Force on a Current Carrying Conductor Questions in Gujarati

(C) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
તારની લંબાઈ $L = 10 \; cm = 0.1 \; m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = I_2 = 5 \; A$
બળ $F = 10^{-5} \; N$
$L$ લંબાઈના તાર પર લાગતું કુલ બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10^{-5} = \frac{(2 \times 10^{-7}) \times 5 \times 5 \times 0.1}{d}$
$d = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 0.1}{10^{-5}}$
$d = \frac{50 \times 10^{-8}}{10^{-5}} = 50 \times 10^{-3} \; m$
$d = 0.05 \; m = 5 \; cm$.

(C) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે પ્રતિ એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું સૂત્ર આ મુજબ છે:
$F/L = \frac{\mu_{0} i_{1} i_{2}}{2 \pi d}$
આપેલ છે:
$F/L = 2 \times 10^{-6} \, N/m$
$d = 0.20 \, m$
$i_{1} = i_{2} = x \, A$
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 10^{-6} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times x^2}{2 \pi \times 0.2}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 \times 10^{-6} = \frac{2 \times 10^{-7} \times x^2}{0.2}$
$2 \times 10^{-6} = 10^{-6} \times x^2$
$x^2 = 2$
$x = \sqrt{2} \approx 1.414 \, A$
આમ,$x$ નું આશરે મૂલ્ય $1.4 \, A$ છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ વિભાગની સદિશ લંબાઈ છે.
વિભાગ $CD$ માટે,લંબાઈ $L = 5 cm = 0.05 m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને આડી દિશામાં છે. વિભાગ $CD$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે (કારણ કે $\triangle BCD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ લંબાઈનો ઘટક $L_{\perp} = L \sin(60^\circ)$ છે.
$L_{\perp} = 0.05 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.05 \times 0.866 = 0.0433 m$.
ચુંબકીય બળ $F = B I L_{\perp} = 0.5 \times 10 \times 0.0433 = 0.2165 N$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,બળ $0.216 N$ છે.

(A) સળિયા પર લાગતા બળો તેના વજન $(mg)$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે, લંબબળ $(N)$ જે ઢળતા સમતલને લંબ છે, અને ચુંબકીય બળ $(F_m = ILB)$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે (કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શિરોલંબ છે અને પ્રવાહ $I$ સમક્ષિતિજ છે)।
સળિયાને સ્થિર રાખવા માટે, ઢળતા સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક અને ચુંબકીય બળનો ઘટક સમાન હોવા જોઈએ।
ઢળતા સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin 45^{\circ}$ છે।
ચુંબકીય બળ $F_m = ILB$ સમક્ષિતિજ લાગે છે। ઢળતા સમતલની દિશામાં તેનો ઘટક $F_m \cos 45^{\circ} = ILB \cos 45^{\circ}$ છે।
સંતુલન માટે આ બંને ઘટકોને સરખાવતા:
$mg \sin 45^{\circ} = ILB \cos 45^{\circ}$
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$, આપણે સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ:
$mg = ILB$
રેખીય ઘનતા $\lambda = \frac{m}{L} = 0.45\,kg/m$, $g = 10\,m/s^2$, અને $B = 0.15\,T$ આપેલ છે:
$I = \frac{mg}{LB} = \left(\frac{m}{L}\right) \frac{g}{B}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{0.45 \times 10}{0.15} = \frac{4.5}{0.15} = 30\,A$
તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ પ્રવાહ $30\,A$ છે।

(A) બે સમાંતર તાર કે જેમાંથી $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ હોય,ત્યારે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_1 = 2 \; A$,$I_2 = 3 \; A$,$r = 5 \; cm = 0.05 \; m$,અને તાર $X$ ની લંબાઈ $\ell = 50 \; cm = 0.5 \; m$ છે.
તાર $X$ પર લાગતું કુલ બળ $F = f \times \ell = \frac{\mu_0 I_1 I_2 \ell}{2 \pi r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m/A) \times (2 \; A) \times (3 \; A) \times (0.5 \; m)}{2 \pi \times (0.05 \; m)}$
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 6 \times 0.5}{0.05} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.05} = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \; N$.
વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે,એટલે કે તાર $X$ તાર $Y$ તરફ ખેંચાશે.

(C) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ એક તાર દ્વારા બીજા તારના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ અને સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેમની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલી ધાતુની પ્લેટ જેવી બિન-ચુંબકીય સામગ્રીની હાજરીથી પ્રભાવિત થતું નથી.
જોકે ધાતુની પ્લેટમાં એડી પ્રવાહ ઉત્પન્ન થઈ શકે છે જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાતું હોય,પરંતુ સ્થિર $DC$ પ્રવાહની સ્થિતિમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ધાતુની પ્લેટમાંથી પસાર થાય છે અને તે અવરોધાતી નથી કે નોંધપાત્ર રીતે બદલાતી નથી.
તેથી,બે તાર વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ $F$ ધાતુની પ્લેટ મૂકવાથી બદલાતું નથી.
આમ,$F_A = F_B \neq 0$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
પ્રવાહ ધારિત તારમાં,કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનની સંખ્યા સંતુલિત હોય છે. જો કે,ઇલેક્ટ્રોન ડ્રિફ્ટ ગતિમાં (ગતિમાન) હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર ગતિમાન વિદ્યુતભારો પર જ બળ લગાડે છે,સ્થિર વિદ્યુતભારો પર નહીં. તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારની અંદર ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન પર બળ લગાડે છે,જેના પરિણામે સમગ્ર તાર પર ચોખ્ખું બળ લાગે છે.

(C) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
દરેક બાજુની લંબાઈ $L = 100 \,cm = 1 \,m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \,A$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2.0 \,T$
દરેક બાજુ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = I L B \sin(\theta)$ છે.
તાર કાગળના સમતલમાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલને લંબ હોવાથી,લંબાઈ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
તેથી,$F = 2 \,A \times 1 \,m \times 2.0 \,T \times \sin(90^\circ) = 4 \,N$.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,દરેક બાજુ પર લાગતા બળની દિશા બાજુને લંબ અને ત્રિકોણના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(C) નાના પ્રવાહ ખંડ $d\vec{l}$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $d\vec{F} = i(d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા બંધ લૂપ પર લાગતું કુલ બળ એ આવા તમામ નાના બળ ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{F}_{net} = \oint i(d\vec{l} \times \vec{B})$.
અહીં $i$ અને $\vec{B}$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{F}_{net} = i(\oint d\vec{l}) \times \vec{B}$.
કોઈપણ બંધ લૂપ માટે,તમામ લંબાઈના ઘટકોનો સદિશ સરવાળો $\oint d\vec{l}$ એ શૂન્ય સદિશ $\vec{0}$ બરાબર થાય છે.
તેથી,$\vec{F}_{net} = i(\vec{0}) \times \vec{B} = 0$.
આમ,લૂપ પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ શૂન્ય છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો અસરકારક લંબાઈ સદિશ છે.
તાર $ABC$ માટે,અસરકારક લંબાઈ એ $A$ થી $C$ સુધીનું સીધું અંતર છે. ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \, cm = 0.03 \, m$.
બળનું મૂલ્ય $F = i L_{eff} B \sin \theta$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારના સમતલને લંબ હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$ થશે.
$F = 2 \times 0.03 \times 2 \times \sin 90^{\circ} = 0.12 \, N$.
તારનું દળ $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{0.12}{0.01} = 12 \, m \, s^{-2}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા કોઈપણ વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારના ટુકડા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર ભાગ $ADC$ માટે,શરૂઆતનું બિંદુ $A$ છે અને અંતિમ બિંદુ $C$ છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનું સીધી રેખાનું અંતર (સ્થાનાંતર) એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $L = 2R$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ સમાન છે અને લૂપના સમતલને લંબ છે,તેથી બળનું મૂલ્ય $F = iLB_0$ થાય.
$L = 2R$ મૂકતા,આપણને $F = i(2R)B_0 = 2iRB_0$ મળે છે.
આમ,અર્ધવર્તુળાકાર ભાગ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $2iRB_0$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \left(1 + \frac{x}{l}\right) \hat{k}$ છે.
$l$ લંબાઈની બાજુ ધરાવતા ચોરસ લૂપ માટે જે $x-y$ સમતલમાં ઉગમબિંદુ પર એક ખૂણો રહે તે રીતે મૂકવામાં આવ્યો છે,તેના શિરોલંબ ભાગો $x = 0$ અને $x = l$ પર છે.
પ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ છે.
$x = 0$ પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = B_0 \hat{k}$ છે. $l$ લંબાઈના શિરોલંબ ભાગ પર લાગતું બળ (જેમાં $+y$ દિશામાં પ્રવાહ વહે છે) $\vec{F}_1 = i(l \hat{j} \times B_0 \hat{k}) = i l B_0 \hat{i}$ છે.
$x = l$ પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_2 = B_0 \left(1 + \frac{l}{l}\right) \hat{k} = 2 B_0 \hat{k}$ છે. $l$ લંબાઈના શિરોલંબ ભાગ પર લાગતું બળ (જેમાં $-y$ દિશામાં પ્રવાહ વહે છે) $\vec{F}_2 = i(-l \hat{j} \times 2 B_0 \hat{k}) = -2 i l B_0 \hat{i}$ છે.
સમક્ષિતિજ ભાગો પર $y$-દિશામાં બળ લાગે છે જે સમાનતાને કારણે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = i l B_0 \hat{i} - 2 i l B_0 \hat{i} = -i l B_0 \hat{i}$ છે.
કુલ બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}_{net}| = i B_0 l$ છે.

(A) અલગ ઉત્તર ધ્રુવ દ્વારા વર્તુળાકાર લૂપ પરના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ કેન્દ્રથી ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં હોય છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ $i$ લૂપના પરિઘ પર વહે છે. તારના કોઈપણ નાના ખંડ $dl$ માટે,ચુંબકીય બળ $dF$ એ $dF = i(dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ત્રિજ્યાવર્તી છે અને પ્રવાહ ખંડ $dl$ વર્તુળને સ્પર્શક છે,તેથી દરેક બિંદુએ $dl$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
આમ,નાના ખંડ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $dF = i dl B \sin(90^\circ) = i B dl$ છે.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,આ બળની દિશા લૂપના સમતલને લંબ હોય છે (પ્રવાહની દિશાના આધારે સમતલની અંદર અથવા બહારની તરફ).
દરેક ખંડ પર લાગતું બળ એક જ દિશામાં (સમતલને લંબ) હોવાથી,કુલ બળ $F$ એ સમગ્ર પરિઘ પર $dF$ નું સંકલન છે:
$F = \int dF = \int i B dl = i B \int dl = i B (2 \pi a) = 2 \pi a i B$.
તેથી,કુલ બળ $2 \pi a i B$ છે જે તારના સમતલને લંબ છે.

(A) વિધાન સાચું છે. જ્યારે અનિયમિત લૂપમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે એકબીજાની નજીકના તારના ભાગોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે. ચુંબકીય બળના નિયમ મુજબ,વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા બે સમાંતર તાર એકબીજાને અપાકર્ષે છે. આ અપાકર્ષણ બળ અનિયમિત લૂપના તમામ ભાગો પર કાર્ય કરે છે,જે તારના ભાગોને બહારની તરફ ધકેલે છે જેથી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય અને અંતે તે વર્તુળાકાર આકાર ધારણ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
કારણ પણ સાચું છે. વિદ્યુતચુંબકત્વનો આ એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે કે વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા સમાંતર પ્રવાહો એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
તારના ભાગો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ એ ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળમાં વધારાનું સીધું કારણ હોવાથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) $i_1$ અને $i_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા $L$ લંબાઈના બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું ચુંબકીય બળ $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2 L}{2 \pi d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે: $F_1 = \frac{\mu_0 (10)(10) L}{2 \pi (5)}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $i_1' = 20\,A$,$i_2' = 20\,A$,$d' = 2.5\,cm$,અને $L$ એ $10\,cm$ જ રહે છે.
$F_2 = \frac{\mu_0 (20)(20) L}{2 \pi (2.5)}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{(20 \times 20) / 2.5}{(10 \times 10) / 5} = \frac{400 / 2.5}{100 / 5} = \frac{160}{20} = 8$.
તેથી,$F_2 = 8 F_1$ થાય.

(C) પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અથવા મૂલ્યમાં,$F = ILB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ લંબાઈ સદિશ $\vec{L}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$5\,cm$ બાજુ માટે,લંબાઈ $L = 5 \times 10^{-2}\,m$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.75\,T = \frac{3}{4}\,T$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$5\,cm$ બાજુ અને $13\,cm$ બાજુ (જે $\vec{B}$ ને સમાંતર છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{5}{13}$ અને $\sin \theta = \frac{12}{13}$ મળે છે.
આ કિંમતોને બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (2\,A) \times (5 \times 10^{-2}\,m) \times (0.75\,T) \times \sin \theta$
$F = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13}$
$F = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{3}{40} \times \frac{12}{13} = \frac{3 \times 3}{10 \times 13} = \frac{9}{130}\,N$.
આને $\frac{x}{130}\,N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી લૂપની બાજુ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m$ એ દળના વજન $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_m = mg$
ચુંબકીય બળ $F_m = ILB$ હોવાથી,$ILB = mg$ મળે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R}$,તેથી સમીકરણ $\left(\frac{V}{R}\right)LB = mg$ બને છે.
$V$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$V = \frac{mgR}{LB}$ મળે.
આપેલ મૂલ્યો:
$m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$
$g = 10\,m/s^2$
$R = 10\,\Omega$
$L = 10\,cm = 0.1\,m$
$B = 10^3\,G = 10^3 \times 10^{-4}\,T = 0.1\,T$
આ મૂલ્યો મૂકતા:
$V = \frac{(10^{-3}\,kg)(10\,m/s^2)(10\,\Omega)}{(0.1\,m)(0.1\,T)} = \frac{10^{-1}}{10^{-2}} = 10\,V$.

(B) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$
આ લંબચોરસ લૂપમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ બંને તાર $PQ$ અને $RS$ માંથી વહે છે. તેથી,$I_1 = I_2 = I$ (અથવા બીજા કિસ્સામાં $2I$).
આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ એ વિદ્યુતપ્રવાહના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $f \propto I^2$.
પ્રથમ કિસ્સામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે,$f_{PQ}^{I} \propto I^2$.
બીજા કિસ્સામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $2I$ માટે,$f_{PQ}^{2I} \propto (2I)^2 = 4I^2$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_{PQ}^{I}}{f_{PQ}^{2I}} = \frac{I^2}{4I^2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(C) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા બળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$i_1 = 5 \text{ A}$
$i_2 = 10 \text{ A}$
$r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F}{\ell} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10}{2\pi \times 0.1}$
$\frac{F}{\ell} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 50}{0.1} = \frac{100 \times 10^{-7}}{0.1} = 1000 \times 10^{-7} = 10^{-4} \text{ N/m}$
વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,વાહકો વચ્ચેનું બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.

(B) આપેલ છે:
તારનું દળ,$m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg$
તારની લંબાઈ,$\ell = 50\,cm = 50 \times 10^{-2}\,m = 0.5\,m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.40\,T$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10\,ms^{-2}$
આધારભૂત વાયરમાં તણાવ દૂર કરવા માટે,તાર પર લાગતું ઉપરની તરફનું ચુંબકીય બળ તારના નીચેની તરફના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ચુંબકીય બળ,$F_m = I\ell B$
તારનું વજન,$W = mg$
સંતુલન માટે,$F_m = W$
$I\ell B = mg$
કિંમતો મૂકતા:
$I \times 0.5 \times 0.4 = 40 \times 10^{-3} \times 10$
$I \times 0.2 = 0.4$
$I = \frac{0.4}{0.2} = 2\,A$
આમ,જરૂરી પ્રવાહનું મૂલ્ય $2\,A$ છે.

(D) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = I(\vec{L} \times \overrightarrow{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર ધન $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = L\hat{i}$ થશે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{B} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) \text{ T}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = I [ (L\hat{i}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) ]$
$\overrightarrow{F} = IL [ (\hat{i} \times 2\hat{i}) + (\hat{i} \times 3\hat{j}) + (\hat{i} \times -4\hat{k}) ]$
સદિશ ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\overrightarrow{F} = IL [ 0 + 3\hat{k} - 4(-\hat{j}) ]$
$\overrightarrow{F} = IL (4\hat{j} + 3\hat{k})$.
બળનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{F}| = IL \sqrt{4^2 + 3^2} = IL \sqrt{16 + 9} = IL \sqrt{25} = 5IL$.
આમ,બળનું મૂલ્ય $5IL$ છે.

(C) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i (\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{eff}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્રવાહ ડાબી બાજુએથી અર્ધવર્તુળાકાર લૂપમાં પ્રવેશે છે અને જમણી બાજુએથી બહાર નીકળે છે. અર્ધવર્તુળાકાર ભાગ માટે સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}_{eff} = 2R \hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{F} = i (2R \hat{i} \times B_0 \hat{k})$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,આપણને $\vec{F} = i (2R B_0) (-\hat{j}) = -2 i B_0 R \hat{j}$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 0.2(1 + 2x) \hat{k} \text{ T}$ છે. લૂપ એક ચોરસ છે જેની બાજુની લંબાઈ $L = 0.5 \text{ m}$ છે. લૂપ $x = 2 \text{ m}$ થી $x = 2.5 \text{ m}$ અને $y = 2 \text{ m}$ થી $y = 2.5 \text{ m}$ વચ્ચે મૂકવામાં આવ્યો છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર બાજુઓ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$y$-અક્ષને સમાંતર બાજુઓ માટે,બળ $\vec{F} = I \int (d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2 \text{ m}$ પર,પ્રવાહ ઋણ $y$-દિશામાં વહે છે: $\vec{F}_1 = I L \hat{j} \times \vec{B}(x=2) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2))] \hat{j} \times \hat{k} = 0.25 \times 1 \hat{i} = 0.25 \text{ N}$ ($+x$ દિશામાં).
$x = 2.5 \text{ m}$ પર,પ્રવાહ ધન $y$-દિશામાં વહે છે: $\vec{F}_2 = I L (-\hat{j}) \times \vec{B}(x=2.5) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2.5))] (-\hat{j}) \times \hat{k} = 0.25 \times 1.2 (-\hat{i}) = -0.30 \text{ N}$ ($-x$ દિશામાં).
કુલ બળ $F_{\text{net}} = |F_1 - F_2| = |0.25 - 0.30| = 0.05 \text{ N} = 50 \text{ mN}$ છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં $R = 1 \, \Omega$, $\rho = 2 \times 10^{-6} \, \Omega m$, અને $A = 10 \, mm^2 = 10^{-5} \, m^2$ આપેલ છે。
આ કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{2 \times 10^{-6} \times \ell}{10^{-5}} \Rightarrow 1 = 0.2 \times \ell \Rightarrow \ell = 5 \, m$.
તાર હવામાં લટકતો રહે તે માટે, ચુંબકીય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F_m = F_g$.
$Bi\ell = mg$.
અહીં $i = 2 \, A$, $m = 0.5 \, kg$, $g = 10 \, m/s^2$, અને $\ell = 5 \, m$ છે。
$B \times 2 \times 5 = 0.5 \times 10$.
$10B = 5$.
$B = 0.5 \, T = 5 \times 10^{-1} \, T$.
આમ, $B$ નું મૂલ્ય $5$ છે。

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0(1+4x) \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x=0$ પરના ઊભી તાર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(0) = B_0(1+4(0)) = B_0 = 5 \ T$ છે.
આ તાર પરનું બળ $F_1 = i \ell B(0) = 2 \times 2 \times 5 = 20 \ N$ ($+x$ દિશામાં) છે.
$x=2$ પરના ઊભી તાર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(2) = B_0(1+4(2)) = 9B_0 = 9 \times 5 = 45 \ T$ છે.
આ તાર પરનું બળ $F_2 = i \ell B(2) = 2 \times 2 \times 45 = 180 \ N$ ($-x$ દિશામાં) છે.
આડા તાર પરના બળો એકબીજાને રદ કરે છે.
ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_2 - F_1 = 180 - 20 = 160 \ N$ છે.

(C) તારના $dl = R d\theta$ લંબાઈના એક નાના ખંડનો વિચાર કરો જે વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે.
આ ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ છે,જે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ લાગે છે.
તારમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ આ ખંડના બંને છેડા પર લાગે છે. નાના $d\theta$ માટે તણાવ બળને કારણે પરિણામી ત્રિજ્યાવર્તી બળ $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય બળને તણાવ બળના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક સાથે સરખાવતા:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે,અને તે એક સંપૂર્ણ વર્તુળ બનાવે છે તેમ ધારતા,$L = 2 \pi R$,તેથી $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ ની કિંમત તણાવ બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ વાહકના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનું સ્થાનાંતર સદિશ છે.
ભૂમિતિ જોતા,વાહક એક બિંદુથી શરૂ થાય છે અને $x$-અક્ષ પર કુલ આડું અંતર $L + R + R + L = 2(L+R)$ જેટલા સ્થાનાંતરિત બિંદુએ સમાપ્ત થાય છે.
તેથી,$\vec{L}_{eff} = 2(L+R)\hat{i}$.
તેથી,$\vec{F} = I(2(L+R)\hat{i} \times \vec{B}) = 2I(L+R)(\hat{i} \times \vec{B})$.
$(A)$ જો $\vec{B} = B\hat{z}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{z}) = -2I(L+R)B\hat{j}$. મૂલ્ય $F = 2I(L+R)B$,તેથી $F \propto (L+R)$. આ સાચું છે.
$(B)$ જો $\vec{B} = B\hat{x}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{x}) = 0$. આ સાચું છે.
$(C)$ જો $\vec{B} = B\hat{y}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{y}) = 2I(L+R)B\hat{z}$. મૂલ્ય $F = 2I(L+R)B$,તેથી $F \propto (L+R)$. આ સાચું છે.
$(D)$ જો $\vec{B} = B\hat{z}$ હોય,તો $F \neq 0$. આ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (B),$ અને $(C)$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ શોધવાનું સૂત્ર $F = I \ell B \sin(\theta)$ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8 \ A$
લંબાઈ $\ell = 4.0 \ cm = 0.04 \ m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.15 \ T$
ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ (કારણ કે તાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે),તેથી $\sin(90^{\circ}) = 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 8 \times 0.04 \times 0.15 \times 1$
$F = 0.32 \times 0.15 = 0.048 \ N$
$mN$ માં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ગુણો:
$F = 0.048 \times 1000 \ mN = 48 \ mN$.

(B) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $P$ માં $2 \ A$,તાર $Q$ માં $4 \ A$ અને તાર $R$ માં $6 \ A$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $1 \ m$ છે અને $Q$ અને $R$ વચ્ચેનું અંતર $1 \ m$ છે.
બધા વિદ્યુતપ્રવાહ એક જ દિશામાં હોવાથી,તાર $P$ એ તાર $Q$ ને ડાબી તરફ આકર્ષે છે અને તાર $R$ એ તાર $Q$ ને જમણી તરફ આકર્ષે છે.
$P$ ને કારણે $Q$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f_{QP} = \frac{\mu_0 (4)(2)}{2 \pi (1)} = \frac{8 \mu_0}{2 \pi}$.
$R$ ને કારણે $Q$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f_{QR} = \frac{\mu_0 (4)(6)}{2 \pi (1)} = \frac{24 \mu_0}{2 \pi}$.
$Q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $f_{\text{net}} = f_{QR} - f_{QP} = \frac{\mu_0}{2 \pi} (24 - 8) = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi} \times 16 = 2 \times 10^{-7} \times 16 = 32 \times 10^{-7} \ N/m$.

(A) તારને હવામાં સંતુલિત કરવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = BI\ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $BI\ell = mg$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે સૂત્ર: $B = \frac{mg}{I\ell} = \left(\frac{m}{\ell}\right) \frac{g}{I}$.
આપેલ રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = \frac{m}{\ell} = 45 \ g/m = 45 \times 10^{-3} \ kg/m$,પ્રવાહ $I = 30 \ A$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા:
$B = (45 \times 10^{-3}) \times \frac{10}{30} = 45 \times 10^{-3} \times \frac{1}{3} = 15 \times 10^{-3} \ T$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = i(\vec{L}_{\text{eff}} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{\text{eff}}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,તાર $x = -\ell$ થી શરૂ થાય છે અને $y = 6 \ m$ ની ઊંચાઈએ $x = +\ell$ પર સમાપ્ત થાય છે.
સમીકરણ $x^2 = 6y$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = 6 \ m$ પર,આપણને $x^2 = 6(6) = 36$ મળે છે,તેથી $x = \pm 6 \ m$.
આમ,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{\text{eff}} = (6 - (-6)) \hat{i} = 12 \hat{i} \ m$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 2 \ A$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2 \times 10^{-3} \hat{k} \ T$ છે.
આ કિંમતોને બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{F} = 2 \times (12 \hat{i} \times 2 \times 10^{-3} \hat{k})$
$\vec{F} = 48 \times 10^{-3} (\hat{i} \times \hat{k})$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,આપણને મળે છે:
$\vec{F} = 48 \times 10^{-3} (-\hat{j}) = -0.048 \hat{j} \ N$.
આને નજીકની કિંમતમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\vec{F} \simeq -0.05 \hat{j} \ N$ મળે છે.

(D) $SR$ અને $PQ$ વિભાગો પર લાગતા બળો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશાના હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
$I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચે લાગતું બળ:
$F = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2 \ell}{r} = 2 \times 10^{-7} \frac{I_1 I_2 \ell}{r}$
અહીં,$I_1 = 20 \text{ A}$,$I_2 = 20 \text{ A}$,અને $\ell = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}$.
$PS$ વિભાગ માટે,$r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$. આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે:
$F_{PS} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \text{ N}$.
$QR$ વિભાગ માટે,$r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$. આ બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે:
$F_{QR} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \text{ N}$.
પરિણામી બળ $F_{net} = F_{PS} - F_{QR} = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$.
આમ,જવાબ $5$ છે.

(A) બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d} = 2 \times 10^{-3} \ N/m$
જ્યારે પ્રવાહો બમણા કરવામાં આવે ($i_1' = 2i_1$ અને $i_2' = 2i_2$) અને અંતર અડધું કરવામાં આવે $(d' = d/2)$,ત્યારે નવું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = \frac{\mu_0 (2i_1)(2i_2)}{2 \pi (d/2)}$
$F' = \frac{4 \mu_0 i_1 i_2}{2 \pi (d/2)} = 8 \times \left( \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d} \right)$
શરૂઆતની બળની કિંમત મૂકતા:
$F' = 8 \times (2 \times 10^{-3} \ N/m) = 16 \times 10^{-3} \ N/m$
તેથી,નવું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $16 \times 10^{-3} \ N/m$ થાય છે.

(C) બાહ્ય સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}_{ext}$ માં રહેલા $\overrightarrow{L}$ લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}_{m}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F}_{m} = I(\overrightarrow{L} \times \overrightarrow{B}_{ext})$.
અહીં,$I$ એ તારમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$\overrightarrow{L}$ એ તારના બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર દર્શાવતો સદિશ છે,અને $\overrightarrow{B}_{ext}$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આમ,બળ $I$,$\overrightarrow{L}$,અને $\overrightarrow{B}_{ext}$ પર આધાર રાખતું હોવાથી,તે $(a)$,$(b)$,અને $(c)$ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
તે તારના દળ $(d)$ પર આધાર રાખતું નથી.

(C) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચેનું બળ $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક બળ $F = 1 \times 10^{-3} \ N$ છે.
જ્યારે બંને તારમાં પ્રવાહ બમણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા પ્રવાહો $I_1' = 2I_1$ અને $I_2' = 2I_2$ થાય છે.
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(2I_1)(2I_2)}{r} \cdot l = 4 \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l \right)$.
પ્રારંભિક બળની કિંમત મૂકતા: $F' = 4 \times (1 \times 10^{-3} \ N) = 4 \times 10^{-3} \ N$.

(C) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ વહન કરતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ લંબાઈ માટે,બળ $F = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d}$ છે.
નવી સ્થિતિમાં,અંતર $d' = \frac{d}{2}$ અને પ્રવાહ $I' = 2I$ છે.
નવું બળ $F_2 = \frac{\mu_0 (2I)(2I) L}{2 \pi (d/2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $F_2 = \frac{\mu_0 (4I^2) L}{2 \pi (d/2)} = 8 \times \left( \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d} \right)$.
તેથી,$F_2 = 8F$.

(A) બે લાંબા સમાંતર વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
અંતર $3d$ કર્યા પછી,નવું બળ $F'$ એ $2/3 F$ (અપાકર્ષી) તરીકે મળે છે.
મૂળ બળ આકર્ષી હતું (સમાન દિશાના પ્રવાહો),તેથી અપાકર્ષી બળનો અર્થ એ છે કે એક પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવી આવશ્યક છે.
ધારો કે નવા પ્રવાહો $I_1$ અને $I_2'$ છે. તો $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2'}{2 \pi (3d)} = \frac{2}{3} F$.
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ મૂકતા,આપણને $\frac{\mu_0 I_1 I_2'}{6 \pi d} = \frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{I_2'}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{I_2}{2} = \frac{I_2}{3}$.
આમ,$I_2' = I_2$. મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે.

(D) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તાર $x$-અક્ષ પર છે,તેથી લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = L\hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ છે.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{F} = I(L\hat{i}) \times B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$
$\vec{F} = ILB_0 [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) - (\hat{i} \times \hat{k})]$
સદિશ ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\vec{F} = ILB_0 [0 - \hat{k} - (-\hat{j})]$
$\vec{F} = ILB_0 (\hat{j} - \hat{k})$
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = ILB_0 \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = ILB_0 \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ILB_0$ થાય.

(D) સીધા વાયરને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r}$ છે.
બાજુ $AB$ માટે (અંતર $r_1 = L/3$),બળ $F_{AB} = I_1 L B_1 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi}$ (આકર્ષી,વાયર તરફ).
બાજુ $CD$ માટે (અંતર $r_2 = L/3 + L = 4L/3$),બળ $F_{CD} = I_1 L B_2 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (4L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$ (અપાકર્ષી,વાયરથી દૂર).
બાજુઓ $BC$ અને $AD$ વાયરને લંબ છે,અને તેમના પર લાગતા બળો સમાનતાને કારણે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} - \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{12 \mu_0 I_1 I_2 - 3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{9 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$.

(A) તાર $C$ પર કોઈ ચોખ્ખું બળ ન લાગે તે માટે,તાર $D$ દ્વારા લાગતું ચુંબકીય બળ અને તાર $B$ દ્વારા લાગતું ચુંબકીય બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
ધારો કે તાર $C$ નું તાર $D$ થી અંતર $x$ છે. તેથી તાર $C$ નું તાર $B$ થી અંતર $(15 - x) \text{ cm}$ થશે.
બે સમાંતર તાર કે જેમાં $i_1$ અને $i_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ હોય,તો એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $C$ પર લાગતા બળોને સરખાવતા:
$F_{CD} = F_{CB}$
$\frac{\mu_0 i_C i_D}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 i_C i_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{i_D}{x} = \frac{i_B}{15 - x}$
આપેલ કિંમતો $i_D = 15 \text{ A}$ અને $i_B = 10 \text{ A}$ મૂકતા:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \text{ cm}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલી $L$ લંબાઈની લૂપની બાજુ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = BIL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
ચુંબકીય બળ દળ $M$ ના વજનને સંતુલિત કરે તે માટે,આપણી પાસે $F = Mg$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$BIL = Mg$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ લૂપનો અવરોધ છે.
બળના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B \left( \frac{V}{R} \right) L = Mg$ મળે છે.
$V$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $V = \frac{MgR}{BL}$ મળે છે.

(D) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I_1 I_2}{r}$
અહીં,$I_1 = I_2 = I$ અને અંતર $r = b$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I \cdot I}{b} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$
આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$ છે.

(A) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન દિશામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહો એકબીજાને આકર્ષે છે,જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહો એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
તાર $A$ માં $1 \text{ A}$ નીચેની તરફ,તાર $B$ માં $2 \text{ A}$ નીચેની તરફ અને તાર $C$ માં $3 \text{ A}$ ઉપરની તરફ પ્રવાહ વહે છે.
તાર $A$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_{BA})$: $A$ અને $B$ માં પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાને આકર્ષે છે. તેથી,$F_{BA}$ એ $A$ તરફ લાગે છે.
તેનું મૂલ્ય $F_{BA} \propto (1 \text{ A} \times 2 \text{ A}) = 2$.
તાર $C$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_{BC})$: $B$ અને $C$ માં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષે છે. તેથી,$F_{BC}$ એ $C$ થી દૂર એટલે કે $A$ તરફ લાગે છે.
તેનું મૂલ્ય $F_{BC} \propto (2 \text{ A} \times 3 \text{ A}) = 6$.
આમ,બંને બળો $F_{BA}$ અને $F_{BC}$ એ $A$ તરફ લાગતા હોવાથી,પરિણામી બળ $A$ તરફની દિશામાં હશે.

(D) આપેલ છે: પાવર $P = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$,વોલ્ટેજ $V = 100 \text{ V}$,અંતર $a = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
સૌ પ્રથમ,$P = VI$ નો ઉપયોગ કરીને વાયરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{P}{V} = \frac{1000}{100} = 10 \text{ A}$.
બે સમાંતર વાયરો વચ્ચે પ્રતિ એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f$ નું સૂત્ર:
$f = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a}$.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (10)^2}{2\pi \times (2 \times 10^{-3})}$.
$f = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{4\pi \times 10^{-3}}$.
$f = 10^{-7} \times 10^2 \times 10^3 = 10^{-2} \text{ N/m}$.
આમ,પ્રતિ મીટર લાગતું બળ $10^{-2} \text{ N}$ છે.

(C) બે સમાંતર લાંબા વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
શરૂઆતમાં,બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ છે.
જ્યારે એક વાહકમાં પ્રવાહ બમણો $(I_1' = 2I_1)$ કરવામાં આવે છે અને તેની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પ્રવાહ $-2I_1$ થાય છે. અંતર વધારીને $d' = 3d$ કરવામાં આવે છે.
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે છે: $F' = \frac{\mu_0 (-2I_1) I_2}{2 \pi (3d)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $F' = -\frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$.
શરૂઆતના બળ $F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $F' = -\frac{2F}{3}$.

(B) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $A$ અને $B$ માટે: બંને સમાન દિશામાં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવે છે. $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_1$ આકર્ષી પ્રકારનું છે,જેનું મૂલ્ય $F_1 = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ છે.
તાર $A$ અને $C$ માટે: તાર $A$ માં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ઉપરની તરફ અને તાર $C$ માં $2I$ વિદ્યુતપ્રવાહ નીચેની તરફ વહે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,$C$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_2$ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે,જેનું મૂલ્ય $F_2 = \frac{\mu_0 I (2I)}{2 \pi (2d)} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ છે.
આમ,બળો $F_1$ અને $F_2$ ના મૂલ્યો સમાન છે પરંતુ તેમની દિશાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવાથી,$F_1 = -F_2$ થાય છે.

(B) અંતરે રહેલા $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબ છે: $f = \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
શરૂઆતમાં,બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો પ્રવાહ $I_1' = 3 I_1$,નવું અંતર $d' = 2 d$ છે અને $I_2$ સમાન રહે છે (દિશા બદલવાથી બળના પ્રકારમાં ફેરફાર થાય છે,મૂલ્યમાં નહીં).
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{\mu_0 (3 I_1) I_2 l}{2 \pi (2 d)}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $F' = \frac{3}{2} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d} \right)$.
શરૂઆતના બળ $F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે: $F' = \frac{3}{2} F$.

(C) બે લાંબા સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r$ એ વાહકો વચ્ચેનું અંતર છે અને $I_1$ તથા $I_2$ એ વાહકોમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે સમાંતર તારમાં સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય,ત્યારે તેઓ એકબીજા પર આકર્ષી બળ લગાડે છે.
આપેલ છે કે $I_1 = I_2 = I$,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું મૂલ્ય $F = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ થાય છે.
તેથી,તાર એકબીજાને એકમ લંબાઈ દીઠ $\frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ બળથી આકર્ષશે.