Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(A) वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है,जहाँ $\theta$ केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं,इसलिए उनकी त्रिज्या समान है,मान लीजिए कि वह $r$ है।
मान लीजिए चाप $AXB$ की लंबाई $L_1$ है और चाप $A'YB'$ की लंबाई $L_2$ है।
दिया गया है कि चाप $AXB$ द्वारा केंद्र $O$ पर अंतरित कोण $\theta_1 = 75^{\circ}$ है।
अतः,$L_1 = \frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
दिया गया है कि चाप $A'YB'$ द्वारा केंद्र $O'$ पर अंतरित कोण $\theta_2 = 25^{\circ}$ है।
अतः,$L_2 = \frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
चाप की लंबाइयों का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r}{\frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r} = \frac{75^{\circ}}{25^{\circ}} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(B) $\triangle OPQ$ में,चूंकि $OP$ और $OQ$ केंद्र से समान जीवाओं पर डाले गए लंब हैं,इसलिए $OP = OQ$ है।
अतः,$\triangle OPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसका अर्थ है कि $\angle OQP = \angle OPQ = k$ है।
$\triangle OPQ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle OQP + \angle OPQ + \angle POQ = 180^{\circ}$ है।
$k + k + 150^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2k = 30^{\circ}$।
$k = 15^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle OPQ = 15^{\circ}$ है।
चूंकि $OP \perp AB$ है,इसलिए $\angle OPA = 90^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle OPA = \angle OPQ + \angle APQ$ है।
$90^{\circ} = 15^{\circ} + \angle APQ$।
$\angle APQ = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$।

(C) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। $OP \perp AB$ खींचिए।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AP = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \, cm$.
वृत्त की त्रिज्या $OA = \frac{AD}{2} = \frac{34}{2} = 17 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 + AP^2 = OA^2$
$OP^2 + 15^2 = 17^2$
$OP^2 + 225 = 289$
$OP^2 = 289 - 225 = 64$
$OP = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
अतः,वृत्त के केंद्र से जीवा $AB$ की दूरी $8 \, cm$ है।

(D) चूंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AC = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle OCA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OC^2 + AC^2 = OA^2$
$OC^2 + 4^2 = 5^2$
$OC^2 + 16 = 25$
$OC^2 = 25 - 16 = 9$
$OC = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$.
यहाँ $OD$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OD = OA = 5 \text{ cm}$.
अतः,$CD = OD - OC = 5 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$.

(A) $AB$,$BC$ पर लंब है,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज समकोण है,इसलिए कर्ण $AC$ बिंदुओं $A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$AC = \sqrt{12^2 + 16^2}$
$AC = \sqrt{144 + 256}$
$AC = \sqrt{400} = 20 \, cm$
चूंकि व्यास $AC = 20 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ होगी।

(B) प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यहाँ,चाप $AC$ केंद्र $O$ पर $\angle AOC$ और वृत्त के शेष भाग पर स्थित बिंदु $B$ पर $\angle ABC$ अंतरित करता है।
इसलिए,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$ होगा।
दिया गया है कि $\angle ABC = 20^{\circ}$ है।
अतः,$\angle AOC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$।

(C) चूंकि $AOB$ वृत्त का व्यास है,इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
दिया गया है कि $AC = BC$,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle CAB = \angle CBA$।
माना $\angle CAB = \angle CBA = x$।
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^{\circ}$
$x + x + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 90^{\circ}$
$x = 45^{\circ}$
अतः,$\angle CAB = 45^{\circ}$।

(D) $\Delta OAB$ में,
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अतः,$\angle OAB = \angle OBA = 40^{\circ}$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle AOB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ}$।

(A) $\Delta ADB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$
$60^{\circ} + 50^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$110^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$\angle ADB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$
चूँकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle ACB = \angle ADB$ होगा।
अतः,$\angle ACB = 70^{\circ}$।

(B) दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है और $AB$ वृत्त का व्यास है।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ADC = 140^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$140^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$
चूंकि $AB$ व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 40^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$

(C) $\Delta OAB$ में,हमारे पास है:
$OA = OB$ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
इसलिए,$\angle ABO = \angle BAO$ [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]।
दिया है $\angle BAO = 60^{\circ}$,इसलिए $\angle ABO = 60^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle AOB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$।
चूँकि $BC$ एक व्यास है,$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
वृत्त के केंद्र पर बना कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
अतः,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$।

(D) $\Delta OAB$ में,हमारे पास $OA = OB$ है (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
इसलिए,$\angle OAB = \angle OBA.$
चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,
$2 \angle OAB = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.$
अतः,$\angle OAB = 45^{\circ}.$
साथ ही,वृत्त के केंद्र पर बना कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}.$
अब,$\Delta CAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
$\angle CAB = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}.$
अंततः,$\angle CAO = \angle CAB - \angle OAB = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}.$

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
औचित्य: वृत्त के प्रमेय के अनुसार,एक वृत्त के एक ही वृत्तखंड में स्थित किन्हीं दो बिंदुओं पर एक जीवा द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं।
हालाँकि,यदि दो बिंदु अलग-अलग वृत्तखंडों में स्थित हों (एक दीर्घ वृत्तखंड में और एक लघु वृत्तखंड में),तो इन बिंदुओं पर जीवा द्वारा अंतरित कोण संपूरक होते हैं,न कि बराबर। इसलिए,यह कथन गलत है क्योंकि इसमें यह स्पष्ट नहीं किया गया है कि बिंदु एक ही वृत्तखंड में होने चाहिए।

(B) यह कथन असत्य है।
एक वृत्त में,जो जीवा केंद्र के निकट होती है,वह हमेशा केंद्र से दूर स्थित जीवा से लंबी होती है।
मान लीजिए जीवाओं की लंबाई $L_1 = 10 \, cm$ और $L_2 = 8 \, cm$ है।
मान लीजिए केंद्र से उनकी दूरियाँ $d_1 = 8.0 \, cm$ और $d_2 = 3.5 \, cm$ हैं।
चूंकि $L_1 > L_2$ है,इसलिए दूरी $d_1$ का मान $d_2$ से कम होना चाहिए $(d_1 < d_2)$।
हालाँकि,यहाँ $d_1 = 8.0 \, cm$ और $d_2 = 3.5 \, cm$ है,जिसका अर्थ है कि $d_1 > d_2$ है।
अतः,दी गई जानकारी एक ही वृत्त के लिए ज्यामितीय रूप से असंभव है।

(A) हम जानते हैं कि एक वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
यहाँ दिया गया है कि एक वृत्त की दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ प्रत्येक केंद्र से $4 \ cm$ की दूरी पर हैं,अर्थात वे केंद्र से समान दूरी पर हैं।
इसलिए,प्रमेय के अनुसार,जीवाएँ बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AB = CD$ है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(B) यह कथन असत्य है।
$\triangle OAB$ और $\triangle OAC$ में,$OA = OA$ (उभयनिष्ठ भुजा) और $OB = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) हैं।
हालाँकि,कोण $\angle OAB$ और $\angle OAC$ तभी बराबर होंगे यदि जीवाएँ $AB$ और $AC$ लंबाई में समान हों $(AB = AC)$।
यदि जीवाओं की लंबाई असमान है,तो उनके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण या त्रिज्या $OA$ के साथ बनने वाले कोण बराबर नहीं होंगे।
इसलिए,यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

(A) दिया गया कथन सत्य है।
दो सर्वांगसम वृत्तों में,त्रिज्याएँ समान होती हैं। मान लीजिए कि दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r$ है।
$\triangle AOB$ और $\triangle AO^{\prime}B$ में:
$OA = O^{\prime}A = r$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$OB = O^{\prime}B = r$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ जीवा)
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \cong \triangle AO^{\prime}B$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AOB = \angle AO^{\prime}B$।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है। तीन असंरेख बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय वृत्त खींचा जा सकता है। यदि तीन बिंदु संरेख हैं,तो वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। एक वृत्त उन तीन बिंदुओं से होकर नहीं गुजर सकता जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित हों क्योंकि वृत्त में वक्रता होती है,जबकि एक सीधी रेखा में नहीं। इसलिए,तीन संरेख बिंदुओं से होकर एक वृत्त खींचना असंभव है।

(A) वृत्त की त्रिज्या $r = 3 \, cm$ है।
वृत्त का व्यास $d = 2 \times r = 2 \times 3 \, cm = 6 \, cm$ होता है।
चूंकि दो बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $AB = 6 \, cm$ है,जो वृत्त के व्यास के बराबर है,इसलिए $AB$ को व्यास मानकर इन दो बिंदुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) $AOB$ एक वृत्त का व्यास है और $C$ वृत्त पर स्थित एक बिंदु है।
चूंकि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है,इसलिए $\angle ACB = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ में,आइए सम्मुख कोणों के योग की जाँच करें:
$\angle A + \angle C = 90^{\circ} + 95^{\circ} = 185^{\circ}$.
चूँकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ नहीं है,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज नहीं हो सकता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य:
ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार, वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यदि $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र होता, तो चाप $BC$ द्वारा केंद्र $D$ पर अंतरित कोण $(\angle BDC)$, परिधि पर स्थित कोण $(\angle BAC)$ का दोगुना होना चाहिए था।
यहाँ $\angle BAC = 30^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होना चाहिए।
हालाँकि, $\angle BDC = 60^{\circ}$ होना $D$ के केंद्र होने के लिए आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। ऐसे अनंत बिंदु $D$ हो सकते हैं जिनके लिए $\angle BDC = 60^{\circ}$ हो (उदाहरण के लिए, $B, C$ और $D$ से गुजरने वाले वृत्त के दीर्घ चाप पर स्थित कोई भी बिंदु)।
अतः, यह आवश्यक नहीं है कि $D$, $A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ही हो।

(TRUE) दिया गया कथन सत्य है।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड,उस रेखाखंड को समाहित करने वाली रेखा के एक ही ओर स्थित अन्य दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं (अर्थात,वे एकवृत्तीय होते हैं)।
यहाँ,रेखाखंड $BC$,बिंदुओं $A$ और $D$ पर समान कोण $\angle BAC = 45^{\circ}$ और $\angle BDC = 45^{\circ}$ अंतरित करता है।
चूँकि ये बिंदु $BC$ के एक ही ओर स्थित हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C$ और $D$ एकवृत्तीय हैं।

(TRUE) $AOB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है।
चक्रीय चतुर्भुज $ADCB$ पर विचार कीजिए।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle ADC = 120^{\circ}$,अतः $120^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 150^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

$(120^{\circ})$ हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण चाप की लंबाई के समानुपाती होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{arc} AXB = \frac{1}{2} \operatorname{arc} BYC$,इसलिए $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ होगा।
चूंकि $AOC$ एक व्यास है,इसलिए $\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
समीकरण में $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \angle BOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\frac{3}{2} \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} \times \frac{2}{3} = 120^{\circ}$.

(N/A) हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$ है।
दिया गया है कि $\angle ABC = 45^{\circ}$ है।
मान रखने पर,हमें $\angle AOC = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle AOC = 90^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएं $OA$ और $OC$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,$OA \perp OC$ सिद्ध होता है।

(A) हमें दिया गया है कि चाप $AXB \cong$ चाप $CYD$ है।
वृत्त के गुणों के अनुसार,यदि एक वृत्त के दो चाप सर्वांगसम होते हैं,तो उनकी संगत जीवाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,जीवा $AB =$ जीवा $CD$ है।
अतः,जीवाओं की लंबाई का अनुपात $AB:CD = 1:1$ है।

(N/A) दिया है: $PQ$ एक वृत्त की जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,जो वृत्त को $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। माना $M$,$PQ$ और $AB$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
सिद्ध करना है: चाप $PXA \cong$ चाप $PYB$.
उपपत्ति:
$\Delta APM$ और $\Delta BPM$ में:
$1$. $AM = BM$ (चूंकि $PQ$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है)
$2$. $\angle AMP = \angle BMP = 90^{\circ}$ (दिया है)
$3$. $PM = PM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta APM \cong \Delta BPM$ है।
इसका अर्थ है कि $CPCT$ द्वारा $AP = BP$ है।
चूंकि $AP$ और $BP$ वृत्त की जीवाएं हैं और $AP = BP$ है,इसलिए उनकी संगत चापें सर्वांगसम होती हैं।
अतः,चाप $PXA \cong$ चाप $PYB$ है।

(N/A) दिया है: तीन असंरेख बिंदु $A, B$ और $C$ एक वृत्त पर स्थित हैं।
सिद्ध करना है: $AB, BC$ और $CA$ के लंब समद्विभाजक संगामी हैं।
रचना: $AB, BC$ और $CA$ को मिलाइए। $AB$ का लंब समद्विभाजक $ST$,$BC$ का लंब समद्विभाजक $PM$ और $CA$ का लंब समद्विभाजक $QR$ खींचिए। चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ असंरेख हैं,इसलिए रेखाएँ $ST, PM$ और $QR$ समांतर नहीं हैं और किसी बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करेंगी।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि बिंदु $O, ST$ पर स्थित है,जो $AB$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OA = OB$ (लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु रेखाखंड के अंत बिंदुओं से समान दूरी पर होता है) ... $(1)$
$2$. इसी प्रकार,चूंकि $O, PM$ पर स्थित है,जो $BC$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. साथ ही,चूंकि $O, QR$ पर स्थित है,जो $CA$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें $OA = OB = OC = r$ प्राप्त होता है (जहाँ $r$ त्रिज्या है)।
यह दर्शाता है कि $O, A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है। चूंकि एक त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक अद्वितीय बिंदु (परिकेंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $AB, BC$ और $CA$ के लंब समद्विभाजक बिंदु $O$ पर संगामी होने चाहिए।

(N/A) सिद्ध करना है: $\angle BAC$ का समद्विभाजक $AM$ केंद्र $O$ से होकर गुजरता है।
रचना: $BC$ को मिलाइए। मान लीजिए कि समद्विभाजक $AM$,$BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है।
उपपत्ति: $\Delta BAP$ और $\Delta CAP$ में:
$AB = AC$ (दिया है,क्योंकि जीवाएँ समान हैं)
$\angle BAP = \angle CAP$ (दिया है,क्योंकि $AM$ समद्विभाजक है)
$AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$\Delta BAP \cong \Delta CAP$ ($SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इस प्रकार,$BP = CP$ और $\angle BPA = \angle CPA$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूँकि $\angle BPA + \angle CPA = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म),
$\angle BPA = \angle CPA = 90^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि $AP$,जीवा $BC$ का लंब समद्विभाजक है। हम जानते हैं कि वृत्त की किसी भी जीवा का लंब समद्विभाजक हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। अतः,$\angle BAC$ का समद्विभाजक केंद्र $O$ से होकर गुजरता है।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जिसका केंद्र $O$ है। $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $L$ और $M$ हैं।
सिद्ध करना है: $AB \parallel CD$
उपपत्ति: चूँकि $L$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $OL \perp AB$,या $\angle ALO = 90^{\circ}$।
[क्योंकि वृत्त के केंद्र को जीवा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है]
इसी प्रकार,$\angle CMO = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle ALO = \angle CMO = 90^{\circ}$।
चूँकि ये तिर्यक रेखा $LM$ द्वारा रेखाओं $AB$ और $CD$ पर बने संगत कोण हैं,और ये बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AB \parallel CD$।
इति सिद्धम्।

(N/A) $ABCD$ एक ऐसा चतुर्भुज है कि $A$,$B, C$ और $D$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है। हमें सिद्ध करना है कि $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
$AC$ को मिलाइए।
चूँकि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle CAD = 2 \angle CBD$ $....(1)$
और $\angle BAC = 2 \angle CDB$ $....(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle CAD + \angle BAC = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
$\Rightarrow \angle BAD = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
अतः,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.

(N/A) दिया है: $O$ त्रिभुज $\Delta ABC$ का परिकेंद्र है और $D$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है,अतः $OD \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle BOD = \angle A$.
रचना: $OB$ और $OC$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\Delta OBD$ और $\Delta OCD$ में,
$OB = OC$ (एक ही परिवृत्त की त्रिज्याएँ)
$OD = OD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$BD = CD$ ($D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता नियम से $\Delta OBD \cong \Delta OCD$ है।
इससे प्राप्त होता है कि $\angle BOD = \angle COD$ ($CPCT$ द्वारा)।
अतः,$\angle BOC = \angle BOD + \angle COD = 2\angle BOD$ है।
हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle BOC = 2\angle BAC = 2\angle A$ है।
$\angle BOC$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2\angle BOD = 2\angle A$
$\angle BOD = \angle A$.
इति सिद्धम्।

(N/A) समकोण त्रिभुज $ACB$ और $ADB$ में,हमारे पास है:
$\angle ACB = 90^{\circ}$ और $\angle ADB = 90^{\circ}$
अतः,$\angle ACB + \angle ADB = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
चूँकि चतुर्भुज $ADBC$ के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अब,चाप $BC$ पर विचार करें। कोण $\angle BAC$ और $\angle BDC$ एक ही चाप $BC$ द्वारा वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने हैं।
चूँकि वृत्त के एक ही वृत्तखंड में एक ही चाप द्वारा बने कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BAC = \angle BDC$ है।

$(120^{\circ})$ दिया है कि जीवाएँ $AB$ और $AC$ केंद्र $O$ पर $\angle AOB = 150^{\circ}$ और $\angle AOC = 90^{\circ}$ का कोण अंतरित करती हैं।
चूँकि $AB$ और $AC$ केंद्र के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं,इसलिए जीवा $BC$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 150^{\circ} + 90^{\circ} = 240^{\circ}$ है।
जीवा $BC$ द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण $\angle BAC$ है।
हम जानते हैं कि चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,प्रतिवर्ती कोण $\angle BOC = 2 \angle BAC$ है।
$240^{\circ} = 2 \angle BAC$.
$\angle BAC = \frac{240^{\circ}}{2} = 120^{\circ}$.

(N/A) दिया गया है कि $BM \perp AC$ और $CN \perp AB$ है।
अतः,$\angle BMC = 90^{\circ}$ और $\angle BNC = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$,इसलिए दोनों कोण बराबर हैं।
ये दोनों बराबर कोण एक ही रेखाखंड $BC$ द्वारा रेखाखंड के एक ही ओर स्थित बिंदुओं $M$ और $N$ पर अंतरित किए गए हैं।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड,रेखा के एक ही ओर स्थित अन्य दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु एकवृत्तीय होते हैं।
अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ एकवृत्तीय हैं।

(N/A) दिया गया है कि $BM \perp AC$ और $CN \perp AB$ है।
अतः,$\angle BMC = 90^{\circ}$ और $\angle BNC = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$ है,बिंदु $M$ और $N$ रेखाखंड $BC$ के एक ही ओर समान कोण अंतरित करते हैं।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड रेखा के एक ही ओर स्थित दो अन्य बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु चक्रीय होते हैं।
अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय हैं।

(N/A) माना $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। एक रेखा $DE$,$BC$ के समानांतर इस प्रकार खींची गई है कि $D$,$AB$ पर स्थित है और $E$,$AC$ पर स्थित है।
हमें सिद्ध करना है कि चतुर्भुज $BCED$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ (या आकृति के अनुसार $\angle 1 = \angle 2$)।
चूंकि $DE \parallel BC$ है,तिर्यक रेखा $AB$ के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle BDE + \angle ABC = 180^{\circ}$ (या $\angle 3 + \angle 1 = 180^{\circ}$)।
$\angle 1 = \angle 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि चतुर्भुज $BCED$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
चूंकि चतुर्भुज $BCED$ के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए चतुर्भुज $BCED$ चक्रीय है।

(N/A) $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाओं का एक युग्म $AB = DC$ है। हमें सिद्ध करना है कि विकर्ण $AC =$ विकर्ण $BD$ है।
$\Delta AOB$ और $\Delta DOC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 3$ [वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं]
$AB = DC$ [दिया है]
$\angle 2 = \angle 4$ [वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं]
अतः,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$AO = OD$ [$CPCT$] $...(1)$
और $OC = BO$ [$CPCT$] $...(2)$
अब,$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AO + OC = BO + OD$
$\Rightarrow AC = BD$
इति सिद्धम्।

(N/A) $ABC$ एक त्रिभुज है और $O$ परिकेंद्र है।
$OD \perp BC$ खींचिए। $OB$ और $OC$ को मिलाइए।
समकोण $\Delta OBD$ और समकोण $\Delta OCD$ में,हमारे पास है:
कर्ण $OB =$ कर्ण $OC$ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
$OD = OD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\therefore \Delta OBD \cong \Delta OCD$ [$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$\therefore \angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
अब,$\angle BOC = 2 \angle BAC$ [केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है]
साथ ही,$\Delta OBC$ में,$OB = OC$,इसलिए $\angle 3 = \angle 4$।
$\Delta OBD$ में,$\angle 3 + \angle 1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle BOC = 2 \angle 1 + 2 \angle 2$ और $\angle BOC = 2 \angle BAC$,इसलिए हमारे पास $\angle 1 + \angle 2 = \angle BAC$ है।
चूंकि $\angle 1 = \angle 2$,इसलिए $2 \angle 1 = \angle BAC$,या $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle BAC$।
इसे $\angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है (जहाँ $\angle OBC = \angle 3$)।
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए जीवा $AB$ है और वृत्त का केंद्र $O$ है। चूँकि जीवा त्रिज्या के बराबर है,इसलिए $AB = OA = OB$ है।
अतः,$\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
वृत्त प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
अतः,$\angle AOB = 2 \angle ACB$,जहाँ $C$ दीर्घ चाप पर स्थित एक बिंदु है।
इसलिए,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।

$(100^{\circ})$ दी गई आकृति में,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$।
दिया है $\angle ADC = 130^{\circ}$,अतः $130^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
अब,$\Delta OBC$ और $\Delta OBE$ पर विचार करें:
$BC = BE$ (दिया है)
$OC = OE$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta OBC \cong \Delta OBE$।
इसलिए,$\angle OBC = \angle OBE$ ($CPCT$ द्वारा)।
अतः,$\angle CBE = \angle OBC + \angle OBE = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}$।

$(50^{\circ})$ चूँकि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है,इसलिए:
$\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$
$\Delta OAB$ में,चूँकि $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए,$\angle OAB = \angle OBA = p^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$p^{\circ} + p^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$2p^{\circ} = 100^{\circ}$
$p^{\circ} = 50^{\circ}$
अतः,$\angle OAB = 50^{\circ}$।

$(40^{\circ})$ चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
अब,$\Delta ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है)।
$\Delta ABC$ में त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हुए:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$

(N/A) दिया है: $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो वृत्त $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A$ से होकर $OO'$ के समानांतर एक रेखा $PQ$ खींची गई है,जो वृत्तों को $P$ और $Q$ पर काटती है।
सिद्ध करना है: $PQ = 2 OO'$.
रचना: $OC \perp PA$ और $O'D \perp AQ$ खींचिए।
उपपत्ति:
$1$. वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$PA = 2 CA$ (चूंकि $OC \perp PA$) $...(1)$
$AQ = 2 AD$ (चूंकि $O'D \perp AQ$) $...(2)$
$2$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$PA + AQ = 2 CA + 2 AD$
$PQ = 2(CA + AD)$
$3$. चूंकि $PQ \parallel OO'$,$OC \perp PQ$,और $O'D \perp PQ$,इसलिए चतुर्भुज $CDO'O$ एक आयत है।
अतः,$CD = OO'$.
$4$. समीकरण $PQ = 2(CA + AD)$ में $CD = OO'$ रखने पर:
$PQ = 2 CD = 2 OO'$.
अतः,$PQ = 2 OO'$ सिद्ध हुआ।

$(270^{\circ})$ $BC$ को मिलाइए।
चूंकि अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle ACB = 90^{\circ}$।
चूंकि $ACDEB$ एक चक्रीय चतुर्भुज है (सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं),इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ}$।
अब,दोनों पक्षों में $\angle ACB$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BCD + \angle ACB) + \angle BED = 180^{\circ} + \angle ACB$
चूंकि $\angle BCD + \angle ACB = \angle ACD$,इसलिए:
$\angle ACD + \angle BED = 180^{\circ} + 90^{\circ} = 270^{\circ}$।

(N/A) $\Delta OBC$ में,हमारे पास है:
$OB = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OCB = \angle OBC = 57^{\circ}$ (चूंकि $\angle OCB = 57^{\circ}$ दिया गया है,और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)।
अब,$\Delta BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$57^{\circ} + 57^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$114^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,हमारे पास है:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
चूंकि $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$,इसलिए:
$120^{\circ} = \angle AOC + 66^{\circ}$
$\angle AOC = 120^{\circ} - 66^{\circ} = 54^{\circ}$।
अतः,$\angle BOC = 66^{\circ}$ और $\angle AOC = 54^{\circ}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि दो वृत्त तीन अलग-अलग बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि $A$,$B$ और $C$ तीन अलग-अलग बिंदु हैं,इसलिए वे असंरेख (non-collinear) हैं।
ज्यामितीय प्रमेय के अनुसार,तीन असंरेख बिंदुओं से होकर केवल एक और केवल एक ही वृत्त गुजर सकता है।
इसलिए,यदि दो वृत्त समान तीन बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ से होकर गुजरते हैं,तो वे दोनों वृत्त एक ही होने चाहिए।
यह इस धारणा का खंडन करता है कि दो अलग-अलग वृत्त हैं।
अतः,दो वृत्तों का दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना असंभव है।

(N/A) माना $P$ केंद्र $O$ वाले वृत्त के भीतर एक दिया गया बिंदु है। जीवा $AB$ खींचिए जो $P$ से होकर जाने वाले व्यास $XY$ पर लंब है। माना $CD$ कोई अन्य जीवा है जो $P$ से होकर गुजरती है। $O$ से $CD$ पर लंब $ON$ खींचिए।
$\Delta ONP$ में,$\angle ONP = 90^{\circ}$ है। चूंकि $OP$ कर्ण है,इसलिए $OP > ON$ होगा।
हम जानते हैं कि केंद्र के निकट वाली जीवा,केंद्र से दूर वाली जीवा से बड़ी होती है।
चूंकि $ON < OP$ है (जहाँ $OP$ केंद्र से जीवा $AB$ की दूरी है),इसलिए जीवा $CD$ केंद्र से जीवा $AB$ की तुलना में अधिक दूर है।
अतः,$CD > AB$ होगा।
दूसरे शब्दों में,$P$ से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में $AB$ सबसे छोटी है।

(N/A) $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं,जो एक-दूसरे को $M$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमें सिद्ध करना है कि:
$(i)$ $MB = MC$ और
$(ii)$ $AM = MD$
केंद्र $O$ से $OE \perp AB$ और $OF \perp CD$ खींचिए।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AE = \frac{1}{2} AB$ और $FD = \frac{1}{2} CD$
चूँकि $AB = CD,$ इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD,$ अतः $AE = FD$ $...(1)$
समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं,इसलिए $OE = OF.$
अब,$\Delta MOE$ और $\Delta MOF$ में:
$OE = OF$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$OM = OM$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle OEM = \angle OFM = 90^\circ$ [रचना से]
अतः,$\Delta MOE \cong \Delta MOF$ [$RHS$ सर्वांगसमता नियम से]
इस प्रकार,$ME = MF$ $...(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AE - ME = FD - MF$
$\Rightarrow AM = MD$ [भाग $(ii)$ सिद्ध हुआ]
पुनः,$AB = CD$ और $AM = MD.$
इन्हें घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $AB - AM = CD - MD.$
अतः,$MB = MC$ [भाग $(i)$ सिद्ध हुआ]