Force on a Current Carrying Conductor Questions in Gujarati

(A) બે સમાંતર તાર કે જેમાંથી $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,તેમની વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું સૂત્ર: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ છે.
બંને તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન રહેતો હોવાથી,બળ એ તેમની વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $F \propto \frac{1}{d}$.
જો નવું અંતર $d' = \frac{d}{3}$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F'$ આ મુજબ થશે: $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi (d/3)} = 3 \times \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right) = 3F$.
તેથી,બળનું મૂલ્ય મૂળ મૂલ્ય કરતા $3$ ગણું થાય છે.

(D) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચેનું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_1$:
$A$ અને $B$ માં પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી પ્રકારનું ( $B$ તરફ) હશે.
$F_1 = \frac{\mu_0 I \cdot I}{2 \pi x} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
$2$. $C$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_2$:
$A$ અને $C$ માં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું ($C$ થી દૂર) હશે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $2x$ છે.
$F_2 = \frac{\mu_0 I \cdot 2I}{2 \pi (2x)} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $F_1 = F_2$. જોકે,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી (એક $B$ તરફ આકર્ષી અને બીજું $C$ થી દૂર અપાકર્ષી),સદિશ સ્વરૂપમાં $F_1 = -F_2$ થાય.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું બળ $F$ શોધવાનું સૂત્ર $F = I L B \sin \theta$ છે.
અહીં,$I = 1.2 \ A$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,
$L = 0.5 \ m$ એ તારની લંબાઈ છે,
$B = 2 \ T$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,
અને $\theta = 90^{\circ}$ એ તાર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times \sin 90^{\circ}$
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times 1$
$F = 1.2 \times 1$
$F = 1.2 \ N$.
તેથી,તાર પર લાગતું બળ $1.2 \ N$ છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{\ell} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો લંબાઈ સદિશ $\vec{\ell} = \ell \hat{i}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{B} = B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\vec{F} = I(\ell \hat{i}) \times B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$.
$\vec{F} = I \ell B [(\hat{i} \times \hat{i}) + 2(\hat{i} \times \hat{j}) - 3(\hat{i} \times \hat{k})]$.
સદિશ ગુણાકારના નિયમો મુજબ: $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
$\vec{F} = I \ell B [0 + 2\hat{k} - 3(-\hat{j})] = I \ell B (3\hat{j} + 2\hat{k})$.
બળનું મૂલ્ય $F = |\vec{F}| = I \ell B \sqrt{3^2 + 2^2}$ થશે.
$F = I \ell B \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} I \ell B$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું બળ $F = BIL \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર વાહકને લંબ હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ થાય,તેથી $F = BIL$.
વાયરમાં તણાવ શૂન્ય થાય તે માટે,ચુંબકીય બળ સળિયાના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$BIL = Mg$.
$B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B = \frac{Mg}{IL}$ મળે છે.

(B) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ તારનો લંબાઈ સદિશ છે。
ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $EF = 5 \,cm$, $EG = 12 \,cm$ અને $GF = 13 \,cm$ છે。
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ બાજુ $GF$ ને સમાંતર છે. ધારો કે બાજુ $EF$ અને બાજુ $GF$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે。
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી, $\sin \theta = \frac{EG}{GF} = \frac{12}{13}$.
બાજુ $EF$ પર લાગતું બળ $F_{EF} = I \cdot L_{EF} \cdot B \sin \theta$ છે。
આપેલ છે કે $I = 2 \,A$, $L_{EF} = 0.05 \,m$, $B = 0.75 \,T$ અને $\sin \theta = \frac{12}{13}$.
$F_{EF} = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{0.9}{13} = \frac{9}{130} \,N$.
આને $\frac{x}{130} \,N$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 9$ મળે છે。

(C) જ્યારે બે સમાંતર વાહકો એક જ દિશામાં $i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ વહન કરે છે,ત્યારે પ્રથમ વાહક દ્વારા બીજા વાહકના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,બીજા વાહક પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = i_2 l B_1 \sin(90^\circ) = i_2 l \left( \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d} \right)$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બીજા વાહક પર લાગતા બળની દિશા પ્રથમ વાહક તરફ હોય છે.
તે જ રીતે,પ્રથમ વાહક પર લાગતું બળ બીજા વાહક તરફ હોય છે.
તેથી,બંને વાહકો એકબીજાને આકર્ષે છે.

(C) $h$ અંતરે રહેલા $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તારો વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હશે।
સંતુલન સ્થિતિમાં,અપાકર્ષી ચુંબકીય બળ તાર $PQ$ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે:
$F = mg$
$\frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h} = mg$
આપેલ છે: $I = 25 \,A$,$l = 1 \,m$,$m = 2.5 \,g = 2.5 \times 10^{-3} \,kg$,$g = 9.8 \,m/s^2$,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi m g} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (25)^2 \times 1}{2 \pi \times (2.5 \times 10^{-3}) \times 9.8}$
$h = \frac{2 \times 10^{-7} \times 625}{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8} = \frac{1250 \times 10^{-7}}{24.5 \times 10^{-3}} = \frac{1250}{24.5} \times 10^{-4} \,m \approx 51 \times 10^{-4} \,m \approx 5.1 \,mm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $5 \,mm$ છે।

(B) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d}$.
આપેલ છે:
$I_1 = 10 \ A$
$I_2 = 4 \ A$
$d = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
$l = 4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 4 \times (4 \times 10^{-2})}{2 \pi \times (2 \times 10^{-2})}$
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 40 \times 4 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}}$
$F = 2 \times 10^{-7} \times 40 \times 2$
$F = 160 \times 10^{-7} \ N = 1.6 \times 10^{-5} \ N$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = i l B \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $i = 2 \text{ A}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.0 \times 10^{-5} \text{ T}$,અને પ્રવાહ (પૂર્વ-પશ્ચિમ) તથા ચુંબકીય ક્ષેત્ર (દક્ષિણ-ઉત્તર) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
કારણ કે $\sin(90^\circ) = 1$,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ બળ:
$\frac{F}{l} = i B \sin(90^\circ)$
$\frac{F}{l} = 2 \times 3.0 \times 10^{-5} \times 1$
$\frac{F}{l} = 6 \times 10^{-5} \text{ N/m}$.

(B) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
આપેલ છે: $I_1 = I_2 = 5 \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F}{l} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 5}{2 \pi \times 1}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{F}{l} = 2 \times 10^{-7} \times 25 = 50 \times 10^{-7} \text{ N/m}$.
આમ,$\frac{F}{l} = 5 \times 10^{-6} \text{ N/m}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,તાર વચ્ચેનું બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.

(B) $1$. સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા બે સમાંતર તાર એકબીજાને આકર્ષે છે,જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા તાર એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
$2$. આકૃતિમાં,તાર $P$ માં પ્રવાહ નીચેની તરફ $(20 \ A)$ છે,જ્યારે તાર $Q$ માં પ્રવાહ ઉપરની તરફ $(40 \ A)$ છે. આ પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર હોવાથી,તાર $P$ એ તાર $Q$ પર અપાકર્ષી બળ લગાડે છે,જે તેને જમણી તરફ ધકેલે છે.
$3$. તાર $Q$ માં પ્રવાહ ઉપરની તરફ $(40 \ A)$ છે અને તાર $R$ માં પણ પ્રવાહ ઉપરની તરફ $(60 \ A)$ છે. આ પ્રવાહો સમાંતર હોવાથી,તાર $R$ એ તાર $Q$ પર આકર્ષી બળ લગાડે છે,જે તેને જમણી તરફ ખેંચે છે.
$4$. બંને બળો ($P$ થી અપાકર્ષણ અને $R$ થી આકર્ષણ) જમણી તરફ કાર્ય કરતા હોવાથી,તાર $Q$ પરનું પરિણામી બળ જમણી તરફની દિશામાં હોય છે.

(B) જ્યારે બે લાંબા સમાંતર તારમાંથી સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે દરેક તાર બીજા તારના સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,એક તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બીજા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લોરેન્ઝ બળ લગાડે છે.
સમાન દિશામાં વહેતા પ્રવાહ માટે,તાર વચ્ચેનું બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે.
તેથી,તાર એકબીજાને આકર્ષશે.

(D) બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $B$ ને સ્થિર રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (એકમ લંબાઈ દીઠ વજન) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$\frac{F}{l} = \text{એકમ લંબાઈ દીઠ વજન} = 40 \times 10^{-3} \text{ N/m}$.
કિંમતો મૂકતા: $40 \times 10^{-3} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10 \times 20}{2 \pi \times y}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $40 \times 10^{-3} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 200}{y}$.
$40 \times 10^{-3} = \frac{400 \times 10^{-7}}{y}$.
$y = \frac{400 \times 10^{-7}}{40 \times 10^{-3}} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \text{ m}$.
ગુરુત્વાકર્ષણનો સામનો કરવા માટે ચુંબકીય બળ ઉપરની તરફ (અપાકર્ષી) હોવું જોઈએ,તેથી પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેવો જોઈએ.

(C) $y$ અંતરે રહેલા $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi y}$
આપેલ છે કે બંને તારમાં સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે,તેથી પ્રારંભિક બળ:
$F = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi y}$
જો દરેક તારમાં વહેતો પ્રવાહ અડધો કરવામાં આવે,તો નવો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2}$ થાય.
નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = \frac{\mu_0 (I/2) (I/2)}{2 \pi y} = \frac{\mu_0 I^2}{4 \cdot 2 \pi y}$
આ સમીકરણમાં મૂળ બળ $F$ ની કિંમત મૂકતા:
$F' = \frac{1}{4} F$
તેથી,નવું બળ $\frac{F}{4}$ થશે.

(D) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi y}$
આપેલ છે:
$I_1 = 10 \ A$
$I_2 = 2 \ A$
$l = 2 \ m$
$y = 10 \ cm = 0.1 \ m = 10 \times 10^{-2} \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 2 \times 2}{2 \pi \times 10 \times 10^{-2}}$
$F = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 40}{2 \pi \times 0.1}$
$F = 2 \times 10^{-7} \times 400$
$F = 800 \times 10^{-7} \ N = 8 \times 10^{-5} \ N$
તેથી,વાહક $B$ પર લાગતું બળ $8 \times 10^{-5} \ N$ છે.

(B) $I_1$ અને $I_2$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
અહીં આપેલ કિંમતો $I_1 = I_2 = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (10^{-3}) \times (10^{-3})}{2 \pi \times 1}$
$f = 2 \times 10^{-7} \times 10^{-6}$
$f = 2 \times 10^{-13} \text{ N/m}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) તાર હવામાં લટકતો રહે તે માટે,તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_B = F_g$
$I B l = m g$
જ્યાં $I = 2.5 \text{ A}$,$B = 0.5 \text{ T}$,$l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,અને $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ છે。
$m = \frac{I B l}{g}$
$m = \frac{2.5 \times 0.5 \times 0.5}{10}$
$m = \frac{0.625}{10} = 0.0625 \text{ kg}$
ગ્રામમાં ફેરવતા: $0.0625 \text{ kg} \times 1000 = 62.5 \text{ g}$.
આમ,તારનું દળ $62.5 \text{ g}$ છે。

(B) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચે મુજબ છે:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
અહીં,બંને તારમાં સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,તેથી $I_1 = I_2 = I$. આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi r}$
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સમાંતર તાર એકબીજાને આકર્ષે છે,જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા તાર એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તાર એકબીજાને અપાકર્ષશે.

(C) આપેલ છે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B = 0.25 \,T$
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ, $\frac{m}{l} = 0.5 \,kg \,m^{-1}$
ઢાળનો ખૂણો, $\theta = 30^{\circ}$
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = BIl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર શિરોલંબ હોવાથી, બળ $F$ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
લીસા ઢળતા સમતલ પર સળિયાને સ્થિર રાખવા માટે, સમતલની દિશામાં લાગતું ચુંબકીય બળનું ઘટક, સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
સમતલની નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક = $mg \sin 30^{\circ}$
સમતલની ઉપરની તરફ ચુંબકીય બળનો ઘટક = $F \cos 30^{\circ} = (BIl) \cos 30^{\circ}$
સંતુલન માટે બંને બળોને સરખાવતા:
$BIl \cos 30^{\circ} = mg \sin 30^{\circ}$
$BIl \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = mg \left(\frac{1}{2}\right)$
$BIl \sqrt{3} = mg$
$I = \frac{mg}{l \sqrt{3} B} = \left(\frac{m}{l}\right) \frac{g}{\sqrt{3} B}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = 0.5 \times \frac{9.8}{\sqrt{3} \times 0.25} \approx 11.316 \,A \approx 11.32 \,A$
આમ, જરૂરી વિદ્યુતપ્રવાહ $11.32 \,A$ છે.

(A) $\text{આપેલ છે}$:
$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
$I_1 = I_2 = 10 \,A$
$\text{બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે}$:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
$\text{કિંમતો મૂકતા}$:
$\frac{F}{l} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 10}{2 \pi \times 0.1} = 2 \times 10^{-4} \,N/m$
$\text{અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેતો હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે}$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2$ ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપ દ્વારા તેની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અક્ષની દિશામાં જ હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1$ ધરાવતો સીધો વાહક આ લૂપની અક્ષ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સીધા વાયરમાં વહેતો પ્રવાહ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર હોય છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તત્વ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીધા વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,પ્રવાહ તત્વ $I_1\vec{dl}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થાય છે.
તેથી,બળ $F = I_1 dl B \sin(\theta) = 0$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,લૂપ દ્વારા સીધા વાહક પર લાગતું બળ શૂન્ય છે,અને પરિણામે,સીધા વાહક દ્વારા લૂપ પર લાગતું બળ પણ શૂન્ય છે.

(D) આડા ભાગો $PQ$ અને $RS$ પર લાગતા બળો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ વાહકો વચ્ચેનું અંતર છે.
ભાગ $PS$ માટે ($r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ અંતરે):
$F_{PS} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \text{ N}$ (તાર તરફ આકર્ષણ બળ).
ભાગ $QR$ માટે ($r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ અંતરે):
$F_{QR} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \text{ N}$ (તારથી દૂર અપાકર્ષણ બળ).
પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_{PS} - F_{QR} = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$ છે.

(D) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચેનું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। જો પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય તો બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે।
$A$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{AC})$:
$F_{AC} = \frac{\mu_0 I_A I_C L}{2 \pi r_{AC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 3 \times 1}{0.05} = \frac{12 \times 10^{-7}}{0.05} = 2.4 \times 10^{-5} \, N$ ($A$ તરફ, આકર્ષી)।
$B$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{BC})$:
$F_{BC} = \frac{\mu_0 I_B I_C L}{2 \pi r_{BC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4 \times 3 \times 1}{0.08} = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.08} = 3.0 \times 10^{-5} \, N$ ($B$ તરફ, આકર્ષી)।
અહીં $F_{BC} > F_{AC}$ હોવાથી, પરિણામી બળ $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = (3.0 - 2.4) \times 10^{-5} \, N = 0.6 \times 10^{-5} \, N$ જે $B$ તરફ લાગશે।

(A) અંતરે રહેલા અને $I_1$ તથા $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{d}$
અહીં આપેલ કિંમતો $I_1 = 1 \text{ A}$,$I_2 = 3 \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1 \times 3}{1} = 6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી,તાર વચ્ચે લાગતું બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હશે.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$ છે અને તે અપાકર્ષી છે.

(A) તાર હવામાં લટકેલો રહે તે માટે,તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ તેના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $l$ એ તારની લંબાઈ છે,$m$ તેનું દળ છે,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
તારનું વજન $W = mg$ છે.
આપેલ રેખીય ઘનતા $\lambda = \frac{m}{l} = 0.12 \ kg \ m^{-1}$ પરથી,આપણે $m = \lambda l$ લખી શકીએ.
તેથી,$W = \lambda l g$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = IlB \sin(\theta)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારને લંબ હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $F_m = IlB$.
સંતુલન માટે,$F_m = W$,જેનો અર્થ છે કે $IlB = \lambda l g$.
બંને બાજુથી $l$ ને દૂર કરતા,આપણને $IB = \lambda g$ મળે છે.
$I$ માટે ઉકેલતા: $I = \frac{\lambda g}{B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{0.12 \times 10}{0.5} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ A$.
તેથી,તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $2.4 \ A$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $L$ લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નું સૂત્ર $F = I L B \sin(\theta)$ છે.
આપણે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ શોધવાનું છે,જે $f = F/L$ છે.
તેથી,$f = I B \sin(\theta)$.
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8 \ A$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.15 \ T$
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = 8 \times 0.15 \times \sin(30^{\circ})$
$\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$f = 8 \times 0.15 \times 0.5$
$f = 8 \times 0.075 = 0.6 \ N \ m^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લાંબા સીધા વાહકની નજીક રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_1 = 25 \text{ A}$,$I_2 = 10 \text{ A}$,$L = 25 \text{ cm} = 0.25 \text{ m}$ છે.
લૂપની બે ઊભી બાજુઓ સીધા વાહકથી $r_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ અને $r_2 = 10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ અંતરે છે.
આડી બાજુઓ પર લાગતા બળો ($F_3$ અને $F_4$) સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ એ બે ઊભી બાજુઓ પર લાગતા બળોનો તફાવત છે: $F_{net} = |F_1 - F_2|$.
$F_1 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.1} = 1.25 \times 10^{-4} \text{ N}$ (આકર્ષી).
$F_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.2} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N}$ (અપાકર્ષી).
$F_{net} = 1.25 \times 10^{-4} - 0.625 \times 10^{-4} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N} = 6.25 \times 10^{-5} \text{ N}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત વાહક પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F}{l} = iB \sin \theta$.
અહીં,પ્રવાહ $i = 1 \,A$ દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ વહે છે।
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times 10^{-5} \,T$ પણ દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ છે।
પ્રવાહ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે।
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ: $\frac{F}{l} = 1 \times (3 \times 10^{-5}) \times \sin(0^\circ) = 1 \times (3 \times 10^{-5}) \times 0 = 0 \,N/m$.

(B) જ્યારે પ્રવાહ ધરાવતા લવચીક વાયરના લૂપને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય બળોનો અનુભવ કરે છે જે લૂપને વિસ્તૃત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સને મહત્તમ કરવા માટે,લૂપ આપેલ પરિમિતિ માટે શક્ય તેટલું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આવરી લેવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
ભૌમિતિક સિદ્ધાંતો મુજબ,નિશ્ચિત પરિમિતિ માટે,વર્તુળ સૌથી વધુ ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે.
તેથી,લૂપ તેનો આકાર બદલીને વર્તુળાકાર બનાવે છે,જેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં રહેલા $\vec{L}$ લંબાઈના પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બંધ પ્રવાહધારિત લૂપ માટે જે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલ હોય,તેના પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{F}_{net} = I \oint (d\vec{l} \times \vec{B}) = I (\oint d\vec{l}) \times \vec{B}$.
લૂપ બંધ હોવાથી,તમામ લંબાઈના ઘટકોનો સદિશ સરવાળો $\oint d\vec{l} = 0$ થાય છે.
તેથી,$\vec{F}_{net} = 0$.

(A) લાંબા સીધા તારને કારણે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબચોરસ કોઈલ $ABCD$ માટે,આડા ભાગો $BC$ અને $AD$ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
ભાગ $AB$ પરનું બળ (અંતર $r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ પર) આકર્ષી છે (તાર તરફ) કારણ કે પ્રવાહો સમાંતર છે:
$F_{AB} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.02 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.02} = 30 \times 10^{-7} \text{ N}$.
ભાગ $CD$ પરનું બળ (અંતર $r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ પર) અપાકર્ષી છે (તારથી દૂર) કારણ કે પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર છે:
$F_{CD} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.12 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.12} = 5 \times 10^{-7} \text{ N}$.
કુલ બળ $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = 30 \times 10^{-7} - 5 \times 10^{-7} = 25 \times 10^{-7} \text{ N}$.
$F_{AB} > F_{CD}$ હોવાથી,કુલ બળ તારની દિશામાં લાગે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં '$l$' લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આ એક બંધ ગાળો હોત,તો સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કુલ બળ શૂન્ય થાત. પરંતુ અહીં પ્રવાહ $C$ આગળ પ્રવેશે છે અને $A$ આગળ બહાર નીકળે છે,તેથી આ એક બંધ ગાળો નથી.
અહીં ત્રણ વિભાગો છે: $CB$,$BA$,અને $AC$.
દરેક વિભાગ પર લાગતું બળ $F = ilB$ છે. સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,$CB$ અને $BA$ વિભાગો પર લાગતા બળનું પરિણામી બળ એ $C$ થી $A$ સુધીના સ્થાનાંતર સદિશ પર લાગતા બળ જેટલું થાય છે.
આમ,કુલ બળ એ $C$ થી $A$ સુધીના '$l$' લંબાઈના સીધા તાર પર લાગતા બળ જેટલું એટલે કે $ilB$ થશે.

(B) $i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ વહન કરતા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચે $x$ અંતરે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x}$ છે.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે.
અંતર $d$ થી $2d$ કરવા માટે,આપણે આ આકર્ષી બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ થયેલું કાર્ય એ બળનું અંતરની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવાથી મળે છે:
$W = \int_{d}^{2d} F \, dx = \int_{d}^{2d} \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x} \, dx$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} [\ln(x)]_{d}^{2d}$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} (\ln(2d) - \ln(d))$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln\left(\frac{2d}{d}\right) = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln(2)$.

(D) $i_1$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અનંત લંબાઈના સીધા તાર વડે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ (કાગળની અંદર અથવા બહારની તરફ) હોય છે.
લંબચોરસ લૂપના દરેક ભાગ પર લાગતું બળ $F = \int i_2 (dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈના બે શિરોલંબ ભાગો માટે,બળો $F_1 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi a}$ (આકર્ષી) અને $F_2 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi b}$ (અપાકર્ષી) છે.
બે આડા ભાગો માટે,બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આ તમામ બળો લૂપના સમતલમાં કાર્ય કરે છે અને તેમની કાર્યરેખા લૂપના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે (અથવા લૂપના સમતલને સમાંતર છે),તેથી લૂપના સમતલમાં કોઈપણ અક્ષની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
ચોક્કસપણે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $A$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર છે. ટોર્ક $\tau = m \times B = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $\theta = 0^{\circ}$ હોવાથી,ટોર્ક $\tau = 0$ થાય છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 2x$ પરથી,$x = 2$ માટે,$y^2 = 4$,તેથી $y = \pm 2$. બિંદુઓ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $A$ થી $B$ તરફ ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થઈને વહે છે. તેથી,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}$ એ $A$ થી $B$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{L} = (2-2)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} = -4\hat{j} \ m$ છે.
અહીં $I = 4 \ A$ અને $\vec{B} = 6\hat{k} \ T$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\vec{F} = 4 \times (-4\hat{j} \times 6\hat{k}) = 4 \times (-24)(\hat{j} \times \hat{k}) = -96\hat{i} \ N$.

(C) ધારો કે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ $T$ છે અને વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે।
તારના $dl$ લંબાઈના નાના ખંડનો વિચાર કરો જે કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે।
આ ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = B I dl = B I (r d\theta)$ છે।
આ બળ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ લાગે છે।
આ ખંડના છેડાઓ પરનું તણાવ $T$ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે અંદરની તરફ પુનઃસ્થાપક બળ પૂરું પાડે છે।
અંદરની તરફ બળ પૂરું પાડતો તણાવનો ઘટક $2 T \sin(d\theta / 2) \approx 2 T (d\theta / 2) = T d\theta$ છે।
સંતુલન માટે બળોને સરખાવતા: $T d\theta = B I r d\theta$, જે આપણને $T = B I r$ આપે છે।
તારની કુલ લંબાઈ $l = 2 \pi r$ હોવાથી, $r = l / (2 \pi)$ મળે।
તણાવના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $T = B I (l / 2 \pi)$।
અહીં $B = 2.0 \,T$, $I = 1.1 \,A$, અને $l = 1 \,m$ આપેલ છે:
$T = (2.0 \times 1.1 \times 1) / (2 \times 3.14) = 2.2 / 6.28 \approx 0.35 \,N$.

(C) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ વહન કરતા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચેનું અંતર $x$ હોય ત્યારે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબ છે: $\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x}$.
તાર વચ્ચેનું અંતર $dx$ જેટલું સૂક્ષ્મ બદલવા માટે એકમ લંબાઈ દીઠ કરવું પડતું કાર્ય $dW$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $dW = \frac{F}{\ell} dx$.
બળનું સૂત્ર મૂકતા: $dW = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે સંકલન કરતા: $W = \int \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
અહીં $\mu_0$,$I_1$,$I_2$ અને $2\pi$ અચળ હોવાથી: $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{1}{x}$ નું સંકલન $\log_e x$ થાય છે,તેથી $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \log_e x$.
આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ કરવું પડતું કાર્ય $\log_e x$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) કુલ પ્રવાહ $I = 20 \text{ A}$ લૂપમાં પ્રવેશે છે અને બે સમાંતર શાખાઓ $ABC$ અને $ADC$ માં વહેંચાય છે. વાયર સમાન હોવાથી,બંને શાખાઓનો અવરોધ સમાન છે,તેથી પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે: $i_1 = i_2 = 10 \text{ A}$.
$i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાયર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબ છે:
$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$i_1 = 10 \text{ A}$
$i_2 = 10 \text{ A}$
$r = AD = BC = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F}{L} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 10}{2 \pi \times (2 \times 10^{-2})}$
$\frac{F}{L} = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-2}}$
$\frac{F}{L} = 10^{-3} \text{ N m}^{-1}$.

(A) પ્રથમ તાર દ્વારા '$l$' અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પ્રવાહ $i_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
બીજા તારની નાની લંબાઈ '$d$' પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = i_2 (B) d \sin(90^{\circ})$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dF = i_2 \left( \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi l} \right) d (1) = \frac{\mu_0 i_1 i_2 d}{2 \pi l}$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ એ પ્રવાહોના ગુણાકાર $i_1 i_2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) તારની કુલ લંબાઈ $L = 30 \sqrt{3} \text{ cm} = 0.3 \sqrt{3} \text{ m}$ છે.
તે સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,દરેક બાજુની લંબાઈ $l = L / 3 = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$ થશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ બાજુ $BC$ ને સમાંતર છે. બાજુ $AC$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે (કારણ કે ત્રિકોણ સમબાજુ છે).
પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $F = I l B \sin \theta$ થાય.
અહીં,$I = 2 \text{ A}$,$l = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$,$B = 2 \text{ T}$,અને $\theta = 60^\circ$ છે.
$F = 2 \times (0.1 \sqrt{3}) \times 2 \times \sin(60^\circ) = 0.4 \sqrt{3} \times (\sqrt{3} / 2) = 0.2 \times 3 = 0.6 \text{ N}$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ શરૂઆતના બિંદુ $P$ થી અંતિમ બિંદુ $Q$ સુધીનો અસરકારક સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,તાર ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે. કુલ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}_{eff}$ એ આ ભાગોનો સદિશ સરવાળો છે.
આડું સ્થાનાંતર $= 6 \ cm = 0.06 \ m$ (જમણી તરફ).
ઊભું સ્થાનાંતર $= 4 \ cm + 4 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ (ઉપરની તરફ).
તેથી,અસરકારક લંબાઈનું મૂલ્ય $L_{eff} = \sqrt{(0.06)^2 + (0.08)^2} = \sqrt{0.0036 + 0.0064} = \sqrt{0.01} = 0.1 \ m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \ T$ એ તારના સમતલને લંબ છે.
બળનું મૂલ્ય $F = I L_{eff} B \sin(90^\circ) = 10 \ A \times 0.1 \ m \times 5 \ T \times 1 = 5 \ N$ થાય.

(D) બે સમાંતર તાર જેમાંથી $i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ વહે છે અને $r$ અંતરે રહેલા છે,તેમની વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ છે.
તાર $A$ માં પ્રવાહની દિશાને ધન લેતા,તાર $A$ અને $B$ ને કારણે તાર $C$ પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ:
$\vec{F} = \left( \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} \right) - \left( \frac{\mu_0 (i)(2i)}{2 \pi d} \right) = \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \left( \frac{3}{2} - 2 \right) = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$.
આમ,$\vec{F} = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$.
હવે,જો તાર $B$ ને દૂર કરવામાં આવે,તો તાર $C$ ને કારણે તાર $A$ પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ:
$f_A = \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} = \frac{6 \mu_0 i^2}{4 \pi d} = 3 \left( \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \right) = 6 \left( \frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} \right)$.
$\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$ મૂકતા,આપણને $f_A = -3\vec{F}$ મળે છે.

(B) પ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$a$' લંબાઈ ધરાવતી લૂપની નીચેની બાજુ માટે,ચુંબકીય બળ $F = IaB$ છે.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,જો પ્રવાહ ડાબેથી જમણે વહેતો હોય,તો બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. જો પ્રવાહ જમણેથી ડાબે વહેતો હોય,તો બળ નીચેની તરફ લાગે છે.
ધારો કે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું પ્રારંભિક રીડિંગ $W_1 = mg - F$ છે (ઉપરની તરફ બળ ધારતા).
જ્યારે પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F' = -F$ (નીચેની તરફ બળ) થઈ જાય છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું નવું રીડિંગ $W_2 = mg + F$ થાય છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સના રીડિંગમાં થતો ફેરફાર $\Delta W = |W_2 - W_1| = |(mg + F) - (mg - F)| = 2F = 2IaB$ છે.

(A) બંને વાયરોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેતો હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.
નીચેના વાયરને હવામાં લટકતો રાખવા માટે,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું ઉપરની તરફનું ચુંબકીય બળ,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા નીચેની તરફના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $I_1 = 160 \ A$ એ ઉપરના વાયરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$I_2$ એ નીચેના વાયરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$d = 4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ એ અંતર છે,અને $\lambda = 10 \ g \ m^{-1} = 10 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
સંતુલન માટેની શરત છે:
$F_{magnetic} = F_{gravitational}$
$\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} = \lambda g$
$I_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$I_2 = \frac{2 \pi d \lambda g}{\mu_0 I_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I_2 = \frac{2 \pi \times (4 \times 10^{-2}) \times (10 \times 10^{-3}) \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160}$
$I_2 = \frac{8 \pi \times 10^{-3} \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160} = \frac{8 \times 10^{-2}}{4 \times 10^{-7} \times 160} = \frac{2 \times 10^5}{160} = \frac{200000}{160} = 125 \ A$
આમ,નીચેના વાયરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $125 \ A$ છે.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d}$.
આપેલ છે: $l = 50 \ m$,$d = 0.2 \ m$,$F = 1 \ N$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
ધારો કે બીજા વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ છે. તો પ્રથમ વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ $i_1 = 2i$ થશે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{50} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (2i) \times i}{2 \pi \times 0.2}$
$\frac{1}{50} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2i^2}{0.2}$
$0.02 = 2 \times 10^{-6} \times i^2$
$i^2 = \frac{0.02}{2 \times 10^{-6}} = 0.01 \times 10^6 = 10^4$
$i = \sqrt{10^4} = 100 \ A$.
તેથી,બીજા વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ $100 \ A$ છે.

(A) તાર $b$ ને કારણે તાર $a$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f_{ab} = \frac{\mu_0 i_a i_b}{2 \pi d_1}$ છે. પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે.
તાર $c$ ને કારણે તાર $a$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a i_c}{2 \pi (d_1 + d_2)}$ છે. પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,આ બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે.
આપેલ છે કે $d_2 = 2 d_1$,$i_b = i_a$ અને $i_c = 4 i_a$,તેથી તાર $a$ પર લાગતું પરિણામી એકમ લંબાઈ દીઠ બળ:
$f_{net} = f_{ab} - f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{\mu_0 i_a (4 i_a)}{2 \pi (d_1 + 2 d_1)}$
$f_{net} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{4 \mu_0 i_a^2}{2 \pi (3 d_1)} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( 1 - \frac{4}{3} \right) = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( -\frac{1}{3} \right)$
$l$ લંબાઈ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = |f_{net}| \times l = \frac{\mu_0 i_a^2 l}{6 \pi d_1}$ થાય.

(C) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈપણ આકારના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ શરૂઆતના બિંદુ $A$ થી અંતિમ બિંદુ $B$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
જ્યારથી બિંદુઓ $A$ અને $B$ નિશ્ચિત છે,ત્યારે સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}$ એ બે બિંદુઓ વચ્ચે તાર દ્વારા લેવાયેલા માર્ગ (આકાર) ને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન રહે છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ $I$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$,અને નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેના સીધી રેખાના સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}$ પર આધાર રાખે છે. તે તારના વાસ્તવિક આકારથી સ્વતંત્ર છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F = I \vec{L}_{eff} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L_{eff}$ એ તારના બે છેડાઓ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ (સ્થાનાંતર સદિશ) છે。
$R$ ત્રિજ્યાના અર્ધ-વર્તુળાકાર લૂપ માટે, અસરકારક લંબાઈ એ વ્યાસ જેટલી હોય છે, $L_{eff} = 2R$.
આપેલ છે: $R = 30 \,cm = 0.3 \,m$, $I = 6 \,A$, $B = 0.5 \,T$.
અસરકારક લંબાઈ $L_{eff} = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ હોવાથી, અસરકારક લંબાઈ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે。
તેથી, બળનું મૂલ્ય $F = I L_{eff} B \sin(90^{\circ})$ થશે。
$F = 6 \,A \times 0.6 \,m \times 0.5 \,T \times 1 = 1.8 \,N$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = \int I (d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $B = B_0 (1 + \frac{xy}{L^2}) \hat{k}$.
વિભાગ $AB$ $(x=0, y: 0 \to L)$ માટે: $\vec{B} = B_0(1+0)\hat{k} = B_0\hat{k}$. $d\vec{l} = dy\hat{j}$. $\vec{F}_{AB} = \int_0^L I(dy\hat{j} \times B_0\hat{k}) = I B_0 L \hat{i}$.
વિભાગ $BC$ $(y=L, x: 0 \to L)$ માટે: $\vec{B} = B_0(1+\frac{xL}{L^2})\hat{k} = B_0(1+\frac{x}{L})\hat{k}$. $d\vec{l} = dx\hat{i}$. $\vec{F}_{BC} = \int_0^L I(dx\hat{i} \times B_0(1+\frac{x}{L})\hat{k}) = -I B_0 \int_0^L (1+\frac{x}{L}) dx \hat{j} = -I B_0 [x + \frac{x^2}{2L}]_0^L \hat{j} = -\frac{3}{2} I B_0 L \hat{j}$.
વિભાગ $CD$ $(x=L, y: L \to 0)$ માટે: $\vec{B} = B_0(1+\frac{Ly}{L^2})\hat{k} = B_0(1+\frac{y}{L})\hat{k}$. $d\vec{l} = dy(-\hat{j})$. $\vec{F}_{CD} = \int_L^0 I(dy(-\hat{j}) \times B_0(1+\frac{y}{L})\hat{k}) = -I B_0 \int_L^0 (1+\frac{y}{L}) dy \hat{i} = I B_0 [y + \frac{y^2}{2L}]_0^L \hat{i} = \frac{3}{2} I B_0 L \hat{i}$.
વિભાગ $DA$ $(y=0, x: L \to 0)$ માટે: $\vec{B} = B_0(1+0)\hat{k} = B_0\hat{k}$. $d\vec{l} = dx(-\hat{i})$. $\vec{F}_{DA} = \int_L^0 I(dx(-\hat{i}) \times B_0\hat{k}) = -I B_0 \int_L^0 dx \hat{j} = I B_0 L \hat{j}$.
કુલ બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{CD} + \vec{F}_{DA} = (I B_0 L + \frac{3}{2} I B_0 L)\hat{i} + (I B_0 L - \frac{3}{2} I B_0 L)\hat{j} = \frac{5}{2} I B_0 L \hat{i} - \frac{1}{2} I B_0 L \hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = \sqrt{(\frac{5}{2} I B_0 L)^2 + (-\frac{1}{2} I B_0 L)^2} = \frac{I B_0 L}{2} \sqrt{25+1} = \frac{\sqrt{26}}{2} I B_0 L$.