Textbook - Circles Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ वृत्त का केंद्र हमेशा वृत्त के अभ्यंतर (अंदर) में स्थित होता है।
$(ii)$ यदि किसी बिंदु की केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक है,तो वह बिंदु वृत्त के बाह्य भाग में स्थित होता है।
$(iii)$ वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होती है।
$(iv)$ जब चाप के सिरे व्यास के सिरे होते हैं,तो वह चाप अर्धवृत्त कहलाता है।
$(v)$ वृत्त का वृत्तखंड एक चाप और वृत्त की जीवा के बीच का क्षेत्र होता है।
$(vi)$ एक वृत्त जिस तल पर स्थित है,उसे तीन भागों में विभाजित करता है: अभ्यंतर,वृत्त स्वयं,और बाह्य भाग।

(A-D) $(i)$ सत्य। वृत्त के केंद्र को वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से मिलाने वाले रेखाखंड को त्रिज्या कहा जाता है।
$(ii)$ असत्य। एक वृत्त में किसी भी दी गई लंबाई की अनंत समान जीवाएँ हो सकती हैं।
$(iii)$ असत्य। यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक चाप का माप $120^{\circ}$ होता है,जो अर्धवृत्त $(180^{\circ})$ से कम है,इसलिए प्रत्येक एक लघु चाप है।
$(iv)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है और इसकी लंबाई $2 \times \text{त्रिज्या}$ के बराबर होती है।
$(v)$ असत्य। जीवा और उसके संगत चाप के बीच के क्षेत्र को वृत्तखंड कहा जाता है,जबकि त्रिज्यखंड एक चाप और केंद्र को चाप के सिरों से जोड़ने वाली दो त्रिज्याओं के बीच का क्षेत्र होता है।
$(vi)$ सत्य। वृत्त एक समतल पर उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

(N/A) $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्तों पर विचार कीजिए। मान लीजिए $AB$ और $CD$ इन वृत्तों की बराबर जीवाएँ हैं,अर्थात $AB = CD$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle AOB = \angle CO'D$ है।
$\Delta AOB$ और $\Delta CO'D$ में:
$AO = CO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)
$BO = DO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)
$AB = CD$ (दिया है)
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$ है।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं,इसलिए:
$\angle AOB = \angle CO'D$ है।
अतः,सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

(N/A) दिया है: $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त हैं। मान लीजिए $AB$ पहले वृत्त की एक जीवा है और $CD$ दूसरे वृत्त की एक जीवा है,इस प्रकार कि $\angle AOB = \angle CO'D$ है।
सिद्ध करना है: $AB = CD$ है।
उपपत्ति:
$\Delta AOB$ और $\Delta CO'D$ में:
$AO = CO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$BO = DO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$\angle AOB = \angle CO'D$ (दिया है)
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = CD$।

(N/A) मान लीजिए कि एक वृत्त का चाप $PQ$ दिया गया है। हमें वृत्त को पूरा करना है,जिसका अर्थ है कि हमें इसका केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करनी होगी।
$1$. चाप $PQ$ पर एक बिंदु $R$ लीजिए।
$2$. $PR$ और $RQ$ को जोड़कर दो जीवाएँ $PR$ और $RQ$ बनाइए।
$3$. जीवा $PR$ और $RQ$ के लंब समद्विभाजक खींचिए।
$4$. जिस बिंदु पर ये दोनों लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं,वह वृत्त का केंद्र $O$ है।
$5$. $O$ को केंद्र और $OP$ (या $OQ$ या $OR$) को त्रिज्या मानकर,वृत्त को पूरा करने के लिए वृत्त खींचिए।

(N/A) आइए नीचे दिखाए अनुसार वृत्तों के विभिन्न युग्म खींचें:

आकृति में	उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या
$(i)$	$0$
$(ii)$	$1$
$(iii)$	$2$

अतः,दो वृत्तों में अधिकतम $2$ बिंदु उभयनिष्ठ हो सकते हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ दिए गए वृत्त पर कोई भी तीन बिंदु लीजिए। मान लीजिए ये बिंदु $A, B$ और $C$ हैं।
$II.$ $AB$ और $BC$ को मिलाइए।
$III.$ $AB$ का लंब समद्विभाजक $PQ$ खींचिए।
$IV.$ $BC$ का लंब समद्विभाजक $RS$ इस प्रकार खींचिए कि यह $PQ$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,$O$ दिए गए वृत्त का अभीष्ट केंद्र है।

(N/A) मान लीजिए $O$ और $O^{\prime}$ केंद्र वाले दो वृत्त हैं जो $A$ और $B$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$AB$ दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है और $OO^{\prime}$ केंद्रों को जोड़ने वाला रेखाखंड है। मान लीजिए $OO^{\prime}$ और $AB$ एक-दूसरे को $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $OO^{\prime}$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है,हम $OA, OB, O^{\prime}A$ और $O^{\prime}B$ को मिलाते हैं।
$\Delta OAO^{\prime}$ और $\Delta OBO^{\prime}$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime}A = O^{\prime}B$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OAO^{\prime} \cong \Delta OBO^{\prime}$।
अतः,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ द्वारा)।
अब,$\Delta AOM$ और $\Delta BOM$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OM = OM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle 1 = \angle 2$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AOM \cong \Delta BOM$।
अतः,$AM = BM$ ($CPCT$ द्वारा) और $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूंकि $AB$ एक रेखाखंड है,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
इस प्रकार,$2 \angle 3 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ}$ और $AM = BM$,इसलिए $OO^{\prime}$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।

(N/A) मान लीजिए कि $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं,जो बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $PQ$ एक व्यास है जो $E$ से होकर गुजरता है,इस प्रकार कि $\angle AEQ = \angle DEQ$ है। हमें सिद्ध करना है कि $AB = CD$ है।
जीवाओं $AB$ और $CD$ पर क्रमशः लंब $OL$ और $OM$ खींचिए।
$\Delta OLE$ में,$\angle OLE = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO$ है।
चूँकि $\angle LEO = \angle AEQ$ (शीर्षाभिमुख कोण),इसलिए $\angle LOE = 90^{\circ} - \angle AEQ$ है।
इसी प्रकार,$\Delta OME$ में,$\angle OME = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle MOE = 90^{\circ} - \angle MEO = 90^{\circ} - \angle DEQ$ है।
चूँकि यह दिया गया है कि $\angle AEQ = \angle DEQ$,इसलिए $\angle LOE = \angle MOE$ है।
अब,त्रिभुज $OLE$ और $OME$ में:
$1$. $\angle LEO = \angle MEO$ (दिया है $\angle AEQ = \angle DEQ$ और शीर्षाभिमुख कोण)
$2$. $\angle LOE = \angle MOE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$3$. $EO = EO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OLE \cong \Delta OME$ है।
$CPCT$ द्वारा,$OL = OM$ है।
चूँकि वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं,इसलिए $AB = CD$ सिद्ध होता है।

(B) मान लीजिए कि दो वृत्तों के केंद्र $O$ और $O'$ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1 = 5\, cm$ और $r_2 = 3\, cm$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $OO' = 4\, cm$ है।
मान लीजिए $PQ$ उभयनिष्ठ जीवा है जो $OO'$ को $L$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चूंकि केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है,इसलिए $\angle OLP = 90^{\circ}$ और $PL = LQ$ होगा।
मान लीजिए $O'L = x$,तो $OL = 4 - x$ होगा।
समकोण $\Delta OLP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PL^2 + OL^2 = OP^2$
$PL^2 + (4 - x)^2 = 5^2$
$PL^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 9 + 8x - x^2 \quad \dots(1)$
समकोण $\Delta O'LP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PL^2 + O'L^2 = O'P^2$
$PL^2 + x^2 = 3^2$
$PL^2 = 9 - x^2 \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$9 + 8x - x^2 = 9 - x^2$
$8x = 0 \Rightarrow x = 0$.
इसका अर्थ है कि $L$ और $O'$ संपाती हैं। अतः,$PQ$ छोटे वृत्त का व्यास है।
$PL^2 = 9 - 0^2 = 9 \Rightarrow PL = 3\, cm$.
इसलिए $PQ = 2 \times PL = 2 \times 3 = 6\, cm$.
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $6\, cm$ है।

(N/A) माना $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। $AB$ और $CD$ दो समान जीवाएँ हैं जो वृत्त के भीतर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $AE = DE$ और $CE = BE$.
रचना: $OM \perp AB$ और $ON \perp CD$ खींचिए। $OE$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB = CD$ (दिया है),जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हैं। इसलिए,$OM = ON$.
$2$. $\Delta OME$ और $\Delta ONE$ में:
- $OM = ON$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
- $OE = OE$ (उभयनिष्ठ भुजा)
- $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (रचना से)
$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$3$. $CPCT$ द्वारा,$ME = NE$ (समीकरण $1$)।
$4$. चूँकि $OM \perp AB$,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.
$5$. चूँकि $ON \perp CD$,$N$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.
$6$. चूँकि $AB = CD$,इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,जिसका अर्थ है $AM = ND$ (समीकरण $2$)।
$7$. समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $AM + ME = ND + NE$,जिससे $AE = DE$ प्राप्त होता है।
$8$. $AB = CD$ में से $AE = DE$ घटाने पर,$AB - AE = CD - DE$ मिलता है,जिसका अर्थ है $BE = CE$.
अतः,एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

(N/A) मान लीजिए $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं,जो वृत्त के अंदर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle OEA = \angle OED$ है।
$OM \perp AB$ और $ON \perp CD$ खींचिए।
$\Delta OME$ और $\Delta ONE$ में:
$1$. $OM = ON$ (समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं)।
$2$. $OE = OE$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$3$. $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (रचना से)।
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OME \cong \Delta ONE$ है।
$CPCT$ द्वारा,$\angle OEM = \angle OEN$ है।
अतः,$\angle OEA = \angle OED$ सिद्ध होता है।

(N/A) हमारे पास उभयनिष्ठ केंद्र $O$ वाले दो वृत्त हैं।
एक रेखा $\ell$ बाहरी वृत्त को $A$ और $D$ पर तथा आंतरिक वृत्त को $B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करती है। $AB = CD$ सिद्ध करने के लिए,आइए हम $OM \perp \ell$ खींचें।
बाहरी वृत्त के लिए,
$\because OM \perp \ell$,और केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,
$\therefore AM = MD$ --- $(1)$
आंतरिक वृत्त के लिए,
$\because OM \perp \ell$,
$\therefore BM = MC$ --- $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM - BM = MD - MC$
$AB = CD$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(B) मान लीजिए कि रेशमा,सलमा और मंदीप की स्थिति वृत्त पर $R, S$ और $M$ है,जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $5 \, m$ है।
दिया है $RS = SM = 6 \, m$।
चूँकि समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं,इसलिए $\angle ROS = \angle SOM$।
मान लीजिए $OP$ केंद्र $O$ से $RM$ पर लंब है,जो $RM$ को $P$ पर और $OS$ को $K$ पर काटता है।
चूँकि $RS = SM$,$OS$ जीवा $RM$ का लंब समद्विभाजक है। अतः $RM \perp OS$ और $RP = PM$।
मान लीजिए $OK = x$। तो $KS = 5 - x$।
$\Delta ORK$ में,$RK^2 = OR^2 - OK^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$।
$\Delta RSK$ में,$RK^2 = RS^2 - KS^2 = 6^2 - (5 - x)^2 = 36 - (25 - 10x + x^2) = 11 + 10x - x^2$।
$RK^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$।
$10x = 14 \Rightarrow x = 1.4 \, m$।
अब,$RK^2 = 25 - (1.4)^2 = 25 - 1.96 = 23.04$।
$RK = \sqrt{23.04} = 4.8 \, m$।
चूँकि $RM = 2 \times RK$,इसलिए $RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$।

(C) माना कि अंकुर,सैयद और डेविड की स्थितियाँ वृत्त पर क्रमशः $A, S$ और $D$ हैं,जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $20 \, m$ है।
चूंकि वे समान दूरी पर बैठे हैं,इसलिए $\Delta ASD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ होता है।
यहाँ $R = 20 \, m$ दिया गया है,इसलिए $20 = \frac{a}{\sqrt{3}}$।
अतः,$a = 20 \sqrt{3} \, m$।
प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई के बराबर है,जो $20 \sqrt{3} \, m$ है।

(N/A) $OC$,$OD$ और $BC$ को मिलाइए।
चूँकि $CD$ वृत्त की त्रिज्या के बराबर है $(OC = OD = CD)$,इसलिए त्रिभुज $ODC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle COD = 60^{\circ}$।
अब,वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इस प्रकार,$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
चूँकि $AB$ व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है,इसलिए $\angle ACB = 90^{\circ}$।
चूँकि $ACE$ एक सीधी रेखा है,$\angle BCE = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\triangle BCE$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle CEB + \angle BCE + \angle CBE = 180^{\circ}$।
$\angle CEB + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CEB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,$\angle AEB = 60^{\circ}$।

(A) हम जानते हैं कि एक वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle CAD = \angle DBC = 55^{\circ}$।
अब,कुल कोण $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC$ है।
मान रखने पर,$\angle DAB = 55^{\circ} + 45^{\circ} = 100^{\circ}$।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$।
$\angle DAB$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $100^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ}$।
इसलिए,$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।

(N/A) $AB$ को मिलाइए।
$\angle ABD = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)।
$\angle ABC = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABD + \angle ABC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$
चूंकि कोणों का योग $180^\circ$ है,इसलिए बिंदु $D, B,$ और $C$ एक सीधी रेखा बनाते हैं। अतः,$B$ रेखाखंड $DC$ पर स्थित है।

(N/A) आकृति में,$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें आंतरिक कोणों $A, B, C$ और $D$ के समद्विभाजक एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करके एक चतुर्भुज $EFGH$ बनाते हैं।
अब,$\triangle AEB$ में,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
इसी प्रकार,$\triangle CGD$ में,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
चूंकि चतुर्भुज $EFGH$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।

(D) दिया है,केंद्र $O$ वाले एक वृत्त में $\angle AOB = 60^{\circ}$ और $\angle BOC = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$,इसलिए $\angle AOC = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
चाप $ABC$ वृत्त के केंद्र पर $\angle AOC = 90^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है।
प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC$ होगा।
$\angle ADC = \frac{1}{2} (90^{\circ}) = 45^{\circ}$।

(A) माना जीवा $AB$ है और वृत्त का केंद्र $O$ है। चूँकि जीवा $AB$ वृत्त की त्रिज्या के बराबर है,इसलिए $OA = OB = AB$ है।
अतः,$\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित प्रतिवर्ती कोण $\text{reflex } \angle AOB = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ है।
लघु चाप पर स्थित बिंदु $C$ पर जीवा द्वारा अंतरित कोण केंद्र पर अंतरित प्रतिवर्ती कोण का आधा होता है: $\angle ACB = \frac{1}{2} \times 300^{\circ} = 150^{\circ}$।
दीर्घ चाप पर स्थित बिंदु $D$ पर जीवा द्वारा अंतरित कोण केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है: $\angle ADB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,लघु चाप पर अंतरित कोण $150^{\circ}$ है और दीर्घ चाप पर अंतरित कोण $30^{\circ}$ है।

(B) वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,प्रतिवर्ती $\angle POR = 2 \times \angle PQR$.
दिया है $\angle PQR = 100^{\circ}$.
अतः,प्रतिवर्ती $\angle POR = 2 \times 100^{\circ} = 200^{\circ}$.
चूँकि $\angle POR + \text{प्रतिवर्ती } \angle POR = 360^{\circ}$,इसलिए $\angle POR + 200^{\circ} = 360^{\circ}$.
अतः,$\angle POR = 360^{\circ} - 200^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\Delta POR$ में,$OP = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
इसलिए,$\angle OPR = \angle ORP$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\Delta POR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle OPR + \angle ORP + \angle POR = 180^{\circ}$.
$\angle ORP = \angle OPR$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \angle OPR + 160^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle OPR = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$.
$\angle OPR = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.

(C) $\Delta ABC$ में,हमारे पास है:
$\angle ABC = 69^{\circ}$ और $\angle ACB = 31^{\circ}$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ}$।
$69^{\circ} + 31^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$।
$100^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$।
$\angle BAC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
चूंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BDC = \angle BAC$ होगा।
अतः,$\angle BDC = 80^{\circ}$।

(D) $\Delta CDE$ में,बहिष्कोण $\angle BEC$ अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\angle BEC = \angle EDC + \angle ECD$
दिया है $\angle BEC = 130^{\circ}$ और $\angle ECD = 20^{\circ}$।
$130^{\circ} = \angle EDC + 20^{\circ}$
$\angle EDC = 130^{\circ} - 20^{\circ} = 110^{\circ}$
चूँकि $\angle EDC$ और $\angle BDC$ एक ही कोण को दर्शाते हैं,इसलिए $\angle BDC = 110^{\circ}$।
वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle BAC = \angle BDC$।
$\angle BAC = 110^{\circ}$।

(A) चूंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BAC = \angle BDC$ होगा।
दिया है $\angle BAC = 30^{\circ}$,इसलिए $\angle BDC = 30^{\circ}$।
$\Delta BCD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^{\circ}$
$\angle BCD + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
अब,$\Delta ABC$ में,चूंकि $AB = BC$,इसलिए बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अतः $\angle BCA = \angle BAC = 30^{\circ}$।
चूंकि $\angle BCD = \angle BCA + \angle ECD$,इसलिए:
$80^{\circ} = 30^{\circ} + \angle ECD$
$\angle ECD = 80^{\circ} - 30^{\circ} = 50^{\circ}$।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ वृत्त के व्यास हैं।
चूँकि $AC$ और $BD$ व्यास हैं,वे केंद्र $O$ से होकर गुजरते हैं और लंबाई में समान हैं $(AC = BD)$।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
चूँकि $AC$ एक व्यास है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $BD$ एक व्यास है,इसलिए $\angle BAD = 90^{\circ}$ और $\angle BCD = 90^{\circ}$ है।
इस प्रकार,चतुर्भुज $ABCD$ के सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ हैं।
एक चतुर्भुज जिसके सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं,उसे आयत कहा जाता है।
अतः,$ABCD$ एक आयत है।

(N/A) मान लीजिए हमारे पास एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जिसमें $AB || CD$ और $AD = BC$ है।
आइए हम $BE || AD$ खींचें ताकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाए।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
और $AD = BE$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ] ...... $(2)$
परंतु $AD = BC$ [दिया है] ......... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म]
चूँकि $\angle BED = \angle BAD$ और $\angle BEC = \angle BCE$,इसलिए
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$। चूँकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle ECD = \angle BAD$। अतः,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
इसलिए,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।

(N/A) चूँकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं:
$1$. बाईं ओर के वृत्त में,$\angle ACP = \angle ABP$ (एक ही चाप $AP$ द्वारा अंतरित कोण)।
$2$. दाईं ओर के वृत्त में,$\angle QCD = \angle QBD$ (एक ही चाप $QD$ द्वारा अंतरित कोण)।
$3$. चूँकि $ABD$ और $PBQ$ $B$ पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएँ हैं,इसलिए $\angle ABP$ और $\angle QBD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं।
$4$. अतः,$\angle ABP = \angle QBD$।
$5$. चरण $1$,$2$ और $4$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle ACP = \angle QCD$।

(N/A) मान लीजिए एक $\Delta ABC$ है। $AB$ और $AC$ को व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गए हैं। मान लीजिए ये वृत्त बिंदु $A$ और एक अन्य बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$A$ और $D$ को मिलाइए।
चूंकि $AB$ पहले वृत्त का व्यास है,इसलिए परिधि पर इसके द्वारा बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ADB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
इसी प्रकार,चूंकि $AC$ दूसरे वृत्त का व्यास है,इसलिए परिधि पर इसके द्वारा बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ADC = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
इन दोनों कोणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ADB + \angle ADC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
चूंकि कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए बिंदु $B, D,$ और $C$ एक सीधी रेखा बनाते हैं।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ तीसरी भुजा $BC$ पर स्थित है।

(N/A) हमें दो समकोण त्रिभुज,$\Delta ABC$ और $\Delta ADC$ दिए गए हैं,जिनका कर्ण $AC$ उभयनिष्ठ है।
चूँकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 90^{\circ}$ है,इसलिए दोनों त्रिभुज क्रमशः $B$ और $D$ पर समकोण हैं।
$AC$ को व्यास मानकर एक वृत्त की कल्पना कीजिए। चूँकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 90^{\circ}$ है,इसलिए बिंदु $B$ और $D$ इस वृत्त पर स्थित होंगे (क्योंकि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)।
अतः,$A, B, C$ और $D$ चक्रीय बिंदु (concyclic points) हैं।
अब,जीवा $CD$ पर विचार कीजिए। कोण $\angle CAD$ और $\angle CBD$ वृत्त के एक ही वृत्तखंड में एक ही जीवा $CD$ द्वारा अंतरित कोण हैं।
इस प्रमेय के अनुसार कि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं,हम कह सकते हैं:
$\angle CAD = \angle CBD$.
इति सिद्धम्।

(N/A) माना $ABCD$ एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ .... $(1)$
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ .... $(2)$
$(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle C$,इसलिए $\angle C = 90^{\circ}$ होगा।
इसी प्रकार,सम्मुख कोणों के दूसरे युग्म के लिए,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B = \angle D$,जिसका अर्थ है कि $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,अतः $ABCD$ एक आयत है।

(N/A) मान लीजिए कि $O$ और $O^{\prime}$ केंद्रों वाले दो वृत्त हैं,जो एक-दूसरे को $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमें सिद्ध करना है कि $\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$ है।
$OP, O^{\prime}P, OQ, O^{\prime}Q$ और $OO^{\prime}$ को मिलाइए।
$\Delta OPO^{\prime}$ और $\Delta OQO^{\prime}$ में:
$OP = OQ$ ($O$ केंद्र वाले एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime}P = O^{\prime}Q$ ($O^{\prime}$ केंद्र वाले एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta OPO^{\prime} \cong \Delta OQO^{\prime}$
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $O$ है। जीवाएँ $AB$ और $CD$ समांतर हैं और उनके बीच की दूरी $6\, cm$ है। दिया है $AB = 5\, cm$ और $CD = 11\, cm$.
माना $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
$OP \perp AB$ और $OQ \perp CD$ खींचिए। चूंकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशाओं में हैं,$P, O, Q$ संरेख हैं और $PQ = 6\, cm$.
माना $OQ = x\, cm$. तब $OP = (6 - x)\, cm$.
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः,$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{5}{2}\, cm$ और $CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{11}{2}\, cm$.
समकोण $\Delta CQO$ में,$r^2 = CQ^2 + OQ^2 = (\frac{11}{2})^2 + x^2 = \frac{121}{4} + x^2$ --- $(1)$
समकोण $\Delta APO$ में,$r^2 = AP^2 + OP^2 = (\frac{5}{2})^2 + (6 - x)^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{121}{4} + x^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$
$\frac{121}{4} - \frac{25}{4} - 36 = -12x$
$\frac{96}{4} - 36 = -12x \Rightarrow 24 - 36 = -12x \Rightarrow -12 = -12x \Rightarrow x = 1\, cm$.
$x = 1$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$r^2 = \frac{121}{4} + 1^2 = \frac{121 + 4}{4} = \frac{125}{4}$.
$r = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\, cm$.

(C) माना वृत्त का केंद्र $O$ है। समांतर जीवाएँ $AB = 6\, cm$ और $CD = 8\, cm$ हैं।
$OP \perp AB$ और $OQ \perp CD$ खींचिए।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है:
$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}(6\, cm) = 3\, cm$
$CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}(8\, cm) = 4\, cm$
दिया गया है कि छोटी जीवा केंद्र से $4\, cm$ की दूरी पर है,इसलिए $OP = 4\, cm$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$r = 5\, cm$ (जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है)।
अब,समकोण त्रिभुज $\Delta OQC$ में:
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$r^2 = OQ^2 + 4^2$
$5^2 = OQ^2 + 16$
$25 = OQ^2 + 16$
$OQ^2 = 25 - 16 = 9$
$OQ = 3\, cm$।
अतः,दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी $3\, cm$ है।

(N/A) मान लीजिए $\angle ABC$ का शीर्ष $B$ है। भुजाएँ $BA$ और $BC$ वृत्त को क्रमशः $A, D$ और $C, E$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं ताकि जीवा $AD = CE$ हो। मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है। $OA, OC, OD, OE, AC$ और $DE$ को मिलाइए।
$\Delta BAE$ में,बहिष्कोण $\angle DAE = \angle ABC + \angle AEC$ ... $(1)$
चूँकि वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है:
$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE$ ... $(2)$
इसी प्रकार,$\angle AEC$ परिधि पर चाप $AC$ द्वारा अंतरित कोण है,इसलिए $\angle AEC = \frac{1}{2} \angle AOC$ ... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \angle DOE = \angle ABC + \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOE - \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} [\angle DOE - \angle AOC]$
अतः,$\angle ABC$ जीवाओं $DE$ और $AC$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।

(N/A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए $\angle AOB = 90^\circ$ है।
भुजा $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए एक वृत्त पर विचार करें। माना $Q$, $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $QA = QB = \text{त्रिज्या}$ है।
$\triangle AOB$ में, $\angle AOB = 90^\circ$ है। चूँकि $Q$ समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ के कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु है, इसलिए कर्ण के मध्य बिंदु से शीर्षों की दूरी कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः, $QO = QA = QB$ है।
चूँकि केंद्र $Q$ से बिंदु $O$ की दूरी त्रिज्या ($QA$ या $QB$) के बराबर है, इसलिए बिंदु $O$ को $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त पर स्थित होना चाहिए।
इस प्रकार, समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाला एक वृत्त $CD$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चरण $1$: चूँकि $ABCE$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AEC + \angle B = 180^{\circ}$ --- $(1)$
चरण $2$: समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle D = \angle B$ --- $(2)$
चरण $3$: समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AEC + \angle D = 180^{\circ}$ --- $(3)$
चरण $4$: चूँकि $D, E, C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं,इसलिए $\angle AEC$ और $\angle AED$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ --- $(4)$
चरण $5$: समीकरण $(3)$ और $(4)$ की तुलना करने पर:
$\angle D = \angle AED$
चरण $6$: $\Delta ADE$ में,चूँकि आधार के कोण $\angle D$ और $\angle AED$ बराबर हैं,इसलिए इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी।
अतः,$AE = AD$ है। इति सिद्धम्।

(N/A) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र किसी बिंदु $P$ पर है। हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि जीवाएँ $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करती हैं।
$\Delta AOB$ और $\Delta COD$ में:
$AO = OC$ (दिया है,क्योंकि $O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$BO = OD$ (दिया है,क्योंकि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta AOB \cong \Delta COD$.
इसलिए,$AB = CD$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूँकि $AB = CD$,इन जीवाओं के संगत चाप बराबर हैं: $\text{चाप } AB = \text{चाप } CD$.
इसी प्रकार,$SAS$ सर्वांगसमता द्वारा $\Delta AOD \cong \Delta COB$,जिसका अर्थ है $AD = CB$,अतः $\text{चाप } AD = \text{चाप } BC$.
अब,चतुर्भुज $ABCD$ पर विचार करें। चूँकि विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
वृत्त के अंदर बने समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं ($\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$)। चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $2\angle A = 180^{\circ}$,अतः $\angle A = 90^{\circ}$।
चूँकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,जीवा $BD$ परिधि पर समकोण बनाती है,जिसका अर्थ है कि $BD$ एक व्यास है। इसी प्रकार,$AC$ भी एक व्यास है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O'$ है। मान लीजिए जीवाएँ $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि जीवाएँ एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं,इसलिए $AO = OC$ और $BO = OD$ है।
$\Delta AOB$ और $\Delta COD$ में:
$AO = OC$ (दिया है),
$BO = OD$ (दिया है),
$\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta AOB \cong \Delta COD$ है।
इसका अर्थ है कि $AB = CD$ और $\angle OAB = \angle OCD$ है। चूँकि ये एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए $AB \parallel CD$ है।
वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो,वह समांतर चतुर्भुज होता है। अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है (क्योंकि इसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं),इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है।
चूँकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $2\angle A = 180^{\circ}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।
वह समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वह आयत होता है। अतः,$ABCD$ एक आयत है।

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ एक वृत्त के भीतर स्थित है,जहाँ $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ के कोण समद्विभाजक परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$DE, EF$ और $FD$ को मिलाइए।
चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं:
$\angle FDA = \angle FCA = \frac{1}{2} \angle C$ (क्योंकि $CF, \angle C$ का समद्विभाजक है)
$\angle EDA = \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$ (क्योंकि $BE, \angle B$ का समद्विभाजक है)
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA = \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
हम जानते हैं कि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$.
अतः,$\angle FDE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
इसी प्रकार,$\angle FED = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ और $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
इस प्रकार,$\Delta DEF$ के कोण $90^{\circ} - \frac{A}{2}, 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ और $90^{\circ} - \frac{C}{2}$ हैं।

(N/A) दिया है: दो सर्वांगसम वृत्त $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक रेखाखंड $PAQ$,$A$ से होकर गुजरता है,जहाँ $P$ पहले वृत्त पर और $Q$ दूसरे वृत्त पर स्थित है।
रचना: $AB$,$BP$ और $BQ$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. दो सर्वांगसम वृत्तों पर विचार कीजिए। जीवा $AB$ दोनों वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ है।
$2$. सर्वांगसम वृत्तों में,समान जीवाएँ परिधि पर समान कोण अंतरित करती हैं।
$3$. चूँकि $AB$ दोनों सर्वांगसम वृत्तों की जीवा है,इसलिए उनके द्वारा परिधि पर अंतरित कोण समान होने चाहिए।
$4$. अतः,$\angle APB = \angle AQB$ है।
$5$. $\Delta PBQ$ में,हमारे पास $\angle APB = \angle AQB$ है (जो $\angle BPQ = \angle BQP$ है)।
$6$. चूँकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $BP = BQ$ होगा।
$7$. अतः सिद्ध हुआ कि $BP = BQ$।

(N/A) मान लीजिए $\Delta ABC$ एक वृत्त में स्थित है जिसका केंद्र $O$ है।
मान लीजिए $\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक परिवृत्त को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें यह दिखाना है कि $E$,$BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
चूंकि $AE$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle CAE$ है।
समान कोण परिधि पर समान चाप अंतरित करते हैं,इसलिए $\text{चाप } BE = \text{चाप } EC$ है।
परिणामस्वरूप,इन चापों के संगत जीवाएं बराबर होती हैं,अर्थात जीवा $BE = \text{जीवा } CE$ है।
मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $\Delta BDE$ और $\Delta CDE$ में:
$BE = CE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BD = CD$ ($D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
$DE = DE$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta BDE \cong \Delta CDE$ है।
इसलिए,$\angle BDE = \angle CDE$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $BC$ एक सीधी रेखा है,$\angle BDE + \angle CDE = 180^{\circ}$ है।
अतः,$\angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $DE \perp BC$ है।
चूंकि $DE$,$BC$ के मध्य-बिंदु $D$ से होकर गुजरता है और $BC$ पर लंब है,इसलिए $DE$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है। इस प्रकार,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक परिवृत्त पर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।