AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) वायु में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$P$ दाब है और $\rho$ वायु का घनत्व है।
चूँकि समान तापमान और दाब पर जल वाष्प का घनत्व शुष्क वायु के घनत्व से कम होता है,इसलिए नमी (आर्द्रता) की उपस्थिति वायु के प्रभावी घनत्व $\rho$ को कम कर देती है।
चूँकि ध्वनि की चाल $v$ घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$,इसलिए घनत्व में कमी होने से ध्वनि की चाल में वृद्धि होती है।
अतः,वायु में आर्द्रता बढ़ने के साथ ध्वनि की चाल बढ़ती है।

(B) हवा में ध्वनि की गति परम तापमान ($T$ केल्विन में) के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,$v \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ पर वेग $v_1$ है।
मान लीजिए $T_2$ तापमान पर वेग $v_2$ है।
दिया गया है कि वेग में $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $v_2 = v_1 + 0.10v_1 = 1.1v_1 = \frac{11}{10}v_1$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{v_1}{1.1v_1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$।
$\frac{1}{1.1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}} \Rightarrow \frac{1}{1.21} = \frac{273}{T_2}$।
$T_2 = 273 \times 1.21 = 330.33 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 330.33 - 273 = 57.33^{\circ}C \approx 57^{\circ}C$।

(A) कंपन करती डोरी की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि डोरी समान है,इसलिए सभी खंडों के लिए तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर रहते हैं।
अतः,मूल आवृत्ति खंड की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $f \propto \frac{1}{l}$ या $l \propto \frac{1}{f}$।
दिया गया है कि मूल आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 = 1 : 2 : 3$ है।
खंडों की लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{f_1} : \frac{1}{f_2} : \frac{1}{f_3}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य $(6)$ से गुणा करें: $l_1 : l_2 : l_3 = (1 \times 6) : (\frac{1}{2} \times 6) : (\frac{1}{3} \times 6) = 6 : 3 : 2$।

(D) मान लीजिए पृथ्वी $\omega$ कोणीय वेग से घूम रही है। ट्रेन पृथ्वी की सतह के सापेक्ष $v$ गति से चलती है।
पृथ्वी के घूर्णन की दिशा (पश्चिम से पूर्व) में चलने वाली ट्रेन के लिए,कुल कोणीय वेग $\omega' = \omega + v/R$ है। आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_1 = m(\omega + v/R)^2 R$ है।
पृथ्वी के घूर्णन की विपरीत दिशा (पूर्व से पश्चिम) में चलने वाली ट्रेन के लिए,कुल कोणीय वेग $\omega'' = \omega - v/R$ है। आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_2 = m(\omega - v/R)^2 R$ है।
चूंकि $F_1 \neq F_2$,इसलिए सामान्य प्रतिक्रिया बल $N_1 = mg - F_1$ और $N_2 = mg - F_2$ समान नहीं हैं। अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
अभिकेंद्र त्वरण पृथ्वी के सापेक्ष गति $v$ पर नहीं,बल्कि जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष कुल कोणीय वेग पर निर्भर करता है। इसलिए,कारण $(R)$ भी असत्य है।

(C) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ को सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ पिंड की चाल है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा और चाल के बीच का संबंध $K.E. \propto v^2$ है।
यह समीकरण $y = kx^2$ के रूप में है,जो एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
अतः,$x$-अक्ष पर चाल $(v)$ और $y$-अक्ष पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ के बीच खींचा गया ग्राफ एक परवलय होता है।

(A) चेन के लटकते हुए भाग को मेज पर खींचने में किया गया कार्य उस भाग की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होता है।
माना लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{6}$ है और इसकी लंबाई $l' = \frac{l}{6}$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l'}{2} = \frac{l/6}{2} = \frac{l}{12}$ की दूरी नीचे स्थित है।
किया गया कार्य $W$ इस द्रव्यमान केंद्र को मेज के स्तर तक उठाने के लिए आवश्यक स्थितिज ऊर्जा के बराबर है:
$W = m' g h$
$W = \left(\frac{m}{6}\right) g \left(\frac{l}{12}\right)$
$W = \frac{m g l}{72}$

(D) मान लीजिए कि गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है। एक तख्ते से गुजरने के बाद,वेग $v = u - \frac{u}{25} = \frac{24u}{25}$ हो जाता है।
गतिकीय समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s$ एक तख्ते की मोटाई है और $a$ स्थिर मंदन है:
$\left(\frac{24u}{25}\right)^2 - u^2 = 2as$
$\frac{576u^2}{625} - u^2 = 2as$
$2as = -\frac{49u^2}{625}$.
यदि गोली को रोकने के लिए $n$ तख्तों की आवश्यकता है,तो कुल दूरी $ns$ तय करने के बाद अंतिम वेग $0$ हो जाता है:
$0^2 - u^2 = 2a(ns)$
$-u^2 = n(2as)$
$-u^2 = n \left(-\frac{49u^2}{625}\right)$
$n = \frac{625}{49} \approx 12.75$.
चूंकि तख्तों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए गोली को रोकने के लिए कम से कम $13$ तख्तों की आवश्यकता होगी।

(C) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
चूंकि दोनों पिंड समान रैखिक वेग $(v_1 = v_2 = v)$ से गति कर रहे हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक है $(K.E. \propto m)$।
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात उनके द्रव्यमानों के अनुपात के बराबर होगा:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{m_1}{m_2}$.
दिया गया है कि $\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{4}{1}$,इसलिए $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{1}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $4: 1$ है।

(A) माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है। बिंदु $A$ पर,अभिलंब बल $N$ वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। चूँकि भार $mg$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब बल केंद्र $O$ की ओर क्षैतिज रूप से कार्य करता है,इसलिए $A$ पर पिंड पर लगने वाला कुल बल $N$ और $mg$ का सदिश योग है।
कुल बल का परिमाण $F_A = \sqrt{N^2 + (mg)^2}$ है।
दिया गया है $F_A = \sqrt{2} mg$,इसलिए $\sqrt{N^2 + (mg)^2} = \sqrt{2} mg$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$N^2 + m^2g^2 = 2m^2g^2$,जिससे $N^2 = m^2g^2$ प्राप्त होता है,अतः $N = mg$ है।
$A$ पर अभिकेंद्र बल का समीकरण $N = \frac{mv_A^2}{R}$ है,इसलिए $mg = \frac{mv_A^2}{R}$,जिसका अर्थ है $v_A^2 = Rg$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक बिंदु $P$ ($H$ ऊँचाई) पर कुल ऊर्जा बिंदु $A$ ($R$ ऊँचाई) पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgH = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgR$ है।
$v_A^2 = Rg$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mgH = \frac{1}{2}m(Rg) + mgR = \frac{3}{2}mgR$ है।
अतः,$H = \frac{3}{2}R$ है।

(B) दिया गया है,वस्तु का द्रव्यमान $= M$.
रेत के फर्श से ऊँचाई $= h$.
रेत में तय की गई दूरी $= x$.
मान लीजिए कि वस्तु $v$ वेग से सतह से टकराती है।
गति के समीकरण के अनुसार,$v^2 = u^2 + 2gh$. चूँकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $v^2 = 2gh$ ... $(i)$.
जब वस्तु रेत से होकर गुजरती है,तो $x$ दूरी तय करने के बाद वह स्थिर हो जाती है। मान लीजिए कि $F$ औसत प्रतिरोध बल है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
रेत के अंदर वस्तु पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($Mg$ नीचे की ओर) और प्रतिरोध ($F$ ऊपर की ओर) हैं।
कुल बल $= Mg - F$.
किया गया कार्य $= (Mg - F)x$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $= K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}Mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}Mv^2$.
$v^2 = 2gh$ का मान रखने पर: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}M(2gh) = -Mgh$.
$Mgx - Fx = -Mgh$.
$Fx = Mgx + Mgh$.
$F = Mg\left(\frac{x+h}{x}\right)$.

(C) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2} m v^2$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ चाल है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ है और प्रारंभिक चाल $v$ है। तब प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2} m v^2$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,द्रव्यमान को दोगुना $(m' = 2m)$ और चाल को दोगुना $(v' = 2v)$ कर दिया जाता है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f$ इस प्रकार होगी:
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (2v)^2$
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (4v^2)$
$KE_f = 8 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$KE_f = 8 KE_i$
अतः,गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की आठ गुनी हो जाती है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,घर्षण जैसे गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
बिंदु $A$ पर,कण विरामावस्था में है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $0$ है और इसकी स्थितिज ऊर्जा $mgy$ है (संदर्भ स्तर $BC$ को लेते हुए)।
बिंदु $C$ पर,कण $0$ ऊँचाई पर है,इसलिए इसकी स्थितिज ऊर्जा $0$ है और इसकी गतिज ऊर्जा $KE_C$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
$PE_A + KE_A = PE_C + KE_C$
$mgy + 0 = 0 + KE_C$
अतः,बिंदु $C$ पर गतिज ऊर्जा $KE_C = mgy$ है।

(D) दिया गया है,शक्ति $P = \frac{1}{4} \ hp = \frac{746}{4} = 186.5 \ W$।
प्रभावी शक्ति $P^{\prime} = 186.5 \times \frac{60}{100} = 111.9 \ W$।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi \times 600}{60} = 20 \pi \ rad/s$।
एक घूर्णन में लगा समय $t = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = 0.1 \ s$।
एक घूर्णन में किया गया कार्य $W = P^{\prime} \times t = 111.9 \times 0.1 = 11.19 \ J$।

(A) शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
ऊँचाई,$h = 25 \ m$
पानी का द्रव्यमान,$m = 3 \times 10^3 \ kg$
समय,$t = 1 \ minute = 60 \ s$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \ m/s^2$
टर्बाइन के लिए शक्ति,$P = \frac{mgh}{t}$
मान रखने पर:
$P = \frac{3 \times 10^3 \times 9.8 \times 25}{60}$
$P = 50 \times 9.8 \times 25$
$P = 12250 \ W$.

(A) शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
दिया गया है:
शक्ति,$P = 20 kW = 20,000 W$
द्रव्यमान,$m = 200 kg$
ऊँचाई,$h = 40 m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 m s^{-2}$
समय $t$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$t = \frac{mgh}{P}$
मान रखने पर:
$t = \frac{200 \times 10 \times 40}{20,000}$
$t = \frac{80,000}{20,000}$
$t = 4 s$

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = \frac{t^2}{4}$.
पिंड का वेग: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \ m/s$.
पिंड का त्वरण: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \ m/s^2$.
पिंड पर कार्य करने वाला बल: $F = m \times a = 8 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 4 \ N$.
$t = 0 \ s$ पर,विस्थापन $s(0) = 0 \ m$.
$t = 4 \ s$ पर,विस्थापन $s(4) = \frac{4^2}{4} = 4 \ m$.
बल द्वारा किया गया कार्य: $W = F \times \Delta s = 4 \ N \times (4 \ m - 0 \ m) = 16 \ J$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$
दिया गया है $F(x) = 17 - 2x + 6x^2$,$x_i = 0 \text{ m}$,और $x_f = 8 \text{ m}$।
$W = \int_{0}^{8} (17 - 2x + 6x^2) \, dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$W = [17x - x^2 + 2x^3]_{0}^{8}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = [17(8) - (8)^2 + 2(8)^3] - [0]$
$W = [136 - 64 + 2(512)]$
$W = [72 + 1024]$
$W = 1096 \text{ J}$