AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $m$ द्रव्यमान वाले एक पिंड को $\theta$ कोण पर झुके हुए समतल पर विचार करें। पिंड पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ जो समतल के लंबवत कार्य करता है।
$3$. घर्षण बल $f$ जो समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है और गति का विरोध करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $mg \sin \theta$ (समतल के समानांतर) और $mg \cos \theta$ (समतल के लंबवत) हैं।
समतल के लंबवत संतुलन के लिए,$N = mg \cos \theta$ है।
घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
समतल की दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin \theta - f = ma$
$mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$
$m$ से विभाजित करने पर,हमें त्वरण प्राप्त होता है:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(A) ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ पर फिसलाने के लिए आवश्यक बल सीमांत घर्षण बल $f_{max} = 12 \ N$ है।
ब्लॉक $A$ के ब्लॉक $B$ के साथ बिना फिसले गति करने के लिए,निकाय का अधिकतम त्वरण $a_{max}$ ब्लॉक $A$ पर लगने वाले अधिकतम घर्षण बल द्वारा निर्धारित होता है:
$f_{max} = m_A \cdot a_{max}$
$12 \ N = 4 \ kg \cdot a_{max}$
$a_{max} = 3 \ m \ s^{-2}$
अब,निकाय के दोनों ब्लॉकों $A$ और $B$ को एक साथ $a_{max}$ त्वरण से गति करते हुए मानें। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B = 4 \ kg + 6 \ kg = 10 \ kg$ है।
ब्लॉक $B$ पर लगाया जा सकने वाला अधिकतम क्षैतिज बल $F_B$ है:
$F_B = M \cdot a_{max}$
$F_B = 10 \ kg \cdot 3 \ m \ s^{-2} = 30 \ N$.

(D) गेंद पर हवा के कारण लगने वाला घर्षण बल $f_a$ हमेशा गेंद के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है। प्रक्षेप्य पथ के किसी भी बिंदु पर गेंद का वेग हमेशा उस बिंदु पर पथ की स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में होता है।
पिंड का भार $W$ हमेशा पृथ्वी की सतह के लंबवत नीचे की ओर और पृथ्वी के केंद्र की दिशा में कार्य करता है।
स्थिति $X$ पर,गेंद अपने प्रक्षेप्य पथ के ऊपर की ओर वाले हिस्से में है,इसलिए इसका वेग सदिश ऊपर और आगे की ओर निर्देशित है। अतः,वायु प्रतिरोध $f_a$ को नीचे और पीछे की ओर (वेग के विपरीत) कार्य करना चाहिए। भार $W$ लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है। यह विन्यास विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(D) $1$. ब्लॉक $A$ और स्लैब $B$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें: $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_A g = 0.60 \times 10 \times 9.8 = 58 \ N$।
$2$. चूंकि लगाया गया बल $(100 \ N)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(58 \ N)$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक $A$,स्लैब $B$ पर फिसलेगा।
$3$. जब फिसलन होती है,तो सतहों के बीच गतिज घर्षण बल कार्य करता है: $f_k = \mu_k N = \mu_k m_A g = 0.40 \times 10 \times 9.8 = 39.2 \ N$।
$4$. यह गतिज घर्षण बल $f_k$ स्लैब $B$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल है (क्योंकि फर्श घर्षण रहित है)।
$5$. न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग स्लैब $B$ के लिए करने पर: $F_{net} = M_B a_B \Rightarrow f_k = M_B a_B$।
$6$. $39.2 = 30 \times a_B \Rightarrow a_B = \frac{39.2}{30} \approx 1.31 \ m \ s^{-2}$।

(A) दिया गया है: बेलन का द्रव्यमान, $m = 12 \,kg$. प्रारंभिक वेग, $u = 20 \,m/s$. घर्षण गुणांक, $\mu = 0.5$. गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m/s^2$.
बेलन पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $f = ma$, इसलिए $ma = \mu mg$, जिससे मंदन $a = -\mu g$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर, $a = -0.5 \times 10 = -5 \,m/s^2$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, $v^2 = u^2 + 2as$, जहाँ $v = 0$ (विराम अवस्था में अंतिम वेग):
$0 = (20)^2 + 2(-5)s$
$0 = 400 - 10s$
$10s = 400$
$s = 40 \,m$.
अतः, बेलन रुकने से पहले $40 \,m$ की दूरी तय करेगा।

(B) दिया गया है कि,ब्लॉक $B$ का भार $= w$.
ब्लॉक $B$ और मेज के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक $= \mu$.
माना ब्लॉक $A$ का अधिकतम भार $w_A$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,गांठ और ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाले बलों को संतुलित होना चाहिए।
गांठ के फ्री-बॉडी डायग्राम $(FBD)$ से,तनाव $T$ का ऊर्ध्वाधर घटक ब्लॉक $A$ के भार को संतुलित करता है:
$w_A = T \sin \theta$ --- $(i)$
ब्लॉक $B$ के $FBD$ से,तनाव $T$ का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण $f$ द्वारा संतुलित होता है:
$f = \mu N = \mu w = T \cos \theta$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{w_A}{\mu w} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta}$
$w_A = \mu w \tan \theta$
अतः,ब्लॉक $A$ का अधिकतम भार $\mu w \tan \theta$ है।

(C) दिया गया है:
ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान,$m_A = 100 \ kg$
ब्लॉक $B$ का द्रव्यमान,$m_B = 300 \ kg$
$A$ और $B$ के बीच घर्षण गुणांक,$\mu_1 = 0.35$
$B$ और सतह के बीच घर्षण गुणांक,$\mu_2 = 0.5$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \ m/s^2$
जब ब्लॉक $B$ को बल $P$ से खींचा जाता है,तो ब्लॉक $A$ दीवार से बंधी डोरी के कारण स्थिर रहता है। अतः,दोनों सतहों पर गतिज घर्षण बल कार्य करता है।
$1$. $A$ और $B$ के बीच घर्षण बल $(f_1)$:
$f_1 = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_A g$
$f_1 = 0.35 \times 100 \times 9.8 = 343 \ N$
$2$. $B$ और सतह के बीच घर्षण बल $(f_2)$:
सतह पर अभिलंब बल दोनों ब्लॉकों के कुल भार के बराबर होता है: $N_2 = (m_A + m_B)g$
$f_2 = \mu_2 N_2 = 0.5 \times (100 + 300) \times 9.8$
$f_2 = 0.5 \times 400 \times 9.8 = 1960 \ N$
$3$. ब्लॉक $B$ को गति कराने के लिए आवश्यक कुल बल $P$:
$P = f_1 + f_2$
$P = 343 + 1960 = 2303 \ N$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $2350 \ N$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है: वस्तु का भार,$W = 64 \ N$।
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu_s = 0.8$।
गतिक घर्षण गुणांक,$\mu_d = 0.6$।
वस्तु को गति में लाने के लिए आवश्यक बल सीमांत घर्षण के बराबर होता है: $F = \mu_s \times W = 0.8 \times 64 \ N$।
एक बार जब वस्तु गति करना शुरू कर देती है,तो उस पर कार्य करने वाला गतिक घर्षण बल $f_k = \mu_d \times W = 0.6 \times 64 \ N$ होता है।
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = (0.8 \times 64) - (0.6 \times 64) = 64(0.8 - 0.6) = 64 \times 0.2 \ N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = m \times a$,जहाँ द्रव्यमान $m = \frac{W}{g} = \frac{64}{g}$ है।
मान रखने पर: $\frac{64}{g} \times a = 64 \times 0.2$।
अतः,$a = 0.2 \ g$।

(D) मेज के कारण किताब पर लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ एक संपर्क बल है जो किताब और मेज की संपर्क सतह के लंबवत ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
किताब का भार $(mg)$ पृथ्वी द्वारा किताब पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है,जो हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि अभिलंब प्रतिक्रिया ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर और भार ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,इसलिए ये दोनों बल एक-दूसरे के बिल्कुल विपरीत दिशा में हैं।
अतः,अभिलंब प्रतिक्रिया और किताब के भार के बीच का कोण $180^\circ$ है।

(D) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,एक वस्तु जो सीधी रेखा में एकसमान वेग से गति कर रही है,वह तब तक अपनी गति जारी रखेगी जब तक उस पर कोई बाहरी असंतुलित बल कार्य न करे।
चूंकि वस्तु पहले से ही सीधी रेखा में एकसमान चाल से चल रही है,इसका अर्थ है कि इसका वेग एकसमान है।
अतः,इसे एकसमान वेग से गतिमान बनाए रखने के लिए किसी बाहरी बल की आवश्यकता नहीं है।
विकल्प $A$,$B$ और $C$ में गति की अवस्था में परिवर्तन (त्वरण) होता है,जिसके लिए बाहरी बल की आवश्यकता होती है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
कार्य $W = F \cdot s = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा और अंतिम गतिज ऊर्जा (जो $0$ है) समान रहती है,इसलिए कार को रोकने के लिए किया गया कार्य स्थिर होना चाहिए।
$F \cdot s = F' \cdot s'$
दिया गया है कि $F' = 3F$,इसलिए:
$F \cdot s = (3F) \cdot s'$
$s' = s/3$.
अतः,जब मंदक बल $3 F$ होगा तो कार $s/3$ दूरी में रुक जाएगी।

(A) दिया गया है कि बल सदिश $F = (6 \hat{i} - 18 \hat{j} + 10 \hat{k}) \text{ N}$ है।
बल का परिमाण इस प्रकार है:
$|F| = \sqrt{(6)^2 + (-18)^2 + (10)^2} = \sqrt{36 + 324 + 100} = \sqrt{460} \text{ N}$.
दिया गया त्वरण $a = 8 \text{ m/s}^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जिसका अर्थ है $m = \frac{F}{a}$।
मान रखने पर:
$m = \frac{\sqrt{460}}{8} = \frac{\sqrt{4 \times 115}}{8} = \frac{2\sqrt{115}}{8} = \frac{\sqrt{115}}{4} \text{ kg}$.

(C) दिया गया है कि वस्तु का द्रव्यमान $m = 2 \,kg$ है।
दो बल $F_1 = 1 \,N$ और $F_2 = 1 \,N$ एक-दूसरे के साथ $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर कार्य कर रहे हैं।
परिणामी बल $F$ का परिमाण सदिश योग के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
मान रखने पर:
$F = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$
$F = \sqrt{1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{3} \,N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $F = ma$.
अतः, वस्तु का त्वरण $a$ होगा:
$a = \frac{F}{m} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,m/s^2$.

(B) मोटरसाइकिल सवार पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N$ हैं।
मोटरसाइकिल सवार के क्षैतिज वृत्त में बने रहने के लिए,दीवार द्वारा प्रदान किया गया अभिलंब बल $N$ अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,इसलिए $N = \frac{mv^2}{r}$।
मोटरसाइकिल सवार को नीचे फिसलने से रोकने के लिए,घर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $f = mg$।
$f = \mu N$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu N = mg$।
$\mu \left(\frac{mv^2}{r}\right) = mg$।
$\mu = \frac{gr}{v^2}$।
यहाँ $g = 10 \ m \ s^{-2}$,$r = 8.0 \ m$,और $v = 5 \sqrt{5} \ m \ s^{-1}$ दिया गया है।
$\mu = \frac{10 \times 8}{(5 \sqrt{5})^2} = \frac{80}{25 \times 5} = \frac{80}{125}$।
$\mu = 0.64$।

(C) दिया गया है, वक्रता त्रिज्या, $r = 250 \,m$।
ट्रेन का अधिकतम वेग, $v = 90 \,km/h$।
वेग को $m/s$ में बदलने पर: $v = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \,m/s$।
माना $\theta$ बैंकिंग कोण है।
बैंकिंग कोण का सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{(25)^2}{250 \times 10} = \frac{625}{2500} = \frac{1}{4}$।
अतः, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$।

(A) मान लीजिए कि वाहन का द्रव्यमान $m$ है,वाहन का वेग $v$ है,और अवतल ओवर-ब्रिज की वक्रता त्रिज्या $r$ है।
अवतल ब्रिज के सबसे निचले बिंदु पर,वाहन वृत्तीय गति करता है।
वाहन पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. सड़क द्वारा लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $(N)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल वक्रता के केंद्र की ओर (ऊपर की ओर) निर्देशित होता है।
अतः,गति का समीकरण है: $N - mg = \frac{mv^2}{r}$।
अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ (जो सड़क पर लगने वाले बल को दर्शाता है) के लिए हल करने पर:
$N = mg + \frac{mv^2}{r}$।

(A) माना स्प्रिंग का अधिकतम विस्तार $x$ है।
चूंकि गोला विराम अवस्था से शुरू होता है और अधिकतम विस्तार पर क्षण भर के लिए रुक जाता है,इसलिए सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है।
गोले पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण,स्प्रिंग बल और अभिलंब बल हैं।
अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है क्योंकि यह विस्थापन के लंबवत है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = m g x \sin \theta$ है।
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य $W_s = -\frac{1}{2} k x^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल किए गए कार्य के बराबर होता है:
$0 - 0 = W_g + W_s$
$m g x \sin \theta - \frac{1}{2} k x^2 = 0$
$m g \sin \theta = \frac{1}{2} k x$
$x = \frac{2 m g \sin \theta}{k}$

(A) दिया गया है: पिंड का द्रव्यमान,$m = 0.15 \ kg$.
पिंड का वेग,$v = 15 \ ms^{-1}$.
स्प्रिंग नियतांक,$k = 1500 \ Nm^{-1}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम संपीड़न $x$ पर स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 0.15 \times (15)^2 = \frac{1}{2} \times 1500 \times x^2$
$0.15 \times 225 = 1500 \times x^2$
$33.75 = 1500 \times x^2$
$x^2 = \frac{33.75}{1500} = 0.0225$
$x = \sqrt{0.0225} = 0.15 \ m$.

(C) दिया गया है,$a, b, c$ और $d$ में प्रतिशत त्रुटि क्रमशः $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$ और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 5\%$ है।
राशि $P$ को $P = \frac{a^2 b^2}{c d}$ द्वारा दिया गया है।
$P$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \% = 2(2\%) + 2(1\%) + 3\% + 5\%$
$\frac{\Delta P}{P} \% = 4\% + 2\% + 3\% + 5\% = 14\%$
अतः,$P$ में प्रतिशत त्रुटि $14\%$ है।

(B) व्यवस्थित त्रुटियाँ (Systematic errors) वे त्रुटियाँ हैं जो एक ही दिशा में,या तो धनात्मक या ऋणात्मक होती हैं।
यंत्रगत त्रुटियाँ (Instrumental errors) मापन यंत्र की अपूर्ण डिज़ाइन या गलत अंशांकन (calibration) के कारण उत्पन्न होती हैं।
शून्य त्रुटि यंत्रगत त्रुटि का एक उत्कृष्ट उदाहरण है क्योंकि यह यंत्र के गलत अंशांकन या यांत्रिक दोष के कारण होती है,जिसके कारण इनपुट शून्य होने पर भी यंत्र शून्य के अलावा कोई मान दर्शाता है।
अतः,शून्य त्रुटि यंत्रगत त्रुटियों की श्रेणी में आती है।

(C) दिया गया है:
$R_1 = (200 \pm 2) \Omega$
$R_2 = (400 \pm 4) \Omega$
जब प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_s$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है:
$R_s = R_1 + R_2$
नाममात्र मानों के लिए:
$R_{nominal} = 200 \Omega + 400 \Omega = 600 \Omega$
श्रेणी संयोजन में निरपेक्ष त्रुटियों के लिए,त्रुटियों को जोड़ा जाता है:
$\Delta R_s = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$
अतः,तुल्य प्रतिरोध है:
$R_s = (600 \pm 6) \Omega$

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $A$ और $B$ के परिणामी $R$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
यहाँ,$R$ अधिकतम तब होता है जब $\cos \theta$ अधिकतम हो।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
सूत्र में $\theta = 0^{\circ}$ रखने पर:
$R_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1)} = \sqrt{(A+B)^2} = A + B$.
अतः,परिणामी सदिश तब अधिकतम होता है जब दो सदिशों के बीच का कोण $0^{\circ}$ हो।

(D) दिया गया है,$A=2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $B=4 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$।
मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच का कोण $\theta$ है।
अदिश गुणन (dot product) के सूत्र का उपयोग करते हुए,$A \cdot B = |A| |B| \cos \theta$,जहाँ $|A|$ और $|B|$ क्रमशः सदिशों $A$ और $B$ के परिमाण हैं।
सबसे पहले,परिमाणों की गणना करें:
$|A| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|B| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
अब,अदिश गुणन की गणना करें:
$A \cdot B = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
इन मानों को अदिश गुणन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = (6)(6) \cos \theta$.
$0 = 36 \cos \theta$.
$\cos \theta = 0$.
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(A) प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,फ्लास्क का वजन और उसके अंदर के पानी का वजन,फ्लास्क द्वारा विस्थापित पानी के वजन के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $V_{ext}$ फ्लास्क का बाहरी आयतन (विस्थापित पानी का आयतन) है।
फ्लास्क का द्रव्यमान $m_f = 390 \ g$ है।
अंदर के पानी का आयतन $V_w = 250 \ cm^3$ है।
अंदर के पानी का द्रव्यमान $m_w = \rho_w \times V_w = 1 \times 250 = 250 \ g$ है।
निकाय का कुल वजन = $(390 + 250) \ g = 640 \ g$ है।
चूंकि फ्लास्क तैर रहा है,उत्प्लावन बल कुल वजन के बराबर है,इसलिए विस्थापित पानी का द्रव्यमान $640 \ g$ है।
इस प्रकार,फ्लास्क का बाहरी आयतन $V_{ext} = 640 \ cm^3$ है।
कांच के पदार्थ का आयतन $V_{glass} = V_{ext} - V_{internal} = 640 - 500 = 140 \ cm^3$ है।
कांच का घनत्व $\rho_{glass} = \frac{m_f}{V_{glass}} = \frac{390}{140} \approx 2.785 \ g/cm^3$ है।
विशिष्ट गुरुत्व = $\frac{\rho_{glass}}{\rho_w} = \frac{2.785}{1} \approx 2.8$ है।

(B) माना लकड़ी के गुटके का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\sigma$ है। माना पानी का घनत्व $\rho$ है।
प्रारंभ में,गुटका पानी में $(4/5)V$ आयतन के साथ तैरता है। प्लवन के नियम के अनुसार,गुटके का भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$V \sigma g = (4/5)V \rho g$
$\sigma = (4/5) \rho$ ...$(i)$
जब तेल डाला जाता है,तो गुटका इस प्रकार डूबता है कि उसका आधा आयतन $(V/2)$ पानी में और आधा $(V/2)$ तेल में रहता है। माना तेल का घनत्व $\rho_o$ है।
कुल उत्प्लावन बल गुटके के भार के बराबर होता है:
$V \sigma g = (V/2) \rho g + (V/2) \rho_o g$
समीकरण $(i)$ से $\sigma = (4/5) \rho$ रखने पर:
$(4/5) V \rho = (1/2) V \rho + (1/2) V \rho_o$
$V$ से भाग देने और $2$ से गुणा करने पर:
$(8/5) \rho = \rho + \rho_o$
$\rho_o = (8/5 - 1) \rho = (3/5) \rho$
अतः,पानी के सापेक्ष तेल का घनत्व $3/5$ है।

(C) दिया गया है कि,वस्तु का $(1/3)$ भाग पानी की सतह के ऊपर है।
इसलिए,पानी के बाहर वस्तु का आयतन $V_o = (1/3)V$ है,जहाँ $V$ वस्तु का कुल आयतन है।
इसलिए,पानी के अंदर वस्तु का आयतन $V_i = V - V_o = V - (V/3) = (2V/3)$ है।
मान लीजिए वस्तु का घनत्व $\sigma$ है और पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार,वस्तु का भार उत्प्लावन बल $(F_B)$ द्वारा संतुलित होता है।
$W = F_B$
$Mg = V_i \rho g$
चूंकि द्रव्यमान $M = V \sigma$,हमारे पास है:
$V \sigma g = V_i \rho g$
$\sigma = (V_i / V) \rho$
मान रखने पर:
$\sigma = \frac{(2V/3)}{V} \times 10^3 = \frac{2}{3} \times 10^3 = \frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$.
अतः,ठोस का घनत्व $\frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$ है।

(A) माना $a$ छेद का क्षेत्रफल है,$v_e$ बहिःस्राव का वेग है,और $h$ छेद के ऊपर तरल की ऊँचाई है। माना $v$ वह गति है जिससे कंटेनर में स्तर कम हो रहा है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से,$a v_e = A v \Rightarrow v = \frac{a v_e}{A}$।
बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$p_0 + h \rho g + \frac{1}{2} \rho v^2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$h \rho g + \frac{1}{2} \rho \left(\frac{a v_e}{A}\right)^2 = \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$v_e^2 = \frac{2gh}{1 - (a/A)^2}$
यहाँ $h = 3 \,m - 0.525 \,m = 2.475 \,m$,$a/A = 0.1$,और $g = 10 \,ms^{-2}$ है:
$v_e^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2} = \frac{49.5}{1 - 0.01} = \frac{49.5}{0.99} = 50 \,m^2 \,s^{-2}$।

(A) एक आदर्श,स्थिर और असंपीड्य तरल प्रवाह के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,एक स्ट्रीमलाइन के साथ प्रति इकाई द्रव्यमान दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
क्षैतिज नली के लिए,ऊँचाई $h$ स्थिर है,इसलिए समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$
यहाँ,$P$ दबाव है,$\rho$ घनत्व है,और $v$ तरल का वेग है।
सांतत्य समीकरण $A_1 v_1 = A_2 v_2$ से,यह पता चलता है कि जहाँ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ सबसे छोटा होता है,वहाँ वेग $v$ सबसे अधिक होता है।
चूँकि $P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$,यदि वेग $v$ बढ़ता है,तो योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ को कम होना चाहिए।
इसलिए,दबाव वहाँ सबसे कम होता है जहाँ वेग सबसे अधिक होता है।

(C) हवाई जहाज के पंख का आकार इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि ऊपरी सतह उत्तल और निचली सतह अपेक्षाकृत सपाट या अवतल हो।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, घुमावदार ऊपरी सतह पर बहने वाली हवा पंख के नीचे बहने वाली हवा की तुलना में अधिक वेग से चलती है।
जैसे-जैसे वेग बढ़ता है, दबाव कम हो जाता है $(P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक})$.
इसलिए, ऊपर का दबाव नीचे के दबाव से कम होता है, जिससे ऊपर की ओर एक बल उत्पन्न होता है जिसे लिफ्ट कहा जाता है।
कथन $(A)$ सत्य है, लेकिन कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि ऊपर की हवा का वेग अधिक होता है, कम नहीं, और ऊपर का दबाव कम होता है, अधिक नहीं।

(C) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,$p + \frac{1}{2} \rho V^2 + \rho g h = \text{नियतांक}$.
यहाँ,$p$ प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा है,$\frac{1}{2} \rho V^2$ प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा है और $\rho g h$ प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा है।
धारा रेखीय प्रवाह में एक आदर्श तरल के लिए,इन ऊर्जाओं का योग स्थिर रहता है।
इसलिए,बर्नौली का प्रमेय ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(B) बर्नौली का प्रमेय एक तरल तत्व के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय से व्युत्पन्न होता है। यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर प्रवाह के लिए,तरल के प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक स्ट्रीमलाइन के साथ स्थिर रहता है। इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(B) पास्कल का नियम बताता है कि किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव का परिवर्तन तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।
हाइड्रोलिक लिफ्ट पास्कल के नियम का एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है। एक हाइड्रोलिक लिफ्ट में,एक छोटे क्षेत्रफल $A_1$ पर लगाया गया छोटा बल $F_1$ एक दबाव $p_1 = F_1 / A_1$ उत्पन्न करता है। यह दबाव तरल के माध्यम से एक बड़े क्षेत्रफल $A_2$ तक संचरित होता है,जहाँ यह एक बड़ा बल $F_2 = p_2 \times A_2$ लगाता है। चूंकि $p_1 = p_2$,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
इस प्रकार,हाइड्रोलिक लिफ्ट पास्कल के नियम के सिद्धांत पर कार्य करती है।

(A) पास्कल के नियम के अनुसार, किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से प्रसारित होता है।
दिया गया है:
छोटे पिस्टन का व्यास, $d_1 = 8 \text{ cm}$
बड़े पिस्टन का व्यास, $d_2 = 24 \text{ cm}$
वाहन का द्रव्यमान, $M = 1400 \text{ kg}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \text{ ms}^{-2}$
बड़े पिस्टन पर बल, $F_2 = M \times g = 1400 \times 10 = 14000 \text{ N}$
छोटे पिस्टन पर दबाव = बड़े पिस्टन पर दबाव
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
चूंकि $A = \frac{\pi d^2}{4}$, इसलिए:
$\frac{F_1}{d_1^2} = \frac{F_2}{d_2^2}$
$F_1 = F_2 \times \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{8}{24}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{14000}{9} \approx 1555.55 \text{ N}$
निकटतम विकल्प के अनुसार, $F \approx 1600 \text{ N}$.

(D) केशिका नली में पृष्ठ तनाव के कारण द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}$।
दिए गए मान हैं: द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h = 7.5 \ cm = 7.5 \times 10^{-2} \ m$,पृष्ठ तनाव $S = 7.5 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1}$,संपर्क कोण $\theta = 0^{\circ}$,पानी का घनत्व $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$ है।
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{2 S \cos \theta}{h \rho g}$।
मान रखने पर: $r = \frac{2 \times (7.5 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(7.5 \times 10^{-2}) \times 1000 \times 10}$।
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$,हमें प्राप्त होता है: $r = \frac{2 \times 7.5 \times 10^{-2}}{7.5 \times 10^{-2} \times 10^4} = \frac{2}{10^4} = 2 \times 10^{-4} \ m$।
मिलीमीटर में बदलने पर: $r = 2 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.2 \ mm$।

(D) समान अणुओं के बीच लगने वाले आकर्षण बल को ससंजक बल कहते हैं,और भिन्न अणुओं के बीच लगने वाले आकर्षण बल को आसंजक बल कहते हैं।
जब पानी तैलीय सतह के संपर्क में आता है,तो यह अधिक कोण (obtuse angle) बनाता है।
यह दर्शाता है कि पानी के अणुओं के बीच का ससंजक बल,पानी और तेल के अणुओं के बीच के आसंजक बल की तुलना में काफी अधिक है।
चूंकि ससंजक बल प्रभावी होता है,इसलिए पानी के अणु तैलीय सतह पर फैलने के बजाय एक-दूसरे के साथ चिपके रहना पसंद करते हैं,जिससे कांच गीला नहीं हो पाता है।
अतः,सही कारण यह है कि पानी का ससंजक बल,पानी और तेल के अणुओं के बीच के आसंजक बल से अधिक होता है।

(B) द्रव के अणुओं के बीच लगने वाले ससंजक बल (cohesive forces) पृष्ठ तनाव नामक घटना के लिए उत्तरदायी होते हैं।
चूंकि द्रव की सतह पर मौजूद अणुओं पर एक शुद्ध आंतरिक बल कार्य करता है,इसलिए वे न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए अपने सतह के क्षेत्रफल को कम करने की प्रवृत्ति रखते हैं।
द्रव की सतह की इस सिकुड़ने और न्यूनतम संभव क्षेत्रफल घेरने की प्रवृत्ति को ही पृष्ठ तनाव कहा जाता है।

(A) क्रांतिक ताप वह तापमान है जिस पर द्रव और गैस अवस्थाओं के बीच का अंतर समाप्त हो जाता है और द्रव का पृष्ठ तनाव शून्य हो जाता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
क्रांतिक ताप पर,द्रव और गैस अवस्थाओं का घनत्व समान हो जाता है,और द्रव के अणुओं के बीच के अंतर-आणविक बल प्रभावी रूप से समाप्त हो जाते हैं या गैस अवस्था के बलों से अलग नहीं किए जा सकते। ससंजक बल के इस अभाव के कारण पृष्ठ तनाव समाप्त हो जाता है। इसलिए,कारण $(R)$ सत्य है और यह कथन $(A)$ के लिए सही व्याख्या प्रदान करता है।

(D) माना कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
दी गई छोटी बूंदों की संख्या $n = 1000$ है।
चूंकि प्रक्रिया के दौरान आयतन समान रहता है,इसलिए:
$V_{\text{final}} = V_{\text{initial}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 1000 r^3 \Rightarrow R = 10r$ ...$(i)$
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा,$SE_i = n \times (T \times 4 \pi r^2)$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा,$SE_f = T \times 4 \pi R^2$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा और कुल प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{T \times 4 \pi R^2}{n \times T \times 4 \pi r^2} = \frac{R^2}{n r^2}$
$R = 10r$ और $n = 1000$ रखने पर:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$.
अतः,अनुपात $1: 10$ है।

(B) पृष्ठ तनाव तरल का एक गुण है जिसके कारण तरल की सतह न्यूनतम संभव सतह क्षेत्र प्राप्त करने की प्रवृत्ति रखती है।
जब शेविंग ब्रश को पानी से बाहर निकाला जाता है,तो बालों के बीच पानी की एक पतली परत बन जाती है।
पृष्ठ तनाव के कारण,यह पानी की परत अपने सतह क्षेत्र को कम करने की कोशिश करती है,जो बालों को एक साथ खींचती है,जिससे वे आपस में चिपक जाते हैं।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
जब गोले को अश्यान द्रव में डुबोया जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल कार्य करता है। हालाँकि,उत्प्लावन बल एक स्थिर बल है (गुरुत्वाकर्षण की तरह) और यह निकाय के प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k$ या जड़त्वीय द्रव्यमान $m$ को नहीं बदलता है।
चूंकि द्रव अश्यान है,इसलिए गोले पर कोई अवमंदन बल (ड्रैग) कार्य नहीं करता है।
इसलिए,प्रभावी द्रव्यमान और स्प्रिंग नियतांक अपरिवर्तित रहते हैं,और दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ ही रहता है।
अतः,आवर्तकाल अपरिवर्तित रहेगा।

(B) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
पाइप के माध्यम से प्रवाह के लिए,सामान्य रूप से स्वीकृत मानदंड इस प्रकार हैं:
$1$. यदि $R_e < 2000$ है,तो प्रवाह लैमिनर है।
$2$. यदि $2000 < R_e < 3000$ है,तो प्रवाह अस्थिर या संक्रमण अवस्था में है।
$3$. यदि $R_e > 3000$ है,तो प्रवाह अशांत (turbulent) है।
विकल्प $B$ बताता है कि $1000 < R_e < 2000$ के लिए प्रवाह स्थिर है। हालांकि इस सीमा में प्रवाह लैमिनर होता है,लेकिन 'स्थिर' (steady) शब्द का उपयोग द्रव यांत्रिकी में इस विशिष्ट सीमा को परिभाषित करने के लिए मानक शब्दावली नहीं है,और विकल्प $C$ भी $3000$ की मानक सीमा के आधार पर तकनीकी रूप से गलत है। हालांकि,कई सरल पाठ्यपुस्तकों में $R_e > 2000$ को अशांत प्रवाह के लिए सीमा के रूप में उद्धृत किया जाता है। विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ प्रवाह व्यवस्थाओं का सबसे गलत विवरण है।

(B) दिया गया है: नल का व्यास,$D = 1.25 \text{ cm} = 1.25 \times 10^{-2} \text{ m}$.
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$.
श्यानता गुणांक,$\eta = 10^{-3} \text{ Pa-s}$.
आयतन प्रवाह दर,$Q = 3 \text{ L/min} = \frac{3 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 5 \times 10^{-5} \text{ m}^3/\text{s}$.
वेग के लिए सूत्र $v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}$ है।
रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi D \eta}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-5}}{3.14159 \times 1.25 \times 10^{-2} \times 10^{-3}} \approx 5093$.
चूंकि $R_e > 3000$ है,इसलिए प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) है।

(A) दिया गया है:
तार की त्रिज्या,$r = 8 \,mm = 8 \times 10^{-3} \,m$
तार की लंबाई,$l = 100 \,cm = 1 \,m$
मरोड़ का कोण,$\phi = 45^{\circ}$
माना अपरूपण कोण $\theta$ है।
एक सिरे पर मरोड़े गए तार के लिए,अपरूपण कोण $\theta$,त्रिज्या $r$,लंबाई $l$ और मरोड़ के कोण $\phi$ (रेडियन में) के बीच का संबंध $r\phi = l\theta$ है।
$\phi$ को डिग्री में रखते हुए:
$\theta = \frac{r \phi}{l} = \frac{8 \times 10^{-3} \,m \times 45^{\circ}}{1 \,m} = 0.36^{\circ}$.

(D) दिया गया है, भार का बल, $F = 10 \,kg-wt = 10 \times 10 \,N = 100 \,N$.
तार में खिंचाव (विस्तार), $\Delta l = 1.5 \,mm = 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार} = \frac{1}{2} F \Delta l$.
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \,N \times 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
$U = 50 \times 1.5 \times 10^{-3} \,J$.
$U = 75 \times 10^{-3} \,J = 0.075 \,J$.

(A) अपने स्वयं के भार के कारण ऊर्ध्वाधर लटकी हुई $L$ लंबाई की डोरी में विस्तार $\Delta l$ को सूत्र $\Delta l = \frac{\rho g L^2}{2Y}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$\rho = 1.5 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,और $Y = 5 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ है।
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{1.5 \times 10 \times (0.12)^2}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta l = \frac{15 \times 0.0144}{10^9}$
$\Delta l = \frac{0.216}{10^9} = 2.16 \times 10^{-10} \ m$.

(A) दिया गया है: यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$,बल $F = 2 \times 10^{11} \ N$,क्षेत्रफल $A = 1 \ m^2$,प्रारंभिक लंबाई $= L$ है।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $2 \times 10^{11} = \frac{(2 \times 10^{11} / 1)}{\Delta L / L}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $1 = \frac{L}{\Delta L}$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $\Delta L = L$ है।
अतः,अंतिम लंबाई $L_f = L + \Delta L = L + L = 2L$ होगी।

(A) तार के लिए ब्रेकिंग तनाव बल $F = \sigma \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $F = (4.8 \times 10^7 \ N \ m^{-2}) \times (10^{-6} \ m^2) = 48 \ N$.
यह तनाव बल वस्तु को क्षैतिज वृत्त में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $F_C = m \omega^2 r = 48 \ N$.
यहाँ $m = 10 \ kg$ और $r = 0.3 \ m$ दिया गया है,इसलिए $10 \times \omega^2 \times 0.3 = 48$.
$3 \omega^2 = 48 \Rightarrow \omega^2 = 16$.
अतः,$\omega = 4 \ rad \ s^{-1}$।

(D) यंग मापांक $(Y)$ को समानुपातिक सीमा के भीतर प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जो प्रतिबल-विकृति ग्राफ के रैखिक भाग के ढाल (slope) के बराबर होता है।
दिए गए ग्राफ से,रैखिक भाग मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $(4 \times 10^{-4}, 8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2})$ तक फैला है।
इसलिए,ढाल है:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} - 0}{4 \times 10^{-4} - 0}$
$Y = \frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^{-4}} \text{ Nm}^{-2}$
$Y = 2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$

(B) जब एक सर्पिल स्प्रिंग पर भार लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग के तार में मरोड़ (twisting) उत्पन्न होता है।
यह मरोड़ प्रभाव तार के अनुप्रस्थ काट के आकार में परिवर्तन लाता है,बिना उसके आयतन को बदले।
इस प्रकार के विरूपण को अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,जब एक सर्पिल स्प्रिंग को खींचा जाता है,तो उसमें उत्पन्न होने वाली विकृति अपरूपण विकृति होती है।

(D) मान लीजिए छड़ की प्राकृतिक लंबाई $L_0$ है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है:
$\text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$
$\frac{T}{A} = Y \frac{L - L_0}{L_0}$
लंबाई में परिवर्तन के लिए समीकरण:
$L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$
मान लीजिए $k = \frac{L_0}{A Y}$,जो छड़ के लिए एक स्थिरांक है।
तब,$L = L_0 + k T$.
तनाव $T_1$ के लिए,$L_1 = L_0 + k T_1$ --- $(i)$
तनाव $T_2$ के लिए,$L_2 = L_0 + k T_2$ --- (ii)
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर:
$L_2 - L_1 = k(T_2 - T_1) \Rightarrow k = \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1}$
$k$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$L_0 = L_1 - k T_1 = L_1 - \left( \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1} \right) T_1$
$L_0 = \frac{L_1(T_2 - T_1) - T_1(L_2 - L_1)}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_1 T_1 - T_1 L_2 + L_1 T_1}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h\nu = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,$\nu_0$ देहली आवृत्ति है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और $v_{\text{max}}$ फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गति है।
$v_{\text{max}}$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = h(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}}^2 = \frac{2h}{m}(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2h}{m}} \sqrt{\nu - \nu_0}$
$\nu < \nu_0$ के लिए,$v_{\text{max}} = 0$ है। $\nu \ge \nu_0$ के लिए,$v_{\text{max}}$,$\nu$ के साथ बढ़ता है। यह संबंध $v_{\text{max}} \propto \sqrt{\nu - \nu_0}$ है। यह आवृत्ति अक्ष पर देहली आवृत्ति $\nu_0$ से शुरू होने वाला एक परवलयिक वक्र दर्शाता है,जहाँ जैसे-जैसे $\nu$ बढ़ता है,ढलान कम होती जाती है। अतः,विकल्प $C$ सही निरूपण है।

(B) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है: $K E_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W$,जहाँ $W$ कार्य फलन है और $\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है $\lambda = 1240 \mathring{A}$ और निरोधी विभव $V_0 = 8 \text{ V}$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{1240 \mathring{A}} = 10 \text{ eV}$ है।
चूँकि $K E_{\max} = eV_0 = 8 \text{ eV}$,इसलिए $8 \text{ eV} = 10 \text{ eV} - W$।
अतः,कार्य फलन $W = 10 \text{ eV} - 8 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के लिए,$W = \frac{hc}{\lambda_0}$।
$\lambda_0 = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{W} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{2 \text{ eV}} = 6200 \mathring{A}$।

(C) प्रकाश विकिरण का रंग उसकी आवृत्ति द्वारा निर्धारित होता है। जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है,लेकिन उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है।
चूंकि आवृत्ति नहीं बदलती है,इसलिए विकिरण का रंग अपरिवर्तित रहता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
हालाँकि,यह कथन कि माध्यम रंगों को अवशोषित या उत्सर्जित नहीं करते हैं,गलत है। विकिरण के विशिष्ट तरंगदैर्ध्य (रंगों) का अवशोषण या उत्सर्जन माध्यम की परमाणु या आणविक प्रकृति पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए,फिल्टर में चयनात्मक अवशोषण या उत्सर्जन स्पेक्ट्रा)। अतः,कारण $(R)$ असत्य है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंगें $(EMW)$ ऊर्जा और संवेग दोनों ले जाती हैं। जब ये तरंगें किसी सतह से टकराती हैं,तो वे सतह को संवेग स्थानांतरित करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप विकिरण दबाव उत्पन्न होता है।
पूर्णतः परावर्तक सतह के लिए,विकिरण दबाव $p = 2I/c$ होता है,जहाँ $I$ तीव्रता है और $c$ प्रकाश की गति है।
पूर्णतः अवशोषक सतह के लिए,विकिरण दबाव $p = I/c$ होता है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ कहता है कि वे दबाव डालती हैं क्योंकि वे ऊर्जा ले जाती हैं। हालांकि यह सच है कि $EMW$ ऊर्जा ले जाती हैं,लेकिन दबाव विशेष रूप से इसलिए डाला जाता है क्योंकि वे संवेग ले जाती हैं $(p = E/c)$। इसलिए,यह तथ्य कि वे ऊर्जा ले जाती हैं,विकिरण दबाव के अस्तित्व के लिए सीधी या पूर्ण व्याख्या नहीं है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अध्ययन में,प्रकाश ऊर्जा को छोटे पैकेटों के रूप में माना जाता है। ऊर्जा के इस प्रत्येक पैकेट को फोटॉन कहा जाता है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ फोटॉन की आवृत्ति है।
चूंकि ऊर्जा असतत मानों ($h\nu$ के गुणज) तक सीमित है,इसलिए प्रकाश-विद्युत प्रभाव का अध्ययन ऊर्जा के क्वांटीकरण को समझने में सहायक है।

(C) फोटोसेल एक ऐसा उपकरण है जो प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) के सिद्धांत पर कार्य करता है। इस प्रक्रिया में,जब उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश (फोटॉन) एक प्रकाश-संवेदी सतह पर पड़ता है,तो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। इलेक्ट्रॉनों का यह प्रवाह विद्युत धारा का निर्माण करता है। इसलिए,फोटोसेल प्रकाश ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करते हैं।

(C) दिया गया है, प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 4900 Å$.
निरोधी विभव (Stopping potential), $V_s = 2 \,V$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E \approx \frac{12400}{\lambda (Å)} eV$ सन्निकटन का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{12400}{4900} eV \approx 2.53 eV$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_s = 2 eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = E - \phi$, जहाँ $\phi$ कार्य-फलन है।
मान रखने पर: $2 eV = 2.53 eV - \phi$.
अतः, $\phi = 2.53 eV - 2 eV = 0.53 eV$.

(D) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 25$, त्रिज्या $r = 1.8 \times 10^{-2} \text{ m}$, प्रतिरोध $R = 5 \Omega$, चुंबकीय क्षेत्र $B(t) = (0.2t - 0.05t^2) \text{ T}$.
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (1.8 \times 10^{-2})^2 \approx 1.017 \times 10^{-3} \text{ m}^2$.
प्रेरित emf $\varepsilon = -N A \frac{dB}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(0.2t - 0.05t^2) = 0.2 - 0.1t$ की गणना करने पर।
अतः, $\varepsilon = -25 \times 1.017 \times 10^{-3} \times (0.2 - 0.1t) = -0.025425 \times (0.2 - 0.1t)$.
$t = 3 \text{ s}$ पर, $\varepsilon = -0.025425 \times (0.2 - 0.3) = -0.025425 \times (-0.1) = 0.0025425 \text{ V}$.
शक्ति क्षय $P = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{(0.0025425)^2}{5} \approx \frac{6.464 \times 10^{-6}}{5} \approx 1.29 \times 10^{-6} \text{ W} = 1.29 \mu\text{W}$.
यह मान $1.25 \mu\text{W}$ के सबसे निकट है।

(B) जब एक तांबे की छड़ को चुंबकीय क्षेत्र में गति कराया जाता है,तो एक विद्युत वाहक बल $(emf)$ प्रेरित होता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $(e)$ का मान $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
चूंकि छड़ का प्रतिरोध $(R)$ है,इसलिए प्रेरित धारा $(i)$ का मान $i = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ होगा।
हम जानते हैं कि धारा आवेश के प्रवाह की दर है,इसलिए $i = \frac{dQ}{dt}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{dQ}{dt} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,कुल आवेश $Q$ चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta\phi$ के समानुपाती होता है।
अतः,आवेश के प्रवाह की तात्कालिक दर चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन की दर,$\frac{d\phi}{dt}$ के समानुपाती होती है।

(C) धनात्मक आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,तार के सिरों पर प्रेरित emf विकसित होने के लिए,वेग सदिश $\vec{v}$ का घटक चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और तार की लंबाई दोनों के लंबवत होना चाहिए।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$N$ से $S$ की ओर निर्देशित है। तार ऊर्ध्वाधर दिशा में है। यदि तार $P$ या $Q$ (ऊर्ध्वाधर) दिशा में चलता है,तो वेग सदिश $\vec{v}$ तार के समानांतर होता है,इसलिए $\vec{v} \times \vec{B}$ तार के लंबवत होगा,जिससे इसके सिरों पर आवेश का पृथक्करण होगा।
हालाँकि,यदि तार $N$ या $S$ की ओर चलता है,तो वेग $\vec{v}$,$\vec{B}$ के समानांतर होता है,जिससे $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कोई प्रेरित emf उत्पन्न नहीं होता है।
चूंकि प्रश्न में प्रेरित emf के लिए गति की दिशा पूछी गई है,और $P$ तथा $Q$ ऊर्ध्वाधर दिशाओं को दर्शाते हैं,इसलिए $P$ या $Q$ दिशा में तार को ले जाने पर emf प्रेरित होगा। दिए गए विकल्पों में से,$P$ प्रेरित emf के लिए गति की एक वैध दिशा है।

(D) मान लीजिए कि दो प्रेरकों के प्रेरकत्व $L_1$ और $L_2$ हैं।
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रेरकत्व $L_p$ को $\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $L_p = 1.5 \ H$,इसलिए $\frac{1}{1.5} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2} \quad (1)$.
जब श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रेरकत्व $L_s$ का मान $L_s = L_1 + L_2$ होता है।
दिया गया है $L_s = 8 \ H$,इसलिए $L_1 + L_2 = 8 \quad (2)$.
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3} = \frac{8}{L_1 L_2} \Rightarrow L_1 L_2 = 12 \quad (3)$.
हमारे पास $L_1 + L_2 = 8$ और $L_1 L_2 = 12$ है। ये द्विघात समीकरण $x^2 - (L_1 + L_2)x + L_1 L_2 = 0$ के मूल हैं,जो $x^2 - 8x + 12 = 0$ है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x - 6)(x - 2) = 0$,इसलिए $L_1 = 6 \ H$ और $L_2 = 2 \ H$ प्राप्त होता है।
प्रेरकत्वों के बीच का अंतर $|L_1 - L_2| = |6 - 2| = 4 \ H$ है।

(C) दिया गया है, बैटरी का emf, $E = 6 \, V$.
प्रतिरोध, $R = 12 \, \Omega$.
प्रेरकत्व, $L = 2 \, H$.
बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े $LR$ परिपथ में तात्कालिक धारा $I = I_0(1 - e^{-(R/L)t})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I_0 = E/R$ स्थिर अवस्था में धारा है।
धारा के परिवर्तन की दर समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होती है:
$\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{E}{R} (1 - e^{-(R/L)t}) \right] = \frac{E}{R} \cdot \left( \frac{R}{L} \right) e^{-(R/L)t} = \frac{E}{L} e^{-(R/L)t}$.
प्रारंभिक क्षण पर, $t = 0$ पर, धारा के बढ़ने की दर:
$\left. \frac{dI}{dt} \right|_{t=0} = \frac{E}{L} e^0 = \frac{E}{L} = \frac{6 \, V}{2 \, H} = 3 \, A \, s^{-1}$.

(D) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
जब कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,तो क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 0^{\circ}$।
$\theta = 0^{\circ}$ पर,$\cos 0^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए फ्लक्स $\phi = BA$ अधिकतम होता है,न्यूनतम नहीं।
चूंकि कथन में कहा गया है कि तल लंबवत होने पर फ्लक्स न्यूनतम होता है,इसलिए कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ में फ्लक्स और प्रेरित emf के लिए सही सूत्र दिए गए हैं,इसलिए $(R)$ सत्य है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ सत्य है।

(D) फैराडे का नियम बताता है कि जब भी किसी परिपथ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स समय के साथ बदलता है,तो प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है।
$1$. परिपथ के पास चुंबक को गति कराने से चुंबकीय फ्लक्स बदलता है,जिससे $emf$ प्रेरित होता है।
$2$. चुंबक के पास परिपथ को गति कराने से भी चुंबकीय फ्लक्स बदलता है,जिससे $emf$ प्रेरित होता है।
$3$. दूसरे परिपथ के पास रखे एक परिपथ में धारा बदलने से चुंबकीय क्षेत्र बदलता है और इस प्रकार दूसरे परिपथ में चुंबकीय फ्लक्स बदलता है,जिससे $emf$ प्रेरित होता है।
$4$. परिपथ में बड़ी लेकिन स्थिर धारा बनाए रखने से एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है। चूंकि चुंबकीय फ्लक्स समय के साथ स्थिर रहता है,इसलिए कोई प्रेरित $emf$ उत्पन्न नहीं होता है।
अतः,सही उत्तर विकल्प $D$ है।

(D) चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B)$ को चुंबकीय क्षेत्र सदिश $(\vec{B})$ और क्षेत्रफल सदिश $(\vec{A})$ के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह दो सदिशों का अदिश गुणनफल है, इसलिए चुंबकीय फ्लक्स एक अदिश राशि है। अतः, कथन $(A)$ असत्य है।
चुंबकीय फ्लक्स का मान चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के बीच के कोण $\theta$ पर निर्भर करता है। चूंकि $\cos \theta$ धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है, इसलिए चुंबकीय फ्लक्स भी धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। अतः, कारण $(R)$ सत्य है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon$ का मान $\varepsilon = B l v \sin \theta$ होता है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v \sin \theta}{R}$ होती है,जहाँ $R$ परिपथ का प्रतिरोध है।
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $I \propto B$,यदि $l$,$v$,$\theta$ और $R$ स्थिर रहें।
यदि चुंबकीय क्षेत्र को दोगुना $(B^{\prime} = 2B)$ कर दिया जाए,तो नई प्रेरित धारा $I^{\prime} = \frac{(2B) l v \sin \theta}{R} = 2 \times \left( \frac{B l v \sin \theta}{R} \right) = 2I$ होगी।
अतः,प्रेरित धारा दोगुनी हो जाएगी।

(D) दिया गया है,लूपों की संख्या,$N = 500$।
वर्ग की भुजा,$a = 10 \ cm = 0.1 \ m$।
चुंबकीय क्षेत्र के बढ़ने की दर,$\frac{dB}{dt} = 1 \ T/s$।
चूंकि कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखा गया है,चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ होगा।
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित emf: $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt} = -N \frac{d}{dt}(BA)$।
क्षेत्रफल $A$ स्थिर है,इसलिए $\varepsilon = -NA \frac{dB}{dt} = -N a^2 \frac{dB}{dt}$।
मान रखने पर: $\varepsilon = -500 \times (0.1)^2 \times 1 = -5 \ V$।
प्रेरित emf का परिमाण $|\varepsilon| = 5 \ V$ है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित emf $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$N$ कुंडली में फेरों की संख्या को दर्शाता है।
जैसे-जैसे फेरों की संख्या $N$ बढ़ती है,प्रेरित emf का परिमाण बढ़ जाता है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र बनाती है जो चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले उस परिवर्तन का विरोध करता है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
जब एक चुंबक को कुंडली में ले जाया जाता है,तो प्रत्येक लूप में प्रेरित emf एक ऐसी धारा उत्पन्न करता है जो चुंबक की गति का विरोध करती है।
चूंकि अधिक फेरों के कारण कुल प्रेरित emf अधिक होता है,इसलिए विरोधी बल भी अधिक हो जाता है,जिससे चुंबक को ले जाना अधिक कठिन हो जाता है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) विद्युत जनरेटर एक ऐसा उपकरण है जो यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है।
जब कोई कुंडली एक चुंबकीय क्षेत्र में घूमती है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स लगातार बदलता रहता है।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियमों के अनुसार,चुंबकीय फ्लक्स में यह परिवर्तन कुंडली में एक विद्युत वाहक बल $(emf)$ प्रेरित करता है।
यह प्रेरित $emf$ परिपथ में प्रेरित धारा के प्रवाह के लिए जिम्मेदार होता है।
इसलिए,विद्युत जनरेटर का कार्य सिद्धांत फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियमों पर आधारित है।

(C) $AC$ जनरेटर में प्रेरित अधिकतम $EMF$ का सूत्र $\varepsilon_0 = N B A \omega$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या,$B$ चुंबकीय क्षेत्र,$A$ क्षेत्रफल और $\omega$ कोणीय गति है।
दिया गया है: $N = 100$,$A = 3 \ m^2$,$\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$,$B = 0.04 \ T$,और $R = 360 \ \Omega$.
अधिकतम $EMF$ की गणना: $\varepsilon_0 = 100 \times 0.04 \times 3 \times 60 = 720 \ V$.
अधिकतम शक्ति क्षय $P_{max} = \frac{\varepsilon_0^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $P_{max} = \frac{720^2}{360} = 1440 \ W$. दिए गए विकल्पों के आधार पर,यदि क्षेत्रफल $1.5 \ m^2$ माना जाए तो उत्तर $360 \ W$ आता है। अतः सही विकल्प $C$ है।

(D) फिसलने वाला तार $PQ$ एक गतिक विद्युत वाहक बल (emf) स्रोत के रूप में कार्य करता है जहाँ $\varepsilon = B l v$ है।
यह emf स्रोत तार $PQ$ के प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
यह संयोजन प्रत्येक $R$ प्रतिरोध वाले दो बाहरी प्रतिरोधों के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
सबसे पहले,समानांतर में जुड़े दो बाहरी प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें: $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$।
अब,सर्किट का कुल प्रतिरोध तार $PQ$ के प्रतिरोध और समानांतर समतुल्य प्रतिरोध का योग है: $R_{eq} = R + R_{p} = R + \frac{R}{2} = \frac{3 R}{2}$।
अंत में,तार $PQ$ से बहने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{B l v}{3 R / 2} = \frac{2 B l v}{3 R}$।

(A) दो समाक्षीय सोलेनोइड्स का अन्योन्य प्रेरण $M$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $M = \mu_0 n_1 n_2 A l$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या हैं,$A$ आंतरिक सोलेनोइड का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,और $l$ सोलेनोइड्स की लंबाई है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$
बाहरी सोलेनोइड के लिए प्रति इकाई लंबाई फेरे $n_1 = 15 \ \text{turns/cm} = 1500 \ \text{turns/m}$
आंतरिक सोलेनोइड के लिए प्रति इकाई लंबाई फेरे $n_2 = 40 \ \text{turns/cm} = 4000 \ \text{turns/m}$
आंतरिक सोलेनोइड का क्षेत्रफल $A = 2 \times 10^{-3} \ m^2$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$M = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1500 \times 4000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.6$
$M = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^6) \times (1.2 \times 10^{-3})$
$M \approx 9.04 \times 10^{-3} \ H = 9 \ mH$.

(D) दिया गया है,स्व-प्रेरकत्व $L = 50 mH = 50 \times 10^{-3} H$.
धारा में परिवर्तन $\Delta I = 1 A - 0 A = 1 A$.
समय अंतराल $\Delta t = 0.1 s$.
स्व-प्रेरित emf का सूत्र $\varepsilon = L \frac{|\Delta I|}{\Delta t}$ है।
मान रखने पर: $\varepsilon = (50 \times 10^{-3} H) \times \frac{1 A}{0.1 s}$.
$\varepsilon = 50 \times 10^{-3} \times 10 = 500 \times 10^{-3} = 0.5 V$.

(A) दिया गया है:
प्रेरक का स्व-प्रेरकत्व,$L = 40 \text{ mH} = 40 \times 10^{-3} \text{ H}$.
प्रारंभिक धारा,$I_1 = 2 \text{ A}$.
अंतिम धारा,$I_2 = 12 \text{ A}$.
समय अंतराल,$dt = 8 \text{ ms} = 8 \times 10^{-3} \text{ s}$.
प्रेरक में प्रेरित emf का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\varepsilon| = L \frac{di}{dt}$
मान रखने पर:
$|\varepsilon| = (40 \times 10^{-3} \text{ H}) \times \frac{(12 \text{ A} - 2 \text{ A})}{8 \times 10^{-3} \text{ s}}$
$|\varepsilon| = 40 \times 10^{-3} \times \frac{10}{8 \times 10^{-3}}$
$|\varepsilon| = 40 \times \frac{10}{8} = 5 \times 10 = 50 \text{ V}$.

(D) एक ट्रांसफार्मर में,प्राथमिक और द्वितीयक कुंडलियाँ एक सामान्य चुंबकीय कोर पर लिपटी होती हैं लेकिन वे एक-दूसरे से विद्युत रूप से पृथक (insulated) होती हैं।
चूंकि वे इंसुलेटिंग सामग्री द्वारा भौतिक रूप से अलग होती हैं,इसलिए दोनों कुंडलियों के बीच कोई सीधा विद्युत पथ नहीं होता है।
इसलिए,प्राथमिक और द्वितीयक कुंडलियों के बीच का विद्युत प्रतिरोध अनंत माना जाता है।

(B) दिया गया है:
$N_1 = 2000$,$L = 0.30 \ m$,$N_2 = 300$,$A = 1.2 \times 10^{-3} \ m^2$.
धारा में परिवर्तन की दर $\frac{di}{dt} = \frac{I_f - I_i}{\Delta t} = \frac{-2 - 2}{0.25} = -16 \ A/s$ है। इसका परिमाण $16 \ A/s$ है।
परिनालिका-कुंडली प्रणाली का अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 300 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.30} = 3.016 \times 10^{-3} \ H$.
प्रेरित emf $e = M \left| \frac{di}{dt} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$e = (3.016 \times 10^{-3}) \times 16 = 4.825 \times 10^{-2} \ V \approx 4.8 \times 10^{-2} \ V$.

(C) संशोधित एम्पीयर-मैक्सवेल नियम का व्यंजक है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (i_c + i_d)$.
यहाँ,$i_d$ विस्थापन धारा (displacement current) है,जिसे $i_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( i_c + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} \right)$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि समय के साथ परिवर्तित होने वाला विद्युत क्षेत्र $(\frac{d\phi_E}{dt})$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यही संशोधित एम्पीयर के नियम का सार है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग का कुल औसत ऊर्जा घनत्व $U_{avg} = \frac{B_0^2}{2 \mu_0}$ होता है।
यहाँ $B_0 = 400 \ \mu T = 400 \times 10^{-6} \ T$ और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A$ दिया गया है।
मान रखने पर: $U_{avg} = \frac{(400 \times 10^{-6})^2}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}} = \frac{16 \times 10^{-8}}{8 \pi \times 10^{-7}} = \frac{2 \times 10^{-1}}{\pi} \approx 0.06366 \ J \ m^{-3} = 63.66 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$.
एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,औसत ऊर्जा घनत्व विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच समान रूप से विभाजित होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र के अनुरूप औसत ऊर्जा घनत्व $U_E = \frac{U_{avg}}{2} = \frac{63.66 \times 10^{-3}}{2} = 31.83 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$ है।

(A) एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुम्बकीय क्षेत्र $\vec{B}$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं और तरंग के संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
तरंग के संचरण की दिशा $(\vec{E} \times \vec{B})$ के सदिश गुणनफल द्वारा दी जाती है।
चूंकि तरंग $Z$-अक्ष ($\hat{k}$ दिशा) के अनुदिश संचरित हो रही है,इसलिए $(\vec{E} \times \vec{B})$ की दिशा $\hat{k}$ होनी चाहिए।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$। यह संचरण की दिशा से मेल खाता है।
अतः,क्षेत्रों को $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ और $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।

(A) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र का दिया गया समीकरण $E = (3.1 \text{ NC}^{-1}) \cos [(1.8 \text{ rad m}^{-1}) y + (5.4 \times 10^6 \text{ rad s}^{-1}) t] \hat{i}$ है।
हम इसकी तुलना सामान्य तरंग समीकरण $E = E_0 \cos (ky + \omega t) \hat{i}$ से करते हैं।
तुलना करने पर,संचरण नियतांक $k = 1.8 \text{ rad m}^{-1}$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संचरण नियतांक $k$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
इसलिए,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \text{ m}$।
अतः,विद्युतचुंबकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य $3.49 \text{ m}$ है।

(B) मुक्त आकाश में $EM$ तरंग का औसत विद्युत ऊर्जा घनत्व $\mu_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,औसत चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $\mu_B = \frac{1}{2\mu_0} B_{rms}^2 = \frac{B_0^2}{4\mu_0}$ है।
संबंध $E_0 = cB_0$ और $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ का उपयोग करके,हम $\mu_B$ के व्यंजक में $B_0 = \frac{E_0}{c} = E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इससे $\mu_B = \frac{(E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0})^2}{4\mu_0} = \frac{E_0^2 \mu_0 \varepsilon_0}{4\mu_0} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_E = \mu_B$,इसलिए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों दोनों का ऊर्जा योगदान समान होता है।

(B) $X-$रे ट्यूब से उत्सर्जित $X-$किरणों की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य (जिसे कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य,$\lambda_{min}$ भी कहा जाता है) डुआने-हंट नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $V$ ट्यूब पर लगाया गया त्वरक विभवांतर (वोल्टेज) है।
चूंकि $h$,$c$,और $e$ नियतांक हैं,इसलिए $\lambda_{min}$ ट्यूब पर लगाए गए वोल्टेज $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य केवल ट्यूब पर लगाए गए वोल्टेज पर निर्भर करती है।

(A) आवेश संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,एक विलगित निकाय में कुल विद्युत आवेश स्थिर रहता है। जब $n$ समान आवेशित बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो निकाय का कुल आवेश व्यक्तिगत बूंदों के आवेशों का योग होता है। चूंकि परिवेश से कोई आवेश न तो खोया जाता है और न ही प्राप्त किया जाता है,इसलिए कुल आवेश संरक्षित रहता है। बूंद की त्रिज्या बढ़ने के कारण धारिता,विभव और स्थिर-वैद्युत ऊर्जा जैसी अन्य राशियाँ बदल जाती हैं।

(A) दिया गया है:
प्रत्येक गोले पर आवेश, $q = 6 \times 10^{-7} \,C$.
केंद्रों के बीच की दूरी, $r = 60 \,cm = 0.6 \,m$.
कूलम्ब के नियम के अनुसार, स्थिर-वैद्युत बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
चूंकि $q_1 = q_2 = q = 6 \times 10^{-7} \,C$ और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^{-7})}{(0.6)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 36 \times 10^{-14}}{0.36}$
$F = \frac{324 \times 10^{-5}}{0.36}$
$F = 900 \times 10^{-5} \,N = 9 \times 10^{-3} \,N$.

(A) दिया गया है,$Q_1 = +80 \mu C$,$Q_2 = +20 \mu C$। मान लीजिए $Q_1$ और $Q_2$ के बीच की दूरी $r$ है। आवेश $q$ को केंद्र पर रखा गया है,इसलिए $Q_1$ से $q$ की दूरी $r/2$ है और $q$ से $Q_2$ की दूरी $r/2$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए। आइए $Q_2$ आवेश के संतुलन पर विचार करें:
$F_{net, Q_2} = \frac{k Q_2 q}{(r/2)^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$\frac{4 k Q_2 q}{r^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$4 q + Q_1 = 0$
$4 q = -Q_1$
$q = -Q_1 / 4$
$Q_1 = +80 \mu C$ रखने पर:
$q = -80 \mu C / 4 = -20 \mu C$।

(A) दिया गया है: आवेश $q = 500 \times 10^{-6} \ C$,दूरी $2a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ (अतः $a = 0.05 \ m$),और दूरी $r = 25 \ cm = 0.25 \ m$.
द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$ है,जहाँ $p = q(2a)$.
मान रखने पर: $p = 500 \times 10^{-6} \times 0.1 = 5 \times 10^{-5} \ Cm$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times (5 \times 10^{-5}) \times 0.25}{((0.25)^2 - (0.05)^2)^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.0625 - 0.0025)^2}$.
$E = \frac{2.25 \times 10^5}{(0.06)^2} = \frac{2.25 \times 10^5}{0.0036} = 6.25 \times 10^7 \ NC^{-1}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$5.76 \times 10^7 \ NC^{-1}$ सबसे निकटतम मान है।

(A) मान लीजिए कि दो द्विध्रुव $A$ और $B$ बिंदुओं पर रखे गए हैं,जिनके द्विध्रुव आघूर्ण क्रमशः $p_1 = p$ और $p_2 = 27 p$ हैं और वे विपरीत दिशाओं में उन्मुख हैं।
मान लीजिए $P$ उनके बीच का शून्य बिंदु है जहाँ कुल विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य है।
मान लीजिए $A$ पर स्थित द्विध्रुव से बिंदु $P$ की दूरी $x$ है।
$B$ पर स्थित द्विध्रुव से बिंदु $P$ की दूरी $(24 - x) \,cm$ है।
एक छोटे विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र $E = \frac{2kp}{r^3}$ होता है।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों द्विध्रुवों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए: $E_1 = E_2$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2kp}{x^3} = \frac{2k(27p)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
दोनों पक्षों का घनमूल (cube root) लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$24 = 4x$
$x = 6 \,cm$।
अतः,$p$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव से $6 \,cm$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य होगा।

(D) असमान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं पर बदलती रहती है।
चूंकि द्विध्रुव के दो आवेश ($+q$ और $-q$) एक छोटी दूरी से अलग होते हैं,इसलिए वे अलग-अलग विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ($E_1$ और $E_2$) का अनुभव करते हैं।
चूंकि $F = qE$ होता है,इसलिए दोनों आवेशों पर लगने वाले बल समान और विपरीत नहीं होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट बल शून्य नहीं होता है।
हालाँकि,द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। यदि द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर या प्रति-समानांतर संरेखित है,तो टॉर्क शून्य हो सकता है।
इसलिए,नेट बल आमतौर पर शून्य नहीं होता है,और टॉर्क इसके अभिविन्यास के आधार पर शून्य हो सकता है।

(D) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
कथन $(i)$ सही है: विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। यदि $q$ ऋणात्मक है,तो बल $F$,$E$ की विपरीत दिशा में होता है।
कथन $(ii)$ सही है: विद्युत क्षेत्र रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा देती है।
कथन $(iii)$ सही है: विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं क्योंकि यदि वे ऐसा करती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।
कथन $(iv)$ गलत है: विद्युत क्षेत्र रेखाएं बंद लूप नहीं बनाती हैं क्योंकि वे धनात्मक आवेशों से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होती हैं।
चूंकि प्रश्न में गलत कथन पूछा गया है,इसलिए केवल $(iv)$ गलत है।

(D) आवेश $q_1 = 10 \mu C$ और $q_2 = -10 \mu C$ हैं। उनके बीच की दूरी $2a = 10 \ cm$ है,इसलिए $a = 5 \ cm = 0.05 \ m$ है।
बिंदु $P$ लंब समद्विभाजक पर मध्य बिंदु से $r = 12 \ cm = 0.12 \ m$ की दूरी पर है।
प्रत्येक आवेश से बिंदु $P$ तक की दूरी $d = \sqrt{r^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \ cm = 0.13 \ m$ है।
प्रत्येक आवेश के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{k|q|}{d^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.13)^2} = \frac{9 \times 10^4}{0.0169} \approx 5.325 \times 10^6 \ N \ C^{-1}$ है।
$AB$ रेखा के लंबवत विद्युत क्षेत्र के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $AB$ के समानांतर घटक जुड़ जाते हैं।
कुल विद्युत क्षेत्र $E_{\text{net}} = 2E \cos(\theta)$ है,जहाँ $\cos(\theta) = \frac{a}{d} = \frac{5}{13}$ है।
$E_{\text{net}} = 2 \times \left( \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.13)^2} \right) \times \frac{5}{13} = 2 \times \frac{9 \times 10^4}{0.0169} \times \frac{5}{13} \approx 4.1 \times 10^6 \ N \ C^{-1}$।

(B) एक बड़ी आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ होता है।
दिया गया है,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
इलेक्ट्रॉन के प्लेट से टकराने से ठीक पहले रुकने के लिए,प्लेट की सतह पर उसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0$ मानते हुए,$K_i = U_f = e \cdot V$,जहाँ $V$ विभवांतर $V = E \cdot d$ है।
अतः,$K_i = e \cdot \left( \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} \right) \cdot d$.
मान रखने पर: $100 \times 1.6 \times 10^{-19} = (1.6 \times 10^{-19}) \cdot \left( \frac{2 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} \right) \cdot d$.
$100 = \frac{10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} \cdot d$.
$100 = \frac{10^6}{8.85} \cdot d$.
$d = \frac{885}{10^6} \approx 0.44 \times 10^{-3} \ m = 0.44 \ mm$.

(C) गॉस का नियम बताता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $1/\epsilon_0$ गुना होता है।
जबकि कूलम्ब का नियम बिंदु आवेशों के विद्युत क्षेत्र को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है,यह निरंतर आवेश वितरण के लिए गणितीय रूप से जटिल हो जाता है।
गॉस का नियम विशेष रूप से उन मामलों में विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए बहुत शक्तिशाली है जहाँ आवेश वितरण में उच्च स्तर की समरूपता (जैसे गोलाकार,बेलनाकार या समतलीय समरूपता) होती है।
एक उपयुक्त गॉसियन सतह चुनकर,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q_{enc} / \epsilon_0$ संबंध का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र को आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

(A) स्थिरवैद्युतिकी के गौस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है: $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$।
गौसियन सतह $A$ द्वारा घिरा कुल आवेश $q$ व्यक्तिगत आवेशों का योग है:
$q = q_1 + q_2 + q_3$
$q = (-14 + 78.85 - 56) \text{ nC} = 8.85 \text{ nC} = 8.85 \times 10^{-9} \text{ C}$।
मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$ है।
इन मानों को विद्युत फ्लक्स के सूत्र में रखने पर:
$\phi = \frac{8.85 \times 10^{-9} \text{ C}}{8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}}$
$\phi = 10^3 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$।

(B) दिया गया है: प्लेट की त्रिज्या, $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
एकसमान विद्युत क्षेत्र, $E = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \,NC^{-1}$.
प्लेट और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $60^{\circ}$ है。
प्लेट के अभिलंब और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है。
वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
विद्युत फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = EA \cos \theta$ है。
मान रखने पर:
$\phi = (2 \sqrt{3} \times 10^5) \times (0.01 \pi) \times \cos 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, इसलिए:
$\phi = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \times 0.01 \pi \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\phi = 3 \times 10^3 \times \pi = 3 \times 3.14159 \times 10^3 = 9.42477 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.
अतः, $\phi \approx 9.42 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.

(D) चूंकि आंतरिक गोला भू-संपर्कित है,इसलिए बाहरी गोले और आंतरिक गोले पर मौजूद आवेशों के कारण इसका विभव शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $r_1$ आंतरिक गोले की त्रिज्या है और $r_2$ बाहरी गोले की त्रिज्या है।
आंतरिक गोले की सतह पर विभव $V$,उसके स्वयं के आवेश $q'$ और बाहरी गोले पर मौजूद आवेश $q$ के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$V = \frac{k q'}{r_1} + \frac{k q}{r_2} = 0$
जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{k q'}{r_1} = -\frac{k q}{r_2}$
$q' = -\frac{r_1}{r_2} q$

(A) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और इसकी भुजा $a = 0.2 \ m$ है,इसलिए कोनों $A$ और $B$ से कोने $C$ की दूरी $r = 0.2 \ m$ है।
कोने $C$ पर कुल विभव $A$ और $B$ पर स्थित आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V_C = V_A + V_B$.
$V_C = \frac{k q_A}{r} + \frac{k q_B}{r} = \frac{k}{r} (q_A + q_B)$.
मान रखने पर: $V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (16 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = 9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-6} \ V$.
$V_C = 720 \times 10^3 \ V = 7.2 \times 10^5 \ V$.

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव प्रवणता से $\vec{E} = -\nabla V$ संबंध द्वारा संबंधित है।
विभव प्रवणता का परिमाण विद्युत क्षेत्र की दिशा में अधिकतम होता है।
परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ विद्युत विभव $V$ हर बिंदु पर स्थिर रहता है।
समविभव पृष्ठ के अनुदिश किसी भी विस्थापन $d\vec{r}$ के लिए,विभव में परिवर्तन $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = 0$ होता है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ को हर बिंदु पर पृष्ठ के लंबवत होना चाहिए।
चूंकि अधिकतम विभव प्रवणता विद्युत क्षेत्र की दिशा में होती है,इसलिए अधिकतम विभव प्रवणता और समविभव पृष्ठ के बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।

(C) किसी आवेश $q$ को अनंत से आवेश $Q$ से $r$ दूरी तक लाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$।
चूंकि प्रारंभिक दूरी $r_i = \infty$ है,इसलिए प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{kQq}{r_f}$ है।
दिया गया है:
$q = 6 \times 10^{-6} \ C$
$Q = 30 \times 10^{-6} \ C$
$r_f = 0.75 \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$
मान रखने पर:
$W = \frac{(9 \times 10^9) \times (30 \times 10^{-6}) \times (6 \times 10^{-6})}{0.75}$
$W = \frac{9 \times 30 \times 6 \times 10^{-3}}{0.75}$
$W = \frac{1620 \times 10^{-3}}{0.75} = \frac{1.62}{0.75} = 2.16 \ J$.

(A) दिया गया है,विद्युत क्षेत्र $E = 500 \ Vm^{-1}$ जो धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर है।
विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E} = E(\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 500 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}\right) = (250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \ Vm^{-1}$ है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(-3, 0) \ m$ और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, 5) \ m$ हैं।
$A$ से $B$ तक का विस्थापन सदिश $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0 - (-3)) \hat{i} + (5 - 0) \hat{j} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m$ है।
विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\vec{E} \cdot \vec{r}_{AB}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \times 3 + 250 \times 5)$
$V_B - V_A = -250(3\sqrt{3} + 5) \ V$.

(A) दिया गया है कि बिंदु आवेश $a = 2.8 \,m$ भुजा वाले वर्ग के शीर्षों पर रखे गए हैं। मान लीजिए कि $r$ केंद्र $O$ से प्रत्येक कोने की दूरी है।
वर्ग का विकर्ण $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ है。
केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r$,विकर्ण की आधी है:
$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2.8}{\sqrt{2}} \,m$.
बिंदु आवेश $q$ के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{Kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है。
सभी चार आवेशों $q_1, q_2, q_3$ और $q_4$ के कारण केंद्र $O$ पर कुल विद्युत विभव $V_0$ है:
$V_0 = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{K}{r}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
दिए गए आवेश: $q_1 = +20 \,nC$,$q_2 = +40 \,nC$,$q_3 = -34 \,nC$,$q_4 = +16 \,nC$.
आवेशों का योग: $\sum q = (20 + 40 - 34 + 16) \,nC = 42 \,nC = 42 \times 10^{-9} \,C$.
मान रखने पर:
$V_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-9}}{2.8 / \sqrt{2}} = \frac{9 \times 42 \times \sqrt{2}}{2.8} = \frac{378 \times 1.414}{2.8} = 135 \times 1.414 = 190.89 \,V$.