AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
मान लीजिए कि प्रत्येक परत की मोटाई $l$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
मान लीजिए कि परत $A$ और $B$ की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $K_A$ और $K_B$ है।
दिया गया है: $K_A = 2K_B$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $H$ दोनों परतों के लिए स्थिर है:
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{l} = \frac{K_B A \Delta T_B}{l}$
जहाँ $\Delta T_A$ और $\Delta T_B$ क्रमशः परत $A$ और $B$ के आर-पार तापमान का अंतर हैं।
दोनों पक्षों से $A$ और $l$ को हटाने पर:
$K_A \Delta T_A = K_B \Delta T_B$
$K_A = 2K_B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2K_B \Delta T_A = K_B \Delta T_B \Rightarrow \Delta T_B = 2 \Delta T_A$
दीवार के आर-पार कुल तापमान का अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 24^{\circ} C$ है।
समीकरण में $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ रखने पर:
$\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 24^{\circ} C$
$3 \Delta T_A = 24^{\circ} C \Rightarrow \Delta T_A = 8^{\circ} C$.
अतः,परत $B$ के आर-पार तापमान का अंतर है:
$\Delta T_B = 2 \times 8^{\circ} C = 16^{\circ} C$.

(A) स्थायी अवस्था में,छड़ के विभिन्न भागों का तापमान स्थिर रहता है और समय पर निर्भर नहीं करता है। तापमान प्रवणता (temperature gradient),जो तापमान के अंतर और दो बिंदुओं के बीच की दूरी का अनुपात है,पूरी छड़ में स्थिर रहती है।
मान लीजिए कि $A$ सिरे से $9 \ cm$ दूर स्थित बिंदु $C$ पर तापमान $T_C$ है।
तापमान प्रवणता का सूत्र:
$\frac{T_A - T_C}{x_C - x_A} = \frac{T_A - T_B}{L}$
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{100 - T_C}{9} = \frac{100 - 0}{20}$
$\frac{100 - T_C}{9} = \frac{100}{20}$
$100 - T_C = 5 \times 9$
$100 - T_C = 45$
$T_C = 100 - 45 = 55^{\circ} C$
अतः,उस बिंदु का तापमान $55^{\circ} C$ है।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु के औसत तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -K(T_{av} - T_0)$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\Delta T_1 = 52.5^{\circ} C - 47.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_1 = 5 \ min$,$T_{av1} = \frac{52.5 + 47.5}{2} = 50^{\circ} C$. अतः,$\frac{5}{5} = K(50 - T_0) \Rightarrow 1 = K(50 - T_0) \dots (i)$.
दूसरे अंतराल के लिए: $\Delta T_2 = 47.5^{\circ} C - 42.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_2 = 7.5 \ min$,$T_{av2} = \frac{47.5 + 42.5}{2} = 45^{\circ} C$. अतः,$\frac{5}{7.5} = K(45 - T_0) \Rightarrow \frac{2}{3} = K(45 - T_0) \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2/3} = \frac{K(50 - T_0)}{K(45 - T_0)} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{50 - T_0}{45 - T_0}$.
वज्र गुणन करने पर: $3(45 - T_0) = 2(50 - T_0) \Rightarrow 135 - 3T_0 = 100 - 2T_0$.
$T_0$ के लिए हल करने पर: $T_0 = 135 - 100 = 35^{\circ} C$.

(C) न्यूटन का शीतलन नियम एक अनुभवजन्य नियम है जो बताता है कि किसी वस्तु के ऊष्मा खोने की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है।
यह नियम स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम से इस अनुमान के तहत प्राप्त किया गया है कि तापमान का अंतर $\Delta T = T - T_s$ परिवेश के पूर्ण तापमान $T_s$ की तुलना में छोटा है।
इसलिए,न्यूटन का शीतलन नियम केवल तभी मान्य होता है जब वस्तु और परिवेश के बीच तापमान का अंतर छोटा हो।

(A) पिस्टन को सिलेंडर में बिल्कुल फिट होने के लिए,पिस्टन और सिलेंडर के बीच थर्मल विस्तार का अंतर व्यास के साथ कुल क्लीयरेंस की भरपाई करना चाहिए।
दिया गया है कि क्लीयरेंस चारों ओर $0.08 \ mm$ है,इसलिए व्यास पर कुल क्लीयरेंस $\delta = 2 \times 0.08 \ mm = 0.16 \ mm$ है।
रैखिक विस्तार का सूत्र $\Delta L = \alpha L \Delta T$ है।
पिस्टन और सिलेंडर के बीच विस्तार का अंतर $\delta = (\alpha_p - \alpha_c) L \Delta T$ है।
यहाँ,$L = 15 \ cm = 150 \ mm$,$\alpha_p = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,और $\alpha_c = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ है।
मान रखने पर: $0.16 \ mm = (1.6 \times 10^{-5} - 1.2 \times 10^{-5}) \times 150 \ mm \times \Delta T$.
$0.16 = (0.4 \times 10^{-5}) \times 150 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.16}{60 \times 10^{-5}} = 266.67^{\circ} C \approx 268^{\circ} C$ (दिए गए विकल्पों का उपयोग करते हुए)।
अंतिम तापमान $T = T_0 + \Delta T = 30^{\circ} C + 268^{\circ} C = 298^{\circ} C$।

(D) पहली छड़ के लिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_1 = \alpha \Delta T L$ है।
दूसरी छड़ के लिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_2 = (2\alpha) \Delta T (2L) = 4\alpha \Delta T L$ है।
चूंकि छड़ें सिरे से सिरे तक जुड़ी हुई हैं,इसलिए लंबाई में कुल परिवर्तन $\Delta L_{net} = \Delta L_1 + \Delta L_2 = \alpha \Delta T L + 4\alpha \Delta T L = 5\alpha \Delta T L$ है।
संयुक्त छड़ की कुल लंबाई $L_{total} = L + 2L = 3L$ है।
संयुक्त छड़ के लिए,$\Delta L_{net} = \alpha_{eff} \Delta T L_{total}$ होता है।
मान रखने पर,$5\alpha \Delta T L = \alpha_{eff} \Delta T (3L)$ प्राप्त होता है।
$\alpha_{eff}$ के लिए हल करने पर,$\alpha_{eff} = \frac{5\alpha}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है। तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के कारण आवर्तकाल में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta T$ होता है। अतः, $(a) - (iv)$.
$(b)$ स्केल के ऊष्मीय प्रसार के कारण वास्तविक लंबाई और स्केल रीडिंग का अनुपात $(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $(b) - (iii)$.
$(c)$ स्थिर दाब पर आदर्श गैस के लिए, आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = \frac{1}{T}$ होता है। इसलिए, इसका व्युत्क्रम $T$ है। अतः, $(c) - (ii)$.
$(d)$ हुक के नियम के अनुसार, $\frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L}$, इसलिए $\frac{F}{YA} = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$। अतः, $(d) - (i)$.
इस प्रकार, सही मिलान $(a-iv), (b-iii), (c-ii), (d-i)$ है।

(B) गर्म करने पर विस्तार वह प्रक्रिया है जिसमें तापमान में परिवर्तन के कारण पदार्थ के आयतन में परिवर्तन होता है।
जब किसी पदार्थ को गर्म किया जाता है,तो उसके कण गतिज ऊर्जा प्राप्त करते हैं और एक-दूसरे से दूर हो जाते हैं,जिससे आयतन में वृद्धि होती है।
चूंकि घनत्व को $\rho = \frac{m}{V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $V$ आयतन है,इसलिए स्थिर द्रव्यमान $m$ के लिए आयतन $V$ में वृद्धि होने से घनत्व $\rho$ में कमी आती है।
अतः,गर्म करने पर विस्तार पदार्थ के घनत्व को कम कर देता है।

(C) आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.12 \% = \frac{0.12}{100} = 1.2 \times 10^{-3}$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 20^{\circ} C$ दिया गया है।
आयतन प्रसार का सूत्र $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
मान रखने पर: $1.2 \times 10^{-3} = \gamma \times 20$.
$\gamma = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{20} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
अतः,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.

(A) बाहर बहने वाले द्रव का आयतन,द्रव के प्रसार और कांच के पात्र के प्रसार के अंतर के बराबर होता है।
द्रव के आयतन में वृद्धि,$\Delta V_L = V_0 \gamma_L \Delta T$.
कांच के पात्र के आयतन में वृद्धि,$\Delta V_g = V_0 \gamma_g \Delta T$.
चूंकि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_g = 3\alpha_g$ है,इसलिए $\Delta V_g = V_0 (3\alpha_g) \Delta T$ होगा।
बाहर बहने वाले द्रव का आयतन $\Delta V_{overflow} = \Delta V_L - \Delta V_g$ है।
$\Delta V_{overflow} = V_0 \gamma_L \Delta T - V_0 (3\alpha_g) \Delta T$.
$\Delta V_{overflow} = V_0 \Delta T (\gamma_L - 3\alpha_g)$.

(D) तापीय प्रसार के कारण किसी पदार्थ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_0$ प्रारंभिक लंबाई है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि $\alpha_{Al} > \alpha_{\text{steel}}$ है,इसलिए तापमान में समान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए,एल्युमीनियम वाला हिस्सा स्टील वाले हिस्से की तुलना में अधिक फैलेगा $(\Delta l_{Al} > \Delta l_{\text{steel}})$।
चूंकि एल्युमीनियम अधिक फैलता है,यह वक्र के बाहरी (उत्तल) तरफ होगा,जबकि स्टील,जो कम फैलता है,वक्र के अंदरूनी (अवतल) तरफ होगा।
इसलिए,पट्टी स्टील को अवतल तरफ रखते हुए मुड़ जाएगी।

(C) दिया गया है: चांदी की छड़ की लंबाई,$L = 1 \ m = 100 \ cm$.
प्रारंभिक तापमान,$T_1 = 0^{\circ}C$.
अंतिम तापमान,$T_2 = 100^{\circ}C$.
तापमान में परिवर्तन,$\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ}C$.
लंबाई में वृद्धि,$\Delta L = 0.19 \ cm$.
रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
मान रखने पर: $0.19 = 100 \times \alpha \times 100$.
$\alpha = \frac{0.19}{10000} = 0.19 \times 10^{-4} \ ^{\circ}C^{-1} = 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
$\gamma = 3 \times 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1} = 5.7 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.

(A) पानी असामान्य प्रसार प्रदर्शित करता है। इसका घनत्व $4^{\circ} C$ पर अधिकतम होता है।
जब सतह का पानी ठंडा होकर $0^{\circ} C$ पर पहुँचता है और जमने लगता है,तो $4^{\circ} C$ वाला अधिक घनत्व का पानी झील की तली में बैठ जाता है।
इसलिए,झील की तली का तापमान $4^{\circ} C$ बना रहता है।

(B) सेल्सियस $(C)$ और फारेनहाइट $(F)$ में तापमान के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{C}{5} = \frac{F - 32}{9}$.
$F$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $F = C \times \frac{9}{5} + 32$.
समीकरण में $C = -183^{\circ} C$ का मान रखने पर:
$F = -183 \times \frac{9}{5} + 32$
$F = -36.6 \times 9 + 32$
$F = -329.4 + 32$
$F = -297.4^{\circ} F$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $-297^{\circ} F$ प्राप्त होता है।

(C) ऊष्मागतिक प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह अपनाए गए पथ पर निर्भर नहीं करती है; यह केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करती है।
इसलिए,यदि दो अलग-अलग प्रक्रियाओं के लिए प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ समान हैं,तो आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ दोनों प्रक्रियाओं के लिए समान होगा।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार: $Q = W + \Delta U$,जिसे $\Delta U = Q - W$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पथ $1$ के लिए: $\Delta U = Q_1 - W_1$।
पथ $2$ के लिए: $\Delta U = Q_2 - W_2$।
चूंकि $\Delta U$ दोनों पथों के लिए समान है,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $Q_1 - W_1 = Q_2 - W_2$।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,अंतर-आणविक बलों को नगण्य माना जाता है और टक्करें पूरी तरह से प्रत्यास्थ होती हैं।
परिणामस्वरूप,एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल उसके निरपेक्ष तापमान $T$ का एक फलन है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ केल्विन में तापमान है।
चूँकि $U \propto T$,आंतरिक ऊर्जा $U$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध रैखिक है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
इसलिए,जो ग्राफ इस संबंध को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है,वह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$,जिसका अर्थ है $Q - W = \Delta U$.
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $(U)$ एक अवस्था फलन है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है।
सभी पथों $(A, B, C, D)$ के लिए,प्रारंभिक अवस्था $1$ है और अंतिम अवस्था $2$ है।
इसलिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन सभी पथों के लिए समान है: $\Delta U_A = \Delta U_B = \Delta U_C = \Delta U_D$.
चूंकि $Q - W = \Delta U$,इसलिए $Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = Q_D - W_D$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,समान दो अवस्थाओं को जोड़ने वाले सभी पथों के लिए $Q - W$ का मान स्थिर रहता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है क्योंकि $Q_A - W_A = \Delta U$ और $Q_D - W_D = \Delta U$,इसलिए $Q_A - W_A = Q_D - W_D$ होता है।

(A) दी गई प्रक्रिया में,एक आदर्श गैस के लिए,$\Delta W = 0$ और $\Delta Q < 0$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta W + \Delta U$,जहाँ $\Delta U$ गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
चूंकि $\Delta W = 0$,इसलिए $\Delta Q = \Delta U$ है।
यह दिया गया है कि $\Delta Q < 0$,अतः $\Delta U < 0$ होगा।
एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है $(U = nC_vT)$।
इसलिए,आंतरिक ऊर्जा में कमी $(\Delta U < 0)$ का अर्थ है कि गैस का तापमान कम हो जाएगा।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = C_p \Delta T$ है और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = C_V \Delta T$ है।
अतः,$\frac{\Delta Q}{\Delta U} = \frac{C_p \Delta T}{C_V \Delta T} = \frac{C_p}{C_V} = \gamma$। इसलिए,$A \rightarrow 4$।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,इसलिए $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = (C_p - C_V) \Delta T$।
अतः,$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{C_p \Delta T}{(C_p - C_V) \Delta T} = \frac{C_p}{C_p - C_V} = \frac{C_p/C_V}{(C_p/C_V) - 1} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$। इसलिए,$B \rightarrow 3$।
रेफ्रिजरेटर के लिए,निष्पादन गुणांक $\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$। इसलिए,$C \rightarrow 2$।
हीट पंप के लिए,निष्पादन गुणांक $\alpha = \frac{Q_1}{W} = \frac{Q_1}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}$। इसलिए,$D \rightarrow 1$।
अतः,सही मिलान $A \rightarrow 4, B \rightarrow 3, C \rightarrow 2, D \rightarrow 1$ है।

(C) रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(\beta)$ $\beta = \frac{Q_2}{W}$ के रूप में परिभाषित होता है, जहाँ $Q_2$ ठंडे जलाशय से निकाली गई ऊष्मा है और $W$ सिस्टम पर किया गया कार्य है।
दिया गया है $\beta = 0.25 = \frac{1}{4}$, इसलिए $Q_2 = \frac{W}{4}$।
गर्म जलाशय को दी गई ऊष्मा $Q_1 = Q_2 + W$ है।
$Q_2 = \frac{W}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $Q_1 = \frac{W}{4} + W = \frac{5W}{4}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $Q_1 = 250 \, J$, इसलिए $250 = \frac{5W}{4}$।
$W$ के लिए हल करने पर, $W = 250 \times \frac{4}{5} = 200 \, J$।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है, सिंक का तापमान $T_{\text{sink}} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 K$.
प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ के लिए:
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
अंतिम दक्षता $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ के लिए:
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.4 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.4} = 750 K$.
स्रोत के तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 750 K - 500 K = 250 K$ है।

(C) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$.
यह दिया गया है कि तीनों इंजन समान रूप से कुशल हैं,मान लीजिए $\eta_1 = \eta_2 = \eta_3 = \eta$.
पहले इंजन के लिए: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$.
दूसरे इंजन के लिए: $\eta = 1 - \frac{T_3}{T_2} \Rightarrow \frac{T_3}{T_2} = 1 - \eta$.
तीसरे इंजन के लिए: $\eta = 1 - \frac{T_4}{T_3} \Rightarrow \frac{T_4}{T_3} = 1 - \eta$.
चूंकि $1 - \eta$ स्थिर है,हमारे पास $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_4}{T_3} = k$ है,जहाँ $k = 1 - \eta$.
इससे,$T_2 = T_1 k$,$T_3 = T_2 k = T_1 k^2$,और $T_4 = T_3 k = T_1 k^3$.
अतः,$k^3 = \frac{T_4}{T_1} \Rightarrow k = \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3}$.
$k$ का मान रखने पर:
$T_2 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3} = T_1^{2/3} T_4^{1/3} = (T_1^2 T_4)^{1/3}$.
$T_3 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{2/3} = T_1^{1/3} T_4^{2/3} = (T_1 T_4^2)^{1/3}$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) कार्नोट हीट इंजन की दक्षता का सूत्र: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
यहाँ,$T_1$ स्रोत (गर्म जलाशय) का तापमान है और $T_2$ सिंक (ठंडे जलाशय) का तापमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि दक्षता केवल स्रोत और सिंक के तापमान पर निर्भर करती है।
यह इंजन में उपयोग किए जाने वाले कार्यकारी पदार्थ की प्रकृति से स्वतंत्र है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही कथन है।

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
दूसरी स्थिति के लिए: $\eta_2 = 0.6$,$T_2 = 300 \ K$,और हमें नया स्रोत तापमान $T_1'$ ज्ञात करना है।
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4$.
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.

(C) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1/5$ दी गई है।
जब इस इंजन का उपयोग रेफ्रिजरेटर के रूप में किया जाता है,तो इसका निष्पादन गुणांक (coefficient of performance) $\beta$,दक्षता $\eta$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है: $\beta = \frac{1 - \eta}{\eta}$।
$\eta$ का मान रखने पर: $\beta = \frac{1 - 1/5}{1/5} = \frac{4/5}{1/5} = 4$।
निष्पादन गुणांक को ठंडे जलाशय से अवशोषित ऊष्मा $(Q)$ और सिस्टम पर किए गए कार्य $(W)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है: $\beta = \frac{Q}{W}$।
यहाँ $W = 50 \ J$ दिया गया है,इसलिए $4 = \frac{Q}{50}$।
अतः,$Q = 4 \times 50 = 200 \ J$।

(C) दिया गया है कि तापमान $T_1 = 500 \ K$ और $T_2 = 300 \ K$ हैं।
इन तापमानों के बीच कार्य करने वाले इंजन की अधिकतम सैद्धांतिक दक्षता (कार्नोट दक्षता) $\eta_{max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
$\eta_{max} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ या $40\%$.
अब, प्रत्येक डिज़ाइन के लिए दक्षता $(\eta = \frac{W}{Q_{in}})$ की गणना करें:
डिज़ाइन $A$ के लिए: $\eta_A = \frac{150}{1000} = 0.15$ $(15\%)$.
डिज़ाइन $B$ के लिए: $\eta_B = \frac{450}{1000} = 0.45$ $(45\%)$.
डिज़ाइन $C$ के लिए: $\eta_C = \frac{300}{1000} = 0.30$ $(30\%)$.
ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार, किसी भी इंजन की दक्षता कार्नोट दक्षता से अधिक नहीं हो सकती है। चूंकि $\eta_B = 0.45 > 0.4$, डिज़ाइन $B$ दूसरे नियम का उल्लंघन करता है और यह असंभव है। डिज़ाइन $C$ की दक्षता $0.3$ है, जो $0.4$ से कम है, इसलिए यह भौतिक रूप से संभव है। अतः, डिज़ाइन $C$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(D) जब संपीड़न प्रक्रिया अचानक या त्वरित रूप से की जाती है,तो ऊष्मा के स्थानांतरण के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है; इसलिए,यह प्रक्रिया एक रुद्धोष्म (adiabatic) संपीड़न प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P V^\gamma = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$.
अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब के अनुपात के लिए: $\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^\gamma$.
यहाँ $V_f = \frac{V_i}{4}$ और $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_i / 4} \right)^{1.5} = (4)^{1.5} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
अतः,अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $8:1$ है।

(C) एक-परमाणुक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2} n R T$ होती है,इसलिए $U \propto T$ है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{V}$ है।
प्रक्रम $AB$ के लिए,$U$-$\rho$ आलेख में रेखा मूल बिंदु से गुजरती है,इसलिए $U = k \rho$ है। $U \propto T$ और $\rho \propto 1/V$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T \propto 1/V$ प्राप्त होता है,या $TV = \text{नियतांक}$।
$PV = nRT$ का उपयोग करने पर,हमें $(PV/nR)V = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है,इसलिए $PV^2 = \text{नियतांक}$। यह $m = 2$ सूचकांक वाली एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रम है।
मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{R}{1-m} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-2} = \frac{3R}{2} - R = \frac{R}{2}$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
प्रक्रम $BC$ में,$\rho$ नियत है,इसलिए यह एक समआयतनिक प्रक्रम है। चूंकि $U$ घट रहा है,तापमान कम हो जाता है,इसलिए ऊष्मा का त्याग किया जाता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
समआयतनिक प्रक्रम के लिए,मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है। विकल्प $C$ में यह $\frac{2R}{3}$ दी गई है,जो गलत है।
प्रक्रम $CA$ में,$U$ नियत है,इसलिए $T$ नियत है (समतापीय)। $W_{CA} = nRT \ln(V_A/V_C) = nRT \ln(\rho_C/\rho_A) = (\frac{2}{3} U_0) \ln(4\rho_0/\rho_0) = \frac{2}{3} U_0 \ln 4$ है। विकल्प $D$ सही है।

(B) समतापीय प्रक्रिया में, पूरी प्रक्रिया के दौरान तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार, $PV = nRT$ होता है।
चूंकि $T$ स्थिर है, इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $P = \frac{\text{स्थिरांक}}{V}$, जो $P-V$ ग्राफ में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
अतः, दाब $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध अरेखीय है।
इसके विपरीत, समतापीय प्रक्रिया में $P$ और $T$, $V$ और $T$, या $PV$ और $T$ के बीच का संबंध रेखीय (या स्थिर) होता है।

(A) प्रारंभिक स्थिति: $V_A = V_B = V$,$p_A = p_B = p$ है।
पात्र $A$ के लिए (समतापीय प्रक्रिया): $p_A V_A = p_A^{\prime} V_A^{\prime}$।
दिया है $V_A^{\prime} = V/2$,अतः $p V = p_A^{\prime} (V/2) \Rightarrow p_A^{\prime} = 2p$।
पात्र $B$ के लिए (रुद्धोष्म प्रक्रिया): $p_B V_B^{\gamma} = p_B^{\prime} (V_B^{\prime})^{\gamma}$।
दिया है $V_B^{\prime} = V/2$,अतः $p V^{\gamma} = p_B^{\prime} (V/2)^{\gamma} \Rightarrow p_B^{\prime} = p \cdot 2^{\gamma}$।
अंतिम दाबों का अनुपात $\frac{p_B^{\prime}}{p_A^{\prime}} = \frac{p \cdot 2^{\gamma}}{2p} = 2^{\gamma-1}$ होगा।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि गैस ऊष्मा छोड़ती है,इसलिए $\Delta Q = -30 \,J$ है।
गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W = -18 \,J$ है।
प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा $U_i = 60 \,J$ है।
मान लीजिए कि अंतिम आंतरिक ऊर्जा $U_f$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i$ है।
इन मानों को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर:
$-30 = (U_f - 60) + (-18)$
$-30 = U_f - 78$
$U_f = 78 - 30 = 48 \,J$ है।
अतः,गैस की अंतिम आंतरिक ऊर्जा $48 \,J$ है।

(B) ऊष्मागतिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $p-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चक्रीय प्रक्रिया के लिए,कुल किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यदि चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में पूरा होता है,तो कुल कार्य धनात्मक होता है।
यदि चक्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में पूरा होता है,तो कुल कार्य ऋणात्मक होता है।
दी गई आकृति में,पथ $C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow C$ है,जो वामावर्त दिशा में है।
अतः,गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक होता है,जिसका अर्थ है कि निकाय और पर्यावरण के बीच कोई ऊष्मा विनिमय $(dQ = 0)$ नहीं होता है।
इस स्थिति को बनाए रखने के लिए,पात्र को एक आदर्श ऊष्मारोधी होना चाहिए।
थर्मस फ्लास्क को विशेष रूप से चालन,संवहन और विकिरण के माध्यम से ऊष्मा के स्थानांतरण को कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है,जो इसे रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए दिए गए विकल्पों में से सबसे अच्छा विकल्प बनाता है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के अनुसार,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $pV = nRT$ है।
चूंकि $T$ स्थिर है,$n$ और $R$ भी स्थिर हैं,इसलिए $pV$ का गुणनफल स्थिर होना चाहिए,अर्थात $pV = K$।
इसका तात्पर्य है कि $p \propto \frac{1}{V}$।
समतापीय संपीड़न में,गैस का आयतन $V$ घटता है।
चूंकि दबाव $p$,आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए जैसे-जैसे आयतन $V$ घटता है,दबाव $p$ बढ़ता है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta Q$ प्रणाली को दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $\Delta W$ प्रणाली द्वारा किया गया कार्य है।
यह दिया गया है कि प्रणाली द्वारा किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा में हुई कमी के बराबर है,इसलिए $\Delta W = -\Delta U$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U + \Delta W = 0$।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर,हमें $\Delta Q = 0$ प्राप्त होता है।
वह प्रक्रिया जिसमें परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता $(\Delta Q = 0)$,उसे रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया कहा जाता है।
अतः,प्रणाली में रुद्धोष्म परिवर्तन हुआ होगा।

(B) समआयतनिक प्रक्रिया के लिए,आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta V = 0$ होता है।
चूंकि ऊष्मागतिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = p \cdot \Delta V$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\Delta V = 0$ रखने पर $W = 0$ प्राप्त होता है।

(A) समतापीय प्रक्रिया स्थिर तापमान पर होती है।
ऊष्मा विनिमय के दौरान तापमान को स्थिर बनाए रखने के लिए,प्रक्रिया को बहुत धीमी गति से होना चाहिए ताकि परिवेश के साथ तापीय संतुलन बनाए रखने के लिए पर्याप्त समय मिल सके।
इसलिए,समतापीय प्रक्रिया को सामान्यतः एक धीमी प्रक्रिया माना जाता है।

(A) लहरों की गति $v$ पृष्ठ तनाव $\sigma$,घनत्व $\rho$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करती है।
हम इस संबंध को $v = k \sigma^a \rho^b \lambda^c$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
गति $v$ का विमीय सूत्र $[M^0 L T^{-1}]$ है।
पृष्ठ तनाव $\sigma$ का विमीय सूत्र $[M L^0 T^{-2}]$ है।
घनत्व $\rho$ का विमीय सूत्र $[M L^{-3} T^0]$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का विमीय सूत्र $[M^0 L T^0]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^0 T^{-2}]^a [M L^{-3} T^0]^b [L]^c$
$[M^0 L T^{-1}] = [M]^{a+b} [L]^{-3b+c} [T]^{-2a}$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$a + b = 0$
$-3b + c = 1$
$-2a = -1$
$-2a = -1$ से,हमें $a = 1/2$ प्राप्त होता है।
$a = 1/2$ को $a + b = 0$ में रखने पर,हमें $b = -1/2$ प्राप्त होता है।
$b = -1/2$ को $-3b + c = 1$ में रखने पर,हमें $-3(-1/2) + c = 1 \Rightarrow 1.5 + c = 1 \Rightarrow c = -0.5 = -1/2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$v \propto \sigma^{1/2} \rho^{-1/2} \lambda^{-1/2}$।
अतः,$v \propto \sqrt{\frac{\sigma}{\rho \lambda}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 \propto \frac{\sigma}{\rho \lambda}$।

(A) प्रतिबल को पदार्थ के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे ग्रीक अक्षर $\sigma$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$
बल और क्षेत्रफल के विमीय सूत्र रखने पर:
$\text{बल} = [M L T^{-2}]$
$\text{क्षेत्रफल} = [L^2]$
$\text{प्रतिबल} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]} = [M L^{1-2} T^{-2}] = [M L^{-1} T^{-2}]$

(C) पोइज़ुइल के नियम के अनुसार,एक केशिका नली से द्रव के प्रवाह की दर $(Q)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$Q = \frac{V}{t} = \frac{\pi p R^4}{8 \eta L}$
जहाँ:
$V$ द्रव का आयतन है,
$t$ प्रवाह का समय है,
$p$ दाबांतर है,
$R$ नली की त्रिज्या है,
$\eta$ श्यानता गुणांक है,
$L$ नली की लंबाई है।
आयतन $V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V = \frac{\pi p R^4 t}{8 \eta L}$
चूँकि $\frac{\pi}{8}$ एक नियतांक है,इसलिए आयतन $V$ शेष पदों के समानुपाती है:
$V \propto \frac{p R^4 t}{\eta L}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दी गई भौतिक राशियों के लिए विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[$बल$] = [MLT^{-2}]$
$[$पृष्ठ तनाव$] = [MT^{-2}]$
$[$आवृत्ति$] = [T^{-1}]$
$[$वेग प्रवणता$] = [T^{-1}]$
$[$कोणीय चाल$] = [T^{-1}]$
$[$घन कोण$] = [M^0L^0T^0]$ (विमाहीन)
$[$स्टीफन नियतांक$] = [MT^{-3}K^{-4}]$
$[$प्लांक नियतांक$] = [ML^2T^{-1}]$
इनकी तुलना करने पर,हम पाते हैं कि आवृत्ति और वेग प्रवणता दोनों की विमा $[T^{-1}]$ है।
अतः,सही युग्म आवृत्ति और वेग प्रवणता है।

(B) दो पिंडों $A$ और $B$ के लिए सापेक्ष वेग $(v_A \pm v_B)$ के मात्रक $(ms^{-1})$ और विमा $[LT^{-1}]$ दोनों होते हैं।
दो पदार्थों के सापेक्ष घनत्व $(\rho = \frac{\rho_A}{\rho_B})$ का न तो कोई मात्रक होता है और न ही कोई विमा,क्योंकि यह दो समान भौतिक राशियों का अनुपात है।
कोण को रेडियन में मापा जाता है। अतः,इसका मात्रक होता है लेकिन विमा नहीं होती है।
ऊर्जा को जूल में मापा जाता है और इसकी विमा $[ML^2 T^{-2}]$ होती है।
अतः,केवल सापेक्ष घनत्व का न तो कोई मात्रक है और न ही कोई विमा।

(B) परिभाषा के अनुसार,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \text{ m}$ होता है।
इसे मिलीमीटर $(\text{mm})$ में बदलने के लिए,हम जानते हैं कि $1 \text{ m} = 10^3 \text{ mm}$ होता है।
इसलिए,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \times 10^3 \text{ mm}$।
$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-7} \text{ mm}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) बिंदु $P$ पर तरंगों का परिणामी आयाम निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$,जहाँ $\phi$ कलांतर है,और $A_1$ तथा $A_2$ ध्वनि तरंगों के आयाम हैं।
सबसे पहले,हम ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करते हैं: $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350 m s^{-1}}{350 Hz} = 1 m = 100 cm$.
पथ अंतर $\Delta x = AP - BP = 25 cm$ दिया गया है।
कलांतर $\phi$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{100 cm} \times 25 cm = \frac{\pi}{2}$.
अब,मानों को परिणामी आयाम के सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2 + 2 \times 0.3 \times 0.4 \cos(\frac{\pi}{2})}$
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 mm$.

(A) विभिन्न माध्यमों में तरंगों की गति माध्यम के लोचदार गुणों और घनत्व द्वारा निर्धारित की जाती है।
$(a)$ ठोस (जैसे स्टील की छड़) में अनुप्रस्थ तरंग के लिए, गति $v = \sqrt{\frac{\eta}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\eta$ कर्तन मापांक (shear modulus) है और $\rho$ घनत्व है। अतः, $(a) - (ii)$.
$(b)$ थोक ठोस (जैसे पृथ्वी की पपड़ी) में अनुदैर्ध्य तरंगों के लिए, गति बल्क मापांक $B$ और कर्तन मापांक $\eta$ दोनों पर निर्भर करती है: $v = \sqrt{\frac{B + \frac{4}{3}\eta}{\rho}}$। अतः, $(b) - (i)$.
$(c)$ पतली छड़ में अनुदैर्ध्य तरंगों के लिए, गति $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $Y$ यंग मापांक है। अतः, $(c) - (iv)$.
$(d)$ लहरें तरल पदार्थों की सतह पर तरंगें हैं जहाँ पृष्ठ तनाव $T$ पुनर्स्थापक बल है। गति $v = \sqrt{\frac{2 \pi T}{g \lambda}}$ द्वारा दी जाती है। अतः, $(d) - (iii)$.
इसलिए, सही मिलान $(a) - (ii), (b) - (i), (c) - (iv), (d) - (iii)$ है।

(B) दी गई तरंगों के समीकरण $x_1 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ और $x_2 = A \cos \omega t$ हैं।
कलांतर ज्ञात करने के लिए,हम दोनों तरंगों को एक ही त्रिकोणमितीय फलन (sin या cos) के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$.
इसलिए,$x_2 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$.
अब,$x_1$ की कला $\phi_1 = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है और $x_2$ की कला $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया है कि, दोनों तरंगों के आयाम $a_1 = a_2 = 10 \,mm$ हैं।
तरंगों के बीच का कलांतर $\phi = 90^{\circ}$ है।
दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
सूत्र में मान रखने पर:
$A = \sqrt{(10)^2 + (10)^2 + 2(10)(10) \cos 90^{\circ}}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ है, इसलिए व्यंजक सरल हो जाता है:
$A = \sqrt{100 + 100 + 0}$
$A = \sqrt{200}$
$A = 10 \sqrt{2} \,mm$

(D) बीट्स एक ऐसी घटना है जो दो ध्वनि तरंगों के अध्यारोपण के कारण होती है।
जब समान आयाम और थोड़ी भिन्न आवृत्ति वाली दो ध्वनि तरंगें एक ही दिशा में यात्रा करती हैं,तो वे एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (interference) करती हैं।
इस व्यतिकरण के परिणामस्वरूप परिणामी ध्वनि की तीव्रता में समय-समय पर परिवर्तन होता है,जिसे बीट्स के रूप में अनुभव किया जाता है।
इसलिए,बीट्स का निर्माण ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण का सीधा परिणाम है।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी पर बनने वाली अप्रगामी तरंग में,जिन बिंदुओं पर विस्थापन हमेशा शून्य होता है,उन्हें नोड्स (निस्पंद बिंदु) कहा जाता है। जिन बिंदुओं पर कंपन का आयाम अधिकतम होता है,उन्हें एंटीनोड्स (स्पंद बिंदु) कहा जाता है।
$n$ लूप में कंपन करने वाली डोरी के लिए,नोड्स की संख्या $n + 1$ होती है और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
यहाँ दिया गया है कि डोरी $5$ लूप में कंपन करती है,इसलिए $n = 5$ है।
अतः,नोड्स की संख्या = $5 + 1 = 6$ है।
एंटीनोड्स की संख्या = $5$ है।
इस प्रकार,नोड्स और एंटीनोड्स की कुल संख्या क्रमशः $6$ और $5$ है।

(B) ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान,$M_1 = 32 \,g/mol$.
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात,$\gamma_1 = C_p / C_V = 7/5$ (द्वि-परमाणुक गैस के लिए)।
ध्वनि की गति,$v_1 = 460 \,ms^{-1}$।
हीलियम $(He)$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान,$M_2 = 4 \,g/mol$.
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात,$\gamma_2 = C_p / C_V = 5/3$ (एक-परमाणुक गैस के लिए)।
आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
गति का अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\gamma_2}{\gamma_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{32}{4}} = \sqrt{\frac{25}{21} \cdot 8} = \sqrt{\frac{200}{21}} \approx 3.085$।
अतः,$v_2 = 460 \times 3.085 \approx 1420 \,ms^{-1}$।

(A) तरंगार्ग्र को माध्यम के उन सभी बिंदुओं के लोकस (locus) के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी दिए गए समय पर समान कला में कंपन कर रहे होते हैं।
चूंकि तरंगार्ग्र पर सभी बिंदु कंपन की समान स्थिति में होते हैं,इसलिए तरंगार्ग्र पर किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच का कला अंतर शून्य होता है।
अतः,तरंगार्ग्र पर सभी बिंदु समान कला में होते हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि नई दूरी $D_2 = 2D_1$ और नई स्लिट दूरी $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ को $\beta_2 = \frac{D_2 \lambda}{d_2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\beta_2 = \frac{(2D_1) \lambda}{(d_1 / 2)} = 4 \times \frac{D_1 \lambda}{d_1} = 4 \beta_1$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई चार गुनी हो जाती है।

(C) दिया गया है कि दो व्यतिकारी तरंगों के आयामों का अनुपात $4: 3$ है।
मान लीजिए कि दो तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ है।
हम जानते हैं कि तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
कोष्ठक के अंदर अंश और हर को $A_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ का मान रखने पर,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $49: 1$ है।

(D) दिया गया है कि अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{36}{1}$ है।
हम जानते हैं कि $I_{\max} = (a_1 + a_2)^2$ और $I_{\min} = (a_1 - a_2)^2$,जहाँ $a_1$ और $a_2$ दो तरंगों के आयाम हैं।
इसलिए,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{36}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{6}{1}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$a_1 + a_2 = 6(a_1 - a_2) = 6a_1 - 6a_2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$5a_1 = 7a_2$।
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{5}$ है।

(A) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
मान लीजिए प्रारंभिक फ्रिंज की चौड़ाई $\beta_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्लिट्स के बीच की नई दूरी $d_2 = 10 d_1$ है और स्क्रीन से नई दूरी $D_2 = \frac{D_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2} = \frac{\lambda (D_1 / 2)}{10 d_1} = \frac{1}{20} \left( \frac{\lambda D_1}{d_1} \right)$ होगी।
अतः,$\beta_2 = \frac{1}{20} \beta_1$ हो जाती है।