Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AD \parallel BC$ और इसकी असमांतर भुजाएँ $AB$ और $DC$ बराबर हैं,अर्थात $AB = DC$ है।
सिद्ध करना है: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।
रचना: $AM \perp BC$ और $DN \perp BC$ खींचिए।
उपपत्ति: समकोण त्रिभुजों $\Delta AMB$ और $\Delta DNC$ में:
$\angle AMB = \angle DNC = 90^{\circ}$ (रचना से)
$AB = DC$ (दिया है)
$AM = DN$ (दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
अतः,$\Delta AMB \cong \Delta DNC$ ($RHS$ सर्वांगसमता नियम से)।
इस प्रकार,$\angle B = \angle C$ $(CPCT)$।
साथ ही,$\angle BAM = \angle CDN$ $(CPCT)$।
चूँकि $\angle AMB = 90^{\circ}$ और $\angle DNC = 90^{\circ}$ है,तो $\angle MAB = 90^{\circ} - \angle B$ और $\angle NDC = 90^{\circ} - \angle C$ होगा। चूँकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle MAB = \angle NDC$ होगा।
अब,$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \angle BAM + 90^{\circ}$ और $\angle CDA = \angle CDN + \angle NDA = \angle CDN + 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle BAM = \angle CDN$ है,इसलिए $\angle BAD = \angle CDA$ होगा।
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle B + \angle C + \angle CDA + \angle BAD = 360^{\circ}$ है।
$\angle C = \angle B$ और $\angle CDA = \angle BAD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\angle B + 2\angle BAD = 360^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle B + \angle BAD = 180^{\circ}$ है।
चूँकि सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।

(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $R, D, P$ और $Q$ एकवृतीय हैं।
$RD, QD, PR$ और $PQ$ को मिलाइए।
चूंकि $RP, AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं $R$ और $P$ को जोड़ता है,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$RP \parallel AC$.
इसी प्रकार,$PQ \parallel AB$.
अतः,$ARPQ$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए,$\angle RAQ = \angle RPQ$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण) ... $(1)$
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,$DR$ कर्ण $AB$ पर माध्यिका है। इसलिए,$RA = RD$,जिसका अर्थ है $\angle 1 = \angle B$.
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $ACD$ में,$DQ$ कर्ण $AC$ पर माध्यिका है। इसलिए,$QA = QD$,जिसका अर्थ है $\angle 3 = \angle C$.
त्रिभुज $ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
साथ ही,$\triangle RDQ$ में,$\angle RDQ = 180^{\circ} - (\angle DRQ + \angle DQR) = 180^{\circ} - (2\angle B + 2\angle C) = 180^{\circ} - 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A - 180^{\circ}$.
वैकल्पिक रूप से,चक्रीय चतुर्भुज के गुण का उपयोग करते हुए,$\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle RDA + \angle ADQ = \angle RAD + \angle QAD = \angle A$. चूंकि $\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle A$,बिंदु $R, D, P, Q$ एकवृतीय हैं क्योंकि वे $RQ$ के एक ही ओर समान कोण अंतरित करते हैं।

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A$ और $B$ से गुजरने वाला एक वृत्त $AD$ को $P$ पर और $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें सिद्ध करना है कि $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय हैं।
$1$. चूंकि $ABQP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,भुजा $AP$ को $D$ तक बढ़ाने पर बना बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।
माना $\angle QPD$ बिंदु $P$ पर बहिष्कोण है। अतः,$\angle QPD = \angle ABQ$.
$2$. समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AD \parallel BC$ है। समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ तथा तिर्यक रेखा $BC$ के लिए,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$3$. चूंकि $\angle QPD = \angle ABQ$ (चक्रीय चतुर्भुज $ABQP$ के गुणधर्म से) और हम जानते हैं कि $\angle ABQ + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए हम $\angle ABQ$ के स्थान पर $\angle QPD$ रख सकते हैं।
$4$. अतः,$\angle QPD + \angle C = 180^{\circ}$.
$5$. चूंकि चतुर्भुज $PDCQ$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $PDCQ$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अतः,बिंदु $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय हैं।

(N/A) दिया है: एक $\Delta ABC$ और एक रेखा $l$ जो $BC$ का लंब समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उपपत्ति: मान लीजिए कि $\angle A$ का कोण समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। $BP$ और $CP$ को मिलाइए।
चूंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\angle BAP = \angle BCP$
चूंकि $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle BAP = \angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$
अतः,$\angle BCP = \frac{1}{2} \angle A$ $...(1)$
इसी प्रकार,समान वृत्तखंड में,$\angle PAC = \angle PBC$ है।
चूंकि $\angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$ है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle A$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BCP = \angle PBC$
$\Delta PBC$ में,चूंकि आधार के कोण बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं:
$BP = CP$
चूंकि $P$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $P$ को $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
अतः,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(A) सिद्ध करना है: $\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = \text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = \text{अर्धवृत्त}$.
रचना: $AC, AD, BD$ और $BC$ को मिलाइए।
उपपत्ति: मान लीजिए कि जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। चाप के माप को उनके संगत केंद्रीय कोणों द्वारा दर्शाते हैं।
$\triangle AOC$ में,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि वृत्त की परिधि पर चाप द्वारा अंतरित कोण केंद्र के कोण का आधा होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\text{चाप } CXA = 2 \angle CBA$ और $\text{चाप } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ में,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
अतः,$\frac{1}{2} (\text{चाप } CXA) + \frac{1}{2} (\text{चाप } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
इसलिए,$\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = 180^{\circ}$,जो एक अर्धवृत्त है।
इसी प्रकार,दूसरे युग्म के लिए,$\text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = 180^{\circ}$,जो भी एक अर्धवृत्त है।
अतः,$\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = \text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = \text{अर्धवृत्त}$.

(N/A) चूंकि वृत्त की समान जीवाएं केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं,इसलिए हमारे पास है:
जीवा $AB = $ जीवा $AC$ (दिया है,क्योंकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है)।
अतः,$\angle AOB = \angle AOC$ $...(1)$
चूंकि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है:
$\angle APC = \frac{1}{2} \angle AOC$ $...(2)$
$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB$ $...(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle APC = \angle APB$
अतः,$PA$,$\angle BPC$ का कोण समद्विभाजक है।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की दो जीवाएँ हैं,जो बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$।
रचना: $AC, BC, BD$ और $AD$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
$2$. चाप $CXA$ केंद्र पर $\angle AOC$ और वृत्त के शेष भाग पर $\angle ABC$ अंतरित करता है। अतः,$\angle AOC = 2 \angle ABC$ $....(1)$
$3$. इसी प्रकार,चाप $DYB$ केंद्र पर $\angle BOD$ और वृत्त के शेष भाग पर $\angle BCD$ अंतरित करता है। अतः,$\angle BOD = 2 \angle BCD$ $....(2)$
$4$. $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $\angle AOC + \angle BOD = 2(\angle ABC + \angle BCD)$ $....(3)$
$5$. $\Delta CEB$ में,$\angle AEC$ एक बहिष्कोण है। बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$6$. अतः,$\angle AEC = \angle ABC + \angle BCD$ $....(4)$
$7$. $(3)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है: $\angle AOC + \angle BOD = 2 \angle AEC$।
$8$. इस प्रकार,$\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$।
अतः,$\angle AEC = \frac{1}{2}$ (चाप $CXA$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $+$ चाप $DYB$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण)।

(N/A) माना कि एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोणों $\angle A$ और $\angle C$ के समद्विभाजक वृत्त को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $PQ$ वृत्त का व्यास है।
$AQ$ और $DQ$ को मिलाइए।
चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं,इसलिए चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में:
$\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle DCB = 90^{\circ}$
माना $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle DAB$ और $\angle 2 = \frac{1}{2} \angle DCB$ है। अतः,$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle 2$ और $\angle 3$ एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण हैं जो जीवा $QD$ द्वारा अंतरित हैं,इसलिए $\angle 2 = \angle 3$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle PAQ = 90^{\circ}$ है।
चूंकि वृत्त की परिधि पर $PQ$ द्वारा अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQ$ वृत्त का व्यास है।

(N/A) माना वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2} \text{ cm}$ है। माना $BC$ लंबाई $2 \text{ cm}$ की जीवा है।
$OB$ और $OC$ को मिलाइए। $\triangle OBC$ में,हमारे पास $OB = OC = \sqrt{2} \text{ cm}$ और $BC = 2 \text{ cm}$ है।
जाँच कीजिए कि क्या $\triangle OBC$ एक समकोण त्रिभुज है:
$OB^2 + OC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
$BC^2 = (2)^2 = 4$.
चूँकि $OB^2 + OC^2 = BC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,$\angle BOC = 90^{\circ}$ है।
वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।
अतः,यह सिद्ध होता है कि दीर्घ वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण $45^{\circ}$ है।

(N/A) मान लीजिए $O$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। $AB$ और $AC$ दो जीवाएँ हैं इस प्रकार कि $AB = 2 AC$ है।
मान लीजिए $OL \perp AB$ और $OM \perp AC$ है। दिया है कि $OL = p$ और $OM = q$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
समकोण $\Delta AOL$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^{2} = AL^{2} + p^{2} \Rightarrow AL^{2} = r^{2} - p^{2}$।
चूँकि $L$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AL = \frac{1}{2} AB$ है।
अतः,$(\frac{1}{2} AB)^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AB^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4(r^{2} - p^{2})$ है।
चूँकि $AB = 2 AC$ है,इसलिए $(2 AC)^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow 4 AC^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow AC^{2} = r^{2} - p^{2} \quad \dots(1)$ है।
समकोण $\Delta AOM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^{2} = AM^{2} + q^{2} \Rightarrow AM^{2} = r^{2} - q^{2}$ है।
चूँकि $M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$(\frac{1}{2} AC)^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AC^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow AC^{2} = 4(r^{2} - q^{2}) \quad \dots(2)$ है।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$r^{2} - p^{2} = 4(r^{2} - q^{2})$
$r^{2} - p^{2} = 4r^{2} - 4q^{2}$
$4q^{2} = 4r^{2} - r^{2} + p^{2}$
$4q^{2} = 3r^{2} + p^{2}$ है।
अतः,$4q^{2} = p^{2} + 3r^{2}$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $O$ वृत्त का केंद्र है और $\angle BCO = 30^{\circ}$ है। हमें $x$ और $y$ के मान ज्ञात करने हैं।
समकोण त्रिभुज $\Delta OPC$ में,हमारे पास है:
$\angle POC = 180^{\circ} - (\angle OPC + \angle PCO)$
$\Rightarrow \angle POC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$.
दिया गया है कि $\angle AOD = 90^{\circ}$,और चूंकि $AD$ एक सीधी रेखा है,$\angle AOD + \angle DOP = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$\angle DOP = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
अब,$\angle COD = \angle DOP - \angle POC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
चूंकि केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है:
$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$. अतः,$y = 15^{\circ}$.
साथ ही,$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\Delta ABP$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$x + (\angle ABD + y) + \angle APB = 180^{\circ}$
$x + (45^{\circ} + 15^{\circ}) + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
अतः,$x = 30^{\circ}$ और $y = 15^{\circ}$.

$(30^{\circ})$ $\Delta OBD$ में,हमारे पास $OB = OD$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) और $BD = OD$ (दिया है) है।
चूंकि $OB = OD = BD$,इसलिए $\Delta OBD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle BOD = 60^{\circ}$।
$\Delta OPD$ और $\Delta BPD$ में,$OD = BD$ (दिया है),$DP = DP$ (उभयनिष्ठ भुजा),$\angle OPD = \angle BPD = 90^{\circ}$ है।
इस प्रकार,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta OPD \cong \Delta BPD$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle DOP = \angle DBP$। चूंकि $\angle BOD = 60^{\circ}$,इसलिए $\angle DOP = 60^{\circ}$।
अतः,$\angle DBP = 60^{\circ}$।
$\Delta BPD$ में,$\angle BDP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle CAB = \angle CDB$।
अतः,$\angle CAB = 30^{\circ}$।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $PB = PD$.
रचना: $OR \perp AB$ और $OQ \perp CD$ खींचिए। $OP$ को मिलाइए।
उपपत्ति: चूँकि $OR \perp AB$ और $OQ \perp CD$ वृत्त के केंद्र $O$ से हैं,
इसलिए,$R$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$CD$ का मध्य-बिंदु है।
[चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है]
चूँकि $AB = CD$ [दिया है],
इसलिए,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
इसलिए,$AR = CQ$ और $RB = QD$ $...(1)$
चूँकि $AB = CD$,इसलिए $OR = OQ$ $...(2)$
[चूँकि समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं]
अब,समकोण त्रिभुज $\Delta ORP$ और $\Delta OQP$ में:
$\angle ORP = \angle OQP$ [प्रत्येक $90^{\circ}$]
कर्ण $OP = $ कर्ण $OP$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$OR = OQ$ [$(2)$ से]
$\Delta ORP \cong \Delta OQP$ [$R$.$H$.$S$. सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$RP = QP$ [$CPCT$ द्वारा] $...(3)$
अब,$(3)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$RP - RB = QP - QD$
$PB = PD$
इति सिद्धम्।

(A) $(1)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,एक वृत्त एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर स्थित होते हैं।
$(2)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,वृत्त के केंद्र और उसकी परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है।

(D) $(1)$ असत्य। एक वृत्त उस तल को जिस पर वह स्थित है,तीन भागों में विभाजित करता है: अभ्यंतर (interior),वृत्त स्वयं,और बहिर्भाग (exterior)।
$(2)$ असत्य। यदि किसी बिंदु की वृत्त के केंद्र से दूरी उसकी त्रिज्या से अधिक है,तो वह बिंदु वृत्त के बहिर्भाग (exterior) में स्थित होता है।

(A) $(1)$ सत्य। जीवा एक ऐसा रेखाखंड है जिसके अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होते हैं।
$(2)$ असत्य। वृत्त के व्यास की लंबाई उसकी त्रिज्या की लंबाई की दोगुनी होती है,अर्थात $d = 2r$।

(A) $(1)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,एक वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच के वृत्त के भाग को चाप कहा जाता है।
$(2)$ सत्य। एक वृत्त की सीमा की कुल लंबाई को उसकी परिधि के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(A) $(1)$ असत्य। एक जीवा और उसके किसी भी चाप के बीच के क्षेत्र को वृत्तखंड (segment) कहा जाता है,त्रिज्यखंड (sector) नहीं।
$(2)$ असत्य। एक चाप और केंद्र को चाप के अंतिम बिंदुओं से जोड़ने वाली दो त्रिज्याओं के बीच के क्षेत्र को त्रिज्यखंड (sector) कहा जाता है,वृत्तखंड (segment) नहीं।

(N/A) दिया है : $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की बराबर जीवाएँ हैं,अर्थात $AB = CD$।
सिद्ध करना है : $\angle AOB = \angle COD$।
उपपत्ति: $\Delta OAB$ और $\Delta OCD$ में:
$OA = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OB = OD$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$AB = CD$ (दिया है)
अतः,$\Delta OAB \cong \Delta OCD$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इसलिए,$\angle AOB = \angle COD$ ($CPCT$ द्वारा)।

(N/A) दिया है: $O$ केंद्र वाले एक वृत्त में,जीवाएँ $AB$ और $PQ$ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं,अर्थात $\angle AOB = \angle POQ$।
सिद्ध करना है: $AB = PQ$।
उपपत्ति: $\Delta AOB$ और $\Delta POQ$ में:
$OA = OP$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OB = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\angle AOB = \angle POQ$ (दिया है)
अतः,$\Delta AOB \cong \Delta POQ$ ($SAS$ सर्वांगसमता नियम से)।
इसलिए,$AB = PQ$ ($CPCT$ से)।

(N/A) मान लीजिए $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त हैं।
मान लीजिए $AB$ पहले वृत्त की एक जीवा है और $CD$ दूसरे वृत्त की एक जीवा है,जहाँ $AB = CD$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle AOB = \angle CO'D$ है।
$\triangle AOB$ और $\triangle CO'D$ में:
$1. OA = O'C$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$2. OB = O'D$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$3. AB = CD$ (दिया गया है)।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle AOB = \angle CO'D$ है।

(N/A) मान लीजिए $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त हैं।
मान लीजिए $AB$ पहले वृत्त की एक जीवा है और $CD$ दूसरे वृत्त की एक जीवा है।
दिया गया है कि $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\triangle AOB$ और $\triangle CO'D$ में:
$1$. $OA = O'C$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$2$. $OB = O'D$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$3$. $\angle AOB = \angle CO'D$ (दिया गया है)।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$.
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = CD$.
इस प्रकार,जीवाएँ बराबर हैं।

(A) एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
दिया गया है कि $P$ केंद्र वाले वृत्त में $AB$ और $CD$ समान जीवाएँ हैं $(AB = CD)$।
प्रमेय के अनुसार,वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
इसलिए,$\angle APB = \angle CPD$ होगा।
चूँकि $\angle APB = 80^{\circ}$ है,इसलिए $\angle CPD = 80^{\circ}$ होगा।

(B) $1$. एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं। चूँकि जीवा $AB = CD$ है,इसलिए केंद्र पर उनके द्वारा अंतरित कोण समान होंगे,अतः $\angle CPD = \angle APB = 100^{\circ}$।
$2$. $\triangle PCD$ में,$PC$ और $PD$ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं,इसलिए $PC = PD$ है। यह $\triangle PCD$ को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।
$3$. समद्विबाहु त्रिभुज में,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PCD = \angle PDC$ है।
$4$. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,$\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$।
$5$. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \times \angle PCD + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$6$. $2 \times \angle PCD = 80^{\circ}$,जिससे $\angle PCD = 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) एक वृत्त में,यदि दो जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं,तो वे जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं।
दिया गया है कि $\angle POQ = 90^{\circ}$ और $\angle ROS = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle POQ = \angle ROS$ है,इसलिए जीवा $PQ$ और $RS$ समान होनी चाहिए।
दिया गया है कि $PQ = 6\, cm$,इसलिए $RS = 6\, cm$ होगा।

(D) $\triangle OXY$ में,$OX = OY$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अतः,$\angle OYX = \angle OXY = 30^{\circ}$।
$\triangle OXY$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle XOY = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$।
$\triangle OXY$ में ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर: $\frac{XY}{\sin(120^{\circ})} = \frac{OX}{\sin(30^{\circ})}$।
$OX = \frac{8 \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(120^{\circ})} = \frac{8 \cdot 0.5}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}}$।
अब,$\triangle OPQ$ में,$OP = OQ = OX = \frac{8}{\sqrt{3}}$।
$\triangle OPQ$ में ज्या नियम का उपयोग करने पर: $PQ = 2 \cdot OP \cdot \sin(\frac{120^{\circ}}{2}) = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sin(60^{\circ})$।
$PQ = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \, cm$।

(A) केंद्र $P$ वाले वृत्त में,$PA = PB = 8 \ cm$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
चूँकि $PA = PB$,$\triangle PAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle PBA = \angle PAB = 40^{\circ}$।
$\triangle PAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle APB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ}$।
चूँकि जीवा $AB$ और $CD$ बराबर हैं और वृत्तों की त्रिज्या समान $(8 \ cm)$ है,इसलिए जीवाएँ अपने केंद्रों पर समान कोण अंतरित करती हैं।
अतः,$\angle CQD = \angle APB = 100^{\circ}$।

(C) केंद्र $P$ वाले वृत्त में,$PA = PB = 4\, cm$ (त्रिज्याएँ)। $\triangle APB$ में,$PA = PB = 4\, cm$ और $AB = 5\, cm$ है।
केंद्र $Q$ वाले वृत्त में,$QX = QY = 4\, cm$ (त्रिज्याएँ)।
दिया गया है $\angle XQY = 50^{\circ}$। $\triangle XQY$ में,$QX = QY = 4\, cm$ है।
$\triangle XQY$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$XY^2 = QX^2 + QY^2 - 2(QX)(QY) \cos(50^{\circ})$
$XY^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4) \cos(50^{\circ}) = 32(1 - \cos(50^{\circ}))$
$XY^2 = 32(2 \sin^2(25^{\circ})) = 64 \sin^2(25^{\circ})$
$XY = 8 \sin(25^{\circ}) \approx 3.38\, cm$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम पूर्णांक $3$ है।

(N/A) हमारे पास $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। $BC$ एक व्यास है और $AB$ एक जीवा है,जहाँ $OD \perp AB$ है। $AC$ को मिलाइए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
चूँकि $O$ वृत्त का केंद्र है,$O$ व्यास $BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\triangle ABC$ में,$O$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$OD$,$\triangle ABC$ की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$OD \parallel CA$ और $OD = \frac{1}{2} CA$ है।
अतः,$CA = 2OD$ है।

(N/A) $1$. मान लीजिए वृत्त का केंद्र $P$ है। चूँकि $l$,जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए यह वृत्त के केंद्र $P$ से होकर गुजरता है।
$2$. हमें दिया गया है कि $AB \parallel CD$ है।
$3$. चूँकि $l$,$AB$ पर लंब है $(l \perp AB)$ और $AB \parallel CD$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $l$,$CD$ पर भी लंब है $(l \perp CD)$।
$4$. वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली और जीवा पर लंब रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है।
$5$. चूँकि $l$,केंद्र $P$ से होकर गुजरती है और $CD$ पर लंब है,इसलिए $l$,जीवा $CD$ को समद्विभाजित करती है।

(N/A) $1$. मान लीजिए वृत्त का केंद्र $P$ है। रेखा $l$,$P$ से होकर गुजरती है और $AB$ को बिंदु $M$ पर तथा $XY$ को बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$2$. चूंकि रेखा $l$,जीवा $AB$ को $M$ पर समद्विभाजित करती है,प्रमेय के अनुसार 'वृत्त के केंद्र से जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर लंब होती है',इसलिए $PM \perp AB$ है। अतः,$\angle PMA = 90^{\circ}$।
$3$. इसी प्रकार,चूंकि रेखा $l$,जीवा $XY$ को $N$ पर समद्विभाजित करती है,इसलिए $PN \perp XY$ है। अतः,$\angle PNY = 90^{\circ}$।
$4$. चूंकि $M, P$ और $N$ एक ही रेखा $l$ पर स्थित हैं,इसलिए $\angle PMA$ और $\angle PNY$ रेखा $l$ द्वारा $AB$ और $XY$ को प्रतिच्छेद करने पर बने संगत कोण हैं।
$5$. चूंकि $\angle PMA = 90^{\circ}$ और $\angle PNY = 90^{\circ}$ है,इसलिए संगत कोण बराबर हैं $(\angle PMA = \angle PNY = 90^{\circ})$।
$6$. अतः,संगत कोण अभिगृहीत के विलोम से,$AB \parallel XY$ सिद्ध होता है।

(A) माना $\angle BAC$ का समद्विभाजक $AD$ है,जहाँ $D$ वृत्त पर एक बिंदु है और $P, AD$ पर स्थित है।
$\triangle APB$ और $\triangle APC$ में:
$1$. $AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$2$. $\angle BAP = \angle CAP$ (क्योंकि $AP, \angle BAC$ का समद्विभाजक है)।
$3$. $PB = PC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अब,$\triangle APB$ और $\triangle APC$ में ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर:
$\triangle APB$ में: $\frac{PB}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \angle APB} \implies AB = \frac{r sin \angle APB}{\sin \theta}$।
$\triangle APC$ में: $\frac{PC}{\sin \theta} = \frac{AC}{\sin \angle APC} \implies AC = \frac{r sin \angle APC}{\sin \theta}$।
चूँकि $A, P, D$ संरेख हैं,$\angle APB + \angle APC = 180^{\circ}$।
अतः,$\sin \angle APB = \sin(180^{\circ} - \angle APC) = \sin \angle APC$।
इस प्रकार,$AB = AC$ सिद्ध होता है।

(C) $P$ से $PM \perp AB$ खींचिए। $PA$ को मिलाइए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
$\therefore AM = MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 32 = 16\, cm$.
$PA$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PA = 20\, cm$.
$\Delta PMA$ में,$\angle M = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
$\therefore PM^2 = PA^2 - AM^2 = (20)^2 - (16)^2 = 400 - 256 = 144$.
$\therefore PM = \sqrt{144} = 12\, cm$.
अतः,केंद्र $P$ से जीवा $AB$ की दूरी $12\, cm$ है।

(D) मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है। दिया गया है $OR = OM = OS = 5 \, m$ (वृत्त की त्रिज्याएँ) और $RS = SM = 6 \, m$।
चतुर्भुज $ORSM$ में,$OR = OM = 5 \, m$ और $RS = SM = 6 \, m$।
अतः,चतुर्भुज $ORSM$ एक पतंग है।
इसलिए,इसका विकर्ण $OS$ विकर्ण $RM$ को बिंदु $K$ पर समकोण पर समद्विभाजित करता है।
अतः,$\angle RKO = 90^{\circ}$ और $K$,$RM$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $RM = 2 RK$।
$OL \perp RS$ खींचिए। केंद्र से जीवा $RS$ पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $L$,$RS$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$RL = \frac{1}{2} RS = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, m$।
समकोण $\Delta RLO$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$RO^2 = OL^2 + RL^2$
$5^2 = OL^2 + 3^2$
$25 = OL^2 + 9$
$OL^2 = 16 \implies OL = 4 \, m$।
अब,$\Delta ROS$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकाला जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times RS \times OL = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, m^2$।
साथ ही,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OS \times RK = \frac{1}{2} \times 5 \times RK$।
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times 5 \times RK = 12$
$5 \times RK = 24 \implies RK = 4.8 \, m$।
चूँकि $RM = 2 RK$,इसलिए $RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$।
अतः,रेश्मा और मंदीप के बीच की दूरी $9.6 \, m$ है।

(A) माना कि $O$ केंद्र वाला वृत्त पार्क को दर्शाता है और बिंदु $A, S$ और $D$ क्रमशः अंकुर,सैयद और डेविड की स्थिति को दर्शाते हैं। चूँकि अंकुर,सैयद और डेविड एक-दूसरे से समान दूरी पर बैठे हैं,$\Delta ASD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$SD$ के मध्यबिंदु $M$ से $SD$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। यह केंद्र $O$ और शीर्ष $A$ से होकर गुजरेगा।
माना $SM = x \, m$. तब $SD = 2SM = 2x \, m$.
$\Delta OMS$ में,$\angle M = 90^{\circ}$. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$OM^2 = OS^2 - SM^2 = (20)^2 - x^2 = 400 - x^2$
$OM = \sqrt{400 - x^2}$
चूँकि $O$ समबाहु त्रिभुज $ASD$ का केंद्रक है,शीर्ष से केंद्रक की दूरी केंद्रक से सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु की दूरी की दोगुनी होती है।
$AM = AO + OM = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$\Delta ASD$ में,ऊँचाई $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2x) = x\sqrt{3}$.
$AM$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$x\sqrt{3} = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$x\sqrt{3} - 20 = \sqrt{400 - x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x\sqrt{3} - 20)^2 = 400 - x^2$
$3x^2 - 40\sqrt{3}x + 400 = 400 - x^2$
$4x^2 - 40\sqrt{3}x = 0$
$4x(x - 10\sqrt{3}) = 0$
चूँकि $x \neq 0$,इसलिए $x = 10\sqrt{3}$.
डोरी की लंबाई त्रिभुज की भुजा $SD = 2x = 2(10\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} \, m$ है।

(B) मान लीजिए $P$ वृत्त का केंद्र है और $AB$ जीवा की लंबाई $30\,cm$ है।
केंद्र $P$ से जीवा $AB$ पर एक लंब $PM$ खींचिए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$।
यहाँ त्रिज्या $PA = 17\,cm$ और $AM = 15\,cm$ दी गई है।
$17^2 = PM^2 + 15^2$।
$289 = PM^2 + 225$।
$PM^2 = 289 - 225 = 64$।
$PM = \sqrt{64} = 8\,cm$।
अतः,केंद्र $P$ से जीवा $AB$ की दूरी $8\,cm$ है।

(A) माना $P$ वृत्त का केंद्र है और $AB$ जीवा है जिसकी लंबाई $40 \, cm$ है।
माना $M$,$AB$ का मध्य बिंदु है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः,$AM = MB = \frac{40}{2} = 20 \, cm$।
केंद्र से जीवा की दूरी $PM = 21 \, cm$ दी गई है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$PA^2 = 21^2 + 20^2$
$PA^2 = 441 + 400 = 841$
$PA = \sqrt{841} = 29 \, cm$।
यहाँ,$PA$ वृत्त की त्रिज्या $(r)$ है।
व्यास $(d)$ = $2 \times r = 2 \times 29 = 58 \, cm$।

(D) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
$12 \, cm$ लंबाई की जीवा $AB$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $d_1 = 8 \, cm$ है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। अतः,केंद्र से दूरी,त्रिज्या और जीवा की आधी लंबाई एक समकोण त्रिभुज बनाती है।
$r^2 = (12/2)^2 + 8^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
अतः,$r = 10 \, cm$।
$16 \, cm$ लंबाई की जीवा $CD$ के लिए,माना केंद्र से दूरी $d_2$ है।
$r^2 = (16/2)^2 + d_2^2$.
$10^2 = 8^2 + d_2^2$.
$100 = 64 + d_2^2$.
$d_2^2 = 36$.
$d_2 = 6 \, cm$।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $P$ से जीवा $AB$ पर लंब $M$ और जीवा $CD$ पर लंब $N$ खींचिए।
$PM = 15 \, cm$ और $PN = 8 \, cm$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = AB / 2 = 16 / 2 = 8 \, cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PAM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $r^2 = PM^2 + AM^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$।
अतः,$r = \sqrt{289} = 17 \, cm$।
अब,समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $r^2 = PN^2 + CN^2$।
$17^2 = 8^2 + CN^2 \implies 289 = 64 + CN^2$।
$CN^2 = 289 - 64 = 225$।
$CN = \sqrt{225} = 15 \, cm$।
चूंकि $N$,$CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $CD = 2 \times CN = 2 \times 15 = 30 \, cm$।

(A) माना $P$ वृत्त का केंद्र है जिसकी त्रिज्या $r = 25\,cm$ है।
माना $M$ और $N$ क्रमशः जीवाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = AB/2 = 40/2 = 20\,cm$ और $CN = ND = CD/2 = 30/2 = 15\,cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $PM^2 + AM^2 = PA^2 \implies PM^2 + 20^2 = 25^2 \implies PM^2 = 625 - 400 = 225 \implies PM = 15\,cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $PN^2 + CN^2 = PC^2 \implies PN^2 + 15^2 = 25^2 \implies PN^2 = 625 - 225 = 400 \implies PN = 20\,cm$।
चूँकि केंद्र $P$ जीवाओं के बीच में नहीं है,इसलिए जीवाओं के बीच की दूरी $|PN - PM| = |20 - 15| = 5\,cm$ होगी।

(C) मान लीजिए $P$ वृत्त का केंद्र है और $r = 26\,cm$ त्रिज्या है।
केंद्र $P$ से जीवाओं $AB$ और $CD$ पर क्रमशः लंब $PM$ और $PN$ खींचिए।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24\,cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 10^2 = 26^2$
$PM^2 = 676 - 100 = 576$
$PM = \sqrt{576} = 24\,cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 24^2 = 26^2$
$PN^2 = 676 - 576 = 100$
$PN = \sqrt{100} = 10\,cm$
चूंकि केंद्र $P$ जीवाओं के बीच स्थित है,इसलिए $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $PM + PN = 24 + 10 = 34\,cm$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $P$ है और त्रिज्या $r = 25 \, cm$ है।
केंद्र $P$ से जीवाओं $AB$ और $CD$ पर लंब डालिए,जो उन्हें क्रमशः $M$ और $N$ बिंदुओं पर मिलते हैं।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 24^2 = 25^2$
$PM^2 + 576 = 625$
$PM^2 = 49 \implies PM = 7 \, cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 20^2 = 25^2$
$PN^2 + 400 = 625$
$PN^2 = 225 \implies PN = 15 \, cm$
चूँकि केंद्र $P$ जीवाओं के बीच स्थित है,इसलिए $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $PM + PN = 7 \, cm + 15 \, cm = 22 \, cm$ है।

(A) माना $P$ त्रिज्या $r = 13 \, cm$ वाले वृत्त का केंद्र है। माना $M$ और $N$ क्रमशः जीवाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = 12 \, cm$ और $CN = ND$ है। $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PM^2 + AM^2 = PA^2$,इसलिए $PM^2 + 12^2 = 13^2$,जिससे $PM^2 = 169 - 144 = 25$ प्राप्त होता है,अतः $PM = 5 \, cm$ है। दो स्थितियाँ संभव हैं: जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशा में हैं या एक ही दिशा में। स्थिति $1$: जीवाएँ विपरीत दिशा में हैं। दूरी $MN = PM + PN = 17 \, cm$ है। चूँकि $PM = 5 \, cm$ है,इसलिए $PN = 17 - 5 = 12 \, cm$ है। $\triangle PNC$ में,$PN^2 + CN^2 = PC^2$,इसलिए $12^2 + CN^2 = 13^2$,जिससे $CN^2 = 169 - 144 = 25$ प्राप्त होता है,अतः $CN = 5 \, cm$ है। इस प्रकार,$CD = 2 \times CN = 10 \, cm$ है। स्थिति $2$: जीवाएँ एक ही दिशा में हैं। दूरी $MN = |PM - PN| = 17 \, cm$ है। चूँकि $PM = 5 \, cm$ है,$PN$ का मान $22 \, cm$ या $-12 \, cm$ होगा,जो असंभव है क्योंकि त्रिज्या $13 \, cm$ है। अतः,$CD = 10 \, cm$ है।

(B) माना त्रिज्या $r = 50 \, cm$ है। माना $M$ और $N$ क्रमशः जीवाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
चूँकि $AB = 80 \, cm$ है,इसलिए $AM = MB = 40 \, cm$ होगा।
$\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PM^2 + AM^2 = PA^2$।
$PM^2 + 40^2 = 50^2 \implies PM^2 = 2500 - 1600 = 900 \implies PM = 30 \, cm$।
चूँकि $P$ जीवाओं के बीच स्थित नहीं है,इसलिए जीवाओं के बीच की दूरी $PN - PM = 10 \, cm$ है।
$PN = 10 + PM = 10 + 30 = 40 \, cm$।
$\triangle PNC$ में,$PN^2 + NC^2 = PC^2$।
$40^2 + NC^2 = 50^2 \implies 1600 + NC^2 = 2500 \implies NC^2 = 900 \implies NC = 30 \, cm$।
चूँकि $N$,$CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $CD = 2 \times NC = 2 \times 30 = 60 \, cm$ होगा।

(C) वृत्त प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यहाँ,चाप $AB$ केंद्र $P$ पर $\angle APB$ और वृत्त के शेष भाग पर $\angle ACB$ अंतरित करता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \angle ACB$ है।
दिया गया है कि $\angle ACB = 50^{\circ}$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle APB = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\angle APB$ का मान $100^{\circ}$ है।

(D) दिया गया है कि $AB$ केंद्र $P$ वाले एक वृत्त की जीवा है। बिंदु $C$,दीर्घ चाप $AB$ पर स्थित एक बिंदु है।
हमें $\angle APB = 130^{\circ}$ दिया गया है।
वृत्त की प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$130^{\circ} = 2 \angle ACB$
$\angle ACB = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ}$.
अतः,$\angle ACB = 65^{\circ}$.

(A) दिया गया है कि $AB$ केंद्र $P$ वाले एक वृत्त की जीवा है। बिंदु $C$,दीर्घ चाप $AB$ पर स्थित एक बिंदु है।
वृत्त के प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \angle ACB$ है।
दिया गया है कि $\angle ACB + \angle APB = 135^{\circ}$ है।
दिए गए समीकरण में $\angle APB = 2 \angle ACB$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle ACB + 2 \angle ACB = 135^{\circ}$
$3 \angle ACB = 135^{\circ}$
$\angle ACB = \frac{135^{\circ}}{3} = 45^{\circ}$।
अब,$\angle APB$ की गणना करने पर:
$\angle APB = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle ACB = 45^{\circ}$ और $\angle APB = 90^{\circ}$ है।

(B) हम जानते हैं कि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle BDC = \angle BAC$।
दिया है $\angle BAC = 50^{\circ}$,अतः $\angle BDC = 50^{\circ}$।
अब,$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$।
मान रखने पर,$\angle ADC = 45^{\circ} + 50^{\circ} = 95^{\circ}$।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC + 95^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$।

(N/A) माना कि $\Delta ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $AC$ दो वृत्तों के व्यास हैं। ये वृत्त एक-दूसरे को बिंदुओं $A$ और $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AP$ खींचिए।
चूँकि $AB$ एक व्यास है,$\angle APB$ अर्धवृत्त का एक कोण है।
$\therefore \angle APB = 90^{\circ}$.
चूँकि $AC$ एक व्यास है,$\angle APC$ अर्धवृत्त का एक कोण है।
$\therefore \angle APC = 90^{\circ}$.
इन दो समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle APB + \angle APC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
चूँकि $\angle APB$ और $\angle APC$ उभयनिष्ठ भुजा $AP$ वाले आसन्न कोण हैं और उनका योग $180^{\circ}$ है,इसलिए वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,बिंदु $B, P$ और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित होने चाहिए।
इसलिए,वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ त्रिभुज की तीसरी भुजा $BC$ पर स्थित है।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ के कोणों $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA$ (आसन्न कोण)
$= \angle FCA + \angle EBA$ (वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं)
$= \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B$ (चूंकि $AD, BE, CF$ कोण समद्विभाजक हैं)
$= \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
$= \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A)$ (चूंकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$)
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$
अतः,$\angle FDE = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
इसी प्रकार,$\angle DEF = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ और $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.