Force on a Current Carrying Conductor Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: તારનું દળ, $m = 0.2 \,kg$. તારની લંબાઈ, $l = 1.5 \,m$. વિદ્યુતપ્રવાહ, $I = 2 \,A$. ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = I l B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારને લંબ હોવાથી, $\theta = 90^{\circ}$, તેથી $F_m = I l B$.
તાર હવામાં લટકતો રહે તે માટે, ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ તારના નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_m = w$
$I l B = m g$
$B$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$B = \frac{m g}{I l}$
$B = \frac{0.2 \times 10}{2 \times 1.5}$
$B = \frac{2}{3} \approx 0.67 \,T$
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $0.67 \,T$ છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = L \hat{i}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{F} = I B_0 L(\hat{k} - \hat{j})$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $I B_0 L(\hat{k} - \hat{j}) = I(L \hat{i} \times \vec{B})$.
$I L$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $B_0(\hat{k} - \hat{j}) = \hat{i} \times \vec{B}$.
ધારો કે $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$.
તેથી $\hat{i} \times (B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}) = B_y \hat{k} - B_z \hat{j}$.
આને $B_0(\hat{k} - \hat{j})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $B_y = B_0$ અને $B_z = B_0$ મળે છે.
$\hat{i}$ સાથેના ક્રોસ પ્રોડક્ટમાં $\hat{i}$ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી $B_x$ કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે,પરંતુ વિકલ્પો જોતા $B_x = B_0$ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$\vec{B} = B_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I (\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો અસરકારક સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ વક્ર $y = A \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} x\right)$ માટે,શરૂઆતનું બિંદુ $x=0$ છે,જે $y=0$ આપે છે. અંતિમ બિંદુ $x=\lambda$ છે,જે $y = A \sin(2\pi) = 0$ આપે છે.
આમ,અસરકારક સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}_{eff}$ એ $(0, 0)$ થી $(\lambda, 0)$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{L}_{eff} = \lambda \hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં છે,તેથી $\vec{B} = B \hat{k}$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I (\lambda \hat{i} \times B \hat{k}) = I \lambda B (\hat{i} \times \hat{k}) = -I \lambda B \hat{j}$ થશે.
ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = I \lambda B$ છે.

(C) નાના પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $d\vec{F} = I (d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ ખંડ $d\vec{l} = dx \hat{i}$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) \hat{k}$ છે.
તેથી,$d\vec{F} = I (dx \hat{i}) \times B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) \hat{k} = I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (\hat{i} \times \hat{k}) = I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (-\hat{j})$.
કુલ બળ શોધવા માટે,આપણે $x = a$ થી $x = 2a$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\vec{F} = \int_{a}^{2a} I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (-\hat{j})$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \int_{a}^{2a} \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ 2x - \frac{x^2}{2a} \right]_{a}^{2a}$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ \left( 2(2a) - \frac{(2a)^2}{2a} \right) - \left( 2(a) - \frac{a^2}{2a} \right) \right]$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ (4a - 2a) - (2a - 0.5a) \right]$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} [ 2a - 1.5a ] = -I B_0 \left( \frac{a}{2} \right) \hat{j}$.
આને આપેલા બળ $\vec{F} = I B_0 \left( \frac{ka}{2} \right) \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -1$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_B = I \vec{L}_{eff} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર તાર માટે,અસરકારક લંબાઈ $\vec{L}_{eff}$ એ બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે વ્યાસ $2r$ જેટલું થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F_B = I(2r)B = 2IrB$ થાય છે.
આ કુલ ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ તારના છેડાઓ સાથે જોડાયેલી બે સમાન સ્પ્રિંગ $X$ અને $Y$ દ્વારા સમાન રીતે વહેંચાય છે.
ધારો કે દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ $F$ છે. તો,$2F = F_B$ થાય.
$F_B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2F = 2IrB$ મળે છે.
આમ,દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ $F = I r B$ છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = I(\overrightarrow{L} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\overrightarrow{L}$ એ વાહકના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
કોઈપણ બંધ લૂપ માટે,શરૂઆતનું બિંદુ અને અંતિમ બિંદુ સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{L}$ શૂન્ય છે.
તેથી,સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા કોઈપણ બંધ પ્રવાહ લૂપ પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકાયેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I = 1 \ A$,$\vec{L} = 0.5 \hat{i} \ m$,અને $\vec{B} = (2\hat{i} + 4\hat{j}) \ T$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{F} = 1 \times (0.5 \hat{i} \times (2\hat{i} + 4\hat{j}))$
$\vec{F} = 0.5 \times 2(\hat{i} \times \hat{i}) + 0.5 \times 4(\hat{i} \times \hat{j})$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ હોવાથી:
$\vec{F} = 0 + 2\hat{k} = 2\hat{k} \ N$.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = 2 \ N$ છે અને તેની દિશા ધન $z$-અક્ષની દિશામાં છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = I L B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો છે:
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 10 \ A$
લંબાઈ $L = 2 \ m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.15 \ T$
ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 10 \times 2 \times 0.15 \times \sin 45^{\circ}$
$F = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$F = \frac{3}{\sqrt{2}} \ N$.

(B) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $Q$ $(I_Q = 1 \ A)$ માટે:
$1$. તાર $P$ ($I_P = 3 \ A$,$d_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$) ને કારણે બળ: પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બળ અપાકર્ષી છે ($P$ થી દૂર,એટલે કે $R$ તરફ).
$F_{QP} = \frac{\mu_0 I_Q I_P}{2 \pi d_1} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 3}{0.03} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ તરફ).
$2$. તાર $R$ ($I_R = 2 \ A$,$d_2 = 2 \ cm = 0.02 \ m$) ને કારણે બળ: પ્રવાહો સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી છે ($R$ તરફ).
$F_{QR} = \frac{\mu_0 I_Q I_R}{2 \pi d_2} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 2}{0.02} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ તરફ).
કુલ બળ $F_{net} = F_{QP} + F_{QR} = 3 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6} = 6 \times 10^{-6} \ N$,$R$ તરફ.

(A) $L$ લંબાઈના વાહક પર $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું મૂલ્ય $f = I B \sin\theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ પ્રવાહની દિશા અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિસ્સામાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ છે અને પ્રવાહ $I$ પણ દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ વહે છે.
તેથી,પ્રવાહ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\sin(0^\circ) = 0$ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = I \times B \times \sin(0^\circ) = 0 \text{ N/m}$ થશે.