Mix Examples - Circles Questions in Gujarati

(A) વર્તુળના ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
બે વર્તુળો એકરૂપ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યા સમાન છે,ધારો કે તે $r$ છે.
ધારો કે ચાપ $AXB$ ની લંબાઈ $L_1$ છે અને ચાપ $A'YB'$ ની લંબાઈ $L_2$ છે.
આપેલ છે કે ચાપ $AXB$ દ્વારા કેન્દ્ર $O$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta_1 = 75^{\circ}$ છે.
તેથી,$L_1 = \frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
આપેલ છે કે ચાપ $A'YB'$ દ્વારા કેન્દ્ર $O'$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta_2 = 25^{\circ}$ છે.
તેથી,$L_2 = \frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
ચાપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r}{\frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r} = \frac{75^{\circ}}{25^{\circ}} = \frac{3}{1}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(B) $\triangle OPQ$ માં,કેન્દ્રમાંથી સમાન જીવાઓ પર દોરેલા લંબ $OP$ અને $OQ$ સમાન હોય છે,તેથી $OP = OQ$.
તેથી,$\triangle OPQ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle OQP = \angle OPQ = k$.
$\triangle OPQ$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle OQP + \angle OPQ + \angle POQ = 180^{\circ}$.
$k + k + 150^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2k = 30^{\circ}$.
$k = 15^{\circ}$.
આમ,$\angle OPQ = 15^{\circ}$.
$OP \perp AB$ હોવાથી,$\angle OPA = 90^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle OPA = \angle OPQ + \angle APQ$.
$90^{\circ} = 15^{\circ} + \angle APQ$.
$\angle APQ = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$.

(C) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $OP \perp AB$ દોરો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AP = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \, cm$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $OA = \frac{AD}{2} = \frac{34}{2} = 17 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 + AP^2 = OA^2$
$OP^2 + 15^2 = 17^2$
$OP^2 + 225 = 289$
$OP^2 = 289 - 225 = 64$
$OP = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
આમ,વર્તુળના કેન્દ્રથી જીવા $AB$ નું અંતર $8 \, cm$ છે.

(D) વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AC = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OCA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OC^2 + AC^2 = OA^2$
$OC^2 + 4^2 = 5^2$
$OC^2 + 16 = 25$
$OC^2 = 25 - 16 = 9$
$OC = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$.
અહીં $OD$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OD = OA = 5 \text{ cm}$.
આમ,$CD = OD - OC = 5 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$.

(A) $AB$ એ $BC$ ને લંબ છે,તેથી $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણ કાટકોણ હોવાથી,કર્ણ $AC$ એ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$AC = \sqrt{12^2 + 16^2}$
$AC = \sqrt{144 + 256}$
$AC = \sqrt{400} = 20 \, cm$
વ્યાસ $AC = 20 \, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ થાય.

(B) પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
અહીં,ચાપ $AC$ એ કેન્દ્ર $O$ આગળ $\angle AOC$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના બિંદુ $B$ આગળ $\angle ABC$ આંતરે છે.
તેથી,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$.
આપેલ છે કે $\angle ABC = 20^{\circ}$.
આમ,$\angle AOC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.

(C) અહીં $AOB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $AC = BC$,તેથી $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle CAB = \angle CBA$.
ધારો કે $\angle CAB = \angle CBA = x$.
$\triangle ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^{\circ}$
$x + x + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 90^{\circ}$
$x = 45^{\circ}$
આમ,$\angle CAB = 45^{\circ}$.

(D) $\Delta OAB$ માં,
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OAB = \angle OBA = 40^{\circ}$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$\Delta OAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle AOB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ}$.

(A) $\Delta ADB$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$
$60^{\circ} + 50^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$110^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$\angle ADB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle ACB = \angle ADB$ થાય.
આમ,$\angle ACB = 70^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે અને $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ADC = 140^{\circ}$ આપેલ હોવાથી:
$140^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 40^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$

(C) $\Delta OAB$ માં,આપણી પાસે છે:
$OA = OB$ [એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ]
તેથી,$\angle ABO = \angle BAO$ [સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે].
આપેલ છે કે $\angle BAO = 60^{\circ}$,તેથી $\angle ABO = 60^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle AOB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$.
$BC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
આમ,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(D) $\Delta OAB$ માં,આપણી પાસે $OA = OB$ છે (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OAB = \angle OBA.$
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,
$2 \angle OAB = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.$
આમ,$\angle OAB = 45^{\circ}.$
વળી,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો તે જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}.$
હવે,$\Delta CAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.
$\angle CAB = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}.$
અંતે,$\angle CAO = \angle CAB - \angle OAB = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}.$

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
સમર્થન: વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા બે બિંદુઓ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
જો કે,જો બે બિંદુઓ અલગ-અલગ વૃત્તખંડમાં આવેલા હોય (એક ગુરુ વૃત્તખંડમાં અને એક લઘુ વૃત્તખંડમાં),તો આ બિંદુઓ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતા ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,સમાન હોતા નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે તેમાં એ સ્પષ્ટતા નથી કે બિંદુઓ એક જ વૃત્તખંડમાં હોવા જોઈએ.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
વર્તુળમાં,જે જીવા કેન્દ્રની નજીક હોય તે હંમેશા કેન્દ્રથી દૂર રહેલી જીવા કરતા લાંબી હોય છે.
ધારો કે જીવાઓની લંબાઈ $L_1 = 10 \, cm$ અને $L_2 = 8 \, cm$ છે.
ધારો કે કેન્દ્રથી તેમનું અંતર $d_1 = 8.0 \, cm$ અને $d_2 = 3.5 \, cm$ છે.
અહીં $L_1 > L_2$ હોવાથી,અંતર $d_1$ એ $d_2$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ $(d_1 < d_2)$.
પરંતુ,અહીં $d_1 = 8.0 \, cm$ અને $d_2 = 3.5 \, cm$ છે,જેનો અર્થ છે કે $d_1 > d_2$.
તેથી,આપેલી માહિતી એક જ વર્તુળ માટે ભૌમિતિક રીતે અશક્ય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી જીવાઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બંને કેન્દ્રથી $4 \ cm$ ના અંતરે છે,એટલે કે તે કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે.
તેથી,પ્રમેય મુજબ,આ જીવાઓ સમાન હોવી જોઈએ.
આમ,$AB = CD$.
આથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
$\triangle OAB$ અને $\triangle OAC$ માં,$OA = OA$ (સામાન્ય બાજુ) અને $OB = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) છે.
જોકે,ખૂણા $\angle OAB$ અને $\angle OAC$ ત્યારે જ સમાન હોય જો જીવાઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ સમાન હોય $(AB = AC)$.
જો જીવાઓની લંબાઈ અસમાન હોય,તો તેમના દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા અથવા ત્રિજ્યા $OA$ સાથે બનતા ખૂણા સમાન થશે નહીં.
તેથી,આ વિધાન સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.

(A) આપેલ વિધાન ખરું છે.
બે એકરૂપ વર્તુળોમાં,ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે. ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$\triangle AOB$ અને $\triangle AO^{\prime}B$ માં:
$OA = O^{\prime}A = r$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = O^{\prime}B = r$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$AB = AB$ (સામાન્ય જીવા)
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \cong \triangle AO^{\prime}B$ થાય.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) દ્વારા તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય છે.
તેથી,$\angle AOB = \angle AO^{\prime}B$.

(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે. ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી એક અનન્ય વર્તુળ પસાર થાય છે. જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તે એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે. વર્તુળ ત્રણ એવા બિંદુઓમાંથી પસાર થઈ શકતું નથી જે એક જ સીધી રેખા પર હોય,કારણ કે વર્તુળમાં વક્રતા હોય છે,જ્યારે સીધી રેખામાં હોતી નથી. તેથી,ત્રણ સમરેખ બિંદુઓમાંથી વર્તુળ દોરવું અશક્ય છે.

(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2 \times r = 2 \times 3 \, cm = 6 \, cm$ થાય.
અહીં બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = 6 \, cm$ છે,જે વર્તુળના વ્યાસ જેટલું છે. તેથી,$AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરી શકાય છે.
આથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.

(A) $AOB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે અને $C$ એ વર્તુળ પરનું એક બિંદુ છે.
અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો તપાસીએ:
$\angle A + \angle C = 90^{\circ} + 95^{\circ} = 185^{\circ}$.
અહીં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થતો નથી,તેથી ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન:
ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ, વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો, તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
જો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય, તો ચાપ $BC$ દ્વારા કેન્દ્ર $D$ આગળ આંતરાયેલો ખૂણો $(\angle BDC)$ એ પરિઘ પરના ખૂણા $(\angle BAC)$ કરતા બમણો હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle BAC = 30^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થવો જોઈએ.
જોકે, $\angle BDC = 60^{\circ}$ એ $D$ કેન્દ્ર હોવા માટે જરૂરી શરત છે પણ પૂરતી નથી. એવા અસંખ્ય બિંદુઓ $D$ હોઈ શકે છે જેના માટે $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય (ઉદાહરણ તરીકે, $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ગુરુચાપ પરનું કોઈપણ બિંદુ).
તેથી, $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય તે જરૂરી નથી.

(TRUE) આપેલ વિધાન ખરું છે.
પ્રમેય મુજબ,જો બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ,તે રેખાખંડને સમાવતી રેખાની એક જ તરફ આવેલા અન્ય બે બિંદુઓ આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે ચારેય બિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે (એટલે કે,તેઓ એકવર્તુળીય છે).
અહીં,રેખાખંડ $BC$ એ બિંદુઓ $A$ અને $D$ આગળ સમાન ખૂણા $\angle BAC = 45^{\circ}$ અને $\angle BDC = 45^{\circ}$ આંતરે છે.
આ બિંદુઓ $BC$ ની એક જ તરફ આવેલા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.

(TRUE) $AOB$ એ $O$ કેન્દ્રિત વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ADCB$ ધ્યાનમાં લો.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle ADC = 120^{\circ}$,તેથી $120^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો).
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\angle CAB + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CAB + 150^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

$(120^{\circ})$ આપણે જાણીએ છીએ કે ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો તે ચાપની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{arc} AXB = \frac{1}{2} \operatorname{arc} BYC$,તેથી $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ થાય.
$AOC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
સમીકરણમાં $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} \angle BOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\frac{3}{2} \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} \times \frac{2}{3} = 120^{\circ}$.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ બનતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$.
આપેલ છે કે $\angle ABC = 45^{\circ}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\angle AOC = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ મળે છે.
જેથી $\angle AOC = 90^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $OA$ અને $OC$ એકબીજાને લંબ છે.
આમ,$OA \perp OC$ સાબિત થાય છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે ચાપ $AXB \cong$ ચાપ $CYD$.
વર્તુળના ગુણધર્મો અનુસાર,જો વર્તુળના બે ચાપ એકરૂપ હોય,તો તેમની અનુરૂપ જીવાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,જીવા $AB =$ જીવા $CD$.
આમ,જીવાઓની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AB:CD = 1:1$ થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQ$ એ વર્તુળની જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,જે વર્તુળને $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $M$ એ $PQ$ અને $AB$ નું છેદબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: ચાપ $PXA \cong$ ચાપ $PYB$.
સાબિતી:
$\Delta APM$ અને $\Delta BPM$ માં:
$1$. $AM = BM$ (કારણ કે $PQ$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે)
$2$. $\angle AMP = \angle BMP = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$3$. $PM = PM$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APM \cong \Delta BPM$.
આનો અર્થ એ છે કે $CPCT$ મુજબ $AP = BP$.
વર્તુળની જીવાઓ $AP$ અને $BP$ સમાન હોવાથી,તેમની અનુરૂપ ચાપો એકરૂપ હોય છે.
આમ,ચાપ $PXA \cong$ ચાપ $PYB$.

(N/A) આપેલ છે: ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક વર્તુળ પર આવેલા છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
રચના: $AB, BC$ અને $CA$ ને જોડો. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $ST$,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક $PM$ અને $CA$ નો લંબદ્વિભાજક $QR$ દોરો. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અસમરેખ હોવાથી,રેખાઓ $ST, PM$ અને $QR$ સમાંતર નથી અને તે કોઈ બિંદુ $O$ પર છેદશે.
સાબિતી:
$1$. બિંદુ $O$ એ $ST$ પર આવેલું છે,જે $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OA = OB$ (રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ તેના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે) ... $(1)$
$2$. તેવી જ રીતે,$O$ એ $PM$ પર આવેલું છે,જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. વળી,$O$ એ $QR$ પર આવેલું છે,જે $CA$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $OA = OB = OC = r$ મળે છે (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે).
આ સૂચવે છે કે $O$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો એક અનન્ય બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) પર છેદતા હોવાથી,$AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો બિંદુ $O$ પર સંગામી હોવા જોઈએ.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક $AM$ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
રચના: $BC$ ને જોડો. ધારો કે દ્વિભાજક $AM$ એ $BC$ ને $P$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\Delta BAP$ અને $\Delta CAP$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે,કારણ કે જીવાઓ સમાન છે)
$\angle BAP = \angle CAP$ (આપેલ છે,કારણ કે $AM$ દ્વિભાજક છે)
$AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$\Delta BAP \cong \Delta CAP$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$BP = CP$ અને $\angle BPA = \angle CPA$ ($CPCT$ દ્વારા).
કારણ કે $\angle BPA + \angle CPA = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા),
$\angle BPA = \angle CPA = 90^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $AP$ એ જીવા $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની કોઈપણ જીવાનો લંબદ્વિભાજક હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે. $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $L$ અને $M$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB \parallel CD$
સાબિતી: કારણ કે $L$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $OL \perp AB$,અથવા $\angle ALO = 90^{\circ}$.
[કારણ કે વર્તુળના કેન્દ્રને જીવાના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતી રેખા જીવાને લંબ હોય છે]
તે જ રીતે,$\angle CMO = 90^{\circ}$.
તેથી,$\angle ALO = \angle CMO = 90^{\circ}$.
આ ખૂણાઓ છેદિકા $LM$ દ્વારા રેખાઓ $AB$ અને $CD$ પર બનતા અનુકોણ છે,અને તે સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel CD$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $ABCD$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેમાં $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
$AC$ ને જોડો.
વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle CAD = 2 \angle CBD$ $....(1)$
અને $\angle BAC = 2 \angle CDB$ $....(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle CAD + \angle BAC = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
$\Rightarrow \angle BAD = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
આમ,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.

(N/A) આપેલ છે: $O$ એ $\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે અને $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $OD \perp BC$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle BOD = \angle A$.
રચના: $OB$ અને $OC$ ને જોડો.
સાબિતી: $\Delta OBD$ અને $\Delta OCD$ માં,
$OB = OC$ (એક જ પરિવર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OD = OD$ (સામાન્ય બાજુ)
$BD = CD$ ($D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OBD \cong \Delta OCD$.
આથી,$\angle BOD = \angle COD$ ($CPCT$ દ્વારા).
તેથી,$\angle BOC = \angle BOD + \angle COD = 2\angle BOD$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle BOC = 2\angle BAC = 2\angle A$.
$\angle BOC$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2\angle BOD = 2\angle A$
$\angle BOD = \angle A$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) કાટકોણ ત્રિકોણ $ACB$ અને $ADB$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle ACB = 90^{\circ}$ અને $\angle ADB = 90^{\circ}$
તેથી,$\angle ACB + \angle ADB = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $ADBC$ ના સામસામેના ખૂણાઓની જોડનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તે એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ચાપ $BC$ ને ધ્યાનમાં લો. ખૂણા $\angle BAC$ અને $\angle BDC$ એ વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં એક જ ચાપ $BC$ દ્વારા આંતરાયેલા છે.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં એક જ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle BAC = \angle BDC$ થાય છે.

$(120^{\circ})$ આપેલ છે કે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ કેન્દ્ર $O$ આગળ $\angle AOB = 150^{\circ}$ અને $\angle AOC = 90^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે છે.
જેহেতু $AB$ અને $AC$ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે,તેથી જીવા $BC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 150^{\circ} + 90^{\circ} = 240^{\circ}$ થાય.
જીવા $BC$ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પર આંતરેલો ખૂણો $\angle BAC$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ ખૂણો $\angle BOC = 2 \angle BAC$.
$240^{\circ} = 2 \angle BAC$.
$\angle BAC = \frac{240^{\circ}}{2} = 120^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે કે $BM \perp AC$ અને $CN \perp AB$.
તેથી,$\angle BMC = 90^{\circ}$ અને $\angle BNC = 90^{\circ}$.
અહીં $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બંને ખૂણા સમાન છે.
આ બંને સમાન ખૂણાઓ એક જ રેખાખંડ $BC$ દ્વારા તેની એક જ તરફ આવેલા બિંદુઓ $M$ અને $N$ પર આંતરાયેલા છે.
પ્રમેય મુજબ,જો બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ તેની એક જ તરફ આવેલા અન્ય બે બિંદુઓ પર સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે ચારેય બિંદુઓ એકવર્તુળીય હોય છે.
આમ,બિંદુઓ $B, C, M$ અને $N$ એકવર્તુળીય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $BM \perp AC$ અને $CN \perp AB$.
તેથી,$\angle BMC = 90^{\circ}$ અને $\angle BNC = 90^{\circ}$.
અહીં $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $M$ અને $N$ એ રેખાખંડ $BC$ ની એક જ તરફ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
પ્રમેય મુજબ,જો બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ તેની એક જ તરફ આવેલા અન્ય બે બિંદુઓ પર સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે ચારેય બિંદુઓ એકવર્તુળીય હોય છે.
આથી,બિંદુઓ $B, C, M$ અને $N$ એકવર્તુળીય છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ છે. એક રેખા $DE$ એ $BC$ ને સમાંતર એવી રીતે દોરવામાં આવી છે કે $D$ એ $AB$ પર અને $E$ એ $AC$ પર આવેલું છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે ચતુષ્કોણ $BCED$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
$\Delta ABC$ માં,$AB = AC$ હોવાથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB$ (અથવા આકૃતિ મુજબ $\angle 1 = \angle 2$).
$DE \parallel BC$ હોવાથી,છેદિકા $AB$ ની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$\angle BDE + \angle ABC = 180^{\circ}$ (અથવા $\angle 3 + \angle 1 = 180^{\circ}$).
$\angle 1 = \angle 2$ મૂકતા,આપણને $\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ચતુષ્કોણ $BCED$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.
ચતુષ્કોણ $BCED$ ના સામસામેના ખૂણાઓની એક જોડનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $BCED$ ચક્રીય છે.

(N/A) $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ $AB = DC$ છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે વિકર્ણ $AC =$ વિકર્ણ $BD$.
$\Delta AOB$ અને $\Delta DOC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 3$ [વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે]
$AB = DC$ [આપેલ છે]
$\angle 2 = \angle 4$ [વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે]
તેથી,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$AO = OD$ [$CPCT$] $...(1)$
અને $OC = BO$ [$CPCT$] $...(2)$
હવે,$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$AO + OC = BO + OD$
$\Rightarrow AC = BD$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $O$ પરિકેન્દ્ર છે.
$OD \perp BC$ દોરો. $OB$ અને $OC$ ને જોડો.
કાટકોણ $\Delta OBD$ અને કાટકોણ $\Delta OCD$ માં,આપણી પાસે છે:
કર્ણ $OB =$ કર્ણ $OC$ [એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ]
$OD = OD$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta OBD \cong \Delta OCD$ [$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$\therefore \angle 1 = \angle 2$ અને $\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
હવે,$\angle BOC = 2 \angle BAC$ [કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો પરિઘ આગળના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે]
વળી,$\Delta OBC$ માં,$OB = OC$,તેથી $\angle 3 = \angle 4$.
$\Delta OBD$ માં,$\angle 3 + \angle 1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$.
$\angle BOC = 2 \angle 1 + 2 \angle 2$ અને $\angle BOC = 2 \angle BAC$ હોવાથી,આપણને $\angle 1 + \angle 2 = \angle BAC$ મળે છે.
$\angle 1 = \angle 2$ હોવાથી,$2 \angle 1 = \angle BAC$,અથવા $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle BAC$.
આ કિંમત $\angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$ માં મૂકતા,આપણને $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$ મળે છે (જ્યાં $\angle OBC = \angle 3$).
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે જીવા $AB$ છે અને વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. જીવા તેની ત્રિજ્યા જેટલી હોવાથી,આપણી પાસે $AB = OA = OB$ છે.
તેથી,$\triangle OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,$\angle AOB = 60^{\circ}$ થાય.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
આમ,$\angle AOB = 2 \angle ACB$,જ્યાં $C$ એ ગુરુ ચાપ પરનું બિંદુ છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

$(100^{\circ})$ આપેલ આકૃતિમાં,$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે. ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle ADC = 130^{\circ}$,તેથી $130^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
હવે,$\Delta OBC$ અને $\Delta OBE$ ને ધ્યાનમાં લો:
$BC = BE$ (આપેલ છે)
$OC = OE$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = OB$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OBC \cong \Delta OBE$.
તેથી,$\angle OBC = \angle OBE$ ($CPCT$ દ્વારા).
આમ,$\angle CBE = \angle OBC + \angle OBE = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}$.

$(50^{\circ})$ વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે,તેથી:
$\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$
$\Delta OAB$ માં,$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) હોવાથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે. તેથી,$\angle OAB = \angle OBA = p^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$p^{\circ} + p^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$2p^{\circ} = 100^{\circ}$
$p^{\circ} = 50^{\circ}$
આમ,$\angle OAB = 50^{\circ}$.

$(40^{\circ})$ ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓ પૂરક હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
હવે,$\Delta ABC$ માં,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે).
$\Delta ABC$ માં ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$

(N/A) આપેલ છે: $O$ અને $O'$ કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળો $A$ અને $B$ માં છેદે છે. $A$ માંથી પસાર થતી અને $OO'$ ને સમાંતર રેખા $PQ$ દોરવામાં આવી છે,જે વર્તુળોને $P$ અને $Q$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = 2 OO'$.
રચના: $OC \perp PA$ અને $O'D \perp AQ$ દોરો.
સાબિતી:
$1$. વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$PA = 2 CA$ (કારણ કે $OC \perp PA$) $...(1)$
$AQ = 2 AD$ (કારણ કે $O'D \perp AQ$) $...(2)$
$2$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$PA + AQ = 2 CA + 2 AD$
$PQ = 2(CA + AD)$
$3$. $PQ \parallel OO'$,$OC \perp PQ$,અને $O'D \perp PQ$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $CDO'O$ એક લંબચોરસ છે.
તેથી,$CD = OO'$.
$4$. સમીકરણ $PQ = 2(CA + AD)$ માં $CD = OO'$ મૂકતા:
$PQ = 2 CD = 2 OO'$.
આમ,$PQ = 2 OO'$ સાબિત થાય છે.

$(270^{\circ})$ $BC$ ને જોડો.
અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle ACB = 90^{\circ}$.
$ACDEB$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી (બધા શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા છે),સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ}$.
હવે,બંને બાજુ $\angle ACB$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$(\angle BCD + \angle ACB) + \angle BED = 180^{\circ} + \angle ACB$
કારણ કે $\angle BCD + \angle ACB = \angle ACD$,તેથી:
$\angle ACD + \angle BED = 180^{\circ} + 90^{\circ} = 270^{\circ}$.

(N/A) $\Delta OBC$ માં,આપણી પાસે છે:
$OB = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
તેથી,$\angle OCB = \angle OBC = 57^{\circ}$ (કારણ કે $\angle OCB = 57^{\circ}$ આપેલ છે,અને સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
હવે,$\Delta BOC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$57^{\circ} + 57^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$114^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,આપણી પાસે છે:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
તેથી,$\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
કારણ કે $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$,તેથી:
$120^{\circ} = \angle AOC + 66^{\circ}$
$\angle AOC = 120^{\circ} - 66^{\circ} = 54^{\circ}$.
આમ,$\angle BOC = 66^{\circ}$ અને $\angle AOC = 54^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે બે વર્તુળો ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ માં છેદે છે.
આમ $A$,$B$ અને $C$ એ ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ છે.
ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ,ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું એક અને માત્ર એક જ વર્તુળ હોય છે.
તેથી,જો બે વર્તુળો સમાન ત્રણ બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા હોય,તો તે બંને વર્તુળો એક જ હોવા જોઈએ.
આ ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે કે બે ભિન્ન વર્તુળો છે.
આથી,બે વર્તુળો બેથી વધુ બિંદુઓમાં છેદી શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $P$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની અંદર આપેલું બિંદુ છે. $P$ માંથી પસાર થતા વ્યાસ $XY$ ને લંબ જીવા $AB$ દોરો. ધારો કે $CD$ એ $P$ માંથી પસાર થતી અન્ય કોઈ જીવા છે. $O$ માંથી $CD$ પર લંબ $ON$ દોરો.
$\Delta ONP$ માં,$\angle ONP = 90^{\circ}$ છે. $OP$ કર્ણ હોવાથી,$OP > ON$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રની નજીકની જીવા,કેન્દ્રથી દૂરની જીવા કરતા મોટી હોય છે.
અહીં $ON < OP$ હોવાથી (જ્યાં $OP$ એ જીવા $AB$ નું કેન્દ્રથી અંતર છે),જીવા $CD$ એ જીવા $AB$ કરતા કેન્દ્રથી વધુ દૂર છે.
તેથી,$CD > AB$ થાય.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,$P$ માંથી પસાર થતી તમામ જીવાઓ પૈકી $AB$ સૌથી નાની જીવા છે.

(N/A) $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે,જે એકબીજાને $M$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે:
$(i)$ $MB = MC$ અને
$(ii)$ $AM = MD$
કેન્દ્ર $O$ માંથી $OE \perp AB$ અને $OF \perp CD$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AE = \frac{1}{2} AB$ અને $FD = \frac{1}{2} CD$
$AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD,$ તેથી $AE = FD$ $...(1)$
સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OE = OF.$
હવે,$\Delta MOE$ અને $\Delta MOF$ માં:
$OE = OF$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$OM = OM$ [સામાન્ય બાજુ]
$\angle OEM = \angle OFM = 90^\circ$ [રચના મુજબ]
તેથી,$\Delta MOE \cong \Delta MOF$ [$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
આમ,$ME = MF$ $...(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AE - ME = FD - MF$
$\Rightarrow AM = MD$ [ભાગ $(ii)$ સાબિત થયો]
ફરીથી,$AB = CD$ અને $AM = MD.$
આ બાદ કરતા,આપણને મળે છે $AB - AM = CD - MD.$
તેથી,$MB = MC$ [ભાગ $(i)$ સાબિત થયો]