Force on a Current Carrying Conductor Questions in Gujarati

(D) નાના પ્રવાહ ખંડ $dl$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = i(dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $i$ રીંગની પરિઘ પર વહે છે અને ચુંબકીયક્ષેત્ર $B$ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ છે.
રીંગ પરના કોઈપણ બિંદુએ,પ્રવાહ ખંડ $dl$ એ રીંગને સ્પર્શક છે,જ્યારે ચુંબકીયક્ષેત્ર $B$ ત્રિજ્યાવર્તી છે.
તેથી,$dl$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
નાના ખંડ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $dF = i \cdot dl \cdot B \cdot \sin(90^\circ) = i B dl$ છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ બળની દિશા સ્પર્શક અને ત્રિજ્યાવર્તી દિશા બંનેને લંબ છે,એટલે કે તે રીંગના સમતલને લંબ (સમતલની બહાર) છે.
ચુંબકીયક્ષેત્ર સંમિત હોવાથી અને બધે જ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ હોવાથી,વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ પર લાગતા બળો સમાન મૂલ્યના અને એક જ દિશામાં (સમતલની બહાર) હશે.
આખી રીંગ પરના બળોનો સદિશ સરવાળો કરતા: $F = \int dF = \int i B dl = i B \int dl = i B (2 \pi a) = 2 \pi i a B$.

(C) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = i(\vec{L} \times \vec{B}) = iLB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ લંબાઈ સદિશ $\vec{L}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તાર $ab$ માટે: લંબાઈ $l$ છે અને તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ છે (એટલે કે,$\theta = 90^o$).
$F_1 = i l B \sin 90^o = i l B$.
તાર $bc$ માટે: લંબાઈ $l' = \frac{l}{\cos 45^o} = l\sqrt{2}$ છે. તાર $bc$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^o$ છે.
$F_2 = i l' B \sin 45^o = i (l\sqrt{2}) B \sin 45^o = i (l\sqrt{2}) B \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = i l B$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = \frac{i l B}{i l B} = 1$ થાય.

(B) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F}{l} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }} \cdot \frac{{2{i_1}{i_2}}}{r}$
અહીં,${i_1} = 10 \text{ A}$,${i_2} = 5 \text{ A}$,અને $r = 0.1 \text{ m}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F}{l} = {10^{ - 7}} \times \frac{{2 \times 10 \times 5}}{{0.1}} = {10^{ - 7}} \times \frac{{100}}{{0.1}} = {10^{ - 7}} \times 1000 = {10^{ - 4}} \text{ N/m}$.
આમ,લાગતું બળ ${10^{ - 4}} \text{ N/m}$ નું અપાકર્ષણ બળ છે.

(A) બીજા સમાંતર તારને કારણે પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાજુ $AB$ માટે ($r_1 = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$ અંતરે):
$F_{AB} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 15 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}} = 30 \times 10^{-7} \, N$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ).
બાજુ $CD$ માટે ($r_2 = 2 \, cm + 10 \, cm = 12 \, cm = 12 \times 10^{-2} \, m$ અંતરે):
$F_{CD} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 15 \times 10^{-2}}{12 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^{-7} \, N$ (અપાકર્ષી,જમણી તરફ).
કુલ બળ $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = 30 \times 10^{-7} - 5 \times 10^{-7} = 25 \times 10^{-7} \, N$ ડાબી તરફ.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલ બંધ વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}_{net} = I(\oint d\overrightarrow{l}) \times \overrightarrow{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ બંધ હોવાથી,લંબાઈના ઘટકોનો સદિશ સરવાળો $\oint d\overrightarrow{l} = 0$ થાય છે,તેથી $\overrightarrow{F}_{net} = 0$ થાય.
ધારો કે ચોરસ લૂપની ચાર બાજુઓ પર લાગતા બળો $\overrightarrow{F}_1, \overrightarrow{F}_2, \overrightarrow{F}_3$ અને $\overrightarrow{F}_4$ છે.
લૂપ પર લાગતું પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}_1 + \overrightarrow{F}_2 + \overrightarrow{F}_3 + \overrightarrow{F}_4 = 0$ છે.
આપેલ છે કે એક બાજુ પરનું બળ $\overrightarrow{F}_1 = \overrightarrow{F}$ છે,તેથી બાકીની ત્રણ બાજુઓ પરના બળોનો સરવાળો $\overrightarrow{F}_2 + \overrightarrow{F}_3 + \overrightarrow{F}_4 = -\overrightarrow{F}_1 = -\overrightarrow{F}$ થાય.

(A) ધારો કે ચોરસ લૂપની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. લાંબા સીધા વાયર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}$ છે.
પ્રવાહ ધારિત વાયર પર લાગતું બળ $F = I \int (dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. લૂપનો ઉપરનો ભાગ ($d$ અંતરે) $I_1$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં $I$ પ્રવાહ ધરાવે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ ભાગ પર લાગતું બળ વાયર તરફ આકર્ષી છે: $F_{top} = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi d} \times a$ (ઉપરની તરફ).
$2$. લૂપનો નીચેનો ભાગ ($d+a$ અંતરે) $I_1$ ની સમાન દિશામાં $I$ પ્રવાહ ધરાવે છે. આ ભાગ પર લાગતું બળ વાયરથી દૂર અપાકર્ષી છે: $F_{bottom} = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi (d+a)} \times a$ (નીચેની તરફ).
$3$. લૂપના બે ઊભા ભાગો સમાન અને વિરુદ્ધ બળો અનુભવે છે,તેથી તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે.
$d < d+a$ હોવાથી,આકર્ષી બળ $F_{top}$ એ અપાકર્ષી બળ $F_{bottom}$ કરતા વધારે છે.
તેથી,ચોખ્ખું બળ વાહક તરફ આકર્ષી છે.

(B) લાંબા સીધા વાહકની નજીક રહેલા પ્રવાહધારિત વાયર પર લાગતું બળ $F = \frac{{\mu _0}IiL}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયરની સૌથી નજીકની લૂપની બાજુ માટે (અંતર $r_1 = L/2$),પ્રવાહ $XY$ વાયરની દિશામાં જ વહે છે. તેથી બળ $F_1$ આકર્ષી પ્રકારનું છે:
$F_1 = \frac{{\mu _0}IiL}{2\pi (L/2)} = \frac{{\mu _0}Ii}{\pi}$.
વાયરથી સૌથી દૂરની લૂપની બાજુ માટે (અંતર $r_2 = L/2 + L = 3L/2$),પ્રવાહ $XY$ વાયરની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે. તેથી બળ $F_2$ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે:
$F_2 = \frac{{\mu _0}IiL}{2\pi (3L/2)} = \frac{{\mu _0}Ii}{3\pi}$.
લૂપની ઉપરની અને નીચેની બાજુઓ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{{\mu _0}Ii}{\pi} - \frac{{\mu _0}Ii}{3\pi} = \frac{{\mu _0}Ii}{\pi} (1 - 1/3) = \frac{2{\mu _0}Ii}{3\pi}$.

(C) અંતરે રહેલા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ છે.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.
તાર $B$ પર તાર $A$ તરફ આકર્ષી બળ $F_{AB}$ અને તાર $C$ તરફ આકર્ષી બળ $F_{BC}$ લાગે છે.
તેમના મૂલ્યો $F_{AB} = F_{BC} = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ (એકમ લંબાઈ દીઠ) છે.
તાર $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગોઠવાયેલા હોવાથી,સદિશ $\vec{F}_{AB}$ અને $\vec{F}_{BC}$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી બળ $f_{\text{net}}$ એ સદિશ સરવાળો છે: $f_{\text{net}} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{2} F_{BC}$.
કિંમત મૂકતા: $f_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}} \right) = \frac{{\mu _0}{I^2}}{{\sqrt 2 \pi d}}$.

(B) લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $L$ લંબાઈના પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું બળ $F = BiL$ છે.
ચોરસ લૂપ માટે,તાર $XY$ ને સમાંતર બાજુઓ પર બળ લાગે છે,જ્યારે તારને લંબ બાજુઓ પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લાગે છે જે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$1$. તારની નજીકની બાજુ પર બળ (અંતર $r_1 = L/2$):
$F_1 = \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (L/2)} \right) i L = \frac{\mu_0 Ii}{\pi}$. આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે (તાર તરફ).
$2$. તારથી દૂરની બાજુ પર બળ (અંતર $r_2 = L/2 + L = 3L/2$):
$F_2 = \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (3L/2)} \right) i L = \frac{\mu_0 Ii}{3\pi}$. આ બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે (તારથી દૂર).
પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{\mu_0 Ii}{\pi} - \frac{\mu_0 Ii}{3\pi} = \frac{2\mu_0 Ii}{3\pi}$.

(C) ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg \sin 30^{\circ}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = IlB$ છે,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે. ઢળતા સમતલની ઉપરની તરફ લાગતો આ ચુંબકીય બળનો ઘટક $F_{m, \text{up}} = IlB \cos 30^{\circ}$ છે.
સળિયાને સ્થિર રાખવા માટે,ઢળતા સમતલ પરના બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$mg \sin 30^{\circ} = IlB \cos 30^{\circ}$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$I = \frac{mg}{lB} \tan 30^{\circ}$
અહીં એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\frac{m}{l} = 0.5\; kg\; m^{-1}$,$B = 0.25\; T$,અને $g = 9.8\; m/s^2$ આપેલ છે:
$I = \frac{0.5 \times 9.8}{0.25} \times \tan 30^{\circ}$
$I = 2 \times 9.8 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$I = \frac{19.6}{1.732} \approx 11.32\; A$

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ શરૂઆતના બિંદુ $L$ થી અંતિમ બિંદુ $N$ સુધીનો અસરકારક લંબાઈ સદિશ છે.
ભૂમિતિ પરથી,આડું સ્થાનાંતર $6 \, cm$ છે અને કુલ ઊભું સ્થાનાંતર $4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$ છે.
અસરકારક લંબાઈ $L_{eff} = \sqrt{(6 \, cm)^2 + (8 \, cm)^2} = \sqrt{36 + 64} \, cm = \sqrt{100} \, cm = 10 \, cm = 0.1 \, m$ થાય.
બળનું મૂલ્ય $F = B I L_{eff} = 5 \, T \times 10 \, A \times 0.1 \, m = 5 \, N$ મળે છે.

(C) બીજા તારને હવામાં તરતો રાખવા માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પ્રથમ તાર દ્વારા લાગતા ઉપરની તરફના ચુંબકીય બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$1$. એકમ લંબાઈ દીઠ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g/l = (m/l)g = 10^{-2} \times 9.8 = 0.098\, N/m$ છે.
$2$. બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $F_m/l = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2 i_1 i_2}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. બંને બળોને સરખાવતા: $(m/l)g = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2 i_1 i_2}{a}$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $10^{-2} \times 9.8 = 10^{-7} \times \frac{2 \times 200 \times i}{2 \times 10^{-2}}$.
$5$. $i$ માટે ઉકેલતા: $0.098 = 10^{-7} \times \frac{400 i}{0.02} = 10^{-7} \times 20000 i = 2 \times 10^{-3} i$.
$6$. $i = \frac{0.098}{2 \times 10^{-3}} = 49\, A$.
$7$. ગુરુત્વાકર્ષણનો સામનો કરવા માટે ચુંબકીય બળ ઉપરની તરફ (અપાકર્ષી) હોવું જોઈએ,તેથી બે સમાંતર તારોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેવો જોઈએ.

(B) ધારો કે લૂપનું દળ $m$ છે. લૂપની નીચેની ધાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = IaB$ છે.
શરૂઆતમાં,ધારો કે પ્રવાહ એવી રીતે વહે છે કે ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગે છે. સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $F_1 = mg + IaB$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું નવું રીડિંગ $F_2 = mg - IaB$ છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સના રીડિંગમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_1 - F_2 = (mg + IaB) - (mg - IaB) = 2IaB$ છે.

(C) તાર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,દરેક તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન છે. દરેક તારમાં વહેતો પ્રવાહ $i = V/R$ દ્વારા મળે છે. અવરોધનો ગુણોત્તર $R_1 : R_2 : R_3 = 3 : 4 : 5$ હોવાથી,પ્રવાહનો ગુણોત્તર $i_1 : i_2 : i_3 = 1/3 : 1/4 : 1/5$ થશે.
ધારો કે $i_1 = k/3$,$i_2 = k/4$,અને $i_3 = k/5$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F = \frac{\mu_0 i_a i_b}{2\pi r}$ છે.
વચ્ચેના તાર પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થવા માટે,ઉપરના તાર દ્વારા લાગતું બળ અને નીચેના તાર દ્વારા લાગતું બળ સમાન હોવું જોઈએ: $\frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi r_1} = \frac{\mu_0 i_3 i_2}{2\pi r_2}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{i_1}{r_1} = \frac{i_3}{r_2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{i_1}{i_3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{k/3}{k/5} = \frac{5}{3}$.
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $5 : 3$ છે.

(D) વાહક $EF$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{mag} = i(\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં છે અને વાહક $EF$ ઢળતી સપાટી પર હોવાથી,લંબાઈ સદિશ $\vec{l}$ ($EF$ ની દિશામાં) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ છે.
ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F_{mag} = i l B \sin(90^\circ - \theta) = i l B \cos \theta$ થાય.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય બળ ઢળતી સપાટી પર ઉપરની તરફ લાગે તે માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ એ $E$ થી $F$ તરફ વહેવો જોઈએ.
ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
વાહક સંતુલનમાં રહે તે માટે,ચુંબકીય બળે ઢાળ પરના વજનના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$i l B \cos \theta = mg \sin \theta$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$i l B = mg \tan \theta$.
આમ,સંતુલન માટે $(A)$ અને $(B)$ બંને શરતો જરૂરી છે.

(A) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $l$ લંબાઈના વાહક $EF$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = i(\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં હોવાથી અને વાહક ઢળતી સપાટી પર હોવાથી,બળ $F_m$ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે. આ બળનું મૂલ્ય $F_m = Bil$ છે.
વાહક સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઢાળની દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વાહક પર લાગતા બળો:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ચુંબકીય બળ $F_m = Bil$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
$3$. રેલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ જે ઢાળને લંબ છે.
ઢાળની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઢાળની દિશામાં ઘટક $mg\, \sin\, \theta$ (નીચેની તરફ) છે.
ચુંબકીય બળનો ઢાળની દિશામાં ઘટક $F_m\, \cos\, \theta = Bil\, \cos\, \theta$ (ઉપરની તરફ) છે.
સંતુલન માટે,$Bil\, \cos\, \theta = mg\, \sin\, \theta$.
તેથી,$Bil = mg\, \frac{\sin\, \theta}{\cos\, \theta} = mg\, \tan\, \theta$.

(C) $1$. શરૂઆતમાં,સળિયો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્પ્રિંગ બળ હેઠળ સંતુલનમાં છે. ધારો કે દરેક સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે. બે સ્પ્રિંગ દ્વારા કુલ ઉપરનું બળ $2kx_0 = mg$ છે,તેથી $k = \frac{mg}{2x_0}$.
$2$. જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયા પર ચુંબકીય બળ $F_m = ILB$ લાગે છે. સળિયામાં પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R}$ છે.
$3$. સ્પ્રિંગ વધારાના $x_0$ અંતરે ખેંચાય છે,એટલે કે કુલ ખેંચાણ $2x_0$ છે. નવી સંતુલન સ્થિતિ $2k(2x_0) = mg + F_m$ છે.
$4$. સમીકરણમાં $2kx_0 = mg$ મૂકતા: $2(2kx_0) = 2mg = mg + F_m$,જે સૂચવે છે કે $F_m = mg$.
$5$. કારણ કે $F_m = ILB = \frac{\varepsilon}{R}LB = mg$,તેથી $B = \frac{mgR}{\varepsilon L}$.
$6$. ખેંચાણ વધારવા માટે,ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગવું જોઈએ. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોવું જોઈએ.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,તાર બિંદુ $A(2, 2)$ થી શરૂ થાય છે અને બિંદુ $B(2, -2)$ પર પૂર્ણ થાય છે.
તેથી,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{eff} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (2\hat{i} - 2\hat{j}) - (2\hat{i} + 2\hat{j}) = -4\hat{j} \, m$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 2 \, A$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = -4\hat{k} \, T$ છે.
આ કિંમતોને બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{F} = 2 \, A \times (-4\hat{j} \, m) \times (-4\hat{k} \, T)$
$\vec{F} = 2 \times (-4) \times (-4) \times (\hat{j} \times \hat{k})$
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\vec{F} = 32\hat{i} \, N$.

(B) નાના વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $I d\vec l$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $d\vec F = I (d\vec l \times \vec B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x-y$ સમતલમાં રહેલા અર્ધવર્તુળાકાર તાર માટે, ખૂણા $\theta$ (ઋણ $x$-અક્ષથી માપતા) પરનો નાનો ખંડ $d\vec l = R d\theta (\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j)$ છે.
આ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = \frac{B_o x}{2R} \hat k = \frac{B_o (-R \cos \theta)}{2R} \hat k = -\frac{B_o \cos \theta}{2} \hat k$ છે.
હવે, $d\vec F = I [R d\theta (\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j)] \times [-\frac{B_o \cos \theta}{2} \hat k]$.
$d\vec F = -\frac{I B_o R}{2} \cos \theta d\theta [\cos \theta (\hat i \times \hat k) + \sin \theta (\hat j \times \hat k)]$.
કારણ કે $\hat i \times \hat k = -\hat j$ અને $\hat j \times \hat k = \hat i$, તેથી:
$d\vec F = -\frac{I B_o R}{2} [-\cos^2 \theta \hat j + \sin \theta \cos \theta \hat i] d\theta$.
$\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$F_x = -\frac{I B_o R}{2} \int_0^{\pi} \sin \theta \cos \theta d\theta = -\frac{I B_o R}{4} \int_0^{\pi} \sin(2\theta) d\theta = 0$.
$F_y = \frac{I B_o R}{2} \int_0^{\pi} \cos^2 \theta d\theta = \frac{I B_o R}{2} \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{I B_o R}{4} [\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = \frac{I B_o R \pi}{4}$.
બળ ધન $y$-દિશામાં હોવાથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ પર એક નાનો પ્રવાહ ખંડ $dl$ ધ્યાનમાં લો. આ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,અને પ્રવાહ ખંડ $dl$ એ ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને શિરોલંબ અક્ષ ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
ચુંબકીય બળના સૂત્ર મુજબ,$dF = I(dl \times B)$.
બળનું મૂલ્ય $dF = I dl B \sin(90^\circ) = I B dl$ છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ બળ $dF$ ની દિશા શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે,જે શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
લૂપની સમપ્રમાણતાને કારણે,વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં રહેલા ખંડો પરના બળના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
દરેક ખંડ $dl$ પરના બળનો શિરોલંબ ઘટક $dF_v = dF \cos\theta = I B dl \cos\theta$ છે.
લૂપના સમગ્ર પરિઘ (લંબાઈ $2\pi a$) પર સંકલન કરતા:
$F_{net} = \int dF_v = \int_0^{2\pi a} I B \cos\theta dl = I B \cos\theta \int_0^{2\pi a} dl = I B \cos\theta (2\pi a) = 2\pi aIB \cos\theta$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'આપેલ પૈકી કોઈ નહીં' છે.

(D) વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = I l B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
$I = \frac{dq}{dt}$ હોવાથી,વાહકને મળતો આઘાત $J = \int F dt = \int (I l B) dt = l B \int I dt = l B q$ થાય,જ્યાં $q$ એ કુલ પસાર થયેલ વિદ્યુતભાર છે.
આ આઘાત વાહકને પ્રારંભિક વેગ $v_0$ આપે છે જેથી $J = m v_0$ થાય.
આઘાતના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m v_0 = q l B$,જે આપણને $v_0 = \frac{q l B}{m}$ આપે છે.
શિરોલંબ ગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 - 2gh$. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ $0$ છે,તેથી $0 = v_0^2 - 2gh$,જેનો અર્થ છે કે $v_0 = \sqrt{2gh}$.
$v_0$ ની કિંમત આઘાતના સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{2gh} = \frac{q l B}{m}$.
$q$ માટે ઉકેલતા,આપણને $q = \frac{m \sqrt{2gh}}{l B}$ મળે છે.

(B) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,લાંબા સીધા તાર $AB$ દ્વારા કાગળના સમતલમાં કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ લંબરૂપે અંદરની તરફ (કાગળની અંદર) હોય છે.
તાર $CD$ પરના કોઈપણ નાના વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $Idl$ માટે,બળ $dF = I(dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની દિશા સમાન હોવાથી (સમતલને લંબ),તાર $CD$ પરનું કુલ બળ તેના ભાગો પર લાગતા બળોના સદિશ સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.
$AB$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં તાર $CD$ ની સમપ્રમાણતાને કારણે,$CD$ ના બે ભાગો પર લાગતા બળોના આડા ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$CD$ ના બંને ભાગો પરના બળોના ઊભા ઘટકો તાર $AB$ તરફ (ડાબી તરફ) હોય છે,કારણ કે $CD$ ના બંને ભાગોમાં પ્રવાહ $AB$ ને સમાંતર ઘટક ધરાવે છે અથવા એવી રીતે ગોઠવાયેલ છે કે જેથી સદિશ ગુણાકાર $dl \times B$ ડાબી તરફ બળ આપે છે.
તેથી,તાર $CD$ પરનું કુલ બળ ડાબી તરફની દિશામાં હોય છે.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ ધરાવતા તારના ટુકડા પર લાગતું બળ $F = i(L \times B)$ છે.
બાજુ $AB$ માટે (અંતર $r_1 = L/2$ પર): પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ છે. બળ $F_1$ તાર તરફ આકર્ષણ બળ છે.
$F_1 = i L B_1 = i L \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (L/2)} \right) = \frac{\mu_0 Ii}{\pi}$.
બાજુ $CD$ માટે (અંતર $r_2 = L/2 + L = 3L/2$ પર): પ્રવાહ નીચેની તરફ વહે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ છે. બળ $F_2$ તારથી દૂર અપાકર્ષણ બળ છે.
$F_2 = i L B_2 = i L \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (3L/2)} \right) = \frac{\mu_0 Ii}{3\pi}$.
બાજુઓ $BC$ અને $AD$ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{\mu_0 Ii}{\pi} - \frac{\mu_0 Ii}{3\pi} = \frac{\mu_0 Ii}{\pi} (1 - 1/3) = \frac{2\mu_0 Ii}{3\pi}$.

(D) રીંગના $\theta$ ખૂણે $dl = r \, d\theta$ લંબાઈના નાના ખંડનો વિચાર કરો. આ ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = I \, dl \, B = I \, r \, d\theta \, B$ છે,જે ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં લાગે છે.
તણાવબળ $T$ શોધવા માટે,રીંગના અર્ધવર્તુળાકાર ભાગનો વિચાર કરો. અર્ધવર્તુળ પર લાગતું કુલ બહારની દિશાનું બળ એ દરેક ખંડ પર લાગતા બળના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટકોનું સંકલન છે.
અર્ધવર્તુળ પર લાગતું કુલ બહારનું બળ $F_{net} = \int_{0}^{\pi} (I \, r \, B \, d\theta) \sin \theta = I \, r \, B [-\cos \theta]_{0}^{\pi} = 2 \, I \, r \, B$ દ્વારા મળે છે.
આ બહારની દિશાનું બળ અર્ધવર્તુળના બે છેડાઓ પર લાગતા તણાવબળ $T$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$2T = F_{net} = 2 \, I \, r \, B$.
આમ,$T = I \, r \, B$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T = 100 \, A \times 0.5 \, m \times 0.2 \, T = 10 \, N$.

(A) અંતરે રહેલા $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે લાંબા સમાંતર વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$I_1 = 2\,\text{A}$ અને $I_2 = 2\,\text{A}$ છે,તેથી $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \times 2 \times 2}{d} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8}{d}$.
જ્યારે દરેક વાહકમાં વિદ્યુતપ્રવાહ બદલીને $1\,\text{A}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું બળ $F^{\prime} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \times 1 \times 1}{d} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2}{d}$ થાય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$F^{\prime} = F/4$.
કારણ કે બંને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવી છે,તેથી વિદ્યુતપ્રવાહની સાપેક્ષ દિશા સમાન રહે છે (બંને હજુ પણ સમાંતર છે). તેથી,બળનો પ્રકાર (આકર્ષી કે અપાકર્ષી) બદલાતો નથી અને દરેક વાહક પરના બળની દિશા પણ બદલાતી નથી.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ થી દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ તરફ એટલે કે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ (ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં,એટલે કે $-\hat{i}$) હોય છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ કાગળના સમતલની બહારની તરફ (ધન $z$-અક્ષની દિશામાં,એટલે કે $+\hat{k}$) વહે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i(\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{l}$ એ વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં $(+\hat{k})$ છે અને $\vec{B} = -B\hat{i}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\vec{F} = i(l\hat{k} \times -B\hat{i}) = -ilB(\hat{k} \times \hat{i}) = -ilB\hat{j}$.
જેમ કે $+\hat{j}$ એ $P$ તરફ છે,તેથી $-\hat{j}$ દિશા $Q$ તરફ છે.
તેથી,વાહક $Q$ તરફની દિશામાં બળ અનુભવશે.

(D) કોઈપણ આકારના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ શરૂઆતના બિંદુ $A$ થી અંતિમ બિંદુ $E$ ને જોડતો અસરકારક લંબાઈ સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ અને $E$ વચ્ચેનું અંતર $x$-અક્ષ પર $\lambda$ છે. તેથી,$\vec{L}_{eff} = \lambda \hat{i}$.
$1$. જો $\vec{B} = B\hat{i}$ હોય,તો $\vec{F} = i(\lambda \hat{i} \times B\hat{i}) = 0$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે)
$2$. જો $\vec{B} = B\hat{j}$ હોય,તો $\vec{F} = i(\lambda \hat{i} \times B\hat{j}) = \lambda Bi \hat{k}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે)
$3$. જો $\vec{B} = B\hat{k}$ હોય,તો $\vec{F} = i(\lambda \hat{i} \times B\hat{k}) = -\lambda Bi \hat{j}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે)
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) $1$. ઉગમબિંદુ પર રહેલા $I_1$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $O$ ને કેન્દ્રિત વર્તુળોને સ્પર્શક હોય છે.
$2$. સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ માટે,પ્રવાહ ખંડ $I \vec{dl}$ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં હોય છે. $\vec{B}$ સ્પર્શક હોવાથી,$\vec{dl} \perp \vec{B}$,તેથી આ વિભાગો પર બળ લાગે છે.
$3$. ચાપ $AD$ અને $BC$ માટે,પ્રવાહ ખંડ $I \vec{dl}$ ચાપને સ્પર્શક હોય છે,જે $O$ પરના તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર છે.
$4$. $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ હોવાથી અને $\vec{dl} \parallel \vec{B}$ હોવાથી,ચાપ $AD$ અને $BC$ પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.
$5$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = 3 \hat{a}_z \ m$ છે અને પ્રવાહ $I = 10 \ A$ એ $-\hat{a}_z$ દિશામાં છે,તેથી $\vec{L} = -3 \hat{a}_z \ m$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = 10 \times (-3 \hat{a}_z \times 3.0 \times 10^{-4} e^{-0.2x} \hat{a}_y) = -30 \times 3.0 \times 10^{-4} e^{-0.2x} (\hat{a}_z \times \hat{a}_y) = -90 \times 10^{-4} e^{-0.2x} (-\hat{a}_x) = 9.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} \hat{a}_x \ N$.
વાહકને અચળ ઝડપે ખસેડવા માટે,બાહ્ય બળ $\vec{F}_{ext} = -\vec{F} = -9.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} \hat{a}_x \ N$ લગાડવું આવશ્યક છે.
વાહકને $x = 0$ થી $x = 2.0 \ m$ સુધી ખસેડવામાં થયેલ કાર્ય $W$ છે:
$W = \int_{0}^{2} |F_{ext}| dx = \int_{0}^{2} 9.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} dx$
$W = 9.0 \times 10^{-3} \left[ \frac{e^{-0.2x}}{-0.2} \right]_{0}^{2} = \frac{9.0 \times 10^{-3}}{0.2} (1 - e^{-0.4}) = 45 \times 10^{-3} (1 - 0.6703) = 45 \times 10^{-3} \times 0.3297 \approx 14.836 \times 10^{-3} \ J$.
જરૂરી પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{14.836 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}} = 2.967 \ W \approx 2.97 \ W$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
તારનું સમીકરણ $y = 2x - x^2$ છે.
અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$0 = 2x - x^2 = x(2 - x)$
આનાથી $x = 0$ અને $x = 2$ મળે છે.
તેથી,તાર $(0, 0)$ થી શરૂ થાય છે અને $(2, 0)$ પર સમાપ્ત થાય છે.
અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{eff} = (2 - 0)\hat{i} = 2\hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = -B_0 \hat{k}$ છે.
હવે,બળની ગણતરી કરીએ:
$\vec{F} = I(2\hat{i} \times -B_0 \hat{k})$
$\vec{F} = -2B_0I (\hat{i} \times \hat{k})$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,આપણને મળે છે:
$\vec{F} = -2B_0I (-\hat{j}) = 2B_0I \hat{j}$.
પરિણામ $+\hat{j}$ દિશામાં હોવાથી,બળ ઉપરની તરફ લાગે છે.

(B) રક્તના પ્રવાહ ધરાવતા વિભાગ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = I h B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે, $h$ એ નળીની ઊંચાઈ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે।
પ્રવાહ $I$ ને પ્રવાહ ઘનતા $J$ અને જે વિસ્તારમાંથી પ્રવાહ વહે છે તે ક્ષેત્રફળ $A_{cs} = L \times \omega$ ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. આમ, $I = J(L \times \omega)$.
બળના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $F = (J L \omega) h B$.
દબાણનો વધારો $P$ એ પ્રવાહની દિશાને લંબ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. પ્રવાહને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times \omega$ છે.
તેથી, દબાણનો વધારો $P = \frac{F}{A} = \frac{J L \omega h B}{L \omega} = J h B$. આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec F = I \int d\vec l \times \vec B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x, 0)$,$(x+l, 0)$,$(x+l, l)$,અને $(x, l)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ લૂપ ધ્યાનમાં લો.
બે શિરોલંબ બાજુઓ માટે ($y$-અક્ષને સમાંતર):
$1$. $x_1 = x$ પર,$\vec B_1 = B_0 [1 + \frac{x}{l}] \hat k$. બળ $\vec F_1 = I_0 (l \hat j) \times (B_0 [1 + \frac{x}{l}] \hat k) = I_0 l B_0 [1 + \frac{x}{l}] \hat i$ છે.
$2$. $x_2 = x+l$ પર,$\vec B_2 = B_0 [1 + \frac{x+l}{l}] \hat k = B_0 [2 + \frac{x}{l}] \hat k$. બળ $\vec F_2 = I_0 (-l \hat j) \times (B_0 [2 + \frac{x}{l}] \hat k) = -I_0 l B_0 [2 + \frac{x}{l}] \hat i$ છે.
બે આડી બાજુઓ માટે ($x$-અક્ષને સમાંતર):
ઉપરની અને નીચેની બાજુઓ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર $x$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ $\vec F_{net} = \vec F_1 + \vec F_2 = I_0 l B_0 [1 + \frac{x}{l} - 2 - \frac{x}{l}] \hat i = -I_0 l B_0 \hat i$ છે.
કુલ ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $|\vec F_{net}| = I_0 B_0 l$ છે.

(C) અનંત પ્રવાહ શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન અને શીટને સમાંતર હોય છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,સમતલની બહાર વહેતા પ્રવાહ માટે (ટપકાં દ્વારા દર્શાવેલ),ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શીટની જમણી બાજુના વિસ્તારમાં ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
ચોરસ લૂપમાં,પ્રવાહ ઘડિયાળની દિશામાં વહે છે. ધારો કે લૂપની બાજુઓ $l_1$ (શીટની નજીક),$l_2$ (શીટથી દૂર),$l_3$ (ઉપર),અને $l_4$ (નીચે) છે.
તાર પરનું ચુંબકીય બળ $F = I(L \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. ઉપરની અને નીચેની બાજુઓ ($l_3$ અને $l_4$) માટે,બળો સમાન અને વિરુદ્ધ છે,જેના પરિણામે શિરોલંબ દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય થાય છે.
$2$. બાજુ $l_1$ (શીટની નજીક) માટે,પ્રવાહ નીચેની તરફ વહે છે. બળ $F_1 = I(l_1 \times B)$ શીટથી દૂરની દિશામાં (અપાકર્ષક) લાગે છે.
$3$. બાજુ $l_2$ (શીટથી દૂર) માટે,પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહે છે. બળ $F_2 = I(l_2 \times B)$ શીટ તરફની દિશામાં (આકર્ષક) લાગે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,શિરોલંબ બાજુઓ પરના બળોના મૂલ્યો સમાન છે $(F_1 = F_2)$. જો કે,લૂપ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હોવાથી,લૂપ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે. આમ,લૂપ સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં રહે છે.

(B) સળિયા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને ચુંબકીય બળ $F_m = ilB$ (ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ ઉપરની તરફ) છે.
સળિયા પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = ilB - mg$ (ઉપરની તરફ) છે.
સળિયો સંતુલનમાં હોવાથી,બે સ્પ્રિંગોએ પરિણામી બળ જેટલું પુનઃસ્થાપક બળ પૂરું પાડવું જોઈએ. ધારો કે દરેક સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x$ છે. બે સ્પ્રિંગો દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતું કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $2Kx$ છે.
બળોને સરખાવતા: $2Kx = ilB - mg$.
વિસ્તરણ $x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{ilB - mg}{2K}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં દરેક સ્પ્રિંગની લંબાઈ $l = l_0 + x$ છે.
$x$ ની કિંમત મૂકતા: $l = l_0 + \frac{ilB - mg}{2K}$.

(A) પ્રવાહધારિત તારના ટુકડા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
$PQR$ સેગમેન્ટ માટે,શરૂઆતનું બિંદુ $P$ છે અને અંતિમ બિંદુ $R$ છે. તેથી,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = \vec{PR}$ છે.
બળનું મૂલ્ય $F = I L_{PR} B \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{PR}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ભૂમિતિ પરથી,$PR = PQ \tan(60^\circ) = PQ \sqrt{3}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ જમણી તરફ છે. સદિશ $\vec{PR}$ પણ આડી (જમણી તરફ) છે. તેથી,$\vec{PR}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
$\sin(0^\circ) = 0$ હોવાથી,$PR$ સેગમેન્ટ પર લાગતું બળ $0$ થાય.
પરંતુ પ્રશ્ન $PQR$ સેગમેન્ટ પરના બળ વિશે છે. કોઈપણ આકારના તાર માટે બળ તેના અસરકારક સ્થાનાંતર સદિશ પર આધાર રાખે છે. $PQR$ માટે અસરકારક સ્થાનાંતર $\vec{PR}$ છે,જે $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી કુલ બળ $0$ થાય છે.

(D) લાંબા સીધા તાર કે જેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે તેનાથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0}I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષૈતિજ તારથી $r$ અંતરે રહેલા ઉભી તારના $dr$ લંબાઈના નાના ખંડનો વિચાર કરો. આ ખંડ પર લાગતું બળ $dF = i(dr)B = i(dr)\left( \frac{{\mu _0}I}{2\pi r} \right)$ છે.
કુલ બળ $F$ મેળવવા માટે આ પદનું $r = x$ થી $r = x + l$ સુધી સંકલન કરતા:
$F = \int_{x}^{x+l} \frac{{\mu _0}iI}{2\pi r} dr = \frac{{\mu _0}iI}{2\pi} \int_{x}^{x+l} \frac{dr}{r}$
$F = \frac{{\mu _0}iI}{2\pi} [\ln(r)]_{x}^{x+l} = \frac{{\mu _0}iI}{2\pi} \ln \left( \frac{x+l}{x} \right)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સૂત્ર આપેલ વિકલ્પોમાં નથી,તેથી જવાબ $D$ છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec F = I(\vec L \times \vec B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબચોરસ લૂપમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ સમઘડી દિશામાં વહે છે. લૂપનો ઉપરનો ભાગ $PQ$ જેની લંબાઈ $a$ છે,તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ) માં છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ ભાગ પર લાગતું બળ ઉપરની તરફની દિશામાં હોય છે.
આ ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F_m = i a B$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_g = mg$ છે.
લૂપ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_m - F_g = i a B - mg$ છે.
આપેલ છે કે $i > mg/Ba$,તેથી $i a B > mg$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $F_{net} > 0$.
પરિણામી બળ ધન (ઉપરની તરફ) હોવાથી,ચુંબકીય બળને કારણે વજન ઉપરની તરફ જાય છે.

(C) $I_1$ પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} \hat{\theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ $x-y$ સમતલમાં છે અને તાર $z$-અક્ષ પર છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ $x-y$ સમતલમાં તારના કેન્દ્રિત વર્તુળો છે.
અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈપણ બંધ પ્રવાહ લૂપ માટે,કુલ બળ $\vec{F} = \oint I_2 (d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કે,એક વધુ મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે લાંબા સીધા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એવા વિસ્તારમાં સંરક્ષી છે જેમાં તાર નથી. વૈકલ્પિક રીતે,લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m}$ ધ્યાનમાં લો. અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પરનું બળ $\vec{F} = \nabla (\vec{m} \cdot \vec{B})$ છે.
તારને ન ઘેરતા પ્રવાહ લૂપ માટે,લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપના વિસ્તારમાં એવી રીતે પ્રવેશે છે અને બહાર નીકળે છે કે જે એકબીજાને રદ કરે છે. સમપ્રમાણતા અને અનંત તારના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ગુણધર્મો દ્વારા,તારને ન ઘેરતા બંધ પ્રવાહ લૂપ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.

(B) અનંત સીધા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
લૂપ પરના એક નાના ખંડ $d\ell = R d\theta$ ને ધ્યાનમાં લો.
તારથી આ ખંડનું અંતર $r = R \sin \theta$ છે.
આ ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = I (d\ell) B = I (R d\theta) \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi R \sin \theta} \right) = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi \sin \theta} d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,તારને લંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને તારને સમાંતર ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
કુલ બળ $F = \int dF \sin \theta = \int_0^\pi \left( \frac{\mu_0 I^2}{2\pi \sin \theta} \right) \sin \theta d\theta = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi} \int_0^\pi d\theta = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi} [\theta]_0^\pi = \frac{\mu_0 I^2}{2}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\mu_0 I^2$ ગણવામાં આવે છે.

(A) નળાકારની સપાટી પર $dx$ પહોળાઈની એક નાની પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતપ્રવાહ $K = \frac{I}{2 \pi R}$ છે.
નળાકારની અંદર અને બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0$ છે. પરંતુ,વિદ્યુતપ્રવાહના ઘટકને કારણે સપાટી પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 K}{2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R}$ થાય છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી સપાટી પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ (ચુંબકીય દબાણ) $P = \frac{1}{2} \mu_0 K^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K = \frac{I}{2 \pi R}$ કિંમત મૂકતા:
$P = \frac{1}{2} \mu_0 \left( \frac{I}{2 \pi R} \right)^2 = \frac{1}{2} \mu_0 \frac{I^2}{4 \pi^2 R^2} = \frac{\mu_0 I^2}{8 \pi^2 R^2}$.

(A) અનંત પ્રવાહધારિત શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે $B = \frac{\mu_0 k}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટ $y-z$ સમતલમાં છે અને પ્રવાહ $+y$ દિશામાં હોવાથી,$x > 0$ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $+x$ દિશામાં હોય છે,એટલે કે $\vec{B} = \frac{\mu_0 k}{2} \hat{i}$.
પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x-y$ સમતલમાં રહેલા $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર લૂપ માટે,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{eff}$ એ અર્ધવર્તુળના બે છેડાઓને જોડતી સીધી રેખા છે.
લૂપ $x-y$ સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર $(d, 0, 0)$ પર હોવાથી,તેનો વ્યાસ $y$-અક્ષને સમાંતર છે. તેથી,$\vec{L}_{eff} = 2R \hat{j}$.
તેથી,પરિણામી બળ $\vec{F} = i(2R \hat{j} \times \frac{\mu_0 k}{2} \hat{i}) = i R \mu_0 k (\hat{j} \times \hat{i}) = -\mu_0 k R i \hat{k}$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $\mu_0 k R i$ છે.

(C) $1$. વાહક સળિયા $PQ$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$(a)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$(b)$ સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = I(l \times B)$. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ $P$ થી $Q$ તરફ વહે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમતલની અંદરની તરફ છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે.
$(c)$ બે દોરીઓમાંથી દરેક દોરીમાં તણાવ $T$ જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે.
$2$. સળિયો સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$3$. શિરોલંબ બળોનો સરવાળો કરતા: $2T + F_m - Mg = 0$.
$4$. $F_m = IBl$ મૂકતા,આપણને $2T + IBl - Mg = 0$ મળે છે.
$5$. $T$ માટે ગોઠવતા,$2T = Mg - IBl$,તેથી $T = (Mg - IBl)/2$ મળે છે.

(A) હિન્જ $P$ થી $r$ અંતરે રહેલા $dr$ ઘટક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = i(dr)B$ છે.
આ ચુંબકીય બળને કારણે હિન્જ $P$ ની આસપાસ લાગતું ટોર્ક $d\tau = (dF)r = (iB dr)r$ છે.
$r = 0$ થી $r = l$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ ટોર્ક $\tau = \int_{0}^{l} iBr dr = \frac{il^2B}{2}$ મળે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $53^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. સ્પ્રિંગ સળિયાના ઉપરના છેડા સાથે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગમાં થતો વધારો $x$ છે. સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે.
સ્પ્રિંગ બળને કારણે હિન્જ $P$ ની આસપાસ લાગતું ટોર્ક $\tau_s = (kx) \times (l \sin 53^{\circ})$ છે.
ટોર્કને સરખાવતા: $\frac{il^2B}{2} = (kx)(l \sin 53^{\circ})$.
કારણ કે $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$,તેથી $\frac{il^2B}{2} = kxl(\frac{4}{5})$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{5ilB}{8k}$.

(A) બળ માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $|F| = I L |B|$.
$|F|$ વિરુદ્ધ $L$ નો આલેખ સીધી રેખા હોવાથી,તેનો ઢાળ $S = \frac{|F|}{L} = I |B|$ થાય.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{S}{I}$ મળે.
$B$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta B}{B} = \frac{\Delta S}{S} + \frac{\Delta I}{I}$ છે.
અહીં $S = (10 \pm 1) \times 10^{-5} \ T$ અને $I = (15 \pm 1) \ mA = (15 \pm 1) \times 10^{-3} \ A$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta B}{B} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
$B$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta B}{B} \times 100 = \frac{1}{6} \times 100 = \frac{50}{3} \%$ થાય.

(D) $PS$ અને $QR$ વિભાગો પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
લાંબા તારને સમાંતર $PQ$ અને $SR$ વિભાગો માટે,બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_1 = 20 \, A$ (લાંબો તાર),$I_2 = 20 \, A$ (લૂપ),અને $L = 15 \, cm = 0.15 \, m$ છે.
$PS$ પર લાગતું બળ ($r_1 = 2 \, cm = 0.02 \, m$ અંતરે): $F_1 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \, N$ (આકર્ષી).
$QR$ પર લાગતું બળ ($r_2 = 2 + 10 = 12 \, cm = 0.12 \, m$ અંતરે): $F_2 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \, N$ (અપાકર્ષી).
પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \, N$ થાય છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec F = i (\vec L \times \vec B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec L$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,તાર $1 \, m$ ત્રિજ્યાનો અર્ધવર્તુળ છે જે $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે છે.
શરૂઆતનું બિંદુ $(2 - 1/\sqrt{2}, 2 - 1/\sqrt{2}, 0)$ છે.
અંતિમ બિંદુ $(2 + 1/\sqrt{2}, 2 + 1/\sqrt{2}, 0)$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec L = \sqrt{2}\hat i + \sqrt{2}\hat j = \sqrt{2}(\hat i + \hat j)$ છે.
આપેલ છે કે $\vec B = 3\hat i + 4\hat j + \hat k$ અને $i = 1 \, A$.
$\vec F = 1 \times [\sqrt{2}(\hat i + \hat j) \times (3\hat i + 4\hat j + \hat k)]$.
સદિશ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $\vec F = \sqrt{2} [(\hat i \times 3\hat i) + (\hat i \times 4\hat j) + (\hat i \times \hat k) + (\hat j \times 3\hat i) + (\hat j \times 4\hat j) + (\hat j \times \hat k)]$.
$\vec F = \sqrt{2} [0 + 4\hat k - \hat j - 3\hat k + 0 + \hat i] = \sqrt{2}(\hat i - \hat j + \hat k) \, N$.

(B) પ્રવાહધારિત વાયર પરનું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $AC$ ભાગ માટે: લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{AC}$ શિરોલંબ (ઉપરની તરફ) છે અને $\vec{B}$ સમક્ષિતિજ (જમણી તરફ) છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે. બળ $F_{AC} = I(L \cos 30^{\circ})B \sin 90^{\circ} = I(L \frac{\sqrt{3}}{2})B = \frac{\sqrt{3}}{2} ILB$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ, બળ પેજની અંદરની તરફ $(\otimes)$ લાગે છે. તેથી, વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. $AB$ ભાગ માટે: લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{AB}$ શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે છે. $\vec{L}_{AB}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે. બળ $F_{AB} = I(L)B \sin 60^{\circ} = I L B \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} ILB$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ, બળ પેજની બહારની તરફ $(\odot)$ લાગે છે. તેથી, વિધાન $B$ ખોટું છે.
$3$. $CB$ ભાગ માટે: લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{CB}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર છે (ખૂણો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$), તેથી બળ $F_{CB} = 0$ છે.
$4$. સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં બંધ લૂપ પરનું કુલ બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે. તેથી, વિધાન $C$ સાચું છે.
માત્ર વિધાન $B$ સાચું નથી, તેથી સાચો વિકલ્પ માત્ર $B$ છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાયરના ટુકડા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{B} = B\hat{j} = 0.02\hat{j}\,T$ છે.
વિભાગ $ab$ માટે: સદિશ $\vec{L}_{ab}$ એ ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{L}_{ab} = -0.4\hat{j}\,m$. બળ $\vec{F}_{ab} = I(\vec{L}_{ab} \times \vec{B}) = I(-0.4\hat{j} \times 0.02\hat{j}) = 0$,કારણ કે સમાંતર સદિશોનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે.
વિભાગ $bc$ માટે: સદિશ $\vec{L}_{bc}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{L}_{bc} = 0.4\hat{i}\,m$. બળ $\vec{F}_{bc} = I(\vec{L}_{bc} \times \vec{B}) = I(0.4\hat{i} \times 0.02\hat{j}) = I(0.008\hat{k})\,N$.
$ab$ પરના બળનું મૂલ્ય $F_{ab} = 0$ છે,અને $bc$ પરના બળનું મૂલ્ય $F_{bc} = 5 \times 0.008 = 0.04\,N$ છે.
વિભાગ $ab$ પરના ચુંબકીય બળ અને વિભાગ $bc$ પરના ચુંબકીય બળનો ગુણોત્તર $0 / 0.04 = 0$ થાય છે.

(D) સળિયા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ચુંબકીય બળ $F_m = BIl$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે (ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે પ્રવાહ જમણી તરફ વહે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે).
$3$. બે તારમાં લાગતું તણાવ બળ $T$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
સળિયો સંતુલનમાં હોવાથી,ઉપરની તરફ લાગતા બળોનો સરવાળો નીચેની તરફ લાગતા બળોના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ:
$2T + F_m = Mg$
$2T + BIl = Mg$
$2T = Mg - BIl$
$T = \frac{Mg - BIl}{2}$
આમ,દરેક તારમાં તણાવ $\frac{Mg - BIl}{2}$ છે.

(D) વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહે છે. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,વર્તુળાકાર ગૂંચળા દ્વારા તાર $PQ$ ના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે.
તાર $PQ$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $P$ થી $Q$ (નીચેની તરફ) વહે છે.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ અથવા સદિશ ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા $\vec{l}$ નીચેની તરફ છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમતલની બહારની તરફ છે.
$3$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{l} \times \vec{B}$ ડાબી તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,તાર $PQ$ પર લાગતું બળ $PQ$ ને લંબ અને ડાબી તરફ હોય છે.