बिंदु $(1, 2)$ से दीर्घवृत्त $3x^2 + 2y^2 = 5$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है

मान लीजिए $P$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक चर बिंदु है,जिसके नाभियाँ $F_1$ और $F_2$ हैं। यदि $A$ त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल है,तो $A$ का अधिकतम मान क्या है?

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका नाभि $(6, 7)$,नियता $x + y + 2 = 0$ और उत्केंद्रता $e = 1/\sqrt{3}$ है:

यदि $B$ दीर्घवृत्त $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$ $(a > b)$ के लघु अक्ष का अंतिम बिंदु है और $S$ तथा $S^{\prime}$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं,जिससे $\Delta SBS^{\prime}$ एक समबाहु त्रिभुज बनता है,तो उत्केंद्रता $e$ ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पर,मान लीजिए $P$ दूसरे चतुर्थांश में एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा रेखा $x+2y=0$ के लंबवत है। मान लीजिए $S$ और $S'$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं और $e$ इसकी उत्केंद्रता है। यदि $A$ त्रिभुज $SPS'$ का क्षेत्रफल है,तो $(5-e^{2}) \cdot A$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(l, m)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ में अंतर्निहित एक समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र है,जिसके शीर्ष $\theta_1, \theta_2$ और $\theta_3$ उत्केंद्र कोण वाले बिंदुओं पर हैं,तो $\frac{2}{3}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\cos \left(\theta_2-\theta_3\right)+\cos \left(\theta_3-\theta_1\right)\right]=$