Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ $64 x^{3} + 125 y^{3} + 240 x^{2} y + 300 x y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $(4x)^{3} + (5y)^{3} + 3(4x)^{2}(5y) + 3(4x)(5y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 4x$ અને $b = 5y$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(4x + 5y)^{3}$ મળે છે.
તેથી,અવયવ સ્વરૂપ $(4x + 5y)(4x + 5y)(4x + 5y)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $27 x^{3}-8 y^{3}-54 x^{2} y+36 x y^{2}$ છે.
આને $(3x)^3 - (2y)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ યાદ કરો: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2$.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 2y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને $(3x - 2y)^3$ મળે છે.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(3x - 2y)(3x - 2y)(3x - 2y)$ છે.

(A) $(995)^{3}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $995$ ને $(1000 - 5)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$a = 1000$ અને $b = 5$ છે.
$(1000 - 5)^{3} = (1000)^{3} - (5)^{3} - 3(1000)(5)(1000 - 5)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 15000(995)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 14,925,000$
$= 1,000,000,000 - 14,925,125$
$= 985,074,875$.

(B) $(105)^{3}$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $105$ ને $(100 + 5)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$a = 100$ અને $b = 5$ છે.
$(100 + 5)^{3} = (100)^{3} + (5)^{3} + 3(100)(5)(100 + 5)$
$= 1000000 + 125 + 1500(105)$
$= 1000000 + 125 + 157500$
$= 1157625$

(N/A) આપેલ પદાવલિ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$,$b = 3y$,અને $c = 5z$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = 2x$,$b = 3y$,અને $c = 5z$ ને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$8 x^{3}+27 y^{3}+125 z^{3}-3(2x)(3y)(5z) = (2x+3y+5z)((2x)^{2}+(3y)^{2}+(5z)^{2}-(2x)(3y)-(3y)(5z)-(5z)(2x))$
$= (2x+3y+5z)(4x^{2}+9y^{2}+25z^{2}-6xy-15yz-10zx)$.

(A) અહીં આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$.
આપેલ પદાવલિ: $27 x^{3}-y^{3}+64 z^{3}+36 x y z = (3 x)^{3}+(-y)^{3}+(4 z)^{3}-3(3 x)(-y)(4 z)$.
અહીં,$a = 3 x$,$b = -y$,અને $c = 4 z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= (3 x-y+4 z)((3 x)^{2}+(-y)^{2}+(4 z)^{2}-(3 x)(-y)-(-y)(4 z)-(4 z)(3 x))$.
$= (3 x-y+4 z)(9 x^{2}+y^{2}+16 z^{2}+3 x y+4 y z-12 z x)$.

(B) આપેલ પદાવલિ $x^{3}-8 y^{3}-27-18 x y$ છે.
આને $x^{3} + (-2y)^{3} + (-3)^{3} - 3(x)(-2y)(-3)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં આપણે નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$,$b = -2y$,અને $c = -3$ છે.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + (-2y)^{2} + (-3)^{2} - (x)(-2y) - (-2y)(-3) - (-3)(x))$
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + 4y^{2} + 9 + 2xy - 6y + 3x)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$,$b = 5y$,અને $c = 7$ છે.
આપણે નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$.
અહીં,$3abc = 3(2x)(5y)(7) = 210xy$ થાય છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$8x^{3} + 125y^{3} + 343 - 210xy = (2x + 5y + 7)((2x)^{2} + (5y)^{2} + (7)^{2} - (2x)(5y) - (5y)(7) - (7)(2x))$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (2x + 5y + 7)(4x^{2} + 25y^{2} + 49 - 10xy - 35y - 14x)$.

(A) અહીં આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: જો $a+b+c=0$ હોય,તો $a^3+b^3+c^3=3abc$ થાય.
ધારો કે $a = (x-2y)$,$b = (2y-3z)$,અને $c = (3z-x)$.
હવે,સરવાળો $a+b+c$ શોધીએ:
$a+b+c = (x-2y) + (2y-3z) + (3z-x)$
$a+b+c = x - x - 2y + 2y - 3z + 3z = 0$.
અહીં સરવાળો $0$ હોવાથી,પદાવલિ $(x-2y)^3 + (2y-3z)^3 + (3z-x)^3$ નું મૂલ્ય $3abc$ થશે.
તેથી,અવયવ સ્વરૂપ $3(x-2y)(2y-3z)(3z-x)$ મળે છે.

(D) અમે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ થાય.
આપેલ પદાવલિ: $(31)^3 + (-16)^3 + (-15)^3$.
ધારો કે $x = 31$,$y = -16$,અને $z = -15$.
સરવાળો તપાસો: $x + y + z = 31 + (-16) + (-15) = 31 - 31 = 0$.
જેથી સરવાળો $0$ હોવાથી,પદાવલિની કિંમત $3xyz$ થશે.
કિંમત $= 3 \times (31) \times (-16) \times (-15)$.
કિંમત $= 3 \times 31 \times 240$.
કિંમત $= 93 \times 240 = 22320$.

(A) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ થાય.
આપેલ પદાવલિ: $(14)^{3} + (27)^{3} - (41)^{3}$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $(14)^{3} + (27)^{3} + (-41)^{3}$.
ધારો કે $x = 14$,$y = 27$,અને $z = -41$.
સરવાળો ચકાસો: $x + y + z = 14 + 27 + (-41) = 41 - 41 = 0$.
કારણ કે સરવાળો $0$ છે,તેથી પદાવલિની કિંમત $3xyz$ થશે.
કિંમત $= 3 \times (14) \times (27) \times (-41)$.
કિંમત $= 3 \times 378 \times (-41) = 1134 \times (-41) = -46494$.

(B) ધારો કે $x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{1}{3}$,અને $z = -\frac{5}{6}$.
પ્રથમ,$x, y,$ અને $z$ નો સરવાળો તપાસો:
$x + y + z = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3+2-5}{6} = \frac{0}{6} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.
કિંમતો મૂકતા:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)$.
$= 3 \times \left(\frac{1}{6}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{5}{12}$.

(C) ધારો કે $a = 0.2$,$b = -0.3$,અને $c = 0.1$ છે.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a + b + c = 0.2 + (-0.3) + 0.1 = 0.3 - 0.3 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ મુજબ: જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$(0.2)^{3} + (-0.3)^{3} + (0.1)^{3} = 3(0.2)(-0.3)(0.1)$.
ગુણાકાર કરતા: $3 \times 0.2 = 0.6$; $0.6 \times (-0.3) = -0.18$; $-0.18 \times 0.1 = -0.018$.
આમ,$(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3} = -0.018$.

(A) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં, $\text{ક્ષેત્રફળ} = 9x^2 + 30x + 25$ આપેલ છે.
આ દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = 3x$ અને $b = 5$ છે:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x + 5)^2$.
તેથી, $\text{ક્ષેત્રફળ} = (\text{બાજુ})^2$ હોવાથી, બાજુની લંબાઈ $(3x + 5)$ એકમ થાય.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ = $20 x^{2} + 22 x + 6$.
લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$20 x^{2} + 22 x + 6 = 20 x^{2} + 10 x + 12 x + 6$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $(20 x^{2} + 10 x) + (12 x + 6)$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $10 x(2 x + 1) + 6(2 x + 1)$.
આમ,અવયવો $(10 x + 6)(2 x + 1)$ અથવા $(5 x + 3)(4 x + 2)$ મળે છે.
તેથી,લંબાઈ અને પહોળાઈ માટેની શક્ય પદાવલિઓ $(5 x + 3)$ એકમ અને $(4 x + 2)$ એકમ છે.

(A) લંબઘનનું ઘનફળ તેની બાજુઓના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ છે $V = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
બાજુઓ શોધવા માટે, આપણે બહુપદીના અવયવો પાડીશું.
ધારો કે $p(x) = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
કિંમતો ચકાસતા, જો $x = -1$ લઈએ, તો $p(-1) = 2(-1)^3 + 15(-1)^2 + 33(-1) + 20 = -2 + 15 - 33 + 20 = 0$.
આમ, $(x + 1)$ એ એક અવયવ છે.
$2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગતા આપણને $2x^2 + 13x + 20$ મળે છે.
હવે, દ્વિઘાત બહુપદી $2x^2 + 13x + 20$ ના અવયવો પાડતા:
$2x^2 + 8x + 5x + 20 = 2x(x + 4) + 5(x + 4) = (2x + 5)(x + 4)$.
તેથી, શક્ય પરિમાણો $(2x + 5), (x + 4), (x + 1)$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} + 9x + 20$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ ને $(x + 2)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-2)$ મળે.
બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{2} + 9(-2) + 20$
$p(-2) = 4 - 18 + 20$
$p(-2) = 6$.
બહુપદી $(x + 2)$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે શેષ $0$ હોવી જોઈએ.
તેથી,આપણે બહુપદી $p(x)$ માંથી શેષ $6$ બાદ કરવી જોઈએ જેથી નવી બહુપદી $(x + 2)$ વડે વિભાજ્ય બને.

(D) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} - 8x + 10$ છે. ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $k$ છે. નવી બહુપદી $g(x) = x^{2} - 8x + 10 + k$ થશે. $g(x)$ એ $x - 3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,જ્યારે $g(x)$ ને $x - 3$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $0$ મળવી જોઈએ. શેષ પ્રમેય મુજબ,શેષ $g(3)$ થાય. તેથી,$g(3) = 0$. $g(x)$ માં $x = 3$ મૂકતા: $(3)^{2} - 8(3) + 10 + k = 0$. $9 - 24 + 10 + k = 0$. $-15 + 10 + k = 0$. $-5 + k = 0$. તેથી,$k = 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x+y = -4$ છે.
બંને બાજુ ઘન લેતા,$(x+y)^3 = (-4)^3$ મળે.
નિત્યસમ $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = -64$ મળે.
સમીકરણમાં $(x+y) = -4$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^3 + y^3 + 3xy(-4) = -64$.
$x^3 + y^3 - 12xy = -64$.
બંને બાજુ $64$ ઉમેરતા,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = -64 + 64$ મળે.
તેથી,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x = 2y + 6$ ને $x - 2y = 6$ તરીકે લખી શકાય.
$x^3 - 8y^3 - 36xy - 216$ ની કિંમત શોધવા માટે,તેને $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 - 3(x)(-2y)(-6)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
બીજગણિતીય નિત્યસમ યાદ કરો: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$.
અહીં $a = x$,$b = -2y$,અને $c = -6$ લો.
તો $a + b + c = x - 2y - 6$ થાય. કારણ કે $x - 2y = 6$,તેથી $a + b + c = 6 - 6 = 0$ થાય.
જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 = 3(x)(-2y)(-6)$.
$x^3 - 8y^3 - 216 = 36xy$.
પદોને ગોઠવતા: $x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 = 0$.

(C) ધારો કે $p(x) = ax^3 + 4x^2 + 3x - 4$ અને $q(x) = x^3 - 4x + a$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે કોઈ બહુપદી $f(x)$ ને $x - c$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $f(c)$ મળે છે.
અહીં,$c = 3$ છે. તેથી,$p(x)$ માટે શેષ $p(3)$ અને $q(x)$ માટે શેષ $q(3)$ થશે.
$p(3) = a(3)^3 + 4(3)^2 + 3(3) - 4 = 27a + 36 + 9 - 4 = 27a + 41$.
$q(3) = (3)^3 - 4(3) + a = 27 - 12 + a = 15 + a$.
બંને શેષ સમાન હોવાથી,$p(3) = q(3)$ થશે.
$27a + 41 = 15 + a$.
$27a - a = 15 - 41$.
$26a = -26$.
$a = -1$.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-1)$ મળે.
આપેલ છે કે $p(-1) = 19$.
$p(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} - a(-1) + 3a - 7 = 19$
$1 + 2 + 3 + a + 3a - 7 = 19$
$4a - 1 = 19$
$4a = 20 \implies a = 5$.
હવે,$p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 3(5) - 7 = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 8$.
જ્યારે $p(x)$ ને $(x + 2)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(-2)$ ની ગણતરી કરીશું.
$p(-2) = (-2)^{4} - 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 5(-2) + 8$
$p(-2) = 16 - 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$p(-2) = 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$.
આમ,$a = 5$ અને શેષ $62$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2}-5x+4$ છે.
જો કોઈ બહુપદીની ઘાત (ચલનો મહત્તમ ઘાતાંક) $1$ હોય,તો તેને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $x^{2}-5x+4$ માં,ચલ $x$ નો મહત્તમ ઘાતાંક $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે,સુરેખ બહુપદી નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
બહુપદી $5x^{2} - 7x + 2$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $2 = 2x^{0}$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદી $5x^{2} - 7x + 2$ ની ઘાત $2$ છે,$5$ નથી.
આથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) આ વિધાનની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(x-6)(x-2) = x(x-2) - 6(x-2)$
$= x^{2} - 2x - 6x + 12$
$= x^{2} - 8x + 12$
કારણ કે વિસ્તૃત સ્વરૂપ ડાબી બાજુ સાથે મેળ ખાય છે,તેથી આ વિધાન સત્ય છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 2x + 3$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
અહીં મળતું શૂન્ય $-\frac{3}{2}$ છે,$\frac{3}{2}$ નથી,તેથી આપેલ વિધાન ખોટું (False) છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
બહુપદી $5x^{3} - 3x^{2} + 11x - 14$ માં,$x^{3}$ વાળું પદ $5x^{3}$ છે.
$x^{3}$ નો સહગુણક એ $x^{3}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ છે,જે $5$ છે,$3$ નથી.

(B) $p(-2)$ શોધવા માટે,બહુપદી $p(x) = x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ માં $x = -2$ મૂકો.
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = (-8 - 52) + (36 + 24)$
$p(-2) = -60 + 60$
$p(-2) = 0$

(C) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ બહુપદી $p(x)$ માટે $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં આપેલ છે કે $p(7) = 0,$ તેથી પ્રમેય મુજબ $a = 7$ લેતા,$(x - 7)$ એ $p(x)$ નો અવયવ થાય.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 11x + 5$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પોને બહુપદીમાં મૂકીને ચકાસીએ.
જો $x = -1$ લઈએ:
$p(-1) = (-1)^{3} + 7(-1)^{2} + 11(-1) + 5$
$p(-1) = -1 + 7(1) - 11 + 5$
$p(-1) = -1 + 7 - 11 + 5$
$p(-1) = 12 - 12 = 0$
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,$x = -1$ એ બહુપદી $p(x)$ નું એક શૂન્ય છે.

(A) જ્યારે બહુપદી $p(x) = x^{3} + 125$ ને $(x - 5)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$a = 5$ છે.
તેથી,શેષ $p(5) = (5)^{3} + 125$ થશે.
$p(5) = 125 + 125 = 250$.
આમ,શેષ $250$ મળે છે.

(B) $85 \times 75$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $85$ ને $(80 + 5)$ અને $75$ ને $(80 - 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,$85 \times 75 = (80 + 5)(80 - 5)$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 80$ અને $b = 5$ છે:
$= 80^2 - 5^2$
$= 6400 - 25$
$= 6375$.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $4x^{2} - 20x + 25$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$a^{2} = 4x^{2} \implies a = 2x$.
તે જ રીતે,$b^{2} = 25 \implies b = 5$.
મધ્યમ પદ તપાસતા: $-2ab = -2(2x)(5) = -20x$,જે આપેલી પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$4x^{2} - 20x + 25 = (2x - 5)^{2}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-10x+21 = (x+m)(x+n)$ છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(x+m)(x+n) = x^{2} + nx + mx + mn = x^{2} + (m+n)x + mn$ મળે છે.
મૂળ પદાવલિ $x^{2}-10x+21$ સાથે $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદની સરખામણી કરતા:
$m+n = -10$
$mn = 21$
તેથી,$m+n$ ની કિંમત $-10$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-3x^{2}+ax+24$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{3} - 3(2)^{2} + a(2) + 24 = 0$.
$8 - 3(4) + 2a + 24 = 0$.
$8 - 12 + 2a + 24 = 0$.
$20 + 2a = 0$.
$2a = -20$.
$a = -10$.

(B) બહુપદીને તેના ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$4 x^{2}+11 x-3$ પદાવલિ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$4 x^{2}+11 x-3$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-23x+120$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો સરવાળો $-23$ થાય અને ગુણાકાર $120$ થાય.
ધારો કે તે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણને મળે છે $a+b = -23$ અને $ab = 120$.
$120$ ના અવયવો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $-15$ અને $-8$ આ શરતોનું પાલન કરે છે કારણ કે $(-15) + (-8) = -23$ અને $(-15) \times (-8) = 120$.
હવે,મધ્યમ પદ $-23x$ ને $-15x - 8x$ તરીકે લખો:
$x^{2}-15x-8x+120$
પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$(x^{2}-15x) - (8x-120)$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x-15) - 8(x-15)$
$(x-15)(x-8)$
આમ,અવયવો $(x-15)(x-8)$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$ નો અવયવ શોધવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
ચાલો આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $D$ માટે,$x-1 = 0$ એટલે કે $x = 1$.
$p(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 7(1) - 5$
$p(1) = 1 - 3 + 7 - 5$
$p(1) = 8 - 8 = 0$.
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,આપણે $p(x) = x^{2} + 12x + 36$ ને $(x + 5)$ વડે ભાગીએ છીએ,જે $(x - (-5))$ ને સમાન છે.
તેથી,શેષ $p(-5)$ થશે.
બહુપદીમાં $x = -5$ મૂકતા:
$p(-5) = (-5)^{2} + 12(-5) + 36$
$p(-5) = 25 - 60 + 36$
$p(-5) = 61 - 60$
$p(-5) = 1$
આમ,શેષ $1$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-8x-20 = (x+a)(x+b)$ છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab$ મળે છે.
આને આપેલ પદાવલિ $x^{2}-8x-20$ સાથે સરખાવતા,આપણે અચળ પદોને સરખાવીએ છીએ.
ડાબી બાજુનું અચળ પદ $-20$ છે.
જમણી બાજુનું અચળ પદ $ab$ છે.
તેથી,$ab = -20$.

(C) બહુપદી $p(x) = x^{3}-3x^{2}-5x+15$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
પદોના સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડતા:
$x^{2}(x-3) - 5(x-3) = 0$
$(x^{2}-5)(x-3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-3 = 0 \implies x = 3$
$x^{2}-5 = 0 \implies x^{2} = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$3$ એ એક શૂન્ય છે.

(D) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 12x^{2} + ax + 60$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+3)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-3) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -3$ મૂકતા:
$(-3)^{3} + 12(-3)^{2} + a(-3) + 60 = 0$
$-27 + 12(9) - 3a + 60 = 0$
$-27 + 108 - 3a + 60 = 0$
$141 - 3a = 0$
$3a = 141$
$a = 47$.

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $5x^{2} - 7x - 11$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $11 = 11x^{0}$).
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $2$ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 5x - 10$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$5x - 10 = 0$
$5x = 10$
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $2$ છે.

(B) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
અહીં આપેલ છે કે $p(-3) = 0$,તેથી આપણે $(x - a)$ માં $a = -3$ મૂકીએ.
આનાથી આપણને $(x - (-3)) = x + 3$ મળે છે.
તેથી,$(x + 3)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a = 5x$ અને $b = 3$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(5x+3)(5x-3) = (5x)^{2} - (3)^{2}$
$= 25x^{2} - 9$.

(A) આપેલી બહુપદી $p(x) = 5x^{3} - 3x^{2} + 11x - 4$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતું પદ જોઈએ,જે $-3x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $-3$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $-3$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 8x + 12$ છે.
$p(-1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} + 8(-1) + 12$
$p(-1) = -1 - 3(1) - 8 + 12$
$p(-1) = -1 - 3 - 8 + 12$
$p(-1) = -12 + 12$
$p(-1) = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$7x^5 - 4x^4 + 2(x^3)^2 - x^2 + 35$
$= 7x^5 - 4x^4 + 2x^6 - x^2 + 35$
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
સાદું રૂપ આપેલ પદાવલિ $2x^6 + 7x^5 - 4x^4 - x^2 + 35$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $6$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $6$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = bx + m$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$bx + m = 0$
$bx = -m$
$x = -\frac{m}{b}$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $-\frac{m}{b}$ છે.