AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) गतिकी के तीसरे समीकरण से,हमारे पास $v^2 - u^2 = 2as$ है।
यह मानते हुए कि वस्तु विरामावस्था से चलना शुरू करती है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v^2 = 2as$ प्राप्त होता है,जिसे $s = \frac{v^2}{2a}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a$ एकसमान (स्थिर) त्वरण है,इसलिए विस्थापन $s$ और वेग $v$ के बीच का संबंध $s \propto v^2$ है।
यह $s$-अक्ष के अनुदिश खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
ग्राफ $C$ एक परवलयाकार वक्र दिखाता है जहाँ $s$,$v$ के वर्ग के साथ बढ़ता है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से शुरू होता है,जो व्युत्पन्न संबंध $s = \frac{1}{2a} v^2$ से मेल खाता है।

(C) हम जानते हैं कि समान वेग समय से स्वतंत्र होता है। इसलिए,वेग-समय ग्राफ में,ग्राफ को समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के रूप में खींचा जाता है।
चूंकि रेखा का ढाल $= \tan \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ क्षैतिज अक्ष के साथ बना कोण है।
ग्राफ से,$\theta = 0^{\circ}$ है।
अतः,ढाल $= \tan 0^{\circ} = 0$ है।

(B) जब वस्तु को $h$ ऊँचाई से एक स्थिर लिफ्ट में गिराया जाता है,तो गति का समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ होता है।
चूँकि $u = 0$ और $a = -g$ है,इसलिए $-h = -\frac{1}{2}gt_1^2$,जिससे $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
जब वस्तु को एकसमान त्वरण $a$ से ऊपर जा रही लिफ्ट से गिराया जाता है,तो लिफ्ट के फ्रेम के सापेक्ष वस्तु पर नीचे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
समान गति के समीकरण का उपयोग करने पर,$-h = -\frac{1}{2}(g + a)t_2^2$,जिससे $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g + a}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(g + a) > g$ है,इसलिए $\frac{2h}{g + a} < \frac{2h}{g}$ होगा।
अतः,$t_2 < t_1$ या $t_1 > t_2$ सही है।

(C) $h$ ऊंचाई से गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरने वाले $m$ द्रव्यमान के पिंड का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
रैखिक संवेग $p$ को $p = mv$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पहले पिंड के लिए:
$p_1 = m_1 v_1 = m_1 \sqrt{2gh_1}$
दूसरे पिंड के लिए:
$p_2 = m_2 v_2 = m_2 \sqrt{2gh_2}$
उनके रैखिक संवेग का अनुपात है:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 \sqrt{2gh_1}}{m_2 \sqrt{2gh_2}} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$
यहाँ $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{h_1}{h_2} = \frac{9}{16}$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(D) दिया गया है, वेग $v = 2t^2 - 8t + 15$ है।
हम जानते हैं कि तात्क्षणिक त्वरण $a$, समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलन है, अर्थात $a = \frac{dv}{dt}$।
वेग के दिए गए व्यंजक का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a = \frac{d}{dt}(2t^2 - 8t + 15) = 4t - 8$।
अब, त्वरण के व्यंजक में $t = 5 \,s$ का मान रखने पर:
$a = 4(5) - 8 = 20 - 8 = 12 \,ms^{-2}$।
अतः, $t = 5 \,s$ पर तात्क्षणिक त्वरण $12 \,ms^{-2}$ है।

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण $3 s = 9 t + 5 t^2$ है।
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $s = 3 t + (5/3) t^2$ प्राप्त होता है।
एकसमान त्वरण के लिए गति का मानक समीकरण $s = u t + (1/2) a t^2$ होता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ त्वरण है।
दिए गए समीकरण $s = 3 t + (5/3) t^2$ की तुलना मानक समीकरण $s = u t + (1/2) a t^2$ से करने पर,हमें $(1/2) a = 5/3$ प्राप्त होता है।
$a$ का मान निकालने पर,$a = 2 \times (5/3) = 10/3 \ m s^{-2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: ट्रेन की लंबाई, $l = 100 \,m$.
वस्तु को पार करने में लगा समय, $t = 7.2 \,s$.
विपरीत दिशा में गतिमान वस्तु का वेग, $v_o = 5 \,km/h = 5 \times \frac{5}{18} \,m/s = \frac{25}{18} \,m/s \approx 1.39 \,m/s$.
मान लीजिए ट्रेन का वेग $v_t = v$ है।
चूंकि वस्तुएं विपरीत दिशा में गति कर रही हैं, इसलिए सापेक्ष वेग $v_{\text{rel}} = v_t + v_o$ होगा।
वस्तु को पार करने के लिए तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है, $l = v_{\text{rel}} \times t$.
$100 = (v + \frac{25}{18}) \times 7.2$.
$7.2$ से भाग देने पर: $\frac{100}{7.2} = v + \frac{25}{18}$.
$\frac{1000}{72} = v + \frac{25}{18} \Rightarrow \frac{125}{9} = v + \frac{25}{18}$.
$v = \frac{250}{18} - \frac{25}{18} = \frac{225}{18} = 12.5 \,m/s$.
$km/h$ में बदलने पर: $v = 12.5 \times \frac{18}{5} = 45 \,km/h$.

(C) माना बस की गति $v_B$ है और साइकिल चालक की गति $v_C = 20 \,km/h$ है।
माना दो क्रमिक बसों के बीच की दूरी $d$ है,जहाँ $d = v_B \times T$ है।
स्थिति $1$: बस $A$ से $B$ की ओर जा रही है (साइकिल चालक की समान दिशा में)।
साइकिल चालक के सापेक्ष बस की गति $(v_B - v_C)$ है।
बस द्वारा साइकिल चालक को पार करने का समय अंतराल $t_1 = 18 \,min = \frac{18}{60} \,h = 0.3 \,h$ है।
अतः,$d = (v_B - 20) \times 0.3 \dots (i)$।
स्थिति $2$: बस $B$ से $A$ की ओर जा रही है (साइकिल चालक की विपरीत दिशा में)।
साइकिल चालक के सापेक्ष बस की गति $(v_B + v_C)$ है।
बस द्वारा साइकिल चालक को पार करने का समय अंतराल $t_2 = 6 \,min = \frac{6}{60} \,h = 0.1 \,h$ है।
अतः,$d = (v_B + 20) \times 0.1 \dots (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$(v_B - 20) \times 0.3 = (v_B + 20) \times 0.1$
$3(v_B - 20) = v_B + 20$
$3v_B - 60 = v_B + 20$
$2v_B = 80 \Rightarrow v_B = 40 \,km/h$।
अब,समीकरण $(ii)$ का उपयोग करके $d = v_B \times T$ में $v_B$ का मान रखने पर:
$v_B \times T = (v_B + 20) \times 0.1$
$40 \times T = (40 + 20) \times 0.1$
$40T = 60 \times 0.1 = 6$
$T = \frac{6}{40} \,h = \frac{3}{20} \,h$।

(A) गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ,$v$ अंतिम चाल है,$u$ प्रारंभिक चाल है और $a$ समय $t$ के लिए त्वरण है।
चूंकि गति में निरंतर मंदन है,इसलिए त्वरण ऋणात्मक है,अर्थात $a_{eff} = -a$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = u + (-a)t = u - at$।
चूंकि $t > 0$ के लिए $at > 0$ होता है,इसलिए $v < u$ प्राप्त होता है।
अतः,निरंतर मंदन के तहत वस्तु की चाल घटती है।

(D) कण का वेग विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन होता है: $v = \frac{ds}{dt}$.
दिया गया है $s = 9t^2 - 2t^3$,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(9t^2 - 2t^3) = 18t - 6t^2$.
जब कण शून्य वेग प्राप्त करता है,तो $v = 0$ रखने पर:
$18t - 6t^2 = 0$.
$6t$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$6t(3 - t) = 0$.
इससे हमें दो हल प्राप्त होते हैं: $t = 0$ और $t = 3$.
चूंकि कण $t = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए वह $t = 3 \ s$ पर पुनः शून्य वेग प्राप्त करेगा।

(A) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_A = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_B = 6 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ स्थिति में परिवर्तन द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$.
$\vec{d} = (6 - 2) \hat{i} + (6 - 2) \hat{j} + (9 - 3) \hat{k}$.
$\vec{d} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.

(A) दिया गया है कि, शहर-$A$ से शहर-$B$ तक ट्रेन की गति $v_1 = 18 \,ms^{-1}$ है।
शहर-$B$ से शहर-$A$ तक ट्रेन की गति $v_2 = 36 \,ms^{-1}$ है।
चूंकि $A$ से $B$ और $B$ से $A$ तक तय की गई दूरी समान है, इसलिए समान दूरी के लिए औसत गति का सूत्र उपयोग करते हैं:
$v_{av} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
मान रखने पर:
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{18 + 36}$
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{54}$
$v_{av} = \frac{1296}{54} = 24 \,ms^{-1}$.

(A) दिया गया प्रारंभिक वेग $u = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$ है।
चूंकि वस्तु रुक जाती है,इसलिए अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ है।
तय की गई दूरी $s = 200 \ m$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2as$।
मान रखने पर: $0^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 200$।
$-100 = 400a$।
$a = -\frac{100}{400} = -0.25 \ m/s^2$।
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है।
अतः,ब्रेक द्वारा उत्पन्न मंदन $0.25 \ m/s^2$ है।

(D) गोली क्षैतिज प्रक्षेप्य गति प्रदर्शित करती है।
गोली का ऊर्ध्वाधर विस्थापन,$y = 15 \ cm = 0.15 \ m$.
गोली का क्षैतिज विस्थापन,$x = 150 \ m$.
क्षैतिज प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण,$y = \frac{g x^2}{2 u^2}$ है।
मान रखने पर: $0.15 = \frac{10 \times 150^2}{2 u^2}$.
$u^2$ के लिए हल करने पर: $u^2 = \frac{10 \times 22500}{2 \times 0.15} = \frac{225000}{0.3} = 750000$.
वर्गमूल लेने पर: $u = \sqrt{750000} = \sqrt{250000 \times 3} = 500 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$.

(D) दिया गया है: चाल $v = 30 \,ms^{-1}$, त्रिज्या $r = 500 \,m$, स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T = 2 \,ms^{-2}$।
वृत्तीय गति में कण का कुल त्वरण $a$, स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T$ और अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $a_r$ का सदिश योग होता है।
सबसे पहले, अभिकेंद्र त्वरण $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,ms^{-2}$ की गणना करें।
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_T^2 + a_r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24}$।
वर्गमूल की गणना करने पर: $a \approx 2.69 \,ms^{-2}$, जो लगभग $2.7 \,ms^{-2}$ है।

(A) प्रक्षेप्य (projectile) के लिए उड़ान का समय $T$ सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 50 \ m s^{-1}$
प्रक्षेप्य कोण $\theta = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m s^{-2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 50 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$T = \frac{100 \times 0.5}{10} = \frac{50}{10} = 5 \ s$.
अतः,गेंद $5 \ s$ तक हवा में रहेगी।

(C) जब एक गेंद को ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो उसकी पूरी उड़ान के दौरान उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ के अनुसार,त्वरण $a$ शुद्ध बल की दिशा में होता है। उच्चतम बिंदु पर,गेंद का वेग क्षण भर के लिए शून्य हो जाता है,लेकिन गुरुत्वाकर्षण बल उस पर लगातार कार्य करता रहता है। इसलिए,त्वरण $g$ (गुरुत्वीय त्वरण) के बराबर बना रहता है और नीचे की ओर निर्देशित होता है।

(D) प्रक्षेप्य की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ कण का तात्क्षणिक वेग है।
चूंकि वेग का क्षैतिज घटक $(v_x = u \cos \theta)$ पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है,इसलिए कुल वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ पर निर्भर करता है।
ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt$ का परिमाण प्रक्षेपण बिंदु $(t=0)$ और जमीन पर गिरने के बिंदु ($t=T$,जहाँ $T$ कुल उड़ान का समय है) पर अधिकतम होता है।
प्रक्षेपण बिंदु पर तय की गई क्षैतिज दूरी $0 \ m$ है। जमीन पर गिरने के बिंदु पर तय की गई क्षैतिज दूरी उसकी परास $R = 100 \ m$ के बराबर होती है।
विकल्पों की तुलना करने पर,गतिज ऊर्जा शुरुआत में और अंत में अधिकतम होती है। चूंकि $0 \ m$ विकल्प में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $100 \ m$ है।

(A) क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण न होने के कारण वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 15 \ m \ s^{-1}$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में,पत्थर मुक्त रूप से गिरता है जहाँ प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है। समीकरण $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ का उपयोग करने पर:
$v_y^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 490 = 9604$.
$v_y = \sqrt{9604} = 98 \ m \ s^{-1}$.
अंतिम गति $v$ परिणामी वेग सदिश का परिमाण है: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
$v = \sqrt{15^2 + 98^2} = \sqrt{225 + 9604} = \sqrt{9829} \approx 99.14 \ m \ s^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $99 \ m \ s^{-1}$ है।

(A) दिया गया है कि टॉवर की ऊँचाई $h = 19.6 \,m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु को जमीन पर स्थित बिंदु से जोड़ने वाली रेखा क्षैतिज के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
ऊँचाई $h$ और क्षैतिज परास $R$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan \theta = \frac{h}{R}$
$\tan 45^{\circ} = \frac{19.6}{R}$
$1 = \frac{19.6}{R} \Rightarrow R = 19.6 \,m$.
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ इस प्रकार है:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2 \,s$.
क्षैतिज दूरी $R$ इस प्रकार है:
$R = u \times t$
$19.6 = u \times 2$
$u = \frac{19.6}{2} = 9.8 \,m/s$.
अतः, गेंद का प्रारंभिक वेग $9.8 \,m/s$ है।

(B) माना $u$ और $\theta$ क्रमशः प्रक्षेप्य वेग और प्रक्षेप्य कोण हैं।
दिया गया है कि वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 3 \ m/s$ है।
प्रक्षेप्य गति का समीकरण $y = 12x - \frac{3}{4}x^2$ ... $(i)$ है।
हम जानते हैं कि प्रक्षेप्य गति का सामान्य समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ ... (ii) है।
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 12$,इसलिए $\sin \theta = 12 \cos \theta$ होगा।
दोनों पक्षों को $u$ से गुणा करने पर,$u \sin \theta = 12(u \cos \theta) = 12 \times 3 = 36 \ m/s$ प्राप्त होता है।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2(u \sin \theta)(u \cos \theta)}{g}$ है।
मान रखने पर,$R = \frac{2 \times 36 \times 3}{10} = \frac{216}{10} = 21.6 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) गेंद को $20 \,m$ की ऊँचाई से प्रक्षेपित किया जाता है और हमें वह क्षैतिज दूरी ज्ञात करनी है जहाँ वह फिर से उसी ऊर्ध्वाधर स्तर (जमीन से $20 \,m$) पर वापस आ जाती है।
यह एक समतल सतह पर $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित वस्तु की क्षैतिज परास (Range) ज्ञात करने के समान है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
दिया गया है:
प्रारंभिक गति $u = 13 \,ms^{-1}$
प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$
मान रखने पर:
$R = \frac{(13)^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \sin(60^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$
$R = \frac{169 \times 1.732}{20}$
$R = \frac{292.708}{20} \approx 14.635 \,m$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें $R = 14.6 \,m$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि कारों $A$ और $B$ का वेग धनात्मक दिशा में $v_A = v_B = 30 \ km/h$ है।
मान लीजिए कि कार $C$ का वेग विपरीत दिशा में $v_C = -v$ है (जहाँ $v$ कार $C$ की गति है)।
कारों $A$ और $B$ के सापेक्ष कार $C$ का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_A - v_C = 30 - (-v) = 30 + v$ होगा।
कार $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d = 10 \ km$ है।
कार $C$ $8 \ minutes = \frac{8}{60} \ h = \frac{2}{15} \ h$ के अंतराल पर कार $B$ और फिर कार $A$ से मिलती है।
सूत्र $d = v_{rel} \times t$ का उपयोग करते हुए:
$10 = (30 + v) \times \frac{2}{15}$
$10 \times \frac{15}{2} = 30 + v$
$75 = 30 + v$
$v = 75 - 30 = 45 \ km/h$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,त्रिज्या $r = 1 \ m$,कोणीय वेग $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$।
अभिकेंद्र बल $F_c$ का सूत्र $F_c = m \omega^2 r$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$F_c = 5 \times (2)^2 \times 1$
$F_c = 5 \times 4 \times 1$
$F_c = 20 \ N$।
अतः,अभिकेंद्र बल $20 \ N$ है।

(C) डैम्प्ड ऑसिलेटर का $t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-\alpha t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t_1 = 5 \,s$ पर, $A(5) = 0.9 A_0$ है।
इसे समीकरण में रखने पर: $0.9 A_0 = A_0 e^{-5\alpha}$, जिसका अर्थ है $e^{-5\alpha} = 0.9$ है।
हमें अगले $20 \,s$ के बाद आयाम ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कुल समय $t_2 = 5 \,s + 20 \,s = 25 \,s$ पर।
माना $t_2 = 25 \,s$ पर आयाम $A'$ है।
$A' = A_0 e^{-25\alpha} = A_0 (e^{-5\alpha})^5$ है।
$e^{-5\alpha} = 0.9$ रखने पर:
$A' = A_0 (0.9)^5 = A_0 \times 0.59049$ है।
अतः, आयाम अपने मूल आयाम का लगभग $0.59$ गुना हो जाएगा।

(C) स्प्रिंग के लिए हुक के नियम का उपयोग करते हुए,$F = kx$।
जब $0.6 \ kg$ का द्रव्यमान लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग बल द्रव्यमान के भार को संतुलित करता है,इसलिए $F = mg$।
अतः,$k = \frac{mg}{x} = \frac{0.6 \times 10}{0.40} = 15 \ N \ m^{-1}$।
$m' = 255 \ g = 0.255 \ kg$ द्रव्यमान के लिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.255}{15}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{0.017} \approx 6.28 \times 0.13038 \approx 0.8188 \ s$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$T \approx 0.82 \ s$।

(A) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$,हुक के नियम $F = kx$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिया गया है $F = 15 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 150 \ N$ और $x = 0.25 \ m$,इसलिए $k = \frac{150}{0.25} = 600 \ N/m$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2 \pi}{5} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{600}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{5} = \sqrt{\frac{m}{600}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{25} = \frac{m}{600}$ प्राप्त होता है।
$m$ के लिए हल करने पर,$m = \frac{600}{25} = 24 \ kg$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,स्प्रिंग नियतांक $k = 100 \ N \ m^{-1}$,आयाम $A = 10 \ cm = 0.1 \ m$,विस्थापन $x = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10 \ rad \ s^{-1}$.
विस्थापन $x$ पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10 \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = 10 \sqrt{0.01 - 0.0025} = 10 \sqrt{0.0075} = 10 \times 0.0866 = 0.866 \ m \ s^{-1}$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.866)^2 = 0.5 \times 0.75 = 0.375 \ J$.
स्थितिज ऊर्जा $P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^2 = 50 \times 0.0025 = 0.125 \ J$.

(A) एक सरल लोलक में एक द्रव्यमान रहित और अवितान्य डोरी से लटका हुआ एक बिंदु द्रव्यमान (बॉब) होता है।
एक तल में दोलन करने वाले सरल लोलक के लिए,बॉब की स्थिति को केवल एक निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जा सकता है,जो कि वह कोण $\theta$ है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
इसलिए,दोलन करते हुए सरल लोलक के लिए स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया है: लोलक की लंबाई,$l = 0.5 \ m$। निम्नतम बिंदु पर चाल,$v_1 = 6 \ ms^{-1}$। डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण,$\theta = 60^{\circ}$।
$\triangle OBC$ में,$\cos \theta = \frac{OC}{OB} = \frac{l-h}{l} = \cos 60^{\circ}$।
$\Rightarrow 1 - \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow h = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \ m$।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv_1^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh$
$v_2^2 = v_1^2 - 2gh$
$v_2^2 = (6)^2 - 2 \times 10 \times 0.25 = 36 - 5 = 31$
$v_2 = \sqrt{31} \ ms^{-1}$।
अतः,$60^{\circ}$ के कोण पर अंतिम वेग $\sqrt{31} \ ms^{-1}$ है।

(A) निर्वातित कक्ष में,सरल लोलक के गोलक (bob) पर कोई वायु प्रतिरोध या घर्षण बल कार्य नहीं करता है।
चूंकि गोलक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है (जो एक संरक्षी बल है),इसलिए निकाय की यांत्रिक ऊर्जा को नष्ट करने के लिए कोई तंत्र नहीं है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसलिए,दोलन का आयाम समय के साथ स्थिर रहता है।

(C) दिया गया है, पिंड का द्रव्यमान $m = 4.9 \, kg$.
स्प्रिंग के दोलन का आवर्तकाल $T = 0.5 \, s$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ और $\pi^2 = 10$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$.
अनुपात $\frac{m}{k}$ के लिए, $\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$.
मान रखने पर, $\frac{m}{k} = \frac{(0.5)^2}{4 \times 10} = \frac{0.25}{40} = 0.00625 \, kg/N$.
जब द्रव्यमान को हटा दिया जाता है, तो स्प्रिंग की लंबाई में कमी $x$ उस विस्तार के बराबर होती है जो संतुलन में द्रव्यमान द्वारा उत्पन्न हुआ था।
संतुलन में हुक के नियम के अनुसार, $kx = mg$, जिसका अर्थ है $x = \frac{m}{k} g$.
मान रखने पर, $x = 0.00625 \times 10 = 0.0625 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर, $x = 0.0625 \times 100 = 6.25 \, cm$.
अतः, द्रव्यमान हटाने के बाद स्प्रिंग की लंबाई में $6.25 \, cm$ की कमी आती है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ होता है।
अतः,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ...$(i)$
जब लिफ्ट $a = 3g$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = g + 3g = 4g$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime}$ का मान $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g}}$ है।
$T^{\prime} = \frac{1}{2} \times 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर,हमें $T^{\prime} = \frac{T}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
स्थितिज ऊर्जा को अधिकतम होने के लिए,विस्थापन $x$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
सरल आवर्त गति में,माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन आयाम $A$ के बराबर होता है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों पर अधिकतम होती है,जो $x = \pm A$ है।

(C) दिया गया है,दोलन का आयाम,$a = 6 \text{ cm}$।
मान लीजिए विस्थापन $x \text{ cm}$ है।
जब गतिज ऊर्जा $(K)$ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बराबर होती है,तो $K = U$ होता है।
सरल आवर्त दोलक की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ द्वारा दी जाती है।
दोनों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$2x^2 = a^2$
$x^2 = \frac{a^2}{2}$
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$a = 6 \text{ cm}$ रखने पर:
$x = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \text{ cm}$।

(C) दिया गया है कि कण पर कार्य करने वाला बल $F = -kx + F_0$ है।
हम इसे $F = -k(x - \frac{F_0}{k})$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $y = x - \frac{F_0}{k}$,तो बल $F = -ky$ हो जाता है।
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए प्रत्यानयन बल का मानक रूप है,जहाँ माध्य स्थिति $F = 0$ द्वारा परिभाषित होती है।
$F = 0$ रखने पर,हमें $-k(x - \frac{F_0}{k}) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{F_0}{k}$।
अतः,कण $x = \frac{F_0}{k}$ माध्य स्थिति के परितः दोलन करेगा।
$F = -ky$ की तुलना मानक $SHM$ समीकरण $F = -m\omega^2 y$ से करने पर,हमें $m\omega^2 = k$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए,हम जानते हैं कि:
अधिकतम त्वरण $|a_{\max}| = \omega^2 A$ होता है।
अधिकतम वेग $|v_{\max}| = \omega A$ होता है।
यहाँ,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अतः,अधिकतम त्वरण और अधिकतम वेग का अनुपात है:
$\frac{|a_{\max}|}{|v_{\max}|} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण का समीकरण $x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ है।
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) \right] = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
चाल $|v|$ तब अधिकतम होती है जब $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ का मान $1$ या $-1$ हो।
प्रथम धनात्मक समय $t$ के लिए,यदि हम $\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ लें,तो हमें $t = \frac{\pi}{4\omega}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ में दिया गया है।

(B) माना कणों $P$ और $Q$ के लिए गति के समीकरण $x_1 = a \sin(\omega t)$ और $x_2 = a \sin(\omega t + \phi)$ हैं,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कणों के बीच की दूरी $d = |x_2 - x_1| = |a \sin(\omega t + \phi) - a \sin(\omega t)|$ द्वारा दी जाती है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$d = |2a \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi}{2})|$.
इस दूरी का अधिकतम मान तब होता है जब कोसाइन पद का परिमाण $1$ हो।
अतः,$d_{max} = 2a \sin(\frac{\phi}{2})$.
दिया गया है कि $d_{max} = a \sqrt{2}$,इसलिए $2a \sin(\frac{\phi}{2}) = a \sqrt{2}$.
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\phi = \frac{\pi}{2}$.

(D) दिया गया है: कण का द्रव्यमान $m = 0.4 \text{ kg}$,आयाम $A = 0.4 \text{ m}$,प्रारंभिक कला $\phi = \pi / 4$ है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा दोलक की कुल ऊर्जा के बराबर होती है,जो $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $256 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.4 \times \omega^2 \times (0.4)^2$.
$0.256 = 0.2 \times \omega^2 \times 0.16$.
$0.256 = 0.032 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{0.256}{0.032} = 8$.
$\omega = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \text{ rad/s}$.
सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
मानों को रखने पर,हमें $x = 0.4 \sin \left((2 \sqrt{2}) t + \frac{\pi}{4}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) अनुनाद एक ऐसी घटना है जिसमें दोलनों का आयाम काफी बढ़ जाता है जब बाहरी रूप से आरोपित आवर्ती बल की आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है।
प्रणोदित दोलन प्रणाली में,अनुनाद वक्र की तीक्ष्णता प्रणाली में मौजूद अवमंदन (damping) द्वारा निर्धारित की जाती है।
अनुनाद की तीक्ष्णता अवमंदन गुणांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,जब अवमंदन बल छोटा होता है,तो प्रति चक्र ऊर्जा की हानि न्यूनतम होती है,जिससे बहुत ही तीक्ष्ण और उच्च आयाम वाला अनुनाद शिखर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ निलंबन बिंदु से गोलक के द्रव्यमान केंद्र तक की प्रभावी लंबाई है।
प्रारंभ में,पानी से भरे गोले का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जैसे-जैसे नीचे के छेद से पानी बाहर निकलता है,निकाय का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसक जाता है। इससे प्रभावी लंबाई $l$ बढ़ जाती है,जिसके कारण आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे पानी का स्तर गिरता जाता है,द्रव्यमान केंद्र अपने सबसे निचले बिंदु तक पहुँचता है और फिर जैसे-जैसे गोलक खाली होता है,यह वापस ज्यामितीय केंद्र की ओर ऊपर उठने लगता है।
एक बार जब पानी पूरी तरह से निकल जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र खोखले गोले के ज्यामितीय केंद्र पर वापस आ जाता है,जिससे मूल प्रभावी लंबाई $l$ और इस प्रकार मूल आवर्तकाल $T$ बहाल हो जाता है।

(A) दिया गया है,$SHM$ की अधिकतम चाल $v_{\max} = A\omega = 40 \,ms^{-1}$ ... $(i)$
$SHM$ का अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A\omega^2 = 60 \,ms^{-2}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{A\omega^2}{A\omega} = \frac{60}{40}$
$\omega = 1.5 \,rad/s = \frac{3}{2} \,rad/s$
हम जानते हैं कि आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच संबंध है:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3} \,s$
अतः,दोलन का आवर्तकाल $\frac{4\pi}{3} \,s$ है।

(C) किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा $s$ को उस ऊष्मा $Q$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो पदार्थ के इकाई द्रव्यमान $m$ के तापमान को इकाई डिग्री $\Delta T$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है।
सूत्र $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ द्वारा दिया जाता है।
जब उबलता हुआ पानी भाप में बदलता है,तो पदार्थ अवस्था परिवर्तन (phase change) से गुजरता है।
अवस्था परिवर्तन की प्रक्रिया के दौरान,पदार्थ का तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है $\Delta T = 0$।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $s = \frac{Q}{m \times 0} = \infty$।
अतः,इस अवस्था परिवर्तन के दौरान उबलते पानी की विशिष्ट ऊष्मा अनंत होती है।

(A) मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ को $1 \text{ mole}$ गैस का तापमान $1 \text{ K}$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$C = \frac{\Delta Q}{n \Delta T}$ होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक होता है,जिसका अर्थ है कि पर्यावरण के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है।
इसलिए,ऊष्मा में परिवर्तन $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $C = \frac{0}{n \Delta T} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रुद्धोष्म परिवर्तन से गुजरने वाली गैस की विशिष्ट ऊष्मा $0$ होती है।

(A) दिया गया है: भाप का द्रव्यमान,$m_s = 5 \text{ g}$,भाप का तापमान,$T_s = 100^{\circ} \text{C}$.
बर्फ का द्रव्यमान,$m_i = 5 \text{ g}$,बर्फ का तापमान,$T_i = 0^{\circ} \text{C}$.
वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा,$L_v = 540 \text{ cal/g}$.
गलन की गुप्त ऊष्मा,$L_f = 80 \text{ cal/g}$.
पानी की विशिष्ट ऊष्मा,$s = 1 \text{ cal/g}^{\circ} \text{C}$.
चरण $1$: $100^{\circ} \text{C}$ पर भाप के पानी में बदलने पर मुक्त ऊष्मा की गणना:
$Q_1 = m_s \times L_v = 5 \times 540 = 2700 \text{ cal}$.
चरण $2$: बर्फ को पिघलने और $100^{\circ} \text{C}$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक ऊष्मा की गणना:
बर्फ पिघलने के लिए: $Q_{melt} = m_i \times L_f = 5 \times 80 = 400 \text{ cal}$.
पानी का तापमान $0^{\circ} \text{C}$ से $100^{\circ} \text{C}$ तक बढ़ाने के लिए: $Q_{rise} = m_i \times s \times \Delta T = 5 \times 1 \times 100 = 500 \text{ cal}$.
बर्फ के लिए कुल आवश्यक ऊष्मा: $Q_2 = 400 + 500 = 900 \text{ cal}$.
चरण $3$: $Q_1$ और $Q_2$ की तुलना:
चूंकि $Q_1 > Q_2$,भाप के पास बर्फ को पिघलाने और पानी को $100^{\circ} \text{C}$ तक गर्म करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा है।
अतः,मिश्रण का अंतिम तापमान $100^{\circ} \text{C}$ होगा।

(A) सही मिलान इस प्रकार है:
$(A)$ द्रव को ठोस में बदलने की प्रक्रिया को संलयन (Fusion) कहा जाता है।
$(B)$ द्रव को वाष्प में बदलने की प्रक्रिया को वाष्पीकरण (Vaporisation) कहा जाता है।
$(C)$ ठोस को द्रव अवस्था में आए बिना सीधे वाष्प में बदलने की प्रक्रिया को ऊर्ध्वपातन (Sublimation) कहा जाता है।
$(D)$ दबाव के कारण बर्फ के पिघलने की घटना को रिजलेशन (Regelation) कहा जाता है।
अतः,सही मिलान $A-3, B-4, C-2, D-1$ है।

(D) पानी का घनत्व $4^{\circ} C$ पर अधिकतम होता है।
जैसे-जैसे तापमान $4^{\circ} C$ से ऊपर बढ़ता है,पानी का घनत्व कम हो जाता है,जिससे आयतन बढ़ जाता है।
इसी तरह,जैसे-जैसे तापमान $4^{\circ} C$ से नीचे गिरता है,पानी का घनत्व असामान्य प्रसार के कारण कम हो जाता है,जिससे आयतन फिर से बढ़ जाता है।
चूंकि बीकर पहले से ही भरा हुआ है,इसलिए आयतन में कोई भी वृद्धि पानी के बाहर निकलने का कारण बनती है।
इसलिए,पानी $4^{\circ} C$ से ऊपर गर्म करने या $4^{\circ} C$ से नीचे ठंडा करने पर बाहर निकल जाता है।
कथन $D$ गलत है क्योंकि $4^{\circ} C$ से नीचे ठंडा करने पर पानी वास्तव में बाहर निकल जाता है।

(B) एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया वह है जिसे परिवेश पर कोई निशान छोड़े बिना उल्टा किया जा सकता है।
बर्फ का पिघलना,समतापीय प्रसार और रुद्धोष्म प्रसार (यदि अर्ध-स्थैतिक रूप से किया जाए) को उत्क्रमणीय प्रक्रियाएं माना जा सकता है।
ऊष्मा का चालन एक अनुत्क्रमणीय प्रक्रिया है क्योंकि यह दो निकायों के बीच सीमित तापमान अंतर के कारण होती है।
ऊष्मा हमेशा स्वतः ही उच्च तापमान से निम्न तापमान की ओर प्रवाहित होती है,और इस प्रक्रिया को बाहरी कार्य के बिना उल्टा नहीं किया जा सकता है,जिससे ब्रह्मांड की एन्ट्रॉपी बढ़ जाती है।

(C) दिया गया है कि दो प्लेटों का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ समान है।
मान लीजिए $K_1, K_2$ उनकी ऊष्मीय चालकता है और $t_1, t_2$ उनकी मोटाई है।
प्रश्न के अनुसार,अनुपात हैं:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{t_1}{t_2} = \frac{2}{3}$.
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{t_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{t_2}$
जहाँ $T$ उभयनिष्ठ सतह का तापमान है।
दिए गए मान $T_1 = 10^{\circ} C$ और $T_2 = 0^{\circ} C$ रखने पर:
$\frac{K_1}{t_1} (10 - T) = \frac{K_2}{t_2} (T - 0)$
$\frac{K_1}{K_2} \cdot \frac{t_2}{t_1} (10 - T) = T$
अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$\left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right) (10 - T) = T$
$1 \cdot (10 - T) = T$
$10 - T = T$
$2T = 10$
$T = 5^{\circ} C$

(B) दिया गया है कि दो आवेश $q_1 = 20 \mu C$ और $q_2 = 10 \mu C$ एक दूसरे से $d = 50 \ m$ की दूरी पर हैं।
अनंत से मध्य बिंदु $M$ तक एक इकाई धनात्मक आवेश $q = 1 \ C$ को लाने में किया गया कार्य $W = qV$ है,जहाँ $V$ बिंदु $M$ पर विद्युत विभव है।
आवेशों $q_1$ और $q_2$ के कारण $M$ पर विभव $V = \frac{K q_1}{(d/2)} + \frac{K q_2}{(d/2)} = \frac{2K}{d} (q_1 + q_2)$ है।
मान रखने पर:
$W = 1 \times \frac{2 \times (9 \times 10^9)}{50} \times (20 + 10) \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{18 \times 10^9}{50} \times 30 \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{540 \times 10^3}{50} \ J = 10.8 \times 10^3 \ J$.

(B) परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ विद्युत विभव सभी बिंदुओं पर समान होता है।
चूंकि पृष्ठ पर आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W = 0$ होता है,और $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$,इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन सदिश $d\vec{l}$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,विद्युत बल रेखाएं हमेशा समविभव पृष्ठ के लंबवत होती हैं।

(A) एक लंबे सीधे तार के कारण धारावाही चालक पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
आयताकार कुंडली $ABCD$ के लिए,क्षैतिज खंडों $BC$ और $AD$ पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द कर देते हैं।
खंड $AB$ पर बल (दूरी $r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ पर) आकर्षक है (तार की ओर) क्योंकि धाराएं समानांतर हैं:
$F_{AB} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.02 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.02} = 30 \times 10^{-7} \text{ N}$.
खंड $CD$ पर बल (दूरी $r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ पर) प्रतिकर्षी है (तार से दूर) क्योंकि धाराएं प्रति-समानांतर हैं:
$F_{CD} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.12 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.12} = 5 \times 10^{-7} \text{ N}$.
कुल बल $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = 30 \times 10^{-7} - 5 \times 10^{-7} = 25 \times 10^{-7} \text{ N}$.
चूंकि $F_{AB} > F_{CD}$,इसलिए कुल बल तार की दिशा में कार्य करता है।

(A) कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = N A I$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को रखने पर: $M = 10 \times (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times 0.5 \ A = 10^{-3} \ A \ m^2$.
एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I_s$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $B = (4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A) \times (10^3 \ m^{-1}) \times (3 \ A) = 12 \pi \times 10^{-4} \ T$.
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau = M B \sin(\theta)$ होता है। चूंकि कुंडली की अक्ष परिनालिका की अक्ष के लंबवत है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है,अतः $\sin(90^\circ) = 1$.
इसलिए,$\tau = (10^{-3} \ A \ m^2) \times (12 \pi \times 10^{-4} \ T) \times 1 = 12 \pi \times 10^{-7} \ N \ m$.

(B) दिया गया है, एक चल कुंडली धारामापी के लिए:
प्रभावी क्षेत्रफल, $A = 4 \times 10^{-2} \, m^2$
चुंबकीय क्षेत्र, $B = 5 \times 10^{-2} \, Wb \, m^{-2}$
विक्षेप कोण, $\phi = 0.2 \, rad$
विद्युत धारा, $I = 5 \, mA = 5 \times 10^{-3} \, A$
मान लीजिए कि फेरों की संख्या $N = 1$ है, तो टॉर्क संतुलन समीकरण $NAB I = k \phi$ के अनुसार, जहाँ $k$ मरोड़ी नियतांक है।
$k = \frac{NAB I}{\phi} = \frac{(1) \times (4 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-3})}{0.2}$
$k = \frac{100 \times 10^{-7}}{0.2} = 5 \times 10^{-5} \, N \, m \, rad^{-1}$.
धारा सुग्राहिता $S_I = \frac{\phi}{I} = \frac{0.2}{5 \times 10^{-3}} = 40 \, rad \, A^{-1}$.
अतः, धारा सुग्राहिता $40 \, rad \, A^{-1}$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाली चुंबकीय सुई पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\tau = M B \sin \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta$ चुंबकीय आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
यह दिया गया है कि सुई चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रहती है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए बलाघूर्ण $\tau = M B$ हो जाता है।
$B_1$ और $B_2$ चुंबकीय क्षेत्रों वाले दो अलग-अलग स्थानों के लिए,बलाघूर्ण $\tau_1 = M B_1$ और $\tau_2 = M B_2$ हैं।
दोनों बलाघूर्णों का अनुपात लेने पर: $\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{M B_1}{M B_2} = \frac{B_1}{B_2}$।
अतः,$B_1 : B_2$ का अनुपात $\tau_1 : \tau_2$ के बराबर है।

(A) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ है।
खोखले बेलन के अंदर किसी बिंदु $(r < R)$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = 0$ है। इसलिए,$B(2\pi r) = 0$,जिसका अर्थ है कि $r < R$ के लिए $B = 0$ है।
खोखले बेलन के बाहर किसी बिंदु $(r \geq R)$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = i$ है। इसलिए,$B(2\pi r) = \mu_0 i$,जिसका अर्थ है कि $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ है।
यह दर्शाता है कि बेलन के अंदर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है और बेलन के बाहर यह $1/r$ के अनुसार घटता है। आरेख $(i)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) $n$ फेरों, $a$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n i}{2a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार की कुल लंबाई $L$ स्थिर है, $L = n(2\pi a)$।
एक फेरे के लिए $(n=1)$, $L = 2\pi a$, इसलिए $a = \frac{L}{2\pi}$।
दो फेरों के लिए $(n'=2)$, $L = 2(2\pi a')$, इसलिए $a' = \frac{L}{4\pi} = \frac{a}{2}$।
चूंकि $B \propto \frac{n}{a}$, हमारे पास $\frac{B'}{B} = \frac{n'}{n} \times \frac{a}{a'}$ है।
मान रखने पर, $\frac{B'}{B} = \frac{2}{1} \times \frac{a}{a/2} = 2 \times 2 = 4$।
अतः, $B' = 4B$।

(A) $r$ त्रिज्या वाली और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 4 \pi \text{ cm} = 4 \pi \times 10^{-2} \text{ m}$ दिया गया है।
पहली कुंडली के लिए जिसमें $i_1 = 10 \text{ A}$ धारा प्रवाहित हो रही है:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{8 \pi \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें $i_2 = 24 \text{ A}$ धारा प्रवाहित हो रही है:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 24}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 24}{8 \pi \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T} = 12 \times 10^{-5} \text{ T}$.
चूंकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$B = \sqrt{(5 \times 10^{-5})^2 + (12 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{25 + 144} \times 10^{-5} \text{ T} = \sqrt{169} \times 10^{-5} \text{ T} = 13 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$.

(B) दिया गया है: $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$r = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$B_{axis} = 250 \ \mu T$.
धारावाही वृत्ताकार लूप के अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$
$B_{centre}$ को $B_{axis}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I}{2R} \times \frac{2(R^2 + r^2)^{3/2}}{\mu_0 I R^2} = \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
मान रखने पर:
$B_{centre} = B_{axis} \times \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.05^2 + 0.12^2)^{3/2}}{0.05^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0025 + 0.0144)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0169)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.13)^3}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{0.002197}{0.000125} = 250 \ \mu T \times 17.576 = 4394 \ \mu T$.

(B) भुजा वाली वर्गाकार फ्रेम के लिए,केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र इसकी चार भुजाओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
प्रत्येक भुजा $a$ लंबाई के एक परिमित तार के रूप में कार्य करती है जो केंद्र से $r = a/2$ की लंबवत दूरी पर है।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ है।
चूंकि $4$ भुजाएं हैं,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए,परिधि वर्ग की परिधि के बराबर है,इसलिए $2 \pi R = 4 a$,जिससे $R = \frac{2 a}{\pi}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 (2 a / \pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{4 a}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B}{B^{\prime}} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I / \pi a}{\mu_0 \pi I / 4 a} = \frac{16 \sqrt{2}}{\pi^2}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों कुंडलियों के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समान है,इसलिए:
$\frac{\mu_0 I_1}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2(r)} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 2 \quad ...(i)$
चूंकि कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,उनका प्रतिरोध $R$ उनकी लंबाई $l$ के समानुपाती होता है $(R = \rho \frac{l}{A})$।
लंबाई $l_1 = 2\pi(2r) = 4\pi r$ और $l_2 = 2\pi(r) = 2\pi r$ है।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{4\pi r}{2\pi r} = 2 \quad ...(ii)$
ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,इसलिए $I = V/R$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{V_1/R_1}{V_2/R_2} = 2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2 \times \frac{R_1}{R_2}$
समीकरण $(ii)$ से अनुपात रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$.

(A) दिया गया है: आंतरिक त्रिज्या $r_1 = 20 \,cm = 0.2 \,m$, बाहरी त्रिज्या $r_2 = 25 \,cm = 0.25 \,m$, फेरों की संख्या $N = 800$, धारा $I = 12 \,A$ है।
टोरोइड के भीतर केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $B \propto \frac{1}{r}$, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र न्यूनतम त्रिज्या $(r_1)$ पर अधिकतम और अधिकतम त्रिज्या $(r_2)$ पर न्यूनतम होता है।
अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र: $B_{\max} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.2} = 9.6 \times 10^{-3} \,T = 9.6 \,mT$.
न्यूनतम चुंबकीय क्षेत्र: $B_{\min} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.25} = 7.68 \times 10^{-3} \,T = 7.68 \,mT$.

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,लूप में प्रवाहित धारा $I$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,$M = I A$।
जब $L$ लंबाई के तार को एक वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है,तो इसकी परिधि $2 \pi r = L$ होती है,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $r = \frac{L}{2 \pi}$ है।
इस वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ है।
क्षेत्रफल को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = I \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{L^2 I}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है, $\text{चुंबकीय आघूर्ण}$, $M = 2 \,J \,T^{-1}$।
$\text{चुंबकीय क्षेत्र}$, $B = 0.1 \,T$।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित है, इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
जब चुंबक क्षेत्र के लंबवत होता है, तो अंतिम कोण $\theta_2 = 90^{\circ}$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबक को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
मान रखने पर:
$W = 2 \times 0.1 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
$W = 0.2 \times (1 - 0)$
$W = 0.2 \,J$।
अतः, किया गया कुल कार्य $0.2 \,J$ है।

(C) एक टोरॉइड अनिवार्य रूप से एक परिनालिका है जिसे गोलाकार रूप में मोड़ा गया है। टोरॉइड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं पूरी तरह से इसके कोर के भीतर सीमित रहती हैं,जो संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र टोरॉइड के भीतर सीमित है,इसलिए टोरॉइड के बाहर शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
यदि चुंबकीय आघूर्ण $m$ शून्य नहीं होता,तो टोरॉइड बड़ी दूरियों पर एक चुंबकीय द्विध्रुव की तरह कार्य करता,जिससे $\frac{1}{r^3}$ के रूप में घटने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता।
चूंकि एक आदर्श टोरॉइड के बाहर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए इसका चुंबकीय आघूर्ण $m$ शून्य होना चाहिए।

(C) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल (लोरेंत्ज़ बल) $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि बल आवेश के वेग $\vec{v}$ पर निर्भर करता है।
यदि आवेश विराम अवस्था में है,तो उसका वेग $\vec{v} = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\vec{F} = q(0 \times \vec{B}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र विराम अवस्था में स्थित आवेश पर कोई बल नहीं लगाता है।

(C) मान लीजिए $\phi$ वास्तविक नति कोण है और $\theta$ चुंबकीय दिक्पात है। जब डिप सर्कल भौगोलिक याम्योत्तर में होता है,तो तल और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण $\theta$ होता है। आभासी नति $\delta_1$ का सूत्र $\tan \delta_1 = \frac{\tan \phi}{\cos \theta}$ है।
जब तल भौगोलिक याम्योत्तर के लंबवत होता है,तो तल और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण $(90^\circ - \theta)$ होता है। आभासी नति $\delta_2$ का सूत्र $\tan \delta_2 = \frac{\tan \phi}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\tan \phi}{\sin \theta}$ है।
इन दो समीकरणों से,हमें $\tan \phi = \tan \delta_1 \cos \theta$ और $\tan \phi = \tan \delta_2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$\tan \phi$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\tan \delta_1 \cos \theta = \tan \delta_2 \sin \theta$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$.
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}\right)$।

(B) क्यूरी के नियम के अनुसार, एक अनुचुंबकीय पदार्थ का चुंबकन $M = C \frac{B}{T}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $B$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र है, $T$ परम तापमान है और $C$ क्यूरी नियतांक है।
दिया गया है: $M_1 = 0.8 \text{ A m}^{-1}$, $B_1 = 0.8 \text{ T}$ और $T_1 = 5 \text{ K}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $0.8 = C \frac{0.8}{5} \Rightarrow C = 5 \text{ K}$।
अब, नए तापमान $T_2 = 20 \text{ K}$ के लिए, समान चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = 0.8 \text{ T}$ के साथ, नया चुंबकन $M_2$ होगा:
$M_2 = C \frac{B_2}{T_2} = 5 \times \frac{0.8}{20} = \frac{4}{20} = 0.2 \text{ A m}^{-1}$।

(D) माना कि पदार्थ के बाहर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B_0$ है।
दिया गया है कि पदार्थ के अंदर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B = 4 B_0$ है।
पदार्थ के अंदर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व और बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के बीच का संबंध $B = \mu_r B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_r$ पदार्थ की सापेक्ष चुंबकीय पारगम्यता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 B_0 = \mu_r B_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu_r = 4$।

(A) एक स्थिर नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके घटक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमानों के योग से कम होता है। द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $(E = \Delta m c^2)$ के अनुसार, यह द्रव्यमान क्षति बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, जो नाभिक को एक साथ बांधे रखती है।
चूंकि नाभिक के बनने पर ऊर्जा मुक्त होती है, इसलिए प्रणाली एक निचली ऊर्जा अवस्था में पहुंच जाती है, जिसका अर्थ है कि बंधे हुए नाभिक का द्रव्यमान उसके व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमानों के योग से कम होना चाहिए।
इसलिए, विकल्प $A$ सही कथन है।

(C) एक नाभिकीय अभिक्रिया तब संभव होती है जब वह आवेश (परमाणु क्रमांक) और द्रव्यमान संख्या के संरक्षण के नियमों का पालन करती है।
विकल्प $C$ के लिए: ${ }_{93} Np^{239} \longrightarrow{ }_{94} Pu^{239}+\beta^{-}+\bar{\nu}$.
आवेश का संरक्षण: $93 = 94 + (-1) + 0 = 93$. यह संतुष्ट होता है।
द्रव्यमान संख्या का संरक्षण: $239 = 239 + 0 + 0 = 239$. यह संतुष्ट होता है।
यह अभिक्रिया नेप्चूनियम-$239$ का प्लूटोनियम-$239$ में $\beta^{-}$-क्षय को दर्शाती है,जो कि भौतिक रूप से एक संभव प्रक्रिया है।

(B) नाभिकीय संलयन एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें दो हल्के नाभिक मिलकर एक भारी नाभिक बनाते हैं। इस प्रक्रिया के लिए धनावेशित नाभिकों के बीच के प्रबल स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण को पार करना आवश्यक है। इसे प्राप्त करने के लिए,नाभिकों के पास अत्यधिक उच्च गतिज ऊर्जा होनी चाहिए,जो बहुत उच्च तापमान ($10^7$ से $10^8 \ K$ की कोटि में) बनाए रखकर प्रदान की जाती है। इसलिए,संलयन अभिक्रियाएं उच्च तापमान की सहायता से शुरू की जाती हैं।

(D) नाभिकीय घनत्व को नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक का द्रव्यमान $M = A \cdot m$ होता है,जहाँ $m$ न्यूक्लियॉन का औसत द्रव्यमान है $(m \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ होती है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिकीय घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$ है।
चूंकि $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए यह सभी नाभिकों के लिए स्थिर रहता है।
मान रखने पर,$\rho \approx 2.3 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ से $3.0 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही परिमाण का क्रम $10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ है।

(C) हीरे का अपवर्तनांक $\mu$ बहुत अधिक (लगभग $2.42$) होता है।
चूंकि क्रांतिक कोण $\theta_c$ को संबंध $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए उच्च अपवर्तनांक के कारण क्रांतिक कोण बहुत छोटा होता है।
जब प्रकाश एक अच्छी तरह से कटे हुए हीरे में प्रवेश करता है,तो यह आंतरिक सतहों पर क्रांतिक कोण से बड़े कोण पर आपतित होता है।
इसके परिणामस्वरूप हीरे के भीतर कई बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।
परिणामस्वरूप,प्रकाश अंदर फंस जाता है और बार-बार परावर्तित होता है,जिससे हीरा चमकदार दिखाई देता है।

(A) पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक उनके निरपेक्ष अपवर्तनांक के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: पानी का अपवर्तनांक,$\mu_w = \frac{4}{3}$।
कांच का अपवर्तनांक,$\mu_g = \frac{5}{3}$।
पानी के सापेक्ष कांच का सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{5/3}{4/3} = \frac{5}{4}$ है।
क्रांतिक कोण $C$ को संबंध $\sin C = \frac{1}{\mu}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$\mu$ का मान रखने पर,हमें $\sin C = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ होगा।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
कॉची के समीकरण के अनुसार,पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,जहाँ $\lambda$ घटने पर $\mu$ बढ़ता है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य लाल प्रकाश की तुलना में कम होती है,इसलिए नीले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक लाल प्रकाश की तुलना में अधिक होता है $(\mu_{blue} > \mu_{red})$।
परिणामस्वरूप,जब लाल प्रकाश को नीले प्रकाश से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो फोकस दूरी $f$ कम हो जाती है।
इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ भी असत्य है।

(C) दिया गया है,लेंस का अपवर्तनांक,$\mu = 1.5$।
वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या,$R_1 = 12 \,cm$।
समतल सतह की वक्रता त्रिज्या,$R_2 = \infty$।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{12} - \frac{1}{\infty} \right]$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए:
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{12}$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{12} = \frac{1}{24}$
अतः,$f = 24 \,cm$।
इस प्रकार,दिए गए समतल-उत्तल लेंस की फोकस दूरी $24 \,cm$ है।

(C) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ दी गई है।
वस्तु को प्रथम फोकस बिंदु से $x$ दूरी पर रखा गया है।
चूंकि प्रथम फोकस बिंदु ऑप्टिकल सेंटर से $f$ दूरी पर होता है,इसलिए ऑप्टिकल सेंटर से वस्तु की कुल दूरी $u = -(f + x)$ होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर।
$u = -(f + x)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{v} - \frac{1}{-(f + x)} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + x} = \frac{f + x - f}{f(f + x)} = \frac{x}{f(f + x)}$.
अतः,$v = \frac{f(f + x)}{x}$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = \frac{\frac{f(f + x)}{x}}{-(f + x)} = -\frac{f}{x}$.
वास्तविक प्रतिबिंब के आकार और वस्तु के आकार का अनुपात आवर्धन का परिमाण है,जो $|m| = \frac{f}{x}$ है।

(A) दिया गया है: लेंस का अपवर्तनांक,$\mu_g = 1.5$।
माध्यम का अपवर्तनांक,$\mu_m = 1.6$।
हवा में लेंस की शक्ति,$P = -5 \ D$।
हवा का अपवर्तनांक,$\mu_a = 1$।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P = \frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ (हवा में)।
माध्यम के लिए,शक्ति $P'$ इस प्रकार है:
$P' = \frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$।
$P'$ को $P$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1)}{(\mu_g - 1)} = \frac{(\frac{1.5}{1.6} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{(\frac{1.5 - 1.6}{1.6})}{0.5} = \frac{-0.1}{1.6 \times 0.5} = \frac{-0.1}{0.8} = -\frac{1}{8}$।
अतः,$P' = P \times (-\frac{1}{8}) = -5 \times (-0.125) = 0.625 \ D$।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
सरल संबंध का उपयोग करने पर: $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \text{ Å}$।
यहाँ $\lambda = 0.50 \text{ Å}$ दिया गया है, इसलिए:
$0.50 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$
$\sqrt{V} = \frac{12.27}{0.50} = 24.54$
$V = (24.54)^2 \approx 602.2 \text{ V}$।
अतः, आवश्यक वोल्टेज लगभग $602 \text{ V}$ है।

(A) माध्यम $A$ में प्रकाश की गति $v_A = f \lambda_A = (5 \times 10^{14} \ Hz) \times (300 \times 10^{-9} \ m) = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ है।
माध्यम $A$ का निरपेक्ष अपवर्तनांक $\mu_A = \frac{c}{v_A} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \times 10^8 \ m/s} = 2$ है।
हमें गति का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \frac{4}{5}$ दिया गया है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की गति $v$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu = \frac{c}{v})$,इसलिए $\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{v_A}{v_B}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{\mu_B}{2} = \frac{4}{5}$।
अतः,$\mu_B = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$।

(A) $p-n$ जंक्शन में,अवक्षय क्षेत्र (depletion region) आवेश वाहकों के विसरण के कारण बनता है।
जंक्शन के $p$-पक्ष पर,ऋणात्मक रूप से आवेशित स्वीकर्ता (acceptor) आयन होते हैं,जो एक ऋणात्मक आवेश घनत्व बनाते हैं।
जंक्शन के $n$-पक्ष पर,धनात्मक रूप से आवेशित दाता (donor) आयन होते हैं,जो एक धनात्मक आवेश घनत्व बनाते हैं।
आवेश घनत्व $\rho$,$p$-पक्ष पर ऋणात्मक और $n$-पक्ष पर धनात्मक होता है।
जंक्शन इंटरफेस $(r = 0)$ पर,आवेश घनत्व ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,जो ग्राफ $p$-पक्ष पर ऋणात्मक आवेश घनत्व और $n$-पक्ष पर धनात्मक आवेश घनत्व दिखाता है और मूल बिंदु से गुजरता है,वह सही निरूपण है।
यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ वक्र $p$-क्षेत्र के लिए $r$-अक्ष के नीचे और $n$-क्षेत्र के लिए $r$-क्ष के ऊपर है।

(B) इनपुट वोल्टेज $V_i$ एक प्रत्यावर्ती वोल्टेज है जिसका शिखर मान $10 \, V$ है।
$V_i$ के धनात्मक अर्ध-चक्र के लिए, ऊपरी टर्मिनल निचले टर्मिनल की तुलना में उच्च विभव पर होता है। इस स्थिति में, डायोड $D_2$ फॉरवर्ड बायस में है और चालन करता है, जबकि डायोड $D_1$ रिवर्स बायस में है और एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है।
परिपथ एक वोल्टेज डिवाइडर में सरल हो जाता है जिसमें $2 \, k\Omega$ का प्रतिरोध (जहाँ $V_0$ मापा जाता है) और दूसरा $2 \, k\Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं।
पथ में कुल प्रतिरोध $2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 4 \, k\Omega$ है।
वोल्टेज डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए, $2 \, k\Omega$ प्रतिरोध पर आउटपुट वोल्टेज $V_0$ है:
$V_0 = V_i \times \frac{2 \, k\Omega}{2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega} = V_i \times \frac{2}{4} = \frac{V_i}{2}$.
चूंकि अधिकतम इनपुट वोल्टेज $10 \, V$ है, इसलिए अधिकतम आउटपुट वोल्टेज है:
$V_{0, \text{max}} = \frac{10 \, V}{2} = 5 \, V$.

(B) दिया गया है कि,$R_1 = 1 \text{ k}\Omega = 1000 \text{ } \Omega$,और ज़ेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_z = 6 \text{ V}$ है।
मान लीजिए $I_1$,$R_1$ से प्रवाहित होने वाली धारा है और $I_z$,ज़ेनर डायोड से प्रवाहित होने वाली धारा है।
चूंकि $R_1$,ज़ेनर डायोड के समानांतर है,इसलिए $R_1$ के सिरों पर वोल्टेज $V_z = 6 \text{ V}$ होगा।
अतः,$I_1 = \frac{V_z}{R_1} = \frac{6 \text{ V}}{1000 \text{ } \Omega} = 6 \times 10^{-3} \text{ A}$.
दी गई शर्त के अनुसार,ज़ेनर धारा $I_z = 5 I_1 = 5 \times (6 \times 10^{-3} \text{ A}) = 30 \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
स्रोत $V_s = 30 \text{ V}$ से ली गई कुल धारा $I = I_1 + I_z = 6 \times 10^{-3} + 30 \times 10^{-3} = 36 \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
साथ ही,$R$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_s - V_z = 30 \text{ V} - 6 \text{ V} = 24 \text{ V}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$R = \frac{V_s - V_z}{I} = \frac{24}{36 \times 10^{-3}} = \frac{24000}{36} \text{ } \Omega = \frac{2000}{3} \text{ } \Omega$.

(A) दिया गया है,कलेक्टर प्रतिरोध $R_C = 800 \Omega$ और उस पर वोल्टेज ड्रॉप $V_R = 0.5 V$ है।
कलेक्टर करंट $I_C = \frac{V_R}{R_C} = \frac{0.5}{800} = 6.25 \times 10^{-4} A = 0.625 \times 10^{-3} A$.
हम जानते हैं कि करंट गेन $\alpha = \frac{I_C}{I_E}$,इसलिए एमिटर करंट $I_E = \frac{I_C}{\alpha} = \frac{0.625 \times 10^{-3}}{0.96} \approx 6.51 \times 10^{-4} A$.
बेस करंट $I_B = I_E - I_C = I_C \left( \frac{1}{\alpha} - 1 \right) = I_C \left( \frac{1 - \alpha}{\alpha} \right)$.
मान रखने पर: $I_B = 0.625 \times 10^{-3} \times \left( \frac{1 - 0.96}{0.96} \right) = 0.625 \times 10^{-3} \times \left( \frac{0.04}{0.96} \right) = 0.625 \times 10^{-3} \times \frac{1}{24} \approx 0.02604 \times 10^{-3} A = 2.6 \times 10^{-5} A$.

(B) दिया गया है: $\Delta I_b = 20 \ \mu A = 20 \times 10^{-6} \ A$,$\Delta I_c = 2 \ mA = 2 \times 10^{-3} \ A$,और $\Delta V_{BE} = 0.04 \ V$.
इनपुट प्रतिरोध $R_{\text{input}}$ बेस-एमिटर वोल्टेज में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन का अनुपात है:
$R_{\text{input}} = \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta I_b} = \frac{0.04}{20 \times 10^{-6}} = \frac{0.04 \times 10^6}{20} = 2 \times 10^3 \ \Omega = 2 \ k\Omega$.
$AC$ करंट गेन $\beta$ कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन का अनुपात है:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b} = \frac{2 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{2000}{20} = 100$.
अतः,इनपुट प्रतिरोध $2 \ k\Omega$ है और $AC$ करंट गेन $100$ है।

(B) दिया गया है कि, $V_{CE}=7 \, V$, $\beta=100$, $R_C=2 \, k\Omega = 2000 \, \Omega$, और $V_{CC}=15 \, V$ है।
हम जानते हैं कि कॉमन एमिटर सर्किट में करंट गेन इस प्रकार है:
$\beta = \frac{I_C}{I_B} \dots (i)$
आउटपुट लूप (कलेक्टर-एमिटर लूप) में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$V_{CC} - I_C R_C - V_{CE} = 0$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$15 - I_C(2000) - 7 = 0$
$8 = I_C(2000)$
$I_C = \frac{8}{2000} \, A = 4 \times 10^{-3} \, A = 4 \, mA \dots (ii)$
अब, समीकरण $(ii)$ से $I_C$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$100 = \frac{4 \, mA}{I_B}$
$I_B = \frac{4}{100} \, mA = 0.04 \, mA$.

(A) दिया गया है, करंट गेन, $\alpha = 0.96$।
एमिटर करंट, $I_E = 7.2 \,mA = 7.2 \times 10^{-3} \,A$।
हम जानते हैं कि, $\alpha = I_C / I_E$।
इसलिए, $I_C = \alpha \times I_E = 0.96 \times 7.2 \,mA = 6.912 \,mA$।
साथ ही, एमिटर, कलेक्टर और बेस करंट के बीच संबंध $I_E = I_C + I_B$ है।
अतः, $I_B = I_E - I_C = 7.2 \,mA - 6.912 \,mA = 0.288 \,mA \approx 0.29 \,mA$।

(B) सत्यता सारणी दर्शाती है कि यदि इनपुट $A$ या इनपुट $B$ (या दोनों) में से कोई भी $1$ है,तो आउटपुट $X$ का मान $1$ प्राप्त होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $X = A + B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जो लॉजिक गेट यह ऑपरेशन करता है,उसे $OR$ गेट कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वेवफॉर्म के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:

समय अंतराल	$A$	$B$	$Y$
$t_1-t_2$	$0$	$0$	$1$
$t_2-t_3$	$0$	$1$	$1$
$t_3-t_4$	$1$	$0$	$1$
$t_4-t_5$	$1$	$1$	$0$

सत्यता सारणी से हम देखते हैं कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $0$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ हो। अन्य सभी स्थितियों में,आउटपुट $1$ होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ के अनुरूप है।
यह $NAND$ गेट की विशिष्ट सत्यता सारणी है।

(C) दिए गए चित्र से यह स्पष्ट है कि यह एक फुल-वेव रेक्टिफायर है।
फुल-वेव रेक्टिफायर के लिए,आउटपुट करंट पहले आधे चक्र के लिए $I = I_0 \sin(\omega t)$ और दूसरे आधे चक्र के लिए (रेक्टिफिकेशन के कारण) $I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण चक्र $T$ पर करंट का औसत मान इस प्रकार है:
$I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I(t) dt$
फुल-वेव रेक्टिफायर के लिए,आवर्तकाल $T/2$ है। औसत मान की गणना इस प्रकार की जाती है:
$I_{\text{avg}} = \frac{1}{T/2} \int_{0}^{T/2} I_0 \sin(\omega t) dt$
$I_{\text{avg}} = \frac{2}{T} \cdot I_0 \left[ -\frac{\cos(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{T/2}$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए:
$I_{\text{avg}} = \frac{2 I_0}{T} \cdot \frac{T}{2\pi} [-\cos(\pi) + \cos(0)]$
$I_{\text{avg}} = \frac{I_0}{\pi} [1 + 1] = \frac{2 I_0}{\pi}$

(B) नैज अर्धचालक की चालकता $\sigma = n_i e (\mu_e + \mu_h)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $n_i = 2.5 \times 10^{19} \ m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$\mu_e = 0.39 \ m^2/V\cdot s$,और $\mu_h = 0.19 \ m^2/V\cdot s$ है।
$\sigma = (2.5 \times 10^{19}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (0.39 + 0.19) = 4 \times 0.58 = 2.32 \ \Omega^{-1}m^{-1}$।
प्रतिरोधकता $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2.32} \ \Omega\cdot m$ है।
प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ है।
यहाँ $L = 0.925 \ cm = 9.25 \times 10^{-3} \ m$ और $A = 1 \ mm^2 = 10^{-6} \ m^2$ है।
$R = \frac{1}{2.32} \times \frac{9.25 \times 10^{-3}}{10^{-6}} = \frac{9250}{2.32} \approx 3987 \ \Omega \approx 4.0 \ k\Omega$।

(C) विद्युतचुंबकीय बल और दुर्बल नाभिकीय बल प्रकृति के चार मूलभूत बलों में से दो हैं।
यह प्रस्तावित किया गया था कि इन दोनों बलों को एक एकल अन्योन्यक्रिया में एकीकृत किया जा सकता है जिसे इलेक्ट्रोवीक अन्योन्यक्रिया के रूप में जाना जाता है।
यह सैद्धांतिक एकीकरण तीन भौतिकविदों: शेल्डन ग्लाशो,स्टीवन वेनबर्ग और अब्दुस सलाम द्वारा सफलतापूर्वक प्राप्त किया गया था।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से,सलाम सही उत्तर है।

(C) सर सी.वी. रमन को $1930$ में प्रकाश के प्रकीर्णन पर उनके अग्रणी कार्य के लिए भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था,जिसे अब रमन प्रभाव के रूप में जाना जाता है।
उन्होंने खोज की थी कि जब प्रकाश की एक किरण किसी पारदर्शी माध्यम से गुजरती है,तो प्रकाश का एक छोटा सा हिस्सा आपतित दिशा के अलावा अन्य दिशाओं में बिखर जाता है,और इस प्रकीर्णित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य और आवृत्ति में परिवर्तन होता है।

(C) दिया गया है कि परमाणु द्रव्यमान $= 1 \text{ amu} = 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}$ है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्रकाश की गति है।
$E = (1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2 = 1.494 \times 10^{-11} \text{ J}$।
हम जानते हैं कि $1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}$ होता है।
अतः,$E = \frac{1.494 \times 10^{-11} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}} \approx 931 \text{ MeV}$।
इस प्रकार,$1 \text{ amu}$ ऊर्जा के $931 \text{ MeV}$ के बराबर है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंगों का उत्पादन,प्रसार और संसूचन वायरलेस संचार प्रणालियों के पीछे के मूलभूत सिद्धांत हैं। रेडियो और टेलीविजन प्रसारण पूरी तरह से अंतरिक्ष के माध्यम से विद्युतचुंबकीय तरंगों के संचरण पर निर्भर करते हैं,जिन्हें बाद में रिसीवरों द्वारा संसूचित किया जाता है और वापस ऑडियो और दृश्य संकेतों में परिवर्तित किया जाता है। इसलिए,रेडियो और टेलीविजन इन सिद्धांतों पर आधारित हैं।

(B) “The Evolution of Physics” पुस्तक (जो भौतिकी साहित्य के संदर्भ में जानी जाती है) अल्बर्ट आइंस्टीन और लियोपोल्ड इन्फेल्ड द्वारा सह-लिखित थी। दिए गए विकल्पों में से,अल्बर्ट आइंस्टीन सही लेखक हैं।

(B) चौड़ाई की एकल स्लिट के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
पहले निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए,कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
अतः,$a \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \lambda \Rightarrow a(0.5) = \lambda \Rightarrow a = 2 \lambda$।
$n$ वें गौण उच्चिष्ठ की शर्त $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है।
पहले गौण उच्चिष्ठ के लिए,हम $n=1$ लेते हैं।
समीकरण में $a = 2 \lambda$ और $n=1$ रखने पर:
$(2 \lambda) \sin \theta' = (1 + \frac{1}{2}) \lambda$
$2 \sin \theta' = \frac{3}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3}{4}$
$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$।

(C) समतल ट्रांसमिशन ग्रेटिंग के लिए,$n$-वें क्रम के विवर्तन उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $d$ ग्रेटिंग नियतांक है,$\theta$ विवर्तन कोण है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
संबंध $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d}$ से,यह स्पष्ट है कि एक निश्चित क्रम $n$ और ग्रेटिंग नियतांक $d$ के लिए,विवर्तन कोण $\theta$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है (अर्थात,छोटे कोणों के लिए $\theta \propto \lambda$)।
जब स्रोत को छोटी तरंगदैर्ध्य वाले दूसरे स्रोत से बदल दिया जाता है,तो $\lambda$ का मान कम हो जाता है। परिणामस्वरूप,$\sin \theta$ कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि सभी क्रमों $(n=1, 2, 3)$ के लिए विवर्तन कोण $\theta$ कम हो जाता है।
$O$ पर सीधा प्रतिबिंब ($0$-वां क्रम) स्थिर रहता है क्योंकि $n=0$ के लिए $\sin \theta = 0$ होता है,चाहे तरंगदैर्ध्य कुछ भी हो। हालाँकि,विवर्तित प्रतिबिंब $A, B$ और $C$ अपने विवर्तन कोणों के कम होने के कारण केंद्रीय उच्चिष्ठ $O$ के करीब आ जाएंगे।
इसलिए,प्रतिबिंब $C, B$ और $A$ $O$ की ओर स्थानांतरित होंगे।