Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ है।
सिद्ध करना है: $BC = AD$ है।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$. चूँकि $AB \parallel CD$ है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$3$. $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ से,हमें $\angle C = \angle D$ प्राप्त होता है।
$4$. इसी प्रकार,चूँकि $AB \parallel CD$ है,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$। दिया गया है कि $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,अतः $\angle C = \angle D$ सिद्ध होता है।
$5$. एक चक्रीय चतुर्भुज में,यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर हो,तो वह एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होता है। समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में असमांतर भुजाएँ बराबर होती हैं।
$6$. अतः,$BC = AD$।

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,हमें $AB = AC$ दिया गया है। इसलिए,$\angle ABC = \angle ACB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$2$. चूँकि $B, C, Y, X$ एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु हैं,इसलिए $BCYX$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
$3$. चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म के अनुसार,चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।
$4$. अतः,चक्रीय चतुर्भुज $BCYX$ के लिए,बहिष्कोण $\angle AXY = \angle ACB$ होगा।
$5$. चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$ है,इसलिए $\angle AXY = \angle ABC$ होगा।
$6$. ये कोण तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा $XY$ और $BC$ रेखाओं पर बनाए गए संगत कोण हैं।
$7$. यदि संगत कोण बराबर हों,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। अतः,$XY \parallel BC$।

(D) $1$. एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$. दिया गया है कि $\angle B = 80^{\circ}$,इसलिए $\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$3$. चूँकि $AB \parallel CD$,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$4$. $\angle D = 100^{\circ}$ रखने पर,$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\angle A = 80^{\circ}$।
$5$. अंत में,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ का उपयोग करने पर,$80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$ मिलता है,इसलिए $\angle C = 100^{\circ}$।
$6$. अतः,कोण $\angle A = 80^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 100^{\circ}$ हैं।

(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में,एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए एक ही चाप $AB$ द्वारा परिधि पर बने कोण $\angle ACB$ और $\angle ADB$ हैं।
अतः,$\angle ACB = \angle ADB = 78^{\circ}$।
अब,त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\angle ABC + 52^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।

(A) $1$. चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$2$. इसलिए,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$।
$3$. दिया गया है कि $\angle ADC = 150^{\circ}$,अतः $\angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$4$. चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
$5$. $\triangle ABC$ में,तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$6$. $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$7$. $\angle BAC + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
$8$. $\angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।

(B) एक चक्रीय चतुर्भुज $PQRS$ में,एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
चूँकि $\angle QPR$ और $\angle QSR$ एक ही चाप $QR$ द्वारा परिधि पर बने कोण हैं,इसलिए $\angle QSR = \angle QPR = 40^{\circ}$ होगा।
दिया गया है कि $\angle PSQ = 70^{\circ}$,अतः कुल कोण $\angle PSR = \angle PSQ + \angle QSR = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$ होगा।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle PQR + \angle PSR = 180^{\circ}$।
$\angle PQR + 110^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle PQR = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।

(C) $1$. चक्रीय चतुर्भुज $ABDE$ में,बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है। अतः,$\triangle ACE$ में,$\angle C = 40^{\circ}$ और $\angle CAE = 65^{\circ}$ है। इसलिए,$\angle AEC = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 65^{\circ}) = 75^{\circ}$।
$2$. चक्रीय गुणधर्म के अनुसार,$\angle BDE = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$।
$3$. अतः,$c = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$।
$4$. $\angle a = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$।
$5$. $\triangle FDE$ में,$b = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 105^{\circ}) = 10^{\circ}$।
$6$. इस प्रकार,$a=150^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$।

(D) चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया है $\angle A : \angle C = 4 : 5$,मान लीजिए $\angle A = 4x$ और $\angle C = 5x$ है।
चूंकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $4x + 5x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 4(20^{\circ}) = 80^{\circ}$ और $\angle C = 5(20^{\circ}) = 100^{\circ}$।
दिया है $\angle B : \angle D = 5 : 7$,मान लीजिए $\angle B = 5y$ और $\angle D = 7y$ है।
चूंकि $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,इसलिए $5y + 7y = 180^{\circ} \Rightarrow 12y = 180^{\circ} \Rightarrow y = 15^{\circ}$।
अतः,$\angle B = 5(15^{\circ}) = 75^{\circ}$ और $\angle D = 7(15^{\circ}) = 105^{\circ}$।
इसलिए,कोण $\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 105^{\circ}$ हैं।

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle R = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle P = \angle R + 50^{\circ}$।
पहले समीकरण में $\angle P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\angle R + 50^{\circ}) + \angle R = 180^{\circ}$
$2\angle R + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle R = 130^{\circ}$
$\angle R = 65^{\circ}$।
अब,$\angle P$ ज्ञात करने पर:
$\angle P = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 115^{\circ}$ और $\angle R = 65^{\circ}$।

(B) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
दिया गया है $\angle A = 4 \angle C$,इसे पहले समीकरण में रखने पर: $4 \angle C + \angle C = 180^{\circ} \implies 5 \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 36^{\circ}$।
तब,$\angle A = 4 \times 36^{\circ} = 144^{\circ}$।
दिया गया है $\angle B = 3 \angle D$,इसे दूसरे समीकरण में रखने पर: $3 \angle D + \angle D = 180^{\circ} \implies 4 \angle D = 180^{\circ} \implies \angle D = 45^{\circ}$।
तब,$\angle B = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 135^{\circ}, \angle C = 36^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$ हैं।

(A) मान लीजिए $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं। मान लीजिए $M$ और $N$ क्रमशः जीवा $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
दिया गया है कि रेखा $MN$ केंद्र $O$ से होकर गुजरती है।
वृत्त के केंद्र को जीवा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड जीवा पर लंब होता है। इसलिए,$OM \perp AB$,जिसका अर्थ है $\angle OMA = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,चूंकि $N$,$CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $ON \perp CD$,जिसका अर्थ है $\angle ONC = 90^{\circ}$।
चूंकि बिंदु $M, O, N$ संरेख हैं (क्योंकि रेखा $MN$ केंद्र $O$ से गुजरती है),रेखा $MN$ जीवा $AB$ और $CD$ के लिए एक तिर्यक रेखा (transversal) के रूप में कार्य करती है।
यहाँ $\angle OMA$ और $\angle ONC$ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,जिनका योग $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
चूंकि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए जीवा $AB$ और $CD$ समांतर हैं।

(A) $1$. चूँकि $A$,$B, C$ और $D$ से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है,इसलिए $AB = AC = AD = r$ (जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है)।
$2$. $\triangle ABD$ में,$AB = AD$ है,इसलिए $\angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - \angle BAD)/2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$3$. $\triangle BCD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$4$. वृत्त के प्रमेय के अनुसार,केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। यहाँ,$\angle BCD = \frac{1}{2} (360^{\circ} - \angle BAD) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$5$. इस मान को समीकरण में रखने पर: $\angle CBD + \angle CDB + (180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD) = 180^{\circ}$.
$6$. अतः,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$BM \perp AC$ और $CN \perp AB$ है।
$2$. इसलिए,$\angle BMC = 90^\circ$ और $\angle BNC = 90^\circ$ है।
$3$. रेखाखंड $BC$ को एक जीवा के रूप में लें।
$4$. रेखाखंड $BC$ द्वारा बिंदुओं $M$ और $N$ पर अंतरित कोण $\angle BMC = 90^\circ$ और $\angle BNC = 90^\circ$ हैं।
$5$. चूंकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$ है,इसलिए बिंदु $M$ और $N$ एक ऐसे वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास $BC$ है।
$6$. अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय हैं।

(N/A) माना $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ और असमांतर भुजाएँ $AD = BC$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,हमें यह दिखाना होगा कि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,अर्थात $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ या $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$DE \perp AB$ और $CF \perp AB$ खींचिए।
$\triangle ADE$ और $\triangle BCF$ में:
$AD = BC$ (दिया है)
$\angle AED = \angle BFC = 90^{\circ}$ (रचना से)
$DE = CF$ (समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle ADE \cong \triangle BCF$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle A = \angle B$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूँकि $AB \parallel CD$,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अर्थात $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle A$ के स्थान पर $\angle B$ रखने पर,हमें $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।

(B) दिया है: त्रिज्या $r = \sqrt{2} \ cm$ और जीवा की लंबाई $AB = 2 \ cm$ है।
$\triangle APB$ में,$AP = BP = r = \sqrt{2} \ cm$ और $AB = 2 \ cm$ है।
जाँच करें कि क्या $\triangle APB$ एक समकोण त्रिभुज है: $AP^2 + BP^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$।
चूँकि $AB^2 = 2^2 = 4$ है,इसलिए $AP^2 + BP^2 = AB^2$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle APB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle APB = 90^{\circ}$ है।
जीवा $AB$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\angle APB = 90^{\circ}$ है।
दीर्घ चाप पर स्थित किसी बिंदु $C$ पर उसी जीवा द्वारा अंतरित कोण,केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है।
अतः,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।

(N/A) $(1)$ असत्य। वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को जीवा कहा जाता है। व्यास एक विशेष प्रकार की जीवा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
$(2)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार, व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है और इसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी $(d = 2r)$ होती है।
$(3)$ असत्य। वृत्त की सबसे लंबी जीवा व्यास होती है। $r = 14 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, व्यास $d = 2 \times 14 \text{ cm} = 28 \text{ cm}$ होता है। चूंकि किसी भी जीवा की लंबाई व्यास से अधिक नहीं हो सकती, इसलिए इस वृत्त में $32 \text{ cm}$ लंबाई की जीवा संभव नहीं है।

(A) $(1)$ असत्य। तीन दिए गए असंरेख बिंदुओं से होकर केवल एक ही अद्वितीय वृत्त गुजरता है।
$(2)$ सत्य। दो दिए गए बिंदुओं से होकर अनंत वृत्त खींचे जा सकते हैं,क्योंकि उनके केंद्र उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर कहीं भी स्थित हो सकते हैं।

(B) दिया गया है कि वृत्त का व्यास $20 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ है।
मान लीजिए $M$ जीवा $AB$ का मध्यबिंदु है ताकि $PM \perp AB$ हो। केंद्र $P$ से जीवा $AB$ की दूरी $PM = 6 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$10^2 = 6^2 + AM^2$
$100 = 36 + AM^2$
$AM^2 = 100 - 36 = 64$
$AM = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AM = 2 \times 8 = 16 \, cm$।

(A) एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
दिया गया है कि $P$ केंद्र वाले वृत्त में $AB$ और $CD$ समान जीवाएँ हैं।
इसलिए,जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $P$ पर अंतरित कोण,जीवा $CD$ द्वारा केंद्र $P$ पर अंतरित कोण के बराबर होगा।
अतः,$\angle APB = \angle CPD$.
दिया गया है कि $\angle APB = 80^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle CPD = 80^{\circ}$।

(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$।
यह भी दिया गया है कि $\angle A = \angle C$।
पहले समीकरण में $\angle C$ के स्थान पर $\angle A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle A + \angle A = 180^{\circ}$।
$2\angle A = 180^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$।

(A) माना $P$ वृत्त का केंद्र है और $AB$ जीवा है। माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है ताकि $PM \perp AB$ हो।
दिया गया है कि जीवा की केंद्र से दूरी $PM = 20 \, cm$ है।
जीवा की लंबाई $AB = 96 \, cm$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{96}{2} = 48 \, cm$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PA^2 = PM^2 + AM^2$।
यहाँ,$PA$ वृत्त की त्रिज्या $(r)$ है।
$r^2 = 20^2 + 48^2$।
$r^2 = 400 + 2304 = 2704$।
$r = \sqrt{2704} = 52 \, cm$।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $52 \, cm$ है।

(B) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle Q + \angle S = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $5 \angle Q = 7 \angle S$,अतः हम $\angle S$ को $\angle S = \frac{5}{7} \angle Q$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle Q + \frac{5}{7} \angle Q = 180^{\circ}$।
$\frac{7 \angle Q + 5 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$।
$\frac{12 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$।
$\angle Q = \frac{180^{\circ} \times 7}{12}$।
$\angle Q = 15^{\circ} \times 7 = 105^{\circ}$।

(C) वृत्त के गुणों के अनुसार,व्यास द्वारा वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण समकोण होता है।
चूंकि $XY$,$\Delta XYZ$ के परिवृत्त का व्यास है,इसलिए कोण $\angle XZY$,व्यास $XY$ द्वारा परिधि पर स्थित बिंदु $Z$ पर अंतरित कोण है।
अतः,$\angle XZY = 90^{\circ}$ होगा।

(D) वृत्त प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यहाँ,चाप $AB$ केंद्र $P$ पर $\angle APB$ और दीर्घ चाप पर स्थित बिंदु $C$ पर $\angle ACB$ अंतरित करता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \times \angle ACB$.
दिया गया है कि $\angle ACB = 47^{\circ}$.
अतः,$\angle APB = 2 \times 47^{\circ} = 94^{\circ}$.

(A) ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार,यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं,तो वे जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
दिया गया है कि जीवाएँ $PQ$ और $RS$ केंद्र $O$ पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
इसलिए,$PQ = RS$ होगा।
चूँकि $PQ = 12 \text{ cm}$ है,इसलिए $RS = 12 \text{ cm}$ होगा।

(B) दिया गया है: वृत्त का व्यास $d = 70 \, cm$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{70}{2} = 35 \, cm$ है।
माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है ताकि $PM \perp AB$ हो।
केंद्र से जीवा की दूरी $PM = 21 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$35^2 = 21^2 + AM^2$
$1225 = 441 + AM^2$
$AM^2 = 1225 - 441 = 784$
$AM = \sqrt{784} = 28 \, cm$।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AM = 2 \times 28 = 56 \, cm$।

(C) एक चक्रीय चतुर्भुज में,एक ही चाप द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए चाप $AB$ द्वारा परिधि पर बने कोण $\angle ADB$ और $\angle ACB$ समान होंगे।
अतः,$\angle ACB = \angle ADB = 55^{\circ}$।
अब,त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $45^{\circ} + \angle ABC + 55^{\circ} = 180^{\circ}$।
$100^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।

(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों के युग्म $\angle A$ और $\angle C$ तथा $\angle B$ और $\angle D$ हैं।
अतः,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
यहाँ $\angle B = 75^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $75^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle D = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $r = 8 \, cm$ है और जीवा की लंबाई $AB = 8 \, cm$ है।
$\triangle APB$ में,$PA = PB = 8 \, cm$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) और $AB = 8 \, cm$ है।
चूँकि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं $(PA = PB = AB = 8 \, cm)$,इसलिए $\triangle APB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
एक समबाहु त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोण $60^{\circ}$ के होते हैं।
अतः,$\angle APB = 60^{\circ}$।

(B) जब दो वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को उभयनिष्ठ जीवा कहा जाता है। चूँकि दो वृत्त अधिकतम दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं,इसलिए उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली केवल एक ही उभयनिष्ठ जीवा हो सकती है। अतः,एक ही समतल में दो वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ जीवाओं की अधिकतम संख्या $1$ है।

(C) चूँकि $AB$ केंद्र $P$ वाले वृत्त का व्यास है,व्यास द्वारा वृत्त के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण समकोण होता है। इसलिए,$\angle ACB = 90^\circ$ है।
$\triangle ACB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 + BC^2 = AB^2$ है।
वृत्त की त्रिज्या $34 \, cm$ है,इसलिए व्यास $AB = 2 \times 34 = 68 \, cm$ है।
मान रखने पर,$32^2 + BC^2 = 68^2$ प्राप्त होता है।
$1024 + BC^2 = 4624$ है।
$BC^2 = 4624 - 1024 = 3600$ है।
$BC = \sqrt{3600} = 60 \, cm$ है।

(D) चक्रीय चतुर्भुज का एक गुण यह है कि इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2x - 10^{\circ}) + (3x - 35^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x - 45^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों में $45^{\circ}$ जोड़ने पर: $5x = 225^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 45^{\circ}$.
अब,$\angle A$ का मान ज्ञात करें: $\angle A = 2x - 10^{\circ} = 2(45^{\circ}) - 10^{\circ} = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.

(A) परिभाषा के अनुसार,वृत्त के केंद्र को वृत्त की परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को वृत्त की जीवा कहा जाता है। यदि यह जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है,तो इसे व्यास कहा जाता है,जो वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।

(C) वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली जीवा को वृत्त का व्यास कहा जाता है। व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है और इसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है $(d = 2r)$।

(D) जीवा एक रेखाखंड है जिसके अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होते हैं। व्यास एक विशेष प्रकार की जीवा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। चूंकि वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी तब अधिकतम होती है जब रेखाखंड केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।

(A) वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच के वृत्त के भाग को $\operatorname{arc}$ (चाप) कहा जाता है।
चाप वृत्त की परिधि का एक हिस्सा होता है।

(B) परिभाषा के अनुसार,एक वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक तल में एक निश्चित बिंदु से एक निश्चित दूरी पर स्थित होते हैं। इस निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है। चूंकि वृत्त पर स्थित प्रत्येक बिंदु केंद्र से इस निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होता है,इसलिए केंद्र वृत्त के प्रत्येक बिंदु से समान दूरी पर स्थित होता है।

(C) एक वृत्त की परिसीमा की कुल लंबाई या परिमाप को उसकी परिधि कहा जाता है। अतः,सही उत्तर परिधि है।

(D) प्रमेय के अनुसार,वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक वृत्त जो त्रिभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है,उसे उस त्रिभुज का परिवृत्त (circumcircle) कहा जाता है। इस वृत्त के केंद्र को परिकेंद्र और इसकी त्रिज्या को परित्रिज्या कहा जाता है। अतः,सही शब्द परिवृत्त है।

(B) वृत्त का त्रिज्यखंड (sector) दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा हुआ भाग होता है,जिसमें छोटे भाग को लघु त्रिज्यखंड और बड़े भाग को दीर्घ त्रिज्यखंड कहा जाता है। अतः,परिभाषित क्षेत्र को त्रिज्यखंड कहा जाता है।

(C) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए समीकरण $5 \angle A = 13 \angle C$ से,हम लिख सकते हैं कि $\angle C = \frac{5}{13} \angle A$.
इस मान को योग वाले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle A + \frac{5}{13} \angle A = 180^{\circ}$.
$\frac{13 \angle A + 5 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\frac{18 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} \times \frac{13}{18}$.
$\angle A = 10^{\circ} \times 13 = 130^{\circ}$.

(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में,एक ही चाप द्वारा वृत्त की परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं।
यहाँ,$\angle PRQ$ और $\angle PSQ$ एक ही चाप $PQ$ द्वारा वृत्त की परिधि पर बने कोण हैं।
इसलिए,$\angle PSQ = \angle PRQ$ होगा।
दिया गया है कि $\angle PRQ = 52^{\circ}$,अतः $\angle PSQ = 52^{\circ}$ होगा।

(A) माना वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 17 \, cm$ है। माना $AB$ जीवा की लंबाई $30 \, cm$ है।
केंद्र $O$ से जीवा $AB$ पर एक लंब $OM$ खींचिए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$।
मान रखने पर: $17^2 = OM^2 + 15^2$।
$289 = OM^2 + 225$।
$OM^2 = 289 - 225 = 64$।
$OM = \sqrt{64} = 8 \, cm$।
अतः,केंद्र से जीवा की दूरी $8 \, cm$ है।

(B) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $O$ है और त्रिज्या $r = 13 \, cm$ है। मान लीजिए $AB$ वह जीवा है जो केंद्र से $OM = 12 \, cm$ की दूरी पर स्थित है,जहाँ $OM \perp AB$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$13^2 = 12^2 + AM^2$
$169 = 144 + AM^2$
$AM^2 = 169 - 144 = 25$
$AM = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा $AB$ की लंबाई $= 2 \times AM = 2 \times 5 = 10 \, cm$ है।

(C) वृत्त में,जीवा की लंबाई का सूत्र $L = 2r \sin(\theta/2)$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\theta$ केंद्र पर बना कोण है।
जीवा $AB$ के लिए,$7 = 2r \sin(80^{\circ}/2) = 2r \sin(40^{\circ})$। अतः,$r = 7 / (2 \sin(40^{\circ}))$।
जीवा $CD$ के लिए,लंबाई $CD = 2r \sin(50^{\circ}/2) = 2r \sin(25^{\circ})$।
$r$ का मान रखने पर,$CD = 2 \times [7 / (2 \sin(40^{\circ}))] \times \sin(25^{\circ}) = 7 \times \sin(25^{\circ}) / \sin(40^{\circ})$।
लगभग मान $\sin(25^{\circ}) \approx 0.4226$ और $\sin(40^{\circ}) \approx 0.6428$ का उपयोग करने पर,$CD \approx 7 \times (0.4226 / 0.6428) \approx 4.6\, cm$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न में कोई त्रुटि है और जीवाओं को समान माना जाए,तो $7\, cm$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(D) एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
दिया गया है कि $P$ केंद्र वाले वृत्त में $AB$ और $CD$ समान जीवाएँ हैं।
इसलिए,इन जीवाओं द्वारा केंद्र $P$ पर अंतरित कोण समान होने चाहिए।
अतः,$\angle CPD = \angle APB = 70^{\circ}$.
अब,$\triangle PCD$ में,$PC = PD$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\triangle PCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$.
चूँकि $\angle PCD = \angle PDC$,इसलिए $2 \angle PCD + 70^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle PCD = 110^{\circ}$.
$\angle PCD = 55^{\circ}$.

(A) माना कि कोण $3x, 2x, 4x$ और $5x$ हैं।
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$3x + 2x + 4x + 5x = 360^{\circ}$
$14x = 360^{\circ}$
$x = \frac{360}{14} = \frac{180}{7}^{\circ}$
अब,कोणों की गणना करते हैं:
$\angle A = 3 \times \frac{180}{7} = \frac{540}{7}^{\circ} \approx 77.14^{\circ}$
$\angle B = 2 \times \frac{180}{7} = \frac{360}{7}^{\circ} \approx 51.43^{\circ}$
$\angle C = 4 \times \frac{180}{7} = \frac{720}{7}^{\circ} \approx 102.86^{\circ}$
$\angle D = 5 \times \frac{180}{7} = \frac{900}{7}^{\circ} \approx 128.57^{\circ}$
चक्रीय चतुर्भुज के लिए,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए।
$\angle A + \angle C = \frac{540}{7} + \frac{720}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
$\angle B + \angle D = \frac{360}{7} + \frac{900}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
चूंकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।

(B) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(3x + 15^{\circ}) + (2x + 15^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $30^{\circ}$ घटाने पर: $5x = 150^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 30^{\circ}$.
अतः,$x$ का मान $30$ है।