यदि दीर्घवृत्त frac{x^2}{32}+frac{y^2}{b^2}=1 | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 32$ है। नाभिलंब का एक सिरा $(ae, \frac{b^2}{a})$ है। $(x_1, y_1)$ पर अ

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$1$

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(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 32$ है। नाभिलंब का एक सिरा $(ae, \frac{b^2}{a})$ है। $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है। $(x_1, y_1) = (ae, \frac{b^2}{a})$ रखने पर,हमें $\frac{a^2x}{ae} - \frac{b^2y}{b^2/a} = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ हो जाता है। चूंकि यह अभिलंब लघु अक्ष के सिरे $(0, b)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{a(0)}{e} - a(b) = a^2 - b^2$,अर्थात $-ab = a^2 - b^2$,या $b^2 - ab - a^2 = 0$। $a^2$ से भाग देने पर,$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a}) - 1 = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $(\frac{b}{a})^2 = 1-e^2$ है। अतः,$(1-e^2) - \sqrt{1-e^2} - 1 = 0$,जिससे $\sqrt{1-e^2} = -e^2$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-e^2 = e^4$,अतः $1 = e^4 + e^2$। हमें $\frac{e^4}{1-e^2}$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $1-e^2 = e^4$,व्यंजक $\frac{e^4}{e^4} = 1$ हो जाता है।

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