{A \cdot B}$ અને $\overline{B \cdot C}$ આઉટપુટ આપે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે,જેના પરિણામે $\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}$ મળે છે.
$4$. નીચેના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $C$ બંને ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{C \cdot C} = \bar{C}$ છે.
$5$. અંતે,આ તમામ સિગ્નલો એક $OR$ ગેટ દ્વારા જોડાઈને આઉટપુટ $Y$ આપે છે:
$Y = \bar{A} + (\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}) + \bar{C}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ અને $\overline{B \cdot C} = \bar{B} + \bar{C}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} + \bar{B}) + (\bar{B} + \bar{C}) + \bar{C}$
આઈડેમપોટન્ટ નિયમ $\bar{A} + \bar{A} = \bar{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Y = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: આદર્શ ડાયોડ માટે,ફોરવર્ડ બાયસમાં $V-I$ લાક્ષણિકતા $V=0$ પર એક ઊભી રેખા છે. તેથી,અવરોધ $R = \frac{\Delta V}{\Delta I} = 0$ થાય છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે: હાફ-વેવ રેક્ટિફાયર ઇનપુટ $AC$ સિગ્નલના માત્ર ધન અડધા ચક્ર દરમિયાન જ પ્રવાહ વહેવા દે છે,કારણ કે ઋણ અડધા ચક્ર દરમિયાન ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે: બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં,ઝેનર ડાયોડના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ પ્રવાહમાં ફેરફાર હોવા છતાં લગભગ અચળ રહે છે,જે તેને વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર અથવા અચળ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરવા દે છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) અર્ધવાહકમાં,$0 \ K$ તાપમાને બધા ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાં હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડમાં કોઈ ઇલેક્ટ્રોન હોતા નથી. તેથી,$0 \ K$ તાપમાને કોઈ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોતા નથી. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉષ્મીય ઉર્જા મેળવે છે,જે તેમને સહસંયોજક બંધ તોડીને કન્ડક્શન બેન્ડમાં જવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. પરિણામે,તાપમાન સાથે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વધે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે તાપમાન વધતા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન થાય છે.
અર્ધવાહકમાં,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વાહકની તુલનામાં ઘણી ઓછી હોય છે કારણ કે મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન લેટીસ સ્ટ્રક્ચરમાં બંધાયેલા હોય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (C)$ અને $(D)$ સાચા છે,જ્યારે $(B)$ ખોટું છે.

(B) સેમિકન્ડક્ટર ક્રિસ્ટલમાં પ્રતિ $\text{m}^3$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 8 \times 10^{28} \text{ atoms/m}^3$ છે.
ડોપિંગ સાંદ્રતા $2 \text{ ppm}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $10^6$ પરમાણુઓ દીઠ $2$ પરમાણુઓ.
પ્રતિ $\text{m}^3$ ડોનર પરમાણુઓની સંખ્યા $(n_d)$ $n_d = 2 \times 10^{-6} \times 8 \times 10^{28} = 16 \times 10^{22} \text{ atoms/m}^3$ છે.
દરેક પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ પરમાણુ એક મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન આપે છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n_e \approx n_d = 16 \times 10^{22} \text{ m}^{-3}$ થાય.
માસ એક્શનના નિયમ મુજબ,$n_e \cdot n_h = n_i^2$,જ્યાં $n_h$ એ હોલની સાંદ્રતા છે.
$n_h = \frac{n_i^2}{n_e} = \frac{(1 \times 10^{16})^2}{16 \times 10^{22}} = \frac{10^{32}}{16 \times 10^{22}} = 0.0625 \times 10^{10} = 6.25 \times 10^8 \text{ m}^{-3}$.

(B) કાળી સપાટીને સંપૂર્ણ શોષક સપાટી ગણવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ શોષક સપાટી માટે,વિકિરણ દબાણ $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{I}{c}$
જ્યાં $I$ એ પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 m s^{-1})$.
આપેલ છે:
$I = 12 W m^{-2}$
$c = 3 \times 10^8 m s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{12}{3 \times 10^8} Pa$
$P = 4 \times 10^{-8} Pa$

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
અહીં, $a = 0.014 \ mm = 0.014 \times 10^{-3} \ m$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\theta = 2.81^{\circ}$ એ કોણીય સ્થાન છે, અને બીજી પ્રકાશિત રેખા માટે $n = 2$ છે।
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{2a \sin \theta}{2n + 1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times \sin(2.81^{\circ})}{2(2) + 1}$
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times 0.049072}{5}$
$\lambda = 2.748 \times 10^{-7} \ m$
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા $(1 \ Å = 10^{-10} \ m)$:
$\lambda = 2748 \ Å$

(A) માધ્યમની પ્લેટ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવેલ વધારાનો પથ તફાવત $\Delta L = (\mu - 1) t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે એક તરંગલંબાઇનો પથ તફાવત એ $2 \pi$ ના કળા તફાવતને સમાન છે,તેથી કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\Delta L \times 2 \pi}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{13}{7}$,$t = 1.4 \times 10^{-6} \ m$,અને $\lambda = 480 \times 10^{-9} \ m$.
$\Delta \phi = \frac{(\frac{13}{7} - 1) \times 1.4 \times 10^{-6} \times 2 \pi}{480 \times 10^{-9}}$
$\Delta \phi = \frac{(\frac{6}{7}) \times 1.4 \times 10^{-6} \times 2 \pi}{480 \times 10^{-9}}$
$\Delta \phi = \frac{6 \times 0.2 \times 2 \pi \times 10^3}{480}$
$\Delta \phi = \frac{2.4 \pi \times 1000}{480} = \frac{2400 \pi}{480} = 5 \pi \ rad$.

(D) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ઉદગમનો પાવર છે અને $r$ એ ઉદગમથી અંતર છે.
આમ,$I \propto \frac{1}{r^2}$ હોવાથી,તીવ્રતા અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
બિંદુવત ઉદગમ માટે,તરંગાગ્રહ ગોલીય હોય છે કારણ કે પ્રકાશ બધી દિશાઓમાં સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે,જે $t$ સમયે $r$ ત્રિજ્યાનો ગોળો બનાવે છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$n_1 = 5$,$\lambda_1 = 600 nm$,અને $y_1 = 6 mm$ છે.
તેથી,$6 = 5 \times \frac{600 D}{d} \Rightarrow \frac{D}{d} = \frac{6}{5 \times 600} = \frac{1}{500} mm/nm$.
બીજા કિસ્સા માટે,$n_2 = 3$,$\lambda_2 = 400 nm$ છે.
ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_2 = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y_2 = 3 \times 400 \times \frac{1}{500} = \frac{1200}{500} = 2.4 mm$.

(C) આપેલ છે: $\lambda_1 = 3750 \text{ Å}$,$\lambda_2 = 7500 \text{ Å}$,$D = 4 \,m$,$d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$.
પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,બંને તરંગલંબાઇ માટે સ્થાન $x$ સમાન હોવું જોઈએ:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
આનો અર્થ એ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,અથવા $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{7500}{3750} = \frac{2}{1}$.
લઘુત્તમ અંતર માટે,આપણે સૌથી નાના પૂર્ણાંકો $n_1 = 2$ અને $n_2 = 1$ લઈએ છીએ।
$x$ ના સૂત્રમાં $n_1 = 2$ મૂકતા:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{2 \times 3750 \times 10^{-10} \,m \times 4 \,m}{3 \times 10^{-3} \,m}$
$x = \frac{30000 \times 10^{-10} \times 4}{3 \times 10^{-3}} = \frac{12 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-3}} = 10^{-3} \,m = 1 \,mm$.

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ,$\lambda = 5000 \text{ Å} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
સ્લિટનું અંતર,$d = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર,$D = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
પારદર્શક પ્લેટની જાડાઈ,$t = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}$.
શલાકાનું સ્થાનાંતર,$\Delta x = 6 \text{ mm} = 6 \times 10^{-3} \text{ m}$.
શલાકાના સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $6 \times 10^{-3} = \frac{0.2}{3 \times 10^{-3}}(\mu - 1) \times 10^{-3}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $6 \times 10^{-3} = \frac{0.2}{3}(\mu - 1)$.
$18 \times 10^{-3} = 0.2(\mu - 1)$.
$\mu - 1 = \frac{18 \times 10^{-3}}{0.2} = 90 \times 10^{-3} = 0.09$.
તેથી,$\mu = 1 + 0.09 = 1.09$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં અપ્રકાશિત શલાકા (ન્યૂનતમ) માટે,પથ તફાવત $\Delta x$ નું સૂત્ર: $\Delta x = (n - \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ અપ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
બીજા ક્રમની અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$n = 2$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = (2 - \frac{1}{2}) \times 5000 \text{ Å} = \frac{3}{2} \times 5000 \text{ Å} = 7500 \text{ Å}$.
માઇક્રોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $7500 \text{ Å} = 7500 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.75 \times 10^{-6} \text{ m} = 0.75 \mu m$.

(B) આપેલ છે:
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર, $d = 0.28 \,mm = 0.28 \times 10^{-3} \,m$
સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર, $D = 1.4 \,m$
મધ્યસ્થ શલાકાથી $4^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર, $y_n = 1.2 \,cm = 1.2 \times 10^{-2} \,m$
શલાકાનો ક્રમ, $n = 4$
સહાયક વ્યતિકરણ માટે, $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચે મુજબ છે:
$y_n = n \lambda \frac{D}{d}$
તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{y_n d}{n D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(1.2 \times 10^{-2} \,m) \times (0.28 \times 10^{-3} \,m)}{4 \times 1.4 \,m}$
$\lambda = \frac{0.336 \times 10^{-5}}{5.6} \,m$
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \,nm = 10^{-9} \,m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$
આમ, વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $600 \,nm$ છે।