AP EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બળ $\vec{F_1}$ ના ઘટકો: $F_{1x} = 4 \cos 30^{\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \ N$ અને $F_{1y} = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \ N$.
બળ $\vec{F_2}$ ના ઘટકો: $F_{2x} = 0 \ N$ અને $F_{2y} = 4 \ N$.
પરિણામી બળના ઘટકો: $F_x = F_{1x} + F_{2x} = 2\sqrt{3} \ N$ અને $F_y = F_{1y} + F_{2y} = 2 + 4 = 6 \ N$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} \approx 6.928 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F_R}{m} = \frac{6.928}{1} \approx 6.9 \ m \ s^{-2}$.

(B) આપેલ સદિશ $P = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
ધારો કે દિશા દર્શાવતો સદિશ $Q = \hat{i} + 2 \hat{j}$ છે.
સદિશ $P$ નો સદિશ $Q$ ની દિશામાં ઘટક પ્રક્ષેપના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P_{Q} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $P \cdot Q = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j}) = (3 \times 1) + (4 \times 2) = 3 + 8 = 11$.
ત્યારબાદ,સદિશ $Q$ નું માન શોધો: $|Q| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
તેથી,માંગેલ ઘટક $\frac{P \cdot Q}{|Q|} = \frac{11}{\sqrt{5}}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે સદિશો $A$ અને $B$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $A \cdot B = 0$.
આપણે સદિશ $(A+B)$ ની દિશામાં સદિશ $(A-B)$ નો ઘટક શોધવાનો છે.
કોઈ સદિશ $P$ નો સદિશ $Q$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Component} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$ છે.
અહીં,$P = A-B$ અને $Q = A+B$ છે.
પ્રથમ,$(A+B)$ નું માન શોધીએ:
$|A+B| = \sqrt{(A+B) \cdot (A+B)} = \sqrt{A \cdot A + B \cdot B + 2(A \cdot B)} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2 + 0} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $(A-B) \cdot (A+B)$ શોધીએ:
$(A-B) \cdot (A+B) = A \cdot A + A \cdot B - B \cdot A - B \cdot B = |A|^2 + 0 - 0 - |B|^2 = |A|^2 - |B|^2$.
છેલ્લે,ઘટક થશે:
$\text{Component} = \frac{(A-B) \cdot (A+B)}{|A+B|} = \frac{|A|^2 - |B|^2}{\sqrt{|A|^2 + |B|^2}}$.

(D) ધારો કે સદિશ $P = P \hat{i}$ છે.
સદિશ $Q$ નું મૂલ્ય $10 \ m$ હોવાથી,$Q = 10 \cos \theta \hat{i} + 10 \sin \theta \hat{j}$ લો.
પરિણામી સદિશ $R = P + Q = (P + 10 \cos \theta) \hat{i} + (10 \sin \theta) \hat{j}$ થાય.
આપેલ છે કે પરિણામી સદિશ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી તેનો $X$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$P + 10 \cos \theta = 0 \Rightarrow 10 \cos \theta = -P$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = 10 \sin \theta$ છે.
આપણને $R = 2P$ આપેલ છે,તેથી $10 \sin \theta = 2P \Rightarrow 5 \sin \theta = P$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(P/5)^2 + (-P/10)^2 = 1$.
$P^2/25 + P^2/100 = 1$.
$(4P^2 + P^2) / 100 = 1 \Rightarrow 5P^2 = 100$.
$P^2 = 20 \Rightarrow P = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \ m$.

(A) સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમો લાગુ કરીએ છીએ:
$(i)$ $A = 0.001204 \ m$ માટે: આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. અંકો $1, 2, 0, 4$ સાર્થક છે. તેથી,$N_A = 4$.
$(ii)$ $B = 43120000 \ m$ માટે: દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં પાછળના શૂન્યો સાર્થક નથી. અંકો $4, 3, 1, 2$ સાર્થક છે. તેથી,$N_B = 4$.
$(iii)$ $C = 1.200 \ m$ માટે: દશાંશ ચિહ્ન વાળી સંખ્યામાં પાછળના શૂન્યો સાર્થક છે. અંકો $1, 2, 0, 0$ સાર્થક છે. તેથી,$N_C = 4$.
આમ,$N_A = 4, N_B = 4$ અને $N_C = 4$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $N_A = N_B = N_C$.

(A) આપેલ સંબંધ: $P = \frac{a^{1/2} \cdot b^{1/2} \cdot d^\alpha}{c^{1/2}}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \alpha \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
અહીં $a, b, c$ અને $d$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ દરેક $0.5 \%$ છે અને $P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $2 \%$ છે:
$2 = \frac{1}{2}(0.5) + \frac{1}{2}(0.5) + \alpha(0.5) + \frac{1}{2}(0.5)$.
$2 = 0.25 + 0.25 + 0.5\alpha + 0.25$.
$2 = 0.75 + 0.5\alpha$.
$0.5\alpha = 2 - 0.75 = 1.25$.
$\alpha = \frac{1.25}{0.5} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

(B) $1$ કરતા નાની કોઈપણ સંખ્યા માટે,દશાંશ ચિહ્નની પહેલા કે પછી આવતા અગ્રગામી શૂન્યો સાર્થક હોતા નથી.
આપેલ સંખ્યા $0.00005041$ માં,$5$ ની ડાબી બાજુના શૂન્યો અગ્રગામી શૂન્યો છે અને તે સાર્થક નથી.
અંકો $5, 0, 4, 1$ સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) બે સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર (અદિશ ગુણાકાર) અદિશ પરિણામ આપે છે,જ્યારે ક્રોસ ગુણાકાર (સદિશ ગુણાકાર) સદિશ પરિણામ આપે છે.
$1$. $(\vec{A} \cdot \vec{A})(\vec{B} \cdot \vec{C})$ માટે: $(\vec{A} \cdot \vec{A})$ અને $(\vec{B} \cdot \vec{C})$ બંને અદિશ છે. બે અદિશોનો ગુણાકાર અદિશ હોય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$2$. $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot(\vec{B} \times \vec{C})$ માટે: $(\vec{A} \times \vec{B})$ અને $(\vec{B} \times \vec{C})$ બંને સદિશો છે. બે સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર અદિશ હોય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$3$. $(\vec{A} \times \vec{C}) \times(\vec{B} \times \vec{C})$ માટે: $(\vec{A} \times \vec{C})$ અને $(\vec{B} \times \vec{C})$ બંને સદિશો છે. બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર સદિશ હોય છે. તેથી,તે અદિશ મૂલ્ય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
$4$. $\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})$ માટે: $(\vec{B} \times \vec{C})$ એ એક સદિશ છે. $\vec{A}$ નો આ સદિશ સાથેનો ક્રોસ ગુણાકાર પરિણામે બીજો સદિશ આપે છે. આ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{A} = 5 \hat{i} + 12 \hat{j}$ અને $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
પ્રથમ,આપણે આ સદિશોના માન શોધીએ:
$|\vec{A}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
હવે,એકમ સદિશો $\hat{n}_1 = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j})$ અને $\hat{n}_2 = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$ છે.
ડોટ ગુણાકાર $\hat{n}_1 \cdot \hat{n}_2 = \left[ \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \right] \cdot \left[ \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \right]$ થાય.
$= \frac{1}{65} (5 \times 3 + 12 \times 4) = \frac{1}{65} (15 + 48) = \frac{63}{65}$.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{r_1} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{r_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2) = 2\hat{i} - 2\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન $|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}}{|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}|} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} - \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) આપેલ છે: વસ્તુનું દળ $m = 10 \ kg$,અંતર $S = 2 \ m$,સમય $t = 1 \ s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times a \times (1)^2$
$2 = \frac{1}{2}a \Rightarrow a = 4 \ m/s^2$.
હવે,ડૂબતી વસ્તુ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા:
$mg - F_B = ma$
જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$F_B = m(g - a) = 10 \times (10 - 4) = 10 \times 6 = 60 \ N$.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_B = m_{liquid} \times g$
$60 = m_{liquid} \times 10$
$m_{liquid} = 6 \ kg$.

(D) તરતી વસ્તુ માટે, વસ્તુનું વજન તે સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે. આ સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\rho_s V g = \rho_f V_{sub} g$, જ્યાં $\rho_s$ એ ઘન પદાર્થની ઘનતા છે, $\rho_f$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, અને $V_{sub}$ એ ડૂબેલું કદ છે।
$1$. પાણીમાં: $\rho_s V g = \rho_w (0.5 V) g$.
આપેલ છે કે $\rho_w = 1000 \,kg \,m^{-3}$, તેથી $\rho_s = 0.5 \times 1000 = 500 \,kg \,m^{-3}$.
$2$. તેલમાં: $\rho_s V g = \rho_{oil} (0.8 V) g$.
$\rho_s = 500 \,kg \,m^{-3}$ મૂકતા, આપણને મળે છે $500 = 0.8 \times \rho_{oil}$.
તેથી, $\rho_{oil} = \frac{500}{0.8} = 625 \,kg \,m^{-3}$.

(C) પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન એ તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\rho$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ $(1000 \ kg/m^3)$ છે.
જ્યારે પાણી પર તરે છે,ત્યારે ડૂબેલું કદ $V_{sub} = V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V$ છે.
પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $\Rightarrow V \rho g = V_{sub} \rho_w g$.
$V \rho = \frac{2}{3}V \rho_w \Rightarrow \rho = \frac{2}{3} \rho_w = \frac{2}{3} \times 1000 = \frac{2000}{3} \ kg/m^3$.
હવે,પદાર્થ $1.5$ વિશિષ્ટ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી પર તરે છે,તેથી પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1.5 \times 1000 = 1500 \ kg/m^3$ છે.
ધારો કે આ પ્રવાહીમાં ડૂબેલું કદ $V'_{sub}$ છે.
$V \rho g = V'_{sub} \rho_l g \Rightarrow V \times \frac{2000}{3} = V'_{sub} \times 1500$.
$V'_{sub} = V \times \frac{2000}{3 \times 1500} = V \times \frac{2000}{4500} = \frac{4}{9}V$.
સપાટીની ઉપર રહેલું કદ $V_{above} = V - V'_{sub} = V - \frac{4}{9}V = \frac{5}{9}V$ થાય.

(C) છિદ્રમાંથી પાણીના વહનનો દર એ બહાર નીકળતા પાણીના વેગ અને છિદ્રના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = v \times A$
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે।
તેથી, $\frac{\Delta V}{\Delta t} = \sqrt{2gh} \times A$ ... $(i)$
આપેલ છે:
$h = 20 \,m$
$g = 10 \,m/s^2$
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = 3 \times 10^{-3} \,m^3/min = \frac{3 \times 10^{-3}}{60} \,m^3/s = 0.5 \times 10^{-4} \,m^3/s = 5 \times 10^{-5} \,m^3/s$
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} \times A$
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{400} \times A$
$5 \times 10^{-5} = 20 \times A$
$A = \frac{5 \times 10^{-5}}{20} = 0.25 \times 10^{-5} \,m^2 = 2.5 \times 10^{-6} \,m^2$
કારણ કે $1 \,m^2 = 10^6 \,mm^2$, તેથી:
$A = 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6 \,mm^2 = 2.5 \,mm^2$.

(A) મુક્ત સપાટીથી $H$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $(v)$ ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ: $v = \sqrt{2gH}$ છે.
કદ પ્રવાહ દર $(Q)$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $(a)$ અને બહાર નીકળતા પાણીના વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે:
$Q = a \times v = a \sqrt{2gH}$
આપેલ છે:
$Q = 2 \times 10^{-3} \,m^3/s$
$a = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$g = 10 \,ms^{-2}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4} \times \sqrt{2 \times 10 \times H}$
બંને બાજુ $5 \times 10^{-4}$ વડે ભાગતા:
$4 = \sqrt{20H}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = 20H$
$H = \frac{16}{20} \,m = 0.8 \,m = 80 \,cm$.

(C) સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
આપેલ છે કે $A_1 = 2A$,$v_1 = \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$,અને $A_2 = A$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(2A)(\sqrt{2}) = (A)v_2 \Rightarrow v_2 = 2\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$.
સ્થાયી પ્રવાહ માટે,બિંદુ $1$ અને $2$ પર બર્નુલીનું સમીકરણ વાપરતા:
$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
પદોને ગોઠવતા: $P_1 - P_2 = \rho g (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
અહીં $P_1 - P_2 = 100 \ N \ m^{-2}$ (કારણ કે પહોળા ભાગ $1$ પર દબાણ વધારે છે જ્યાં ઝડપ ઓછી છે),$h_1 - h_2 = 10 \ cm = 0.1 \ m$,તેથી $h_2 - h_1 = -0.1 \ m$.
$100 = \rho [10(-0.1) + \frac{1}{2}((2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2)]$.
$100 = \rho [-1 + \frac{1}{2}(8 - 2)]$.
$100 = \rho [-1 + 3] = 2\rho$.
$\rho = 50 \ kg \ m^{-3}$.

(C) હાઇડ્રોલિક લિફ્ટનો સિદ્ધાંત પાસ્કલના નિયમ પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લાગુ પાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
નાના પિસ્ટન પરનું દબાણ $(P_1)$ = મોટા પિસ્ટન પરનું દબાણ $(P_2)$.
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં,$F_1 = F$,$r_1 = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,અને $F_2 = mg = 1875 \times 10 = 18750 \ N$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F}{\pi (3 \times 10^{-2})^2} = \frac{18750}{\pi (5 \times 10^{-2})^2}$
$\frac{F}{9 \times 10^{-4}} = \frac{18750}{25 \times 10^{-4}}$
$F = \frac{18750 \times 9}{25}$
$F = 750 \times 9 = 6750 \ N$.

(A) હાઇડ્રોલિક મશીનમાં, પાસ્કલના નિયમ મુજબ બંને પિસ્ટન પર દબાણ સમાન હોય છે。
પિસ્ટન $P_1$ પરનું દબાણ $=$ પિસ્ટન $P_2$ પરનું દબાણ
$\Rightarrow \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
જ્યાં $F_1 = mg = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 20 \,N$.
$A_1 = \pi R_1^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \,m^2$.
$A_2 = \pi R_2^2 = \pi (8)^2 = 64\pi \,m^2$.
હવે, $F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = 20 \times \frac{64\pi}{4\pi} = 20 \times 16 = 320 \,N$.

(D) આપેલ ત્રિજ્યાઓ: $r_A = 10 \,cm = 0.1 \,m$, $r_B = 100 \,cm = 1 \,m$, $r_C = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
પિસ્ટન $A$ પર મૂકવામાં આવેલ વજન $F_A = m_A g = 2g$ છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ, દબાણ સમગ્ર પ્રવાહીમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે: $\frac{F_A}{A_A} = \frac{F_B}{A_B} = \frac{F_C}{A_C}$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી, $\frac{F_A}{r_A^2} = \frac{F_B}{r_B^2} = \frac{F_C}{r_C^2}$ મળે.
પિસ્ટન $B$ માટે: $F_B = F_A \times \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{1}{0.1}\right)^2 = 2g \times 100 = 200g$.
આમ, $B$ દ્વારા ઊંચકી શકાતું દળ $m_B = 200 \,kg$ છે.
પિસ્ટન $C$ માટે: $F_C = F_A \times \left(\frac{r_C}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{0.05}{0.1}\right)^2 = 2g \times (0.5)^2 = 2g \times 0.25 = 0.5g$.
આમ, $C$ દ્વારા ઊંચકી શકાતું દળ $m_C = 0.5 \,kg$ છે.
ગણતરી કરેલ દળ $200 \,kg$ અને $0.5 \,kg$ છે. જે આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ સાથે મળતું નથી, તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સ્થિર સંતુલનમાં,સળંગ પ્રવાહીમાં સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે.
ધારો કે ડાબી બાજુની નળીમાં પ્રવાહી $A$ અને પ્રવાહી $B$ ના સંપર્ક સપાટી પરનું દબાણ $P$ છે.
ડાબી બાજુની નળી માટે,આ સ્તરે દબાણ $P_0 + \rho_A g h_A$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
જમણી બાજુની નળી માટે,સમાન આડા સ્તરે દબાણ $P_0 + \rho_B g h_B$ છે.
દબાણને સરખાવતા:
$P_0 + \rho_A g h_A = P_0 + \rho_B g h_B$
$\rho_A h_A = \rho_B h_B$
આપેલ છે કે પ્રવાહી $A$ ની ઘનતા પ્રવાહી $B$ ની ઘનતા કરતા બમણી છે,એટલે કે $\rho_A = 2\rho_B$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2\rho_B) h_A = \rho_B h_B$
$2 h_A = h_B$
$h_A = \frac{h_B}{2}$

(B) આપેલ પિસ્ટનની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \ m$ અને $r_2 = 5 \ m$ છે. ધારો કે પિસ્ટન $P_1$ પર રાખેલ દળ $m_1$ છે અને પિસ્ટન $P_2$ પર રાખેલ દળ $m_2 = x$ છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સ્થિર તરલમાં સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે.
$p_1 = p_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં $F = mg$ અને $A = \pi r^2$ હોવાથી:
$\frac{m_1 g}{\pi r_1^2} = \frac{m_2 g}{\pi r_2^2}$
$\frac{m_1}{r_1^2} = \frac{m_2}{r_2^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{m_1}{2^2} = \frac{x}{5^2}$
$\frac{m_1}{4} = \frac{x}{25}$
$m_1 = \frac{4}{25} x = 0.16 x$
આમ,$P_1$ પર રાખવું પડતું લઘુત્તમ દળ $0.16 x$ છે.

(A) પાસ્કલના નિયમ મુજબ, $\text{બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે।}$ તેથી, બંને પિસ્ટન $P_1$ અને $P_2$ પરનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ।
ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ અનુક્રમે પિસ્ટન $P_1$ અને $P_2$ પર લાગતા બળો છે, અને $A_1$ અને $A_2$ એ તેમના ક્ષેત્રફળ છે।
$F_1 = m_1 g = 2g$
$F_2 = m_2 g = 32g$
$A_1 = \pi (2)^2 = 4\pi$
$A_2 = \pi R^2$
દબાણને સરખાવતા: $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
$\frac{2g}{4\pi} = \frac{32g}{\pi R^2}$
$\frac{1}{2} = \frac{32}{R^2}$
$R^2 = 64$
$R = 8 \,m$

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં બે મુખ્ય અભિગમો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ એકીકરણ (Unification): ઘણા બધા નિયમો અને સિદ્ધાંતો રાખવાને બદલે,આપણે એવા થોડાક જ નિયમો રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ જે મોટી સંખ્યામાં કિસ્સાઓ માટે લાગુ પડે છે.
(ii) ન્યૂનીકરણ (Reduction): કોઈ મોટા અથવા જટિલ પ્રશ્નનું વિશ્લેષણ કરવા માટે,આપણે તેને નાના,સરળ ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ જેને વ્યક્તિગત રીતે ઉકેલી શકાય છે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આપેલ છે: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$,$\rho = 1500 \ kgm^{-3}$,$\theta = 0^\circ$ (તેથી $\cos \theta = 1$),$g = 10 \ ms^{-2}$,$r_1 = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,અને $r_2 = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$.
બંને બાજુઓ પર ઊંચાઈ $h_1 = \frac{2T}{r_1 \rho g}$ અને $h_2 = \frac{2T}{r_2 \rho g}$ છે.
પ્રવાહીના સ્તરોમાં તફાવત $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta h = \frac{2 \times 0.03}{1500 \times 10} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4 \times 10^{-3}} \right)$.
$\Delta h = \frac{0.06}{15000} \left( 500 - 250 \right) = \frac{0.06}{15000} \times 250 = \frac{0.06}{60} = 0.001 \ m$.
તેથી,$\Delta h = 1 \ mm$.

(A) ટીપાંને તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
શરૂઆતના મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ = $4 \pi R^2$.
$n$ નાના ટીપાંનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ = $n \times (4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 n$.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો = (અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ) - (પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ) = $4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2$.
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $\Delta U = (4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2) T$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે. પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = 10 \,cm^2$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે, ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A_1$ થાય છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 4A_1 - A_1 = 3A_1$ છે.
આપેલ છે કે $A_1 = 10 \,cm^2 = 10 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$.
તેથી, $\Delta A = 3 \times 10^{-3} \,m^2$.
પ્રવાહી ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે, તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 2 \times T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે $W = 8 \times 10^{-3} \,J$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \times 10^{-3} = 2 \times T \times (3 \times 10^{-3})$.
$8 = 6T \implies T = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \,N/m$.
આપણને $T = \left(1 + \frac{1}{\alpha}\right) \,N/m$ આપેલ છે.
તેથી, $1 + \frac{1}{\alpha} = \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$.
આમ, $\alpha = 3$.

(A) જ્યારે પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ એ બાષ્પ દબાણ $P$ જેટલું થાય ત્યારે ટીપું સંતુલનમાં રહેશે.
ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
ટીપું બાષ્પીભવન થયા વગર અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે,અંદરનું દબાણ બાષ્પ દબાણ $P$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$P = \frac{2S}{R}$.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{2S}{P}$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{2 \times (8 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})}{2.5 \times 10^3 \text{ Pa}}$.
$R = \frac{16 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^3} = 6.4 \times 10^{-5} \text{ m}$.
માઇક્રોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R = 64 \times 10^{-6} \text{ m} = 64 \mu m$.

(B) જ્યારે પાતળી રીંગને પ્રવાહીની સપાટી પરથી ઉપર ઉઠાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી રીંગની અંદરની અને બહારની બંને પરિધ સાથે ચોંટેલું રહે છે. તેથી,સંપર્ક રેખાની કુલ લંબાઈ $L = 2 \pi r + 2 \pi r = 4 \pi r$ થાય.
રીંગને ઉઠાવવા માટે જરૂરી ઉર્ધ્વ બળ $F$ એ રીંગનું વજન $W$ અને પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_s$ નો સરવાળો છે.
$F = W + F_s = W + T \times L = W + T \times (4 \pi r)$.
આપેલ છે કે જરૂરી બળ તેના વજન કરતાં $0.022 \,N$ વધારે છે,તેથી $F - W = 0.022 \,N$.
તેથી,$T \times 4 \pi r = 0.022$.
અહીં $r = 1.4 \,cm = 1.4 \times 10^{-2} \,m$ છે.
$T = \frac{0.022}{4 \pi \times 1.4 \times 10^{-2}} = \frac{0.022}{4 \times (22/7) \times 0.014} = \frac{0.022 \times 7}{4 \times 22 \times 0.014} = \frac{0.154}{1.232} = 0.125 \,N/m$.

(C) વિધાન $A$: પ્રવાહીમાં,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો ઘટે છે,જેના પરિણામે સ્નિગ્ધતામાં ઘટાડો થાય છે. વાયુઓમાં,સ્નિગ્ધતા મુખ્યત્વે આણ્વિય અથડામણોને કારણે હોય છે. તાપમાન વધતા,અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ વધે છે,જેનાથી અથડામણો વધે છે અને સ્નિગ્ધતા વધે છે.
વિધાન $B$: પાણી તેલવાળા કાચને ભીંજવતું નથી કારણ કે પાણી અને તેલ વચ્ચેનું આસંજક બળ એ પાણીના અણુઓના સંસક્તિ બળ કરતા ઓછું હોય છે.
વિધાન $C$: પ્રવાહી ઘન સપાટીને ત્યારે જ ભીંજવે છે જો સંપર્કકોણ લઘુકોણ ($90^{\circ}$ કરતા ઓછો) હોય. જો સંપર્કકોણ $90^{\circ}$ કરતા વધારે હોય,તો પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવતું નથી.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે,જ્યારે વિધાન $B$ અને $C$ ખોટા છે.

(B) સ્નિગ્ધતા બળનું સૂત્ર $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ છે.
બોક્સ અચળ વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,લગાડવામાં આવેલું બળ $F$ એ સ્નિગ્ધતા બળ જેટલું જ હશે.
અહીં,$F = \frac{1}{3} \ N$,$A = 0.01 \ m^2$,$dv = 0.09 \ m/s$,અને $dx = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv}$
$\eta = \frac{(1/3) \times (0.3 \times 10^{-3})}{0.01 \times 0.09}$
$\eta = \frac{0.1 \times 10^{-3}}{0.0009} = \frac{10^{-4}}{9 \times 10^{-4}} = \frac{1}{9} \approx 0.11 \ Pa \cdot s$.
આમ,$\eta \approx 1.1 \times 10^{-1} \ Pa \cdot s$.

(C) આદર્શ પ્રવાહી માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ અનંત (અદબનીય) હોય છે અને શીયર મોડ્યુલસ શૂન્ય (શીયર સ્ટ્રેસનો પ્રતિકાર કરી શકતું નથી) હોય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 140 \text{ GPa} = 1.4 \times 10^{11} \text{ Pa}$. દબાણ $p = 7 \times 10^6 \text{ Pa}$. પ્રારંભિક કદ $V = a^3 = (0.1 \text{ m})^3 = 0.001 \text{ m}^3$.
સૂત્ર $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta V = -\frac{pV}{B} = -\frac{(7 \times 10^6)(0.001)}{1.4 \times 10^{11}} = -5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$ મળે છે.
કારણ કે $-5 \times 10^{-8} \text{ m}^3 \neq -0.05 \text{ m}^3$,તેથી વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
વિધાન $(C)$ માટે,જ્યારે સર્પાકાર સ્પ્રિંગ સાથે વજન લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં લંબાઈમાં વધારો થાય છે,જે તણાવયુક્ત વિકૃતિ દર્શાવે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.

(A) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\sigma$ એ બળ $F$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર છે. સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા એ પદાર્થ સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ પ્રતિબળ છે.
આપેલ છે: સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા $\sigma = \frac{400}{\pi} \text{ MPa} = \frac{400}{\pi} \times 10^6 \text{ Pa}$, બળ $F = 484 \text{ N}$.
$d$ વ્યાસ ધરાવતા સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \frac{d^2}{4}$ છે.
સૂત્ર $\sigma = \frac{F}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484}{\pi \frac{d^2}{4}}$
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484 \times 4}{\pi d^2}$
બંને બાજુથી $\pi$ દૂર કરતા:
$400 \times 10^6 = \frac{1936}{d^2}$
$d^2 = \frac{1936}{400 \times 10^6} = 4.84 \times 10^{-6} \text{ m}^2$
$d = \sqrt{4.84 \times 10^{-6}} = 2.2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2.2 \text{ mm}$.

(B) બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમનો યંગ મોડ્યુલસ સમાન હોય છે $(Y_1 = Y_2)$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$.
તેથી,$\frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 \Delta L_1} = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 \Delta L_2}$.
અહીં $F_1 = F_2$,$L_1 = 3 L_2$,$r_1 = 3 r_2$,અને $\Delta L_1 = x$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3 L_2}{(3 r_2)^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{3 L_2}{9 r_2^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{1}{3 x} = \frac{1}{\Delta L_2}$
$\Delta L_2 = 3 x$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પથ્થરની ગતિઊર્જા $(KE)$ = રબર બેન્ડની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$.
રબર બેન્ડ માટે:
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ $= 5 \times 10^8 \, N/m^2$
પ્રારંભિક લંબાઈ $(L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
લંબાઈમાં ફેરફાર $(\Delta L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ $= 5 \times 10^{-6} \, m^2$
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ $= \frac{1}{2} \times Y \times (\text{વિકૃતિ})^2 \times \text{કદ}$
$U = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2 \times A \times L$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times \left(\frac{2 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}}\right)^2 \times 5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-2}$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times 1^2 \times 10 \times 10^{-8} = 25 \, J$
આ ઊર્જા $m = 20 \, g = 20 \times 10^{-3} \, kg$ દળના પથ્થરને આપવામાં આવે છે:
$KE = U$
$\frac{1}{2} m v^2 = 25$
$\frac{1}{2} \times 20 \times 10^{-3} \times v^2 = 25$
$10^{-2} \times v^2 = 25$
$v^2 = 2500$
$v = 50 \, m/s$

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તણાવ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$.
લંબાઈમાં વધારા $(\Delta l)$ માટે સૂત્ર: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,$\Delta l = \frac{4 F l}{\pi d^2 Y}$ મળે.
અહીં તણાવ $(F)$ અને દ્રવ્ય $(Y)$ સમાન હોવાથી,લંબાઈમાં વધારો $\frac{l}{d^2}$ ના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{l}{d^2}$ ની ગણતરી:
$A: \frac{50}{(0.5)^2} = 200$.
$B: \frac{200}{(2)^2} = 50$.
$C: \frac{300}{(3)^2} \approx 33.33$.
$D: \frac{100}{(1)^2} = 100$.
આમ,વિકલ્પ $A$ માટે ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે,તેથી તેમાં લંબાઈમાં વધારો સૌથી વધુ હશે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$L$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને તણાવ $T$ સમાન છે,તેથી:
$Y_A = \frac{T L_A}{A \Delta L_A}$ અને $Y_B = \frac{T L_B}{A \Delta L_B}$
બંને મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A}{L_B} \times \frac{\Delta L_B}{\Delta L_A}$
આપણને આપેલ છે કે $\Delta L_B = 2 \Delta L_A$,તેથી $\frac{\Delta L_B}{\Delta L_A} = 2$.
આપેલ કિંમતો $Y_A = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ અને $Y_B = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ મૂકતા:
$\frac{2 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{2}{1.1} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{1}{1.1} = \frac{L_A}{L_B}$
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{10}{11}$

(C) કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ એ તાંબાના તાર અને એલ્યુમિનિયમના તારના લંબાઈમાં થયેલા વધારાનો સરવાળો છે: $\Delta l = \Delta l_c + \Delta l_a$.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી, બંને પર સમાન ભાર $F$ લાગે છે।
સૂત્ર $\Delta l = \frac{F l}{Y A}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3} \ m)^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$:
$\Delta l = \frac{F l_c}{Y_c A} + \frac{F l_a}{Y_a A} = \frac{F}{A} \left( \frac{l_c}{Y_c} + \frac{l_a}{Y_a} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( \frac{2.4}{1.2 \times 10^{11}} + \frac{0.7}{0.7 \times 10^{11}} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( 2 \times 10^{-11} + 1 \times 10^{-11} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \times 3 \times 10^{-11}$.
$0.6 \times 10^{-3} = F \times \frac{3 \times 10^{-11}}{\pi \times 10^{-6}} = F \times \frac{3 \times 10^{-5}}{\pi}$.
$F = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times \pi}{3 \times 10^{-5}} = \frac{0.6 \times 10^2 \times \pi}{3} = 0.2 \times 100 \times \pi = 20 \pi \ N$.

(C) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $L = 1.25 \ m$,વિકૃતિ $\epsilon = 0.14 \% = 0.0014$,ઘનતા $\rho = 7.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $\mu = \rho A$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\epsilon}$ હોવાથી,$\frac{T}{A} = Y \epsilon = 2.2 \times 10^{11} \times 0.0014 = 3.08 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$.
સૂત્ર $\frac{T}{\mu} = \frac{T}{\rho A} = \frac{Y \epsilon}{\rho}$ ને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \epsilon}{\rho}} = \frac{1}{2 \times 1.25} \sqrt{\frac{3.08 \times 10^8}{7.7 \times 10^3}} = \frac{1}{2.5} \sqrt{0.4 \times 10^5} = \frac{1}{2.5} \sqrt{40000} = \frac{200}{2.5} = 80 \ Hz$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A \Delta l}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta l$ માટે સૂત્ર:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$
આપેલ છે:
બળ $F = mg = 1000 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10,000 \,N$
લંબાઈ $l = 50 \,cm = 0.5 \,m$
ક્ષેત્રફળ $A = 1000 \,mm^2 = 1000 \times 10^{-6} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = \frac{10,000 \times 0.5}{10^{-3} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta l = \frac{5,000}{2 \times 10^8} = 2,500 \times 10^{-8} \,m = 2.5 \times 10^{-5} \,m$
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta l = 2.5 \times 10^{-5} \times 10^3 \,mm = 0.025 \,mm$

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
આલેખ પરથી,આપણે દરેક અંતરાલમાં કાપેલું અંતર ગણી શકીએ છીએ:
$1$. $t = 0 \text{ s}$ થી $t = 1 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|2 - 1| = 1 \text{ m}$.
$2$. $t = 1 \text{ s}$ થી $t = 2 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
$3$. $t = 2 \text{ s}$ થી $t = 3 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|3 - 3| = 0 \text{ m}$.
$4$. $t = 3 \text{ s}$ થી $t = 4 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|2 - 3| = 1 \text{ m}$.
$5$. $t = 4 \text{ s}$ થી $t = 5 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
કુલ અંતર = $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 \text{ m}$.
કુલ સમય = $5 \text{ s}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4 \text{ m}}{5 \text{ s}} = 0.8 \text{ m/s}$.

(A) અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પ્રવેગ $a$ ઋણ હોય,તો $x$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય (parabola) મળે છે.
સ્થાન-સમયના આલેખમાં,ઢાળ વેગ $(v = \frac{dx}{dt})$ દર્શાવે છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય માટે,ઢાળ શરૂઆતમાં ધન હોય છે,ટોચ પર શૂન્ય થાય છે (જ્યાં કણ ક્ષણિક સ્થિર થાય છે),અને ત્યારબાદ કણ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે તે ઋણ બને છે.
આ વર્તણૂક અચળ ઋણ પ્રવેગને અનુરૂપ છે.
તેથી,જે આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે તે સાચો છે,જે વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) વેગનો પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 15 \sin 30^{\circ} = 15 \times 0.5 = 7.5 \,ms^{-1}$ છે।
ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણ $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $y = -h$ (નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર), $u_y = 7.5 \,ms^{-1}$, $a_y = -g = -10 \,ms^{-2}$, અને $t = 3 \,s$ છે:
$-h = (7.5)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$
$-h = 22.5 - 5(9)$
$-h = 22.5 - 45$
$-h = -22.5$
$h = 22.5 \,m$.
તેથી, ઇમારતની ઊંચાઈ $22.5 \,m$ છે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટેકરીની ટોચ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ જમીન પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા + પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા = જમીન પરની અંતિમ ગતિ ઉર્જા
$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h = \frac{1}{2} m v_2^2$
બંને બાજુને $\frac{1}{2} m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$v_1^2 + 2 g h = v_2^2$
$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 g h}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = 50 \ m \ s^{-1}$
ઊંચાઈ $h = 55 \ m$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_2 = \sqrt{(50)^2 + 2 \times 10 \times 55}$
$v_2 = \sqrt{2500 + 1100}$
$v_2 = \sqrt{3600}$
$v_2 = 60 \ m \ s^{-1}$

(B) કુલ ઊંચાઈ $H = 80 \,m$ છે. પતનનો છેલ્લો $50 \%$ ભાગ એટલે ઉપરથી $40 \,m$ થી $80 \,m$ સુધીનું અંતર.
ધારો કે પ્રથમ $40 \,m$ (ઊંચાઈનો પ્રથમ $50 \%$) કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે.
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = 10 \,ms^{-2}$:
$40 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_1^2$
$40 = 5 t_1^2 \Rightarrow t_1^2 = 8 \Rightarrow t_1 = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \,s \approx 2.828 \,s$.
ધારો કે સંપૂર્ણ $80 \,m$ ની ઊંચાઈ કાપવા માટે લાગતો કુલ સમય $t_2$ છે.
$80 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_2^2$
$80 = 5 t_2^2 \Rightarrow t_2^2 = 16 \Rightarrow t_2 = 4 \,s$.
પતનનો છેલ્લો $50 \%$ ભાગ કાપવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1$ છે.
$\Delta t = 4 - 2 \sqrt{2} = 4 - 2.828 = 1.172 \,s \approx 1.17 \,s$.

(B) જ્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે છે, ત્યારે લંબબળ $N=0$ થાય છે।
શિરોલંબ સંતુલન માટે, બળનો ઉપરની તરફનો ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$N + F \sin 45^{\circ} = mg$
જ્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે ત્યારે $N=0$ હોવાથી:
$at \sin 45^{\circ} = mg$
આપેલ કિંમતો ($a=1 \,Ns^{-1}$, $m=1 \,kg$, $g=10 \,ms^{-2}$) મૂકતા:
$1 \cdot t \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 \cdot 10$
$t = 10 \sqrt{2} \,s$
હવે, બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક પ્રવેગ $a_x$ આપે છે:
$F \cos 45^{\circ} = ma_x$
$at \cos 45^{\circ} = m \frac{dv}{dt}$
$v = \int_0^t \frac{a}{m} t \cos 45^{\circ} dt = \frac{a \cos 45^{\circ}}{m} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{10 \sqrt{2}}$
$v = \frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{1} \cdot \frac{(10 \sqrt{2})^2}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{200}{2} = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50 \sqrt{2} \,ms^{-1}$

(D) કણનો વેગ $v = e^{-\beta x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = e^{-\beta x}$ થાય.
પદોને અલગ કરવા માટે ગોઠવતા,આપણને $e^{\beta x} dx = dt$ મળે છે.
પ્રારંભિક શરત $t = 0$ પર $x = 0$ નો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^x e^{\beta x} dx = \int_0^t dt$
$\left[ \frac{e^{\beta x}}{\beta} \right]_0^x = [t]_0^t$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - e^0) = t - 0$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - 1) = t$
$e^{\beta x} - 1 = \beta t$
$e^{\beta x} = 1 + \beta t$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\beta x = \log(1 + \beta t)$
$x = \frac{1}{\beta} \log(1 + \beta t)$

(B) ધારો કે વિદ્યાર્થીનો લઘુત્તમ વેગ $v$ છે જેથી તે બસને પકડી શકે.
જો વિદ્યાર્થી $t$ સમયમાં બસને પકડે,તો $t$ સમયમાં વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું અંતર $= 16 \ m +$ બસ દ્વારા $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર.
ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા:
વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું અંતર $= v t$
બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $= u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9 \times t^2 = 4.5 t^2$
અંતરને સરખાવતા:
$v t = 16 + 4.5 t^2$
$4.5 t^2 - v t + 16 = 0$
સાદુરૂપ આપવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$9 t^2 - 2 v t + 32 = 0$
વિદ્યાર્થી બસને પકડી શકે તે માટે,સમય $t$ વાસ્તવિક હોવો જોઈએ. તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ $(D \geq 0)$:
$(-2 v)^2 - 4 \times 9 \times 32 \geq 0$
$4 v^2 - 1152 \geq 0$
$v^2 \geq 288$
$v \geq \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$
લઘુત્તમ વેગ $12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ છે.
આને $\alpha \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ દડાને જમીન પરથી $y=0$ પર $v$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ફેંકવામાં આવે છે। $t=0.8 \,s$ સમયે તેની ઊંચાઈ $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $h = v(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 0.8v - 3.2$.
બીજો દડો $20 \,m$ ની ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે। $t=0.8 \,s$ સમયે જમીનથી તેની ઊંચાઈ $y = H - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $y = 20 - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 20 - 3.2 = 16.8 \,m$.
બંને દડા સમાન ઊંચાઈ પર હોવાથી, $h = y$.
તેથી, $0.8v - 3.2 = 16.8$.
$0.8v = 20$.
$v = \frac{20}{0.8} = 25 \,ms^{-1}$.

(B) આપેલ છે: કારનું સ્થાનાંતર,$s = 200 \,m$.
લાગતો સમય,$t = 10 \,s$.
કારનો અંતિમ વેગ,$v = 0 \,m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સરેરાશ વેગ $\frac{v + u}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
સ્થાનાંતર એ સરેરાશ વેગ અને સમયના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$s = \left(\frac{v + u}{2}\right) \times t$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$200 = \left(\frac{0 + u}{2}\right) \times 10$
$200 = 5u$
$u = \frac{200}{5} = 40 \,m/s$.
તેથી,કારની પ્રારંભિક ઝડપ $40 \,m/s$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = -\hat{i} + \hat{j} \,ms^{-1}$, પ્રવેગ $\vec{a} = 6\hat{i} + 4\hat{j} \,ms^{-2}$, અને સમય $t = 2 \,s$.
સ્થાનાંતર માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{s} = (-\hat{i} + \hat{j})(2) + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(2)^2$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(4)$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 2(6\hat{i} + 4\hat{j})$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{i} + 8\hat{j}$
$\vec{s} = 10\hat{i} + 10\hat{j} \,m$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \,m$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$, તેથી મૂલ્ય $10 \times 1.414 = 14.14 \,m$ થાય.

(D) દરેક $1 \ \Omega$ ના $10$ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 10 \times 1 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં વપરાતો પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{10^2}{10} = \frac{100}{10} = 10 \ W$ છે.
દરેક $1 \ \Omega$ ના $10$ અવરોધોના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{1}{10} \ \Omega = 0.1 \ \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં વપરાતો પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{10^2}{0.1} = \frac{100}{0.1} = 1000 \ W$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_s}{P_p} = \frac{10}{1000} = 0.01$ થાય.

(A) આપેલ છે: રેટ કરેલ પાવર,$P_R = 2400 \, W$ અને રેટ કરેલ વોલ્ટેજ,$V_R = 240 \, V$.
ફિલામેન્ટનો અવરોધ $R$ અચળ હોવાથી,આપણે $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,હીટિંગ એલિમેન્ટનો અવરોધ $R$ શોધો:
$R = \frac{V_R^2}{P_R} = \frac{240 \times 240}{2400} = 24 \, \Omega$.
હવે,જ્યારે એલિમેન્ટને $V = 120 \, V$ ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે વ્યય થતો નવો પાવર $P'$ નીચે મુજબ છે:
$P' = \frac{V^2}{R} = \frac{120 \times 120}{24} = 600 \, W$.

(A) ધારો કે $\varepsilon$ સાથે જોડાયેલ $R$ અવરોધ,$2\varepsilon$ સાથે જોડાયેલ $R$ અવરોધ અને $3\varepsilon$ બેટરી વચ્ચેના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_x$ છે. $3\varepsilon$ બેટરી પછીના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_y$ છે.
નોડ $V_x$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_x - \varepsilon}{R} + \frac{V_x - 2\varepsilon}{R} + \frac{V_x - 3\varepsilon}{R} = 0$
$3V_x - 6\varepsilon = 0 \implies V_x = 2\varepsilon$.
પ્રવાહ $i$ એ $3\varepsilon$ બેટરીમાંથી જમણી તરફ વહે છે. જમણી બાજુના બે સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
પ્રવાહ $i$ ના માર્ગમાં કુલ અવરોધ $R + R + \frac{R}{2} = 2.5R$ છે.
પ્રવાહ $i$ ને ચલાવતો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_x - 0 = 2\varepsilon$ છે (ધારી લઈએ કે નીચેનો વાયર $0$ પોટેન્શિયલ પર છે).
આમ,$i = \frac{V_x}{2.5R} = \frac{2\varepsilon}{2.5R} = \frac{20\varepsilon}{25R} = \frac{4\varepsilon}{5R}$.
સર્કિટનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: પ્રવાહ $i$ ને $3\varepsilon$ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં રહેલા $R$ અવરોધમાંથી ડાબી તરફ વહેતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને,પ્રવાહ $i = \frac{3\varepsilon - V_{node}}{R}$ થાય. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $\frac{\varepsilon}{2R}$ છે.

(A) આપેલ પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે.
લૂપ $ABDA$ માં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$2I_1 + 4 - 1I_2 = 0 \implies I_2 = 2I_1 + 4$ ...$(i)$
લૂપ $BCDB$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$1(I_1 + I_3) - 4(I_2 - I_3) - 4 = 0$
$I_1 + I_3 - 4I_2 + 4I_3 - 4 = 0$
$I_1 + 5I_3 - 4(2I_1 + 4) - 4 = 0$ (સમીકરણ $(i)$ માંથી $I_2$ ની કિંમત મૂકતા)
$-7I_1 + 5I_3 = 20 \implies I_3 = \frac{20 + 7I_1}{5}$ ...(ii)
લૂપ $ADCA$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$1I_2 + 4(I_2 - I_3) - 10 = 0$
$5I_2 - 4I_3 = 10$
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) માંથી $I_2$ અને $I_3$ ની કિંમત મૂકતા:
$5(2I_1 + 4) - 4\left(\frac{20 + 7I_1}{5}\right) = 10$
$10I_1 + 20 - \frac{80 + 28I_1}{5} = 10$
$50I_1 + 100 - 80 - 28I_1 = 50$
$22I_1 = 30 \implies I_1 = \frac{30}{22} \approx 1.364 \text{ A}$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા: $I_2 = 2(1.364) + 4 = 6.728 \text{ A}$.
સમીકરણ (ii) નો ઉપયોગ કરતા: $I_3 = \frac{20 + 7(1.364)}{5} = 5.91 \text{ A}$.

(D) ધારો કે પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વિદ્યુતપ્રવાહ છે. જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i = i_1 + i_2$ છે.
ડાબા લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 - 4(i_1 + i_2) - 8i_1 = 0$
$5 - 4i_2 - 12i_1 = 0 \Rightarrow 12i_1 + 4i_2 = 5$ ... $(i)$
જમણા લૂપ માટે $KVL$ નો ઉપયોગ કરતા:
$8i_1 - 5i_2 - 3 = 0 \Rightarrow 8i_1 - 5i_2 = 3$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$4i_2 = 5 - 12i_1 \Rightarrow i_2 = \frac{5 - 12i_1}{4}$.
$i_2$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$8i_1 - 5\left(\frac{5 - 12i_1}{4}\right) = 3$
$32i_1 - 25 + 60i_1 = 12$
$92i_1 = 37 \Rightarrow i_1 = \frac{37}{92} \text{ A}$.
હવે,$i_2$ શોધો:
$i_2 = \frac{5 - 12(37/92)}{4} = \frac{5 - 37(3/23)}{4} = \frac{5 - 111/23}{4} = \frac{115 - 111}{4 \times 23} = \frac{4}{4 \times 23} = \frac{1}{23} \text{ A}$.
આમ,$5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $\frac{1}{23} \text{ A}$ છે.

(A) ધારો કે બે લૂપમાં પ્રવાહ $i_1$ (ઘડિયાળની દિશામાં) અને $i_2$ (ઘડિયાળની દિશામાં) છે. જમણી શાખામાં પ્રવાહ $I$ ઉપરની તરફ વહે છે,તેથી $I = -i_2$.
ડાબી લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$V_1 - i_1 R_1 - i_1 R_1 - (i_1 - i_2) R_2 - V_2 = 0$
$V - 2 i_1 (\beta R) - (i_1 - i_2) \gamma R - \alpha V = 0$
$V(1 - \alpha) = i_1 R (2 \beta + \gamma) - i_2 \gamma R \quad ...(i)$
જમણી લૂપ માટે $KVL$ લાગુ કરતા:
$V_2 - (i_2 - i_1) R_2 - i_2 R_1 - i_2 R_1 = 0$
$\alpha V - (i_2 - i_1) \gamma R - 2 i_2 \beta R = 0 \quad ...(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને $I = \frac{(\alpha-1) \gamma}{4 \beta(\beta+\gamma)} \frac{V}{R}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $0^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ $R_0 = 20 \Omega$.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 5 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$.
આપણે તે તાપમાન $t$ શોધવાનું છે જ્યાં અવરોધ $R_t$ એ પ્રારંભિક અવરોધ કરતા બમણો થાય,તેથી $R_t = 2 R_0 = 2 \times 20 = 40 \Omega$.
તાપમાન $t$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 20(1 + 5 \times 10^{-3} t)$.
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા: $2 = 1 + 5 \times 10^{-3} t$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $1 = 5 \times 10^{-3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{1}{5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{5} = 200^{\circ} C$.

(B) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહના વહેવાને કારણે અવરોધક ગરમ થાય છે,ત્યારે તેનું તાપમાન વધે છે.
$1$. ડ્રિફ્ટ ઝડપ $(v_d)$ એ $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ ઘટે છે,તેથી ડ્રિફ્ટ ઝડપ બદલાય છે.
$2$. વાહકની અવરોધકતા $(\rho)$ એ $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ $\tau$ ઘટે છે,તેથી અવરોધકતા વધે છે.
$3$. અવરોધ $(R)$ એ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અવરોધકતા તાપમાન સાથે બદલાતી હોવાથી,અવરોધ પણ બદલાય છે.
$4$. એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ છે અને તાપમાનના ફેરફાર સાથે તે અચળ રહે છે.
તેથી,માત્ર મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(D)$ બદલાતી નથી.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા,$l$ એ લંબાઈ અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ તાર માટે: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$R_1 = 3 \times 10^{-3} \Omega$.
સમાન દ્રવ્યના બે તાર માટે અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$l_2 = 3 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 0.5 \text{ mm}$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = \left(\frac{3}{1}\right) \times \left(\frac{1}{0.5}\right)^2$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12$.
$R_2 = 12 \times 3 \times 10^{-3} = 36 \times 10^{-3} \Omega = 0.036 \Omega$.

(A) વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = n e v_d A = n e v_d \pi R^2$.
અહીં,$n$ એ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે અને $R$ એ તારની ત્રિજ્યા છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,સંખ્યા ઘનતા $n$ બંને માટે સમાન રહેશે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન છે $(I_A = I_B)$,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$n e v_A \pi R_A^2 = n e v_B \pi R_B^2$
બંને બાજુ $n e \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$v_A R_A^2 = v_B R_B^2$
ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B}$ શોધવા માટે ગોઠવતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$
આપેલ છે કે $R_A = 2R_B$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{2R_B}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) પરિપથમાં $E = 12 \text{ V}$ emf અને $r = 4 \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરીને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવી છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{E}{R + r}$
આપેલ કિંમતો $I = 0.8 \text{ A}$,$E = 12 \text{ V}$ અને $r = 4 \Omega$ મૂકતા:
$0.8 = \frac{12}{R + 4}$
$R + 4 = \frac{12}{0.8}$
$R + 4 = 15$
$R = 15 - 4 = 11 \Omega$
આમ,અવરોધકનો અવરોધ $11 \Omega$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{P}$ છે.
વેગમાન $P = \sqrt{2m(K.E.)}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ કે $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને ગતિઊર્જા $(K.E.)$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
અહીં $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s$, $m = 2 \times 10^{-27} \,kg$, અને $\lambda = 3.3 \times 10^{-10} \,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K.E. = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (2 \times 10^{-27}) \times (3.3 \times 10^{-10})^2}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{4 \times 10^{-27} \times 10.89 \times 10^{-20}}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{43.56 \times 10^{-47}}$
$K.E. = 1 \times 10^{-21} \,J$.

(D) $\text{દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ}$ $\lambda = h / p$ $\text{દ્વારા આપવામાં આવે છે.}$
$\text{કણનું વેગમાન}$ $p = h / \lambda = (6.6 \times 10^{-34}) / (660 \times 10^{-9}) = 1 \times 10^{-27} \,kg \cdot m/s$ $\text{છે.}$
$\text{વેગમાન}$ $p$ $\text{અને દળ}$ $m$ $\text{ના સંદર્ભમાં ગતિઊર્જા}$ $K = p^2 / (2m)$ $\text{છે.}$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$ $K = (1 \times 10^{-27})^2 / (2 \times 1 \times 10^{-30}) = (1 \times 10^{-54}) / (2 \times 10^{-30}) = 0.5 \times 10^{-24} \,J$.
$\text{આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ}$ $(eV)$ $\text{માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,}$ $1.6 \times 10^{-19} \,J/eV$ $\text{વડે ભાગતા:}$
$K = (0.5 \times 10^{-24}) / (1.6 \times 10^{-19}) \,eV = 0.3125 \times 10^{-5} \,eV = 3.125 \times 10^{-6} \,eV$.
$\text{બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને}$ $K \approx 3.1 \times 10^{-6} \,eV$ $\text{મળે છે.}$

(D) વર્ક ફંક્શન એ ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે. તે ધાતુના ગુણધર્મો અને સપાટીની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,પ્લેટિનમ $(Pt)$ નું વર્ક ફંક્શન સૌથી વધુ છે,જે આશરે $5.65 \ eV$ છે,જ્યારે સીઝિયમ $(Cs)$ નું વર્ક ફંક્શન સૌથી ઓછું છે,જે આશરે $2.14 \ eV$ છે.

(D) સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી પર પ્રકાશના કિરણપુંજ દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{2IA \cos \theta}{c}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\theta$ એ આપાતકોણ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ છે.
આપેલ કિંમતો: $I = 10^{-3} \text{ W m}^{-2}$,$A = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ અને $\theta = 45^{\circ}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-4} \times \cos 45^{\circ}}{3 \times 10^8}$
$F = \frac{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-4} \times 0.707}{3 \times 10^8}$
$F = \frac{2.828 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8} \approx 9.42 \times 10^{-15} \text{ N}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_b$ ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ને $\lambda_b = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$K$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$K = \frac{h^2}{2m\lambda_b^2}$ મળે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{hc}{\lambda} = K + \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{hc}{\lambda} - \frac{h^2}{2m\lambda_b^2}$.
અહીં $\lambda = 800 \times 10^{-9} \ m$ અને $\lambda_b = 1 \times 10^{-9} \ m$ આપેલ છે:
$\phi = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^8 \ m/s)}{800 \times 10^{-9} \ m} - \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)^2}{2(9.11 \times 10^{-31} \ kg)(1 \times 10^{-9} \ m)^2}$.
$\phi = (2.486 \times 10^{-19} \ J) - (2.412 \times 10^{-19} \ J) = 0.074 \times 10^{-19} \ J$.
ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $\phi = \frac{0.074 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 0.046 \ eV \approx 0.05 \ eV$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $K_{max}$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે અને આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
આપેલી આવૃત્તિ માટે,ફોટોકરંટ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે અને તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
જો આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ (કટ-ઓફ) આવૃત્તિ કરતા ઓછી હોય,તો તીવ્રતા ગમે તેટલી વધારવામાં આવે તો પણ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન શક્ય નથી.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{p^2}{2m_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ વેગમાન છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ઈલેક્ટ્રોન માટે,$p = qBr$. તેથી,$K.E. = \frac{(qBr)^2}{2m_e}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = 1.6 \times 10^{-19} C$,$B = 2 \times 10^{-4} T$,$r = 30 \times 10^{-3} m$,અને $m_e = 9 \times 10^{-31} kg$.
$K.E. = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-4} \times 30 \times 10^{-3})^2}{2 \times 9 \times 10^{-31}} = 5.12 \times 10^{-20} J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $K.E. = \frac{5.12 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 0.32 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = \phi + K.E._{max}$,જ્યાં $E = 3.8 eV$.
કાર્ય વિધેય $\phi = E - K.E._{max} = 3.8 eV - 0.32 eV = 3.48 eV$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા,જો $K.E. = 3.2 eV$ લેવામાં આવે,તો $\phi = 0.6 eV$ મળે છે.

(B) $P$ પાવર ધરાવતા બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 330 \,W$ અને $r = 1 \,m$ આપેલ છે,તેથી:
$I = \frac{330}{4 \times 3.14 \times 1^2} = \frac{330}{12.56} \approx 26.27 \,W/m^2$.
સંપૂર્ણ શોષક સપાટી માટે વિકિરણનું દબાણ $P_{rad} = \frac{I}{c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$P_{rad} = \frac{26.27}{3 \times 10^8} \approx 8.75 \times 10^{-8} \,Pa$.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ: $E = E_0 \sin [k(x - ct)]$,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 1.57 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી: $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{1.57 \times 10^7} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.64 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} = 4.98 \times 10^{-19} \text{ J}$.
વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ ને જૂલમાં ફેરવતા: $\phi_0 = 1.9 \text{ eV} = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.04 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E_p = \phi_0 + eV_0$.
$eV_0 = 4.98 \times 10^{-19} - 3.04 \times 10^{-19} = 1.94 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{1.94 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ V} = 1.2125 \text{ V}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $1.1 \text{ V}$ છે.

(A) લેસરનો પાવર $P$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા છે. એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{hc}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $P = 6.6 \times 10^{-3} \,W$,$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$n = \frac{(6.6 \times 10^{-3} \,W) \times (600 \times 10^{-9} \,m)}{(6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \,m/s)}$
$n = \frac{6.6 \times 600 \times 10^{-12}}{6.6 \times 3 \times 10^{-26}}$
$n = \frac{600 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-26}}$
$n = 200 \times 10^{14} = 2 \times 10^{16}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(C) $P$ પાવર ધરાવતા સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે રહેલી સંપૂર્ણ શોષક સપાટી પર વિકિરણ દબાણ $p$ નું સૂત્ર: $p = \frac{P}{4 \pi r^2 c}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $P = 660 \,W$, $r = 5 \,m$, અને $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p = \frac{660}{4 \times \pi \times 5^2 \times 3 \times 10^8}$
$p = \frac{660}{4 \times \pi \times 25 \times 3 \times 10^8}$
$p = \frac{660}{300 \pi \times 10^8} = \frac{2.2}{\pi} \times 10^{-8} \,Pa$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $p \approx \frac{2.2}{3.14} \times 10^{-8} \approx 0.7 \times 10^{-8} = 7 \times 10^{-9} \,Pa$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$.
$\lambda_1 = 200 \,nm$ માટે,ધારો કે વેગ $v$ છે. તેથી $\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$ $(i)$.
$\lambda_2 = 600 \,nm$ માટે,વેગ $\frac{v}{3}$ છે. તેથી $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}m(\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}mv^2)$ (ii).
$(i)$ પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$.
આ કિંમત (ii) માં મૂકતા: $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{9}(\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi)$.
$9$ વડે ગુણતા: $\frac{9hc}{600 \times 10^{-9}} - 9\phi = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$.
$8\phi = hc(\frac{9}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{200 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{9-3}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{6}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{1}{100 \times 10^{-9}}) = hc \times 10^7$.
તેથી,$\phi = \frac{hc}{8} \times 10^7 \,J$.

(C) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\phi_0 = 2.5 eV$,આવૃત્તિ $f = 3.2 \times 10^{15} Hz$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} J-s$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = hf$.
$E = (6.6 \times 10^{-34} J-s) \times (3.2 \times 10^{15} Hz) = 21.12 \times 10^{-19} J$.
ઊર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{21.12 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 13.2 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 13.2 eV - 2.5 eV = 10.7 eV$.

(A) બિન-પરાવર્તક (સંપૂર્ણ શોષક) સપાટી માટે,વિકિરણ દબાણ $P$ એ $P = \frac{F}{A} = \frac{I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા (ઉર્જા ફ્લક્સ) છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 10^{-6} \text{ N}$
ક્ષેત્રફળ $A = 15 \text{ cm}^2 = 15 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$
તીવ્રતા $I$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$I = \frac{F \cdot c}{A}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{10^{-6} \times 3 \times 10^8}{15 \times 10^{-4}}$
$I = \frac{3 \times 10^2}{15 \times 10^{-4}}$
$I = \frac{3}{15} \times 10^6 = 0.2 \times 10^6 \text{ Wm}^{-2} = 20 \times 10^4 \text{ Wm}^{-2}$.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે, ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A} = (10 \times 10^{-4} \,m^2) \hat{k}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = B \hat{n}$, જ્યાં $\hat{n}$ એ $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
તેથી, $\vec{B} = 1.73 \times \frac{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}} \,T$.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_i = \vec{B} \cdot \vec{A} = \left( \frac{1.73}{\sqrt{3}} (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \right) \cdot (10^{-3} \hat{k}) = \frac{1.73}{\sqrt{3}} \times 10^{-3} \,Wb$.
કારણ કે $\sqrt{3} \approx 1.732$, તેથી $\phi_i \approx 10^{-3} \,Wb$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_f = 0$ કારણ કે ક્ષેત્ર ઘટીને શૂન્ય થાય છે.
પ્રેરિત emf $|e| = \left| -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| = \frac{\phi_i - \phi_f}{\Delta t} = \frac{10^{-3} \,Wb - 0}{10 \,s} = 10^{-4} \,V = 0.1 \,mV$.

(C) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ એ $\phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે સમતલને લંબ હોય છે) તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે. આમ,$\theta = 90^\circ$ અને $\phi_B = BA \cos 90^\circ = 0$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને કોઈલ ક્ષેત્રને સમાંતર સમતલમાં રહીને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે વિસ્તરે છે,તેથી ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય રહે છે. તેથી,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi_B}{dt} = 0$ થાય.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે કોઈલના સમતલને લંબ દિશામાં અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. જો આ સાચું હોત,તો ફ્લક્સ $\phi_B = BA$ હોત,અને કોઈલના વિસ્તરણથી ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાત,જેનાથી emf પ્રેરિત થાત. પ્રશ્ન મુજબ સમતલ ક્ષેત્રને સમાંતર હોવાથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે.
અહીં,$n = 200 \ \text{turns/cm} = 20000 \ \text{turns/m}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N B A$ છે,જ્યાં $N = 100$ એ ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે અને $A = \pi r^2$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાં $r = 0.03 \ m$ છે.
તેથી,$\phi = N (\mu_0 n i) (\pi r^2)$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{ind} = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{N \mu_0 n \pi r^2}{R} \times \frac{\Delta i}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{ind} = \frac{100 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 20000 \times \pi \times (0.03)^2}{4} \times \frac{2 - 0}{0.04}$.
$I_{ind} = \frac{100 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 20000 \times \pi \times 0.0009}{4} \times 50$.
$I_{ind} = 9 \pi^2 \times 10^{-3} \ A = 9 \pi^2 \ mA$.

(B) આપેલ છે: વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r = 14 \ cm = 0.14 \ m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના બદલાવાનો દર $\frac{dB}{dt} = 0.05 \ Ts^{-1}$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ થાય.
તેથી,$|e| = \frac{d}{dt}(BA) = A \frac{dB}{dt}$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (0.14)^2 = \frac{22}{7} \times 0.0196 = 0.0616 \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $|e| = 0.0616 \times 0.05 = 0.00308 \ V$.
મિલીવોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $|e| = 3.08 \times 10^{-3} \ V = 3.08 \ mV$.

(A) પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt} = \frac{A}{R} \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે: $A = \pi r^2 = \pi \times (0.05 \text{ m})^2 = 25\pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{a}$ છે, જ્યાં $l = 2\pi r$ અને $a = \pi (r_{wire})^2$.
$l = 2 \times \pi \times 0.05 = 0.1\pi \text{ m}$.
$a = \pi \times (10^{-3} \text{ m})^2 = \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
$R = \frac{2 \times 10^{-8} \times 0.1\pi}{\pi \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-3} \Omega$.
હવે, $\frac{dB}{dt} = \frac{iR}{A} = \frac{11 \times 2 \times 10^{-3}}{25\pi \times 10^{-4}} = \frac{22 \times 10^{-3}}{25 \times 3.14 \times 10^{-4}} \approx 2.8 \text{ T s}^{-1}$.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 N I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $I = I_0 \sin(\omega t)$ મૂકતા,આપણને $B = \mu_0 N I_0 \sin(\omega t)$ મળે છે.
ચોરસ લૂપના ખૂણા સોલેનોઇડને સ્પર્શે છે,જેનો અર્થ છે કે ચોરસનો વિકર્ણ સોલેનોઇડના વ્યાસ જેટલો છે. ધારો કે ચોરસની બાજુ $l$ છે. તો,વિકર્ણ $d = l\sqrt{2} = 2R$.
આમ,$l = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$ છે.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (\mu_0 N I_0 \sin(\omega t)) \cdot (2R^2) = 2 \mu_0 N I_0 R^2 \sin(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત emf $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [2 \mu_0 N I_0 R^2 \sin(\omega t)]$ છે.
તેનું મૂલ્ય લેતા,$|e| = 2 \mu_0 N I_0 R^2 \omega \cos(\omega t)$ મળે છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે。
આપેલ છે: $n = 100 \text{ turns/cm} = 10^4 \text{ turns/m}$, $I = \frac{4}{\pi} \,A$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (10^4) \times (\frac{4}{\pi}) = 16 \times 10^{-3} \,T$.
$N$ આંટા અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = N B A$ છે。
આપેલ છે: $N = 200$, $A = 25 \,cm^2 = 25 \times 10^{-4} \,m^2$.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ ઉલટાવવામાં આવે છે, ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ થી $-B$ માં બદલાય છે. ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi_B = N(B - (-B))A = 2NBA$ છે。
પ્રેરિત emf $e$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \left| \frac{\Delta \phi_B}{\Delta t} \right| = \frac{2NBA}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{2 \times 200 \times (16 \times 10^{-3}) \times (25 \times 10^{-4})}{0.04} = \frac{400 \times 16 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-4}}{0.04} = \frac{160000 \times 10^{-7}}{0.04} = \frac{0.016}{0.04} = 0.4 \,V$.

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ છે.
મહત્તમ $EMF$ $e_{\max} = NBA\omega$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ નું રૂટ-મીન-સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય $e_{\text{rms}} = \frac{e_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{NBA\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
જુલ હીટિંગને કારણે સરેરાશ પાવર વ્યય $P_{\text{avg}} = \frac{e_{\text{rms}}^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $R$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$R = \frac{e_{\text{rms}}^2}{P_{\text{avg}}} = \frac{(NBA\omega)^2}{2 \times P_{\text{avg}}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 40$,$B = 0.05 \ T$,$A = 0.01 \ m^2$,$\omega = 50 \ rad \ s^{-1}$,અને $P_{\text{avg}} = 25 \times 10^{-3} \ W$.
$R = \frac{(40 \times 0.05 \times 0.01 \times 50)^2}{2 \times 25 \times 10^{-3}} = \frac{(1)^2}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.05} = 20 \ \Omega$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2.2 \times 10^{-30} \,kg$,વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,વેગ $v = 10 \,km/s = 10^4 \,m/s$,ત્રિજ્યા $r = 2.8 \,cm = 2.8 \times 10^{-2} \,m$,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા $n = 25 \,turns/cm = 2500 \,turns/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{mv}{(\mu_0 n I)q}$.
પ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $I = \frac{mv}{\mu_0 n q r}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2.2 \times 10^{-30} \times 10^4}{4\pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.8 \times 10^{-2}}$.
ગણતરી કરતા $I \approx 1.56 \times 10^{-3} \,A = 1.56 \,mA$ મળે છે.

(A) સોલેનોઇડના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
આપેલ કિંમતો:
આંટાની સંખ્યા, $N = 5000$
લંબાઈ, $l = 1 \,m$
ક્ષેત્રફળ, $A = 0.02 \,m^2$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી, $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (5000)^2 \times 0.02}{1}$
$L = 4 \pi \times 10^{-7} \times 25,000,000 \times 0.02$
$L = 4 \pi \times 10^{-7} \times 500,000$
$L = 4 \pi \times 0.05 = 0.2 \pi \,H$

(C) બે ગૂંચળા વચ્ચેના અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $M$ એ ગૌણ ગૂંચળામાં થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફાર અને પ્રાથમિક ગૂંચળામાં થતા વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારના ગુણોત્તર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે।
$M = \frac{\Delta \phi_2}{\Delta I_1}$
આપેલ છે:
બીજા ગૂંચળામાં ફ્લક્સ ફેરફાર, $\Delta \phi_2 = 40 \,Wb$
પ્રથમ ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહનો ફેરફાર, $\Delta I_1 = 16 \,A - 0 \,A = 16 \,A$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{40}{16} \,H$
$M = 2.5 \,H$
તેથી, $M$ નું મૂલ્ય $2.5 \,H$ છે।

(A) આવૃત્તિના વધતા ક્રમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ નીચે મુજબ છે: રેડિયો તરંગો < માઇક્રોવેવ્સ < ઇન્ફ્રારેડ < દ્રશ્ય પ્રકાશ < અલ્ટ્રાવાયોલેટ < $x$-કિરણો < ગામા કિરણો.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $A$: ઇન્ફ્રારેડ < $x$-કિરણો < ગામા કિરણો. આ આવૃત્તિના વધતા ક્રમને અનુસરે છે.
વિકલ્પ $B$: ગામા કિરણો < દ્રશ્ય પ્રકાશ < $x$-કિરણો. આ ખોટું છે કારણ કે ગામા કિરણોની આવૃત્તિ સૌથી વધુ હોય છે.
વિકલ્પ $C$: દ્રશ્ય પ્રકાશ < ઇન્ફ્રારેડ < અલ્ટ્રાવાયોલેટ. આ ખોટું છે કારણ કે ઇન્ફ્રારેડની આવૃત્તિ દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા ઓછી હોય છે.
વિકલ્પ $D$: દ્રશ્ય પ્રકાશ < અલ્ટ્રાવાયોલેટ < ઇન્ફ્રારેડ. આ ખોટું છે કારણ કે ઇન્ફ્રારેડની આવૃત્તિ અલ્ટ્રાવાયોલેટ કરતા ઓછી હોય છે.
તેથી,સાચો ક્રમ ઇન્ફ્રારેડ < $x$-કિરણો < ગામા કિરણો છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ તરંગોને તેમની તરંગલંબાઈ અથવા આવૃત્તિના આધારે વર્ગીકૃત કરે છે।
$X$-રે સામાન્ય રીતે આશરે $0.01 \,nm$ થી $10 \,nm$ સુધીની તરંગલંબાઈ ધરાવે છે।
$1 \,nm$ એ આ શ્રેણીમાં આવતું હોવાથી, $1 \,nm$ તરંગલંબાઈ ધરાવતો પ્રકાશ $X$-રેના પ્રકારમાં આવે છે।

(B) વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ વર્ણપટ આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ દ્વારા ક્રમબદ્ધ છે. વર્ણપટમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આવૃત્તિ ડાબેથી જમણે વધે છે,જ્યારે તરંગલંબાઈ જમણેથી ડાબે વધે છે.
તરંગલંબાઈ વધવાનો (ચડતો) ક્રમ નીચે મુજબ છે:
ગામા કિરણો < $X$-રે < અલ્ટ્રાવાયોલેટ < દ્રશ્ય પ્રકાશ < ઇન્ફ્રારેડ.
તેથી,સાચો ક્રમ છે: ગામા કિરણ,$X$-રે,અલ્ટ્રાવાયોલેટ,દ્રશ્ય પ્રકાશ,ઇન્ફ્રારેડ.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સરેરાશ પાવર (તીવ્રતા) નું સૂત્ર: $I = \frac{c B_{max}^2}{2 \mu_0}$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \ m/s)$,$\mu_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $(4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A)$ અને $B_{max}$ એ દોલિત ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
$B_{max}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \mu_0 I}{c}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 9240}{3 \times 10^8}}$
$B_{max} = \sqrt{\frac{8 \pi \times 9240 \times 10^{-15}}{3}}$
$B_{max} \approx 8.798 \times 10^{-6} \ T \approx 8.8 \ \mu T$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ જેટલો હોય છે, જે સંબંધ $c = \frac{E}{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $E = 8.7 \ V \ m^{-1}$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B = \frac{E}{c}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{8.7}{3 \times 10^8} = 2.9 \times 10^{-8} \ T$.
તરંગ $z$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર છે, તેથી પ્રસરણની દિશા ($\vec{E} \times \vec{B}$ દિશા) સંતોષવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} . . . (i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અને શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $c = \frac{E_0}{B_0} . . . (ii)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $c$ હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવી શકીએ છીએ:
$\frac{\omega}{k} = \frac{E_0}{B_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$E_0 k = B_0 \omega$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે,સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = (3 \times 10^{-7} \text{ T}) \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{j}$ છે.
અહીં,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = B_0 c$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$E_0 = (3 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) = 90 \text{ V/m}$.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે (ફેઝમાં $+kx$ પદ દ્વારા સૂચિત).
પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ $-\hat{i}$ દિશામાં ગતિ કરે છે અને $\vec{B}$ એ $\hat{j}$ દિશામાં છે,તેથી $\hat{n}_E \times \hat{j} = -\hat{i}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{n}_E = \hat{k}$.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = E_0 \sin (kx + \omega t) \hat{k} = 90 \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{k} \text{ Vm}^{-1}$ થશે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $K_{B} = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
$E_0 = c B_0$ ને $K_{E}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 (c B_0)^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $K_{E} = K_{B}$.

(B) મેક્સવેલના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિદ્યુત માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
$2$. ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$
$3$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{\ell} = -\frac{d \phi_B}{dt}$
$4$. એમ્પીયર-મેક્સવેલ નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{\ell} = \mu_0 i_c + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d \phi_E}{dt}$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,સમીકરણ $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ ખોટું છે કારણ કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ $B = B_0 \sin (\omega t - kx) \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_0 = 60 \,Vm^{-1}$ અને $c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \,T$ થાય.
તરંગ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં (એકમ સદિશ $\hat{k}$) હોવું જોઈએ.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. અહીં $\lambda = 10 \,mm = 10^{-2} \,m$ હોવાથી,$k = \frac{2\pi}{10^{-2}} = 200\pi \,rad/m$ મળે.
સામાન્ય સમીકરણ $B = B_0 \sin [k(ct - x)] \hat{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = (2 \times 10^{-7}) \sin [200\pi(ct - x)] \hat{k} \,T$.

(C) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,કુલ ઉર્જા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $(U_E)$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $(U_B)$ જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$U_E = U_B$.
આને $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{2 \mu_0} B_{rms}^2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $I = \frac{B_0^2 c}{2 \mu_0}$.
આપેલ છે: $B_0 = 2.2 \times 10^{-4} \ T$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{(2.2 \times 10^{-4})^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{4.84 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{14.52}{25.13 \times 10^{-7}} \approx 5.77 \times 10^6 \ W/m^2$.
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $I \approx 5.8 \times 10^6 \ W/m^2$ મળે છે.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$
જ્યાં:
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ (શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી)
$E_0 = 4.4 \ Vm^{-1}$ (મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર)
$c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ (પ્રકાશની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (4.4)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 19.36 \times 3 \times 10^8$
$I = 25.7052 \times 10^{-3} \ W \ m^{-2}$
$I \approx 25.7 \ mW \ m^{-2}$

(D) શૂન્યાવકાશમાં $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ છે.
જ્યારે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી પ્લેટ મૂકવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક અંતર $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ થાય છે.
અહીં $t = \frac{r}{5}$ અને $K = 9$ છે.
તેથી,$r_{eff} = (r - \frac{r}{5}) + \frac{r}{5}\sqrt{9} = \frac{4r}{5} + \frac{3r}{5} = \frac{7r}{5}$.
નવું બળ $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r_{eff})^2} = \frac{25}{49} F$ થાય છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,ગણતરીમાં રહેલી ભૂલને ધ્યાનમાં લેતા સાચો વિકલ્પ $D$ છે.