Combination of Lens and Mirror and Silvering of Lens, Cutting of Mirror Questions in Hindi

(C) प्रकाश की किरणों के वापस अनंत पर लौटने के लिए,उन्हें अवतल दर्पण पर लंबवत गिरना चाहिए। यह तब होता है जब किरणें अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होती हैं।
चूंकि आपतित प्रकाश मुख्य अक्ष के समानांतर है,उत्तल लेंस इन किरणों को अपने फोकस बिंदु पर केंद्रित करता है,जो लेंस से $f_2$ दूरी पर है।
किरणों के अवतल दर्पण पर लंबवत गिरने के लिए,यह फोकस बिंदु अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र के साथ मेल खाना चाहिए।
अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र की दर्पण से दूरी $2f_1$ है।
इसलिए,लेंस और दर्पण के बीच की कुल दूरी $d$,लेंस की फोकस दूरी और दर्पण की वक्रता त्रिज्या का योग है:
$d = f_2 + 2f_1$.

(B) चांदी की परत चढ़े लेंस के लिए,यह निकाय $F$ प्रभावी फोकस दूरी वाले एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है। निकाय की शक्ति $P = 2P_L + P_M$ है,जहाँ $P_L = \frac{1}{f_L}$ और $P_M = 0$ (समतल दर्पण के लिए)।
दिया गया है $f_L = 30\,cm$,इसलिए लेंस की शक्ति $P_L = \frac{1}{30}$ है।
प्रभावी शक्ति $P = 2(\frac{1}{30}) + 0 = \frac{1}{15}$ है।
अतः,प्रभावी फोकस दूरी $F = -15\,cm$ (अवतल दर्पण के रूप में) है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -40\,cm$ और $F = -15\,cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{-15}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{24}$
$v = -24\,cm$।
अतः लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $24\,cm$ है।

(D) लेंस की शक्ति लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब लेंस को मुख्य अक्ष से गुजरने वाले तल द्वारा काटा जाता है,तो लेंस की सतहों की वक्रता त्रिज्या $R_1$ और $R_2$ अपरिवर्तित रहती है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ और वक्रता त्रिज्या $R_1$ और $R_2$ कटे हुए भाग के लिए समान रहते हैं,इसलिए फोकस दूरी $f$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
चूंकि शक्ति $P = \frac{1}{f}$ होती है,इसलिए प्रत्येक भाग की शक्ति $P$ ही रहेगी।

(1.33) उत्तल लेंस की फोकस दूरी,$f_{1} = 30 \; cm$ है।
तरल परत एक समतल-अवतल लेंस के रूप में कार्य करती है। मान लीजिए इसकी फोकस दूरी $f_{2}$ है।
उत्तल लेंस और तरल परत का संयोजन $f = 45 \; cm$ फोकस दूरी वाली एक प्रणाली के रूप में कार्य करता है।
संपर्क में रखी गई ऑप्टिकल प्रणालियों की एक जोड़ी के लिए,समतुल्य फोकस दूरी इस प्रकार दी गई है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
$\frac{1}{f_{2}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f_{1}} = \frac{1}{45} - \frac{1}{30} = \frac{2 - 3}{90} = -\frac{1}{90}$
$\therefore f_{2} = -90 \; cm$ है।
उभयोत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f_{1}} = (\mu_{1} - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
चूंकि $f_{1} = 30 \; cm$ है,इसलिए $R = 30 \; cm$ है।
समतल-अवतल तरल लेंस के लिए,ऊपरी सतह की वक्रता त्रिज्या $R = -30 \; cm$ है और निचली सतह $\infty$ है।
लेंस निर्माता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f_{2}} = (\mu_{2} - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right)$
$-\frac{1}{90} = (\mu_{2} - 1) \left( \frac{1}{-30} - 0 \right)$
$\mu_{2} - 1 = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$
$\mu_{2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ है।
अतः,तरल का अपवर्तनांक $1.33$ है।

(D) काटने के बाद लेंस की फोकस दूरी $f = 25 \, cm$ ही रहती है।
नए लेंस का मुख्य अक्ष उसके ऑप्टिकल सेंटर $(0,0)$ से होकर गुजरता है।
वस्तु $(-50 \, cm, 0)$ पर रखी गई है। चूंकि लेंस को मूल मुख्य अक्ष से $0.5 \, cm$ ऊपर काटा गया है,इसलिए नया मुख्य अक्ष मूल अक्ष से $0.5 \, cm$ नीचे है।
नए मुख्य अक्ष के सापेक्ष,वस्तु की ऊंचाई $y_o = 0.5 \, cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-50} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{25} - \frac{1}{50} = \frac{1}{50} \implies v = 50 \, cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{y_i}{y_o}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{50}{-50} = -1$.
अतः,$y_i = m \cdot y_o = -1 \cdot 0.5 \, cm = -0.5 \, cm$.
नए मुख्य अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब के निर्देशांक $(50 \, cm, -0.5 \, cm)$ हैं।
चूंकि नया मुख्य अक्ष मूल अक्ष के सापेक्ष $y = -0.5 \, cm$ पर है,इसलिए निरपेक्ष $y$-निर्देशांक $-0.5 + (-0.5) = -1.0 \, cm$ होगा।
अतः,प्रतिबिंब के निर्देशांक $(50 \, cm, -1.0 \, cm)$ हैं।

(C) $1$. वस्तु उत्तल लेंस से $u = -1\, m$ की दूरी पर स्थित है। दिया गया है $f = +0.5\, m$। चूंकि $u = -2f$,पहला प्रतिबिंब $I_1$ लेंस के पीछे $v_1 = +2f = +1\, m$ की दूरी पर बनता है।
$2$. समतल दर्पण लेंस से $2\, m$ की दूरी पर है। प्रतिबिंब $I_1$ दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। दर्पण से $I_1$ की दूरी $2\, m - 1\, m = 1\, m$ है।
$3$. समतल दर्पण,दर्पण के पीछे $1\, m$ की दूरी पर एक प्रतिबिंब $I_2$ बनाता है। यह $I_2$ लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$4$. लेंस से $I_2$ की दूरी $2\, m + 1\, m = 3\, m$ है। चूंकि यह दाईं ओर है,$u = +3\, m$।
$5$. लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{0.5} + \frac{1}{-3} = 2 - 0.333 = 1.666 = \frac{5}{3}$।
अतः $v = 0.6\, m$। दर्पण से कुल दूरी = $2\, m + 0.6\, m = 2.6\, m$। प्रतिबिंब वास्तविक है।

(C) वस्तु का प्रतिबिंब वस्तु के साथ संपाती होने के लिए,प्रकाश की किरणों को उत्तल दर्पण पर लंबवत गिरना चाहिए। यह तब होता है जब प्रकाश की किरणें उत्तल दर्पण के वक्रता केंद्र $(C)$ की ओर निर्देशित होती हैं।
उत्तल दर्पण की फोकस दूरी $f = 15 \,{cm}$ दी गई है,इसलिए वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 30 \,{cm}$ है।
इस प्रकार,लेंस से आने वाली प्रकाश की किरणें दर्पण के पीछे $30 \,{cm}$ की दूरी पर अभिसरित (converge) होनी चाहिए।
जब दर्पण को हटा दिया जाता है,तो लेंस उसी बिंदु पर एक वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब बनाता है जहाँ किरणें अभिसरित हो रही थीं,जो दर्पण के पीछे $30 \,{cm}$ है।
वस्तु से इस प्रतिबिंब की कुल दूरी,वस्तु से लेंस की दूरी $(12 \,{cm})$,लेंस से दर्पण की दूरी $(8 \,{cm})$ और दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $(30 \,{cm})$ का योग है।
कुल दूरी = $12 \,{cm} + 8 \,{cm} + 30 \,{cm} = 50 \,{cm}$.

(D) लेंस के लिए,लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
यहाँ $u = -60\,cm$ और $f = +20\,cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{v} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3-1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = 30\,cm$. यह प्रतिबिंब लेंस के पीछे $30\,cm$ की दूरी पर बनता है।
अंतिम प्रतिबिंब के वस्तु पर ही संपाती होने के लिए,किरणों को दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए। यह तभी संभव है जब किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र $(C)$ की ओर निर्देशित हों।
दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $30\,cm - 10\,cm = 20\,cm$ है। इस प्रकार,वक्रता त्रिज्या $R = 20\,cm$.
दर्पण की फोकस दूरी $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$ है।

(B) जब किसी लेंस पर चांदी की परत चढ़ाई जाती है,तो वह $f_{eq}$ फोकस दूरी वाले दर्पण की तरह कार्य करता है।
तुल्य फोकस दूरी का सूत्र $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ है,जहाँ $f_l$ लेंस की फोकस दूरी है और $f_m$ दर्पण की फोकस दूरी है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,$f_l = 10 \,cm$ है। समतल सतह पर चांदी की परत है,इसलिए यह समतल दर्पण की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है $f_m = \infty$।
अतः,$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{10} + \frac{1}{\infty} = \frac{1}{5}$।
चूंकि यह प्रणाली अवतल दर्पण की तरह कार्य करती है,हम $f_{eq} = -5 \,cm$ लेते हैं (दर्पण के लिए चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
वस्तु की दूरी $u = -30 \,cm$ दी गई है,इसलिए हम दर्पण सूत्र का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{-5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-30}$।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-5} + \frac{1}{30} = \frac{-6 + 1}{30} = \frac{-5}{30} = -\frac{1}{6}$।
इसलिए,$v = -6 \,cm$।
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि प्रतिबिंब दर्पण के सामने बनता है,जिसका अर्थ है कि यह लेंस से $6 \,cm$ की दूरी पर एक वास्तविक प्रतिबिंब है।

(A) जब एक समतल-उत्तल लेंस की वक्र सतह पर चांदी की परत चढ़ाई जाती है,तो यह एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है। इस प्रणाली की समतुल्य फोकस दूरी $f$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$
जहाँ $f_l$ लेंस की फोकस दूरी है और $f_m$ दर्पण की फोकस दूरी है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,$\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$।
चांदी की परत वाली वक्र सतह (जो दर्पण के रूप में कार्य करती है) की फोकस दूरी $f_m = \frac{R}{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = 2 \left( \frac{\mu - 1}{R} \right) + \frac{1}{R/2} = \frac{2\mu - 2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{2\mu}{R}$।
इस प्रकार,समतुल्य दर्पण की फोकस दूरी $f = \frac{R}{2\mu}$ है।
प्रतिबिंब को वस्तु के साथ संपाती होने के लिए,वस्तु को समतुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए,जो ध्रुव से $2f$ की दूरी पर होता है।
दूरी $x = 2f = 2 \left( \frac{R}{2\mu} \right) = \frac{R}{\mu}$।
इसलिए,वस्तु को लेंस से $\frac{R}{\mu}$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(C) मान लीजिए $S$ वह बिंदु स्रोत है जिसे अभिसारी लेंस से $u = -2f$ दूरी पर रखा गया है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{v} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{2f} = \frac{1}{2f}$ मिलता है। अतः,$v = 2f$ है।
इसका अर्थ है कि लेंस दूसरी ओर $2f$ दूरी पर एक प्रतिबिंब $S'$ बनाता है।
दर्पण से परावर्तित किरणें लेंस से पुनः गुजरने के बाद समानांतर हो जाएं,इसके लिए दर्पण से लेंस पर आपतित किरणें लेंस के फोकस से आती हुई प्रतीत होनी चाहिए।
मान लीजिए दर्पण को लेंस से $d$ दूरी पर रखा गया है। लेंस से आने वाली किरणें $2f$ दूरी पर स्थित $S'$ की ओर अभिसरित होती हैं। दर्पण इन किरणों को परावर्तित करता है,जिससे लेंस के लिए एक आभासी वस्तु $S''$ बनती है। अंतिम किरणें समानांतर रहें,इसके लिए वस्तु $S''$ को लेंस के फोकस $F$ पर होना चाहिए।
ज्यामिति से,लेंस से दर्पण की दूरी $d$ है। लेंस से $S'$ की दूरी $2f$ है। लेंस से $S''$ की दूरी $f$ है।
दर्पण $S''$ और $S'$ के मध्य बिंदु पर स्थित है। इसलिए,$d = \frac{f + 2f}{2} = \frac{3f}{2}$ है।
चूंकि $f = 30 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $d = \frac{3 \times 30}{2} = 45 \, cm$ होगा।

(A) अंतिम प्रतिबिंब के वस्तु के साथ संपाती होने के लिए,प्रकाश की किरणों को समतल दर्पण पर लंबवत (perpendicularly) गिरना चाहिए।
यह तब होता है जब उत्तल लेंस से निकलने वाली प्रकाश किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हों।
उत्तल लेंस के फोकस पर रखी वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
चूंकि उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = 15 \,cm$ दी गई है,इसलिए वस्तु को दर्पण के विपरीत दिशा में लेंस से $15 \,cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
जब $15 \,cm$ पर स्थित वस्तु से किरणें लेंस से गुजरती हैं,तो वे मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
ये समानांतर किरणें समतल दर्पण पर लंबवत पड़ती हैं और उसी पथ पर वापस परावर्तित हो जाती हैं।
लेंस से दोबारा गुजरने के बाद,वे उसी बिंदु पर अभिसरित (converge) होती हैं जहाँ वस्तु स्थित है,इस प्रकार अंतिम प्रतिबिंब वस्तु की स्थिति पर ही बनता है।

(D) दिया गया है: अवतल लेंस के लिए $u = -20 \,cm$,$f = -10 \,cm$।
$(a)$ लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20} \Rightarrow v = -\frac{20}{3} \,cm$।
प्रतिबिंब आभासी है और लेंस के बाईं ओर $6.67 \,cm$ की दूरी पर बनता है।
$(b)$ मान लीजिए दर्पण लेंस से $x$ दूरी पर है। लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। अंतिम प्रतिबिंब को स्रोत के साथ संपाती होने के लिए,किरणों को दर्पण पर लंबवत गिरना चाहिए। यह तब होता है जब किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों। दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $d = x + \frac{20}{3}$ है। किरणों के उसी पथ पर वापस लौटने के लिए,यह दूरी वक्रता त्रिज्या $R = 2|f_m| = 2 \times 5 = 10 \,cm$ के बराबर होनी चाहिए।
$x + \frac{20}{3} = 10 \Rightarrow x = 10 - 6.67 = 3.33 \,cm$।
$(c)$ यदि $x = 3.33 \,cm$ पर समतल दर्पण रखा जाता है,तो दर्पण के लिए वस्तु दूरी $u_m = -(x + \frac{20}{3}) = -(3.33 + 6.67) = -10 \,cm$ है। समतल दर्पण दर्पण के पीछे $v_m = +10 \,cm$ पर प्रतिबिंब बनाता है। यह प्रतिबिंब लेंस के लिए $u' = +(10 - 3.33) = +6.67 \,cm$ की दूरी पर एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{6.67} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{6.67} - \frac{1}{10} = \frac{1}{20/3} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20} - \frac{2}{20} = \frac{1}{20} \Rightarrow v' = +20 \,cm$।
अंतिम प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $20 \,cm$ की दूरी पर बनता है।

(D) जब एक समतलोत्तल लेंस की समतल सतह को रजतित किया जाता है,तो यह संयोजन एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है।
संयोजन की शक्ति $P = 2P_L + P_m$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_m$ समतल दर्पण की शक्ति है।
चूंकि समतल दर्पण के लिए $P_m = 0$ होता है,इसलिए संयोजन की शक्ति $P = 2P_L$ है।
लेंस की फोकस दूरी $f_L = 20 \,cm = 0.2 \,m$ है,इसलिए $P_L = \frac{1}{f_L} = \frac{1}{0.2} = 5 \,D$।
अतः,$P = 2 \times 5 = 10 \,D$।
तुल्य दर्पण की फोकस दूरी $F = -\frac{1}{P} = -\frac{1}{10} \,m = -10 \,cm$ (अवतल दर्पण के लिए ऋणात्मक चिह्न)।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -60 \,cm$ और $F = -10 \,cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{10} = \frac{1 - 6}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$
$v = -12 \,cm$।
अतः,प्रतिबिंब की दूरी लेंस से $12 \,cm$ है।

(D) यह प्रणाली दो लेंसों और एक दर्पण से बनी है। मान लीजिए कि प्रत्येक लेंस की फोकल लंबाई $f_l$ है और सतहों की वक्रता त्रिज्या $R$ है। दर्पण दूसरे लेंस की पिछली सतह द्वारा बनता है,जो $f_m = R/2$ फोकल लंबाई वाले अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है।
स्थिति $1$: लेंसों के बीच हवा।
सिल्वर किए गए लेंस सिस्टम की प्रभावी फोकल लंबाई $F$ को $1/F = 2/f_l + 1/f_m$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि अनंत पर वस्तु का प्रतिबिंब $20 \, cm$ पर बनता है,इसलिए $F = 20 \, cm$ है।
पतले लेंस के लिए,$1/f_l = (\mu_g - 1)(2/R)$। दर्पण के लिए,$f_m = R/2$।
दिए गए $F = 20 \, cm$ से,हमें $1/20 = 2(2(\mu_g - 1)/R) + 2/R = (8(\mu_g - 1) + 2)/R$ मिलता है। यह सिस्टम के मापदंडों को निर्धारित करता है।
स्थिति $2$: लेंसों के बीच पानी।
जब पानी भरा जाता है,तो सिस्टम दो हवा वाले उत्तल लेंस,बीच में एक पानी का लेंस और दर्पण के रूप में कार्य करता है। सिस्टम की शक्ति $P_{eq} = 2P_l + P_w + P_m$ है।
लेंस मेकर के सूत्र और समतुल्य फोकल लंबाई की गणना का उपयोग करके,नई फोकल लंबाई $F'$ की गणना की जाती है।
जब हवा की जगह पानी $(\mu_w = 4/3)$ लिया जाता है,तो प्रभावी फोकल लंबाई $12 \, cm$ हो जाती है।

(C) उत्तल लेंस अपने से $50 \, cm$ की दूरी पर एक वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है। यह बिंदु अवतल लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
जब एक समतल दर्पण को इस प्रकार रखा जाता है कि अंतिम प्रतिबिंब वस्तु के साथ संपाती हो जाए,तो प्रकाश की किरणें दर्पण पर लंबवत पड़नी चाहिए,जिसका अर्थ है कि अवतल लेंस से गुजरने के बाद उन्हें मुख्य अक्ष के समानांतर होना चाहिए।
अवतल लेंस से गुजरने के बाद किरणों के मुख्य अक्ष के समानांतर होने के लिए,आभासी वस्तु को अवतल लेंस के फोकस पर स्थित होना चाहिए।
अवतल लेंस से आभासी वस्तु की दूरी $d = 50 \, cm - 10 \, cm = 40 \, cm$ है।
चूंकि आभासी वस्तु फोकस पर है,इसलिए अवतल लेंस की फोकस दूरी $f = 40 \, cm$ (परिमाण) है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f(m)}$ द्वारा दी जाती है।
मूल लेंस के लिए,$f = 10\,cm = 0.1\,m$,इसलिए शक्ति $P = \frac{1}{0.1} = 10\,D$ है।
जब एक लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी मूल फोकस दूरी की दोगुनी हो जाती है $(f' = 2f = 20\,cm = 0.2\,m)$।
प्रत्येक नए लेंस की शक्ति $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0.2} = 5\,D$ है।

(C) चरण $1$: लेंस द्वारा अपवर्तन।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
दिया है $u = -30 \,cm$ और $f = +15 \,cm$।
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$।
अतः,$v_1 = +30 \,cm$। यह प्रतिबिंब दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
चरण $2$: दर्पण द्वारा परावर्तन।
लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी दाईं ओर $30 \,cm$ है। चूंकि दर्पण लेंस से $10 \,cm$ की दूरी पर है,इसलिए प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $30 - 10 = 20 \,cm$ की दूरी पर है।
समतल दर्पण के लिए,वस्तु दूरी $u_m = +20 \,cm$ (आभासी वस्तु)।
समतल दर्पण द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब $v_m = -20 \,cm$ पर होगा (दर्पण के सामने वास्तविक प्रतिबिंब)।
चरण $3$: लेंस द्वारा पुनः अपवर्तन।
दर्पण से परावर्तित प्रकाश किरणें वापस लेंस से होकर गुजरती हैं। अब लेंस के लिए वस्तु लेंस के बाईं ओर $10 + 20 = 30 \,cm$ की दूरी पर है $(u_2 = -30 \,cm)$।
लेंस सूत्र का पुनः उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies v_2 = +30 \,cm$।
यह प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $30 \,cm$ पर है,जो दर्पण के पीछे $30 - 10 = 20 \,cm$ की दूरी पर है। चूंकि प्रकाश किरणें दर्पण के पीछे एक बिंदु की ओर अभिसरित हो रही हैं,इसलिए अंतिम प्रतिबिंब आभासी है और दर्पण से $20 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।

(A) $1$. हवा में दर्पण के लिए: $u = -15 \ cm$,$f = -10 \ cm$। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} - \frac{1}{15} = -\frac{1}{10} \Rightarrow v = -30 \ cm$। प्रतिबिंब दर्पण के बाईं ओर $30 \ cm$ पर बनता है। आवर्धन $M_{m1} = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$।
$2$. यह प्रतिबिंब लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस से दूरी $u' = -(50 + 30) = -80 \ cm$। लेंस की फोकस दूरी $f_l = 10 \ cm$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f_l}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v'} + \frac{1}{80} = \frac{1}{10} \Rightarrow v' = \frac{80}{7} \ cm$। आवर्धन $M_{l1} = \frac{v'}{u'} = \frac{80/7}{-80} = -\frac{1}{7}$। कुल आवर्धन $M_1 = M_{m1} \times M_{l1} = (-2) \times (-1/7) = 2/7$।
$3$. माध्यम $\mu_m = 7/6$ में: दर्पण की फोकस दूरी $f = -10 \ cm$ रहती है। $M_{m2} = -2$। लेंस की फोकस दूरी $f'_l$ बदल जाती है: $\frac{1}{f'_l} = \left(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$। अतः $\frac{f'_l}{f_l} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{7/6} - 1} = 1.75 = 7/4$। अतः $f'_l = 10 \times 7/4 = 17.5 \ cm$।
$4$. लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u' = -80 \ cm$। $\frac{1}{v''} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{17.5} \Rightarrow v'' = 22.4 \ cm$। $M_{l2} = \frac{v''}{u'} = -7/25$। कुल आवर्धन $M_2 = M_{m2} \times M_{l2} = 14/25$।
$5$. $\left|\frac{M_2}{M_1}\right| = \left|\frac{14/25}{2/7}\right| = 7$।

(B) यह प्रणाली संपर्क में तीन लेंसों से बनी है: एक पानी का लेंस $(p_1)$,एक कांच का लेंस $(p_2)$,और दूसरा पानी का लेंस $(p_3)$।
लेंस मेकर सूत्र $p = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{surrounding}}$.
ऊपरी पानी के लेंस के लिए $(p_1)$: $p_1 = (4/3 - 1) \left(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-|R_1|}\right) = \frac{1}{3|R_1|}$.
मध्य कांच के लेंस के लिए $(p_2)$: $p_2 = (\frac{3/2}{4/3} - 1) \left(\frac{1}{-|R_1|} - \frac{1}{-|R_2|}\right) = (9/8 - 1) \left(\frac{1}{|R_2|} - \frac{1}{|R_1|}\right) = -\frac{1}{8} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$.
संयोजन की कुल शक्ति $p_{eq} = p_1 + p_2 + p_3$ है। गणना करने पर,$p_{eq} = -\frac{1}{6} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) एक तरफ पॉलिश किए गए लेंस के लिए,निकाय की तुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_{\ell} + P_{m}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P_{\ell} = \frac{(\mu - 1)}{R}$ लेंस की एक सतह की शक्ति है। चूंकि यह एक उत्तल लेंस है,इसलिए दोनों सतहें शक्ति में योगदान करती हैं।
$P_{m} = -\frac{1}{f_{m}} = -\frac{1}{(-R/2)} = \frac{2}{R}$ (क्योंकि पॉलिश की गई सतह द्वारा निर्मित दर्पण की त्रिज्या $R/2$ है)।
$P_{eq} = 2 \left[ \frac{(\mu - 1)}{R} + \frac{(\mu - 1)}{R} \right] + \frac{2}{R} = \frac{4\mu - 4 + 2}{R} = \frac{4\mu - 2}{R}$.
यह निकाय $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{R}{4\mu - 2} = -\frac{R}{2(2\mu - 1)}$ फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है।
प्रतिबिंब को वस्तु पर ही बनने के लिए,वस्तु को इस तुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए।
अतः दूरी $d = 2|F| = 2 \times \frac{R}{2(2\mu - 1)} = \frac{R}{2\mu - 1}$ होगी।

(B) सिल्वर किए गए लेंस के लिए,समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{f_L} - \frac{1}{f_m}$ है।
यहाँ,$f_m = -\frac{|R_2|}{2}$ (क्योंकि यह अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है)।
द्रव में लेंस की फोकस दूरी $\frac{1}{f_L} = \left(\frac{\mu_2}{\mu_1} - 1\right) \left(\frac{1}{|R_1|} + \frac{1}{|R_2|}\right) = \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right)$ है।
इन मानों को समतुल्य फोकस दूरी के सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f_{eq}} = 2 \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right) + \frac{2}{|R_2|}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2(\mu_2 - \mu_1)(|R_1| + |R_2|) + 2\mu_1 |R_1|}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_1| - \mu_1 |R_2| + \mu_1 |R_1|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|}$.
अतः,$f_{eq} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}$.
वस्तु के स्थान पर ही वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,वस्तु को समतुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए,जो $u = 2|f_{eq}|$ पर होता है।
$u = 2 \cdot \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|}$.
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(B) सिल्वर किए गए लेंस निकाय की शक्ति $P = 2P_L + P_M$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,शक्ति $P_L = \frac{1}{f_L} = (\mu_g/\mu_l - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$.
यहाँ,$\mu_g = 1.5$,$\mu_l = 1.2$,$R_1 = R$,और $R_2 = \infty$.
अतः,$P_L = (1.5/1.2 - 1)(1/R - 0) = (1.25 - 1)/R = 0.25/R$.
दर्पण समतल सतह है,इसलिए इसकी शक्ति $P_M = -1/f_M$. चूँकि यह एक समतल दर्पण है,$f_M = \infty$,इसलिए $P_M = 0$.
निकाय की प्रभावी फोकस दूरी $F$ को $1/F = -(2P_L + P_M)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $F = -0.2 \ m$ (अवतल दर्पण),इसलिए $1/(-0.2) = -(2 \times (0.25/R) + 0)$.
$-5 = -0.5/R$.
$R = 0.5/5 = 0.1 \ m$.

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार लेंस की फोकस दूरी: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत ($AB$ तल के अनुदिश) काटा जाता है,तो प्रत्येक सतह की वक्रता त्रिज्या समान रहती है,लेकिन लेंस की मोटाई आधी हो जाती है। इस स्थिति में प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $f$ ही रहती है। अतः,$f_{L_1} = f$।
जब लेंस को मुख्य अक्ष के समानांतर ($XY$ तल के अनुदिश) काटा जाता है,तो एक सतह की वक्रता त्रिज्या अनंत हो जाती है। नई फोकस दूरी $f'$ के लिए: $\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{(\mu - 1)}{R}$। मूल लेंस के लिए $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{2(\mu - 1)}{R}$ होने के कारण,$f' = 2f$ प्राप्त होता है। अतः,$f_{L_3} = 2f$।
इस प्रकार,फोकस दूरियों का अनुपात $\frac{f_{L_1}}{f_{L_3}} = \frac{f}{2f} = 1: 2$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,लेंस की फोकस दूरी $f$ को $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = \frac{2(\mu - 1)}{R}$।
जब लेंस को $AB$ अक्ष के अनुदिश (मुख्य अक्ष के लंबवत) काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे भाग के लिए वक्रता त्रिज्या समान रहती है।
प्रत्येक आधे भाग के लिए,लेंस एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है जहाँ एक सतह की त्रिज्या $R$ है और दूसरी सतह समतल है (अनंत त्रिज्या,$R' = \infty$)।
एक आधे भाग के लिए सूत्र लागू करने पर: $\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$।
इसे मूल फोकस दूरी के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \times \frac{2(\mu - 1)}{R} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{f}$।
अतः,$f' = 2f$।

(A) एक द्वि-उत्तल लेंस के लिए, लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि $R_1 = R_2 = R$, हमारे पास $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ है।
जब लेंस को ऊर्ध्वाधर अक्ष के अनुदिश दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए, एक वक्रता त्रिज्या $R$ है और दूसरी $\infty$ है।
नई फोकस दूरी $F'$ के लिए लेंस मेकर सूत्र लागू करने पर:
$\frac{1}{F'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1/F}{1/F'} = \frac{(\mu - 1) \times (2/R)}{(\mu - 1) / R} = 2$।
इसलिए, $\frac{F'}{F} = 2$, जिससे $F' = 2 F$ प्राप्त होता है।

(B) अपवर्तनांक '$n$' और वक्रता त्रिज्या '$R$' वाले एक सम-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत और प्रकाशिक केंद्र से काटा जाता है,तो प्रत्येक आधा भाग एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है,जिसमें एक सतह की त्रिज्या '$R$' होती है और दूसरी सतह समतल (त्रिज्या = $\infty$) होती है।
नई फोकस दूरी '$f^{\prime}$' वाले लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f^{\prime}} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} \right)$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{f^{\prime}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$
अतः,$f^{\prime} = 2f$.

(C) उत्तल लेंस अनंत से आने वाली प्रकाश की समानांतर किरण पुंज को अपने फोकस बिंदु पर केंद्रित करता है,जो लेंस से $f_{2}$ दूरी पर स्थित है।
अवतल दर्पण से परावर्तन के बाद प्रकाश किरणों को अपना पथ पुनः प्राप्त करने के लिए,किरणों को दर्पण पर लंबवत गिरना चाहिए।
यह तब होता है जब किरणें अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों।
अवतल दर्पण का वक्रता केंद्र उसके ध्रुव से $2f_{1}$ दूरी पर स्थित होता है।
इसलिए,लेंस और दर्पण के बीच की दूरी '$d$' लेंस की फोकस दूरी और दर्पण की वक्रता त्रिज्या का योग होनी चाहिए।
अतः,$d = f_{2} + 2f_{1}$.

(D) $1$. जब किसी लेंस को उसके मुख्य अक्ष के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे हिस्से की फोकस दूरी मूल लेंस के समान रहती है,इसलिए प्रत्येक आधे हिस्से की शक्ति $P$ ही रहती है। अतः,$L_1$ की शक्ति $P$ है।
$2$. जब किसी लेंस को उसके मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी दोगुनी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक भाग की शक्ति मूल शक्ति की आधी हो जाती है।
$3$. चूंकि $L_2$ और $L_3$ मूल लेंस के ऊपरी आधे हिस्से को मुख्य अक्ष के लंबवत काटकर प्राप्त किए जाते हैं,इसलिए $L_2$ की शक्ति $\frac{P}{2}$ और $L_3$ की शक्ति $\frac{P}{2}$ होती है।
$4$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,गलत कथन यह है कि $L_1$ की शक्ति $\frac{P}{2}$ है।

(D) चांदी की सतह से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए,इसे सतह पर लंबवत (अभिलंबवत) गिरना चाहिए।
अतः,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_{2} = 0^{\circ}$ होगा।
प्रिज्म के लिए,$r_{1} + r_{2} = A$ होता है।
यहाँ $A = 30^{\circ}$ और $r_{2} = 0^{\circ}$ है,इसलिए $r_{1} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $n = \frac{\sin i}{\sin r_{1}}$.
यहाँ $n = 1.414 = \sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = 45^{\circ}$ होगा।

(D) जब प्रकाश की किरण चांदी की परत वाले कांच के स्लैब की पारदर्शी सतह पर आपतित होती है,तो यह अपवर्तन से गुजरती है,चांदी की सतह से परावर्तित होती है,और फिर स्लैब से बाहर निकलते समय फिर से अपवर्तित होती है।
स्नेल के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ और अपवर्तन कोण $r$ के बीच संबंध $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$ है। यहाँ,$n_1 = 1$ (वायु) और $n_2 = 1.5$ (कांच) है।
अतः,$\sin(45^{\circ}) = 1.5 \sin(r)$,जिससे $\sin(r) = \frac{1}{1.5 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
स्लैब के अंदर पथ की समरूपता के कारण,किरण चांदी की सतह पर $r$ कोण पर टकराती है और $r$ कोण पर परावर्तित होती है। फिर यह पारदर्शी सतह पर $r$ कोण पर टकराती है और मूल आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ पर हवा में वापस अपवर्तित हो जाती है।
आपतित किरण अभिलंब के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। निर्गत किरण भी अभिलंब के दूसरी ओर अभिलंब के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
कुल विचलन $\delta$ आपतित किरण की दिशा और निर्गत किरण के बीच का कोण है। चूँकि आपतित किरण अभिलंब के बाईं ओर $45^{\circ}$ पर है और निर्गत किरण अभिलंब के दाईं ओर $45^{\circ}$ पर है,इसलिए उनके बीच का कोण $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा।

(B) दिया गया है: उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_l = 20 \,cm$,वस्तु की दूरी $u = -10 \,cm$,अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,और चांदी वाली सतह की वक्रता त्रिज्या $R = 22 \,cm$ है।
लेंस की शक्ति $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \,cm^{-1}$ है।
चांदी वाली सतह (जो अवतल दर्पण की तरह कार्य करती है) की शक्ति $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{-R/2} = \frac{2}{R} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11} \,cm^{-1}$ है।
निकाय की समतुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_l + P_m = 2(\frac{1}{20}) + \frac{1}{11} = \frac{1}{10} + \frac{1}{11} = \frac{21}{110} \,cm^{-1}$ है।
समतुल्य फोकस दूरी $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{110}{21} \,cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = -\frac{21}{110}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{21}{110} = \frac{11 - 21}{110} = -\frac{10}{110} = -\frac{1}{11}$.
अतः,$v = -11 \,cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब चांदी वाली सतह के सामने $11 \,cm$ की दूरी पर बनता है।

(C) लेंस से गुजरने के बाद अंतिम किरण पुंज के मुख्य अक्ष के समानांतर होने के लिए,दर्पण से परावर्तित होकर लेंस पर आपतित होने वाली किरणें लेंस के फोकस बिंदु से आती हुई प्रतीत होनी चाहिए। अतः,दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब लेंस के फोकस बिंदु पर होना चाहिए,जो लेंस के बाईं ओर $15 \ cm$ की दूरी पर है।
चूंकि दर्पण लेंस के दाईं ओर $40 \ cm$ की दूरी पर है,इसलिए दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण से $v_2 = -(40 - 15) = -25 \ cm$ की दूरी पर है।
दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f_m = -20 \ cm$ (अवतल दर्पण)।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-25} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{25} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{100}$।
अतः,$u_2 = -100 \ cm$। इसका अर्थ है कि दर्पण के लिए वस्तु दर्पण के दाईं ओर $100 \ cm$ पर है।
लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब $(v_1)$ दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। चूंकि दर्पण लेंस से $40 \ cm$ दूर है,इसलिए दर्पण के लिए वस्तु दूरी $u_2 = v_1 - 40$ होगी। अतः,$v_1 - 40 = -100 \Rightarrow v_1 = -60 \ cm$।
अब,लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_l}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-60} - \frac{1}{-d} = \frac{1}{15} \Rightarrow \frac{1}{d} = \frac{1}{15} + \frac{1}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$।
अतः,$d = 12 \ cm$।

(D) $R$ वक्रता त्रिज्या और $\mu_g = 1.5$ अपवर्तनांक वाले उभयोत्तल लेंस के लिए, हवा में लेंस मेकर का सूत्र है:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
दिया गया है $f = 10 \ cm$, इसलिए $R = 10 \ cm$ है।
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है, तो हमें दो समतलोत्तल लेंस मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक की एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ और एक सतह वक्र $(R_2 = -10 \ cm)$ होती है।
प्रत्येक समतलोत्तल लेंस की फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f'} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-10} \right) = 0.5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{20} \implies f' = 20 \ cm$।
जब इन दो टुकड़ों को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि उत्तल सतहें एक-दूसरे को स्पर्श करें, तो यह संयोजन $R_1 = 10 \ cm$ और $R_2 = -10 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाले एक लेंस के रूप में कार्य करता है।
जब इसे पानी $(\mu_w = 4/3)$ में डुबोया जाता है, तो नई फोकस दूरी $F'$ होगी:
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{2}{10} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$
अतः, $F' = 40 \ cm$।

(B) बिंदु वस्तु को उत्तल लेंस के फोकस पर रखा गया है।
जब फोकस पर स्थित वस्तु से प्रकाश की किरणें लेंस से होकर गुजरती हैं,तो वे मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
ये समानांतर किरणें लेंस के नीचे क्षैतिज रूप से रखे गए समतल दर्पण पर पड़ती हैं।
समतल दर्पण इन किरणों को उसी पथ पर वापस परावर्तित कर देता है।
ये परावर्तित किरणें,समानांतर होने के कारण,फिर से लेंस से होकर गुजरती हैं और लेंस के फोकस बिंदु पर अभिसरित होती हैं।
इसलिए,अंतिम प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनता है जहाँ वस्तु स्थित है,जो लेंस के केंद्र से $0.1 \ m$ ऊपर है।

(D) जब किसी लेंस पर पॉलिश की जाती है, तो वह एक दर्पण की तरह कार्य करता है। निकाय की तुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_L + P_M$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है।
दिया गया है, लेंस की फोकस दूरी $f = 20 \,cm$। लेंस की शक्ति $P_L = \frac{1}{f} = \frac{1}{20} \,cm^{-1}$।
समतल सतह पर पॉलिश की गई है, इसलिए यह एक समतल दर्पण की तरह कार्य करता है। समतल दर्पण की शक्ति $P_M = 0$ होती है।
अतः, $P_{eq} = 2 \times P_L + 0 = 2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \,cm^{-1}$।
निकाय की तुल्य फोकस दूरी $F$ को $P_{eq} = -\frac{1}{F}$ द्वारा दिया जाता है (ऋणात्मक चिह्न क्योंकि यह अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है)।
इसलिए, $-\frac{1}{F} = \frac{1}{10}$, जिससे $F = -10 \,cm$ प्राप्त होता है।
फोकस दूरी का परिमाण $10 \,cm$ है।

(A) उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = 20 \text{ cm}$ और $R_2 = -20 \text{ cm}$ है।
लेंस की फोकस दूरी $f_l$ इस प्रकार है: $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$. अतः,$f_l = 20 \text{ cm}$.
यह प्रणाली एक दर्पण के रूप में कार्य करती है जिसका पावर $P = 2P_l + P_m$ है,जहाँ $P_l = \frac{1}{f_l}$ और $P_m = -\frac{1}{f_m}$ है।
रजतित सतह (उत्तल) के लिए,फोकस दूरी $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$ है। प्रणाली में यह अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है,इसलिए चिह्न परिपाटी के अनुसार $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{10}$.
प्रणाली का प्रभावी पावर $P = -\left( 2P_l + P_m \right) = -\left( 2 \times \frac{1}{20} + \frac{1}{10} \right) = -\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \right) = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
प्रणाली की प्रभावी फोकस दूरी $F = \frac{1}{P} = -5 \text{ cm}$ है।
प्रतिबिंब और वस्तु को एक ही स्थान पर प्राप्त करने के लिए,वस्तु को समतुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए,जो $u = 2|F| = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$ की दूरी पर है।