Mutual Induction Questions in Gujarati

(B) અન્યોન્ય પ્રેરણના સિદ્ધાંત મુજબ,એક કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ બીજી કોઈલમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $\phi = MI$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો ગુણાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,જ્યારે કોઈલ $P$ માંથી $I_P = 3\, A$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે કોઈલ $Q$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_Q = 10^{-3}\, Wb$ છે.
સંબંધ $\phi_Q = M I_P$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10^{-3} = M \times 3$
$M = \frac{1}{3} \times 10^{-3}\, H$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યારે કોઈલ $Q$ માંથી $I_Q = 2\, A$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે કોઈલ $P$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_P = M I_Q$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $M$ બંને કિસ્સાઓ માટે સમાન હોવાથી:
$\phi_P = (\frac{1}{3} \times 10^{-3}) \times 2$
$\phi_P = \frac{2}{3} \times 10^{-3}\, Wb$
$\phi_P = 0.666... \times 10^{-3}\, Wb = 6.67 \times 10^{-4}\, Wb$.

(B) ધારો કે $L$ બાજુવાળી મોટી ચોરસ લૂપમાંથી $i$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. મોટી લૂપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $l$ બાજુવાળી નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન હોય છે.
$L$ બાજુવાળી ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 i}{\pi L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાની લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A$ છે,જ્યાં $A = l^2$ એ નાની લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\phi = \left(\frac{2\sqrt{2}\mu_0 i}{\pi L}\right) l^2$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{i}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 l^2}{\pi L}$.
અહીં $\mu_0$ અને $\pi$ અચળાંક હોવાથી,$M \propto \frac{l^2}{L}$ થાય છે.

(A) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અને પાડોશી કોઈલમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = MI$ છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે.
પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $dI$ અને ફ્લક્સમાં થતા ફેરફાર $d\phi$ માટે,સંબંધ $d\phi = M \cdot dI$ થાય છે.
આપેલ છે: $dI = 2 \ A$ અને $d\phi = 0.4 \ Wb$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.4 = M \times 2$
$M = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ H$.
તેથી,કોઈલ્સનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $0.2 \ H$ છે.

(B) સેકન્ડરી કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ $e$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|e| = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
આપેલ છે:
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 5\, H$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $dI = 10\, A - 0\, A = 10\, A$
સમયગાળો $dt = 5 \times 10^{-4}\, s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$|e| = 5 \times \frac{10}{5 \times 10^{-4}}$
$|e| = \frac{50}{5 \times 10^{-4}}$
$|e| = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5\, V$
તેથી,પ્રેરિત $emf$ $1 \times 10^5\, V$ છે.

(A) સોલેનોઇડ અને ગૂંચળાનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M = \frac{\mu_{0} N_{1} N_{2} A}{l}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N_{1} = 2000$,$N_{2} = 300$,$A = 1.2 \times 10^{-3} \, m^2$,$l = 0.3 \, m$,અને $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$M = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 300 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.3} = 3.016 \times 10^{-3} \, H \approx 3 \times 10^{-3} \, H$.
પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રવાહ $1 \, A$ થી બદલાઈને $-1 \, A$ થાય છે,તેથી $dI = -1 - 1 = -2 \, A$.
સમયગાળો $dt = 0.25 \, s$.
$\varepsilon = - (3 \times 10^{-3}) \times \left( \frac{-2}{0.25} \right) = 3 \times 10^{-3} \times 8 = 24 \times 10^{-3} \, V = 24 \, mV$.

(C) ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત $emf$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહમાં ફેરફાર $(dI)$ = $2\,A - 0\,A = 2\,A$
સમયગાળો $(dt)$ = $0.01\,s$
પ્રેરિત $emf$ $(e)$ = $1000\,V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1000 = M \times \left( \frac{2}{0.01} \right)$
$1000 = M \times 200$
$M = \frac{1000}{200} = 5\,H$.
તેથી,બંને ગૂંચળાનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $5\,H$ છે.

(N/A) ધારો કે બહારના વર્તુળાકાર ગૂંચળામાંથી $I_2$ પ્રવાહ વહે છે. ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2}$ છે.
અંદરના ગૂંચળાની ત્રિજ્યા ખૂબ નાની હોવાથી $(r_1 \ll r_2)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ ને અંદરના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર સમાન ગણી શકાય છે.
અંદરના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = B_2 \cdot A_1 = B_2 (\pi r_1^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\phi_1 = \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2} \right) (\pi r_1^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2} \right) I_2$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\phi_1 = M_{12} I_2$,જ્યાં $M_{12}$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે.
તેથી,$M_{12} = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ પરસ્પર હોવાથી,$M_{12} = M_{21} = M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$.

(D) ગૂંચળાઓની જોડીનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 1.5\; H$ આપેલ છે.
પ્રથમ ગૂંચળામાં પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta I = I_2 - I_1 = 20\; A - 0\; A = 20\; A$ છે.
બીજા ગૂંચળામાં ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ $\phi$ અને પ્રથમ ગૂંચળામાં પ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = M I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ફ્લક્સ સાંકળમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = M \Delta I$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = 1.5\; H \times 20\; A$
$\Delta \phi = 30\; Wb$.
આમ,બીજા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $30\; Wb$ છે.

(N/A) અન્યોન્ય પ્રેરણ એ એવી ઘટના છે જેમાં એક ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતો ફેરફાર તેની સાથે સંકળાયેલા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારને કારણે પાડોશી ગૂંચળામાં $emf$ પ્રેરિત કરે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જ્યારે ગૂંચળા $C_{2}$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{2}$ બદલાય છે,ત્યારે ગૂંચળા $C_{1}$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_{1}$ પણ બદલાય છે,જેનાથી ગૂંચળા $C_{1}$ માં $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
જો ગૂંચળા $C_{1}$ ના આંટાની સંખ્યા $N_{1}$ હોય,તો કુલ ફ્લક્સ સાંકળ એ $C_{2}$ માંના પ્રવાહના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$N_{1} \Phi_{1} \propto I_{2}$
$N_{1} \Phi_{1} = M_{12} I_{2}$
જ્યાં $M_{12}$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો ગુણાંક છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ગૂંચળા $C_{1}$ માં પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon_{1}$ નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon_{1} = -\frac{d(N_{1} \Phi_{1})}{dt}$
ફ્લક્સ સાંકળ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$\varepsilon_{1} = -\frac{d}{dt}(M_{12} I_{2})$
જો $M_{12}$ અચળ હોય,તો:
$\varepsilon_{1} = -M_{12} \frac{dI_{2}}{dt}$
તે જ રીતે,ગૂંચળા $C_{2}$ માટે પ્રેરિત $emf$:
$\varepsilon_{2} = -M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}$

(N/A) જ્યારે કોઈલ-$1$ માંથી $I_{1}$ પ્રવાહ વહે ત્યારે કોઈલ-$2$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_{2} = M_{21} I_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $I_{1} = 1 \text{ એકમ}$ લેવામાં આવે, તો $\Phi_{2} = M_{21}$ મળે છે. આમ, "બીજી કોઈલમાંથી પસાર થતા એકમ પ્રવાહ દીઠ એક કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સને તે તંત્રનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ કહેવામાં આવે છે."
કોઈલ-$2$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon_{2} = -M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\frac{dI_{1}}{dt} = 1 \text{ એકમ}$ હોય, ત્યારે $\varepsilon_{2} = M_{21}$ મળે છે. આમ, "બીજી કોઈલમાં પ્રવાહના ફેરફારના એકમ દરને કારણે એક કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતા મ્યુચ્યુઅલ emf ને તે તંત્રનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ કહેવામાં આવે છે."
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો $SI$ એકમ હેનરી $(H)$ છે, જ્યાં $1 \text{ H} = 1 \text{ Wb A}^{-1} = 1 \text{ V s A}^{-1}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનું મૂલ્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$(1)$ કોઈલનો આકાર અને કદ.
$(2)$ કોઈલમાં આંટાઓની સંખ્યા.
$(3)$ બે કોઈલ વચ્ચેનું અંતર.
$(4)$ કોઈલનું સાપેક્ષ અભિગમ (ઝુકાવનો ખૂણો).
$(5)$ જે કોર મટીરીયલ પર કોઈલ વીંટાળેલી હોય તેની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી.

(N/A) ધારો કે $l$ લંબાઈના બે લાંબા કોએક્સિયલ સોલેનોઇડ્સ છે. આંતરિક સોલેનોઇડ $S_{1}$ ની ત્રિજ્યા $r_{1}$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n_{1}$ છે. બાહ્ય સોલેનોઇડ $S_{2}$ માટે અનુરૂપ રાશિઓ $r_{2}$ અને $n_{2}$ છે. ધારો કે $N_{1}$ અને $N_{2}$ એ અનુક્રમે $S_{1}$ અને $S_{2}$ ના કુલ આંટા છે.
જ્યારે $S_{2}$ માંથી પ્રવાહ $I_{2}$ વહે છે,ત્યારે તે તેની અંદર $B_{2} = \mu_{0} n_{2} I_{2}$ જેટલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ ક્ષેત્ર આંતરિક સોલેનોઇડ $S_{1}$ માંથી પસાર થાય છે.
$S_{1}$ ના દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_{1} = B_{2} A_{1} = (\mu_{0} n_{2} I_{2})(\pi r_{1}^{2})$ છે.
$S_{1}$ સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ લિંકેજ $N_{1} \Phi_{1} = (n_{1} l) (\mu_{0} n_{2} I_{2} \pi r_{1}^{2}) = (\mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l) I_{2}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$N_{1} \Phi_{1} = M_{12} I_{2}$,જ્યાં $M_{12}$ એ $S_{2}$ ની સાપેક્ષમાં $S_{1}$ નું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આમ,$M_{12} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
તે જ રીતે,જો $S_{1}$ માંથી પ્રવાહ $I_{1}$ વહે,તો $S_{2}$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ લિંકેજ $N_{2} \Phi_{2} = M_{21} I_{1}$ થાય,જ્યાં $M_{21} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ધારણા મુજબ $M_{12} = M_{21} = M$ હોવાથી,આ રેસીપ્રોસિટી પ્રમેય સાબિત કરે છે,જે જણાવે છે કે બે કોઈલનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ સમાન રહે છે,પછી ભલે ગમે તે કોઈલને પ્રાઇમરી કે સેકન્ડરી તરીકે લેવામાં આવે.

$l$ લંબાઈ ધરાવતા બે લાંબા કોએક્સિયલ સોલેનોઈડ્સનો વિચાર કરો। ધારો કે અંદરના સોલેનોઈડમાં $N_1$ આંટા અને ત્રિજ્યા $r_1$ છે, અને બહારના સોલેનોઈડમાં $N_2$ આંટા અને ત્રિજ્યા $r_2$ છે।
ધારો કે $n_1 = N_1/l$ અને $n_2 = N_2/l$ એ અનુક્રમે બંને સોલેનોઈડ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે।
જ્યારે બહારના સોલેનોઈડમાંથી પ્રવાહ $I_2$ વહે છે, ત્યારે તેની અંદર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \mu_0 n_2 I_2$ છે।
આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે અને અંદરના સોલેનોઈડના કદ સુધી મર્યાદિત છે।
અંદરના સોલેનોઈડના દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = B_2 A_1 = (\mu_0 n_2 I_2) (\pi r_1^2)$ છે।
$N_1$ આંટા ધરાવતા અંદરના સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_1 = N_1 \phi_1 = N_1 (\mu_0 n_2 I_2) (\pi r_1^2)$ છે।
$N_1 = n_1 l$ મૂકતા, આપણને $\Phi_1 = (n_1 l) (\mu_0 n_2 I_2) (\pi r_1^2) = \mu_0 n_1 n_2 l \pi r_1^2 I_2$ મળે છે।
વ્યાખ્યા મુજબ, મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ એ $\Phi_1 = M I_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $M = \mu_0 n_1 n_2 l \pi r_1^2$ અથવા $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2}{l}$।

(A) બે કોઈલની સિસ્ટમનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ એ એક કોઈલમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સ અને બીજી કોઈલમાં વહેતા પ્રવાહ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે: જ્યારે $I_A = 2 \ A$,ત્યારે $\phi_B = 10^{-2} \ Wb$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M_{BA} = \frac{\phi_B}{I_A} = \frac{10^{-2}}{2} = 5 \times 10^{-3} \ H$ મળે છે.
રેસીપ્રોસીટીના સિદ્ધાંત મુજબ,$M_{AB} = M_{BA} = 5 \times 10^{-3} \ H$.
હવે,જ્યારે $I_A = 0$ અને $I_B = 1 \ A$ હોય,ત્યારે કોઈલ $A$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_A = M_{AB} \times I_B$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi_A = (5 \times 10^{-3} \ H) \times (1 \ A) = 5 \times 10^{-3} \ Wb$.

(N/A) લાંબા સોલેનોઈડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાની કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N A B$ છે,જ્યાં $A$ એ નાની કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\phi = N (\pi (b/2)^2) (\mu_0 n I) = \frac{\mu_0 N n \pi b^2 I}{4}$.
નાની કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 N n \pi b^2 I}{4} \right) = -\frac{\mu_0 N n \pi b^2}{4} \frac{dI}{dt}$.
આપેલ છે કે પ્રવાહ $I(t) = mt^2 + C$ મુજબ બદલાય છે,તેથી $\frac{dI}{dt} = 2mt$.
આ કિંમત emf ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\varepsilon = -\frac{\mu_0 N n \pi b^2}{4} (2mt) = -\left( \frac{\mu_0 N n \pi b^2 m}{2} \right) t$.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = \left( \frac{\mu_0 N n \pi b^2 m}{2} \right) t$ છે.
આ $|\varepsilon|$ અને $t$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.

(A) નાના લૂપને કારણે મોટા લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\phi = \frac{\mu_{0} I \pi R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{2(R_{1}^{2} + x^{2})^{3/2}}$
અહીં,$R_{1} = 0.3 \times 10^{-2} \, m$ (નાના લૂપની ત્રિજ્યા),
$R_{2} = 0.2 \, m$ (મોટા લૂપની ત્રિજ્યા),
$x = 0.15 \, m$ (કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર),
$I = 20 \, A$ (પ્રવાહ).
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 20 \times \pi \times (0.3 \times 10^{-2})^{2} \times (0.2)^{2}}{2((0.3 \times 10^{-2})^{2} + (0.15)^{2})^{3/2}}$
ગણતરી કરતા:
$\phi \approx 9.1 \times 10^{-11} \, Wb$.

(A) બાજુવાળા ચોરસ લૂપ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ ચાર બાજુઓ દ્વારા ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
એક બાજુ માટે,કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi b} (2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ છે.
ચાર બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_{1} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ છે.
$b \gg a$ હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ જેનું ક્ષેત્રફળ $A = a^{2}$ છે,તે $\phi = B \times A = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b} \times a^{2}$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $M$ એ $M = \frac{\phi}{I} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} a^{2}}{\pi b}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,આપણે $4$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
$M = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{8 \sqrt{2} a^{2}}{b}$.

(D) $R_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I_{1}$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{2} = B_{1} A_{2}$ છે,જ્યાં $A_{2} = \pi R_{2}^{2}$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે $R_{1} >> R_{2}$ છે,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1}$ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે $M = \frac{B_{1} A_{2}}{I_{1}} = \frac{(\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}) (\pi R_{2}^{2})}{I_{1}} = \frac{\mu_{0} \pi R_{2}^{2}}{2 R_{1}}$.
આમ,$M \propto \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}}$.

(C) ગૌણ ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e_{2})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e_{2} = -M \frac{di_{1}}{dt}$.
અહીં,$M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $i_{1}$ એ પ્રાથમિક ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ છે.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $M = -\frac{e_{2}}{di_{1}/dt}$.
પ્રેરિત emf $(e_{2})$ નું પારિમાણિક સૂત્ર સ્થિતિમાનના તફાવત જેવું જ હોય છે,જે $[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]$ છે.
પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો દર $(di_{1}/dt)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT^{-1}]$ છે.
તેથી,$M$ નું પરિમાણ: $[M] = \frac{[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]}{[AT^{-1}]} = [ML^{2}T^{-2}A^{-2}]$ થાય છે.

(C) ધારો કે $L$ બાજુવાળી બહારની ચોરસ લૂપમાંથી $I$ પ્રવાહ વહે છે. તેના કેન્દ્ર $O$ પર આ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ તેની ચાર બાજુઓને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = 4 \times \left( \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (L/2)} \times (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \right) = 4 \times \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi L} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi L}$.
$L \gg l$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાની આંતરિક લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
$l$ બાજુવાળી આંતરિક લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ છે:
$\phi = B \times \text{Area} = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi L} \right) \times l^{2}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} l^{2}}{\pi L}$.

(B) સિસ્ટમનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ગણવા માટે,આપણે પારસ્પરિકતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે જણાવે છે કે $M_{12} = M_{21} = M$.
ધારો કે લાંબા બાહ્ય સોલેનોઇડ (સોલેનોઇડ $1$) માંથી પ્રવાહ $I_{1}$ વહે છે. આ સોલેનોઇડ દ્વારા તેની અંદર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે $B = \mu_{0} N I_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટૂંકા આંતરિક સોલેનોઇડ (સોલેનોઇડ $2$) સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{21}$ એ આંતરિક સોલેનોઇડમાં આંટાની સંખ્યા,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને આંતરિક સોલેનોઇડના આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે.
આંતરિક સોલેનોઇડમાં આંટાની સંખ્યા = $n \times l$.
આંતરિક સોલેનોઇડનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^{2}$.
તેથી,$\phi_{21} = (n l) \times B \times (\pi r^{2}) = (n l) \times (\mu_{0} N I_{1}) \times (\pi r^{2})$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\phi_{21} = M I_{1}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $M = \mu_{0} N n l \pi r^{2} = \pi \mu_{0} r^{2} n N l$ મળે છે.

(D) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 5 \,mH = 5 \times 10^{-3} \,H$ આપેલ છે.
પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહ $i = 50 \sin(500t) \,A$ છે.
ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = -M \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનું મૂલ્ય લેતા,$\varepsilon = M \left| \frac{di}{dt} \right|$.
$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} [50 \sin(500t)] = 50 \times 500 \cos(500t) = 25000 \cos(500t)$.
તેથી,$\varepsilon = (5 \times 10^{-3}) \times (25000 \cos(500t)) = 125 \cos(500t) \,V$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય કોસાઇન પદનો સહગુણક છે,જે $125 \,V$ છે.

(B) જ્યારે બે કોઈલને એક જ લોખંડના ગર્ભ પર વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કોઈલના દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ સમાન હોય છે કારણ કે લોખંડનો ગર્ભ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ માટે ઉચ્ચ પારગમ્યતા ધરાવતો માર્ગ પૂરો પાડે છે.
જોકે,$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલ માટે કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ (flux linkage) $\lambda = N\phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલ $A$ માટે,ફ્લક્સ સાંકળ $\lambda_A = N_A \phi$ છે.
કોઈલ $B$ માટે,ફ્લક્સ સાંકળ $\lambda_B = N_B \phi$ છે.
ફ્લક્સ સાંકળનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{N_A \phi}{N_B \phi} = \frac{N_A}{N_B}$ થાય છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $E$ એ $E = -\frac{d\lambda}{dt} = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રેરિત emf નો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{N_A (d\phi/dt)}{N_B (d\phi/dt)} = \frac{N_A}{N_B}$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(b)$ ફ્લક્સ સાંકળ વચ્ચેનો સંબંધ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) $i$ પ્રવાહ ધરાવતી $r$ ત્રિજ્યાની મોટી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ લૂપ નાની હોવાથી અને કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવી હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ચોરસ લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
$l$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે,જ્યાં $A = l^2$ એ ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$\phi = \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) l^2$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi}{i}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\phi$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $M = \frac{(\mu_0 i / 2r) l^2}{i} = \frac{\mu_0 l^2}{2r}$ મળે છે.
તેથી,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ એ $l^2/r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) નાના લૂપ (ત્રિજ્યા $r = 0.3 \ cm = 0.003 \ m$) દ્વારા તેની અક્ષ પર $x = 15 \ cm = 0.15 \ m$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $r \ll x$ હોવાથી,$B \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2x^3}$ લઈ શકાય.
મોટા લૂપ (ત્રિજ્યા $R = 20 \ cm = 0.2 \ m$) સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A_{big} = B \times (\pi R^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2.0 \times (0.003)^2}{2 \times (0.15)^3} \approx 3.35 \times 10^{-9} \ T$.
પરસ્પરતાના પ્રમેય (Reciprocity Theorem) મુજબ,નાના લૂપને કારણે મોટા લૂપ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi = M I$ થાય.
$M = \frac{\mu_0 \pi r^2 R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ ગણતરી કરતા $M \approx 4.55 \times 10^{-10} \ H$ મળે.
તેથી,$\phi = 4.55 \times 10^{-10} \times 2.0 = 9.1 \times 10^{-10} \ Wb = 91 \times 10^{-11} \ Wb$.

(C) $i$ પ્રવાહ ધરાવતા $L$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ તેની ચાર બાજુઓને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું હોય છે.
એક બાજુ માટે,કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi L} (2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi L} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L}$ છે.
ચાર બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \cdot \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L}$ થાય.
$L \gg R$ હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે નાના વર્તુળાકાર લૂપના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
$A = \pi R^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L} \right) (\pi R^2) = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2 i}{L}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\phi = Mi$,તેથી $M = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2}{L}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
આંતરિક ગૂંચળાની ત્રિજ્યા,$r_1 = 1\,cm = 0.01\,m$
આંતરિક ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા,$N_1 = 10$
બાહ્ય ગૂંચળાની ત્રિજ્યા,$r_2 = 1000\,cm = 10\,m$
બાહ્ય ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા,$N_2 = 200$
બાહ્ય ગૂંચળા દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2}$ છે.
બાહ્ય ગૂંચળાને કારણે આંતરિક ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = N_1 B_2 A_1$ છે,જ્યાં $A_1 = \pi r_1^2$.
તેથી,$\phi_1 = N_1 \left( \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2} \right) (\pi r_1^2) = M I_2$.
આમ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2}{2 r_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 200 \times \pi \times (0.01)^2}{2 \times 10}$
$M = \frac{4 \pi^2 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20}$
$\pi^2 = 10$ લેતા:
$M = \frac{4 \times 10 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20} = 4 \times 10^{-8}\,H$.
આમ,મૂલ્ય $4$ છે.

(C) બીજી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = Mi = M i_0 \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું $emf$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ: $emf = -\frac{d\phi}{dt} = -M \frac{di}{dt}$ છે.
પ્રવાહ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા: $emf = -M \frac{d}{dt}(i_0 \sin \omega t) = -M i_0 \omega \cos \omega t$.
પ્રેરિત $emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $|emf|_{max} = M i_0 \omega$ થાય.
અહીં $M = 0.002 \ H$,$i_0 = 5 \ A$,અને $\omega = 50 \pi \ rad/s$ આપેલ છે:
$|emf|_{max} = (0.002) \times (5) \times (50 \pi) = 0.01 \times 50 \pi = 0.5 \pi = \frac{\pi}{2} \ V$.
આને $\frac{\pi}{\alpha} \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(C) $i$ પ્રવાહ ધરાવતી $L$ બાજુવાળી મોટી ચોરસ લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = 4 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{\pi L/2} \times \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L}$.
$L \gg \ell$ હોવાથી, આપણે ધારીએ છીએ કે નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે。
$\ell^2$ ક્ષેત્રફળવાળી નાની લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = B \times \ell^2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L} \ell^2$.
$L = \ell^2$ આપેલ હોવાથી, આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\phi = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi \ell^2} \ell^2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \phi / i$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$M = \frac{2\sqrt{2} \mu_0}{\pi} = \frac{2\sqrt{2} (4\pi \times 10^{-7})}{\pi} = 8\sqrt{2} \times 10^{-7} \text{ H}$.
$M = \sqrt{64 \times 2} \times 10^{-7} \text{ H} = \sqrt{128} \times 10^{-7} \text{ H}$.
આમ, $x = 128$.

(A) ધારો કે $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બહારની લૂપ $B$ માંથી $i$ જેટલો પ્રવાહ વહે છે.
લૂપ $B$ માં વહેતા પ્રવાહ $i$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 i}{2b}$ છે.
અહીં $b >> a$ હોવાથી,આપણે માની શકીએ કે આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અંદરની લૂપ $A$ ના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
અંદરની લૂપ $A$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B_{center} \cdot A_{area} = \left( \frac{\mu_0 i}{2b} \right) (\pi a^2)$ થાય.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વની વ્યાખ્યા મુજબ,$\phi = Mi$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $Mi = \frac{\mu_0 i \pi a^2}{2b}$.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b}$ મળે.

(B) $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $X$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + X^2)^{3/2}}$
અહીં $X = \sqrt{3} R$ આપેલ છે,તેથી ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2 \cdot 8 R^3} = \frac{\mu_0 i}{16 R}$
ચોરસ લૂપમાં $N = 2$ આંટા છે,ક્ષેત્રફળ $A = a^2$ છે,અને એરિયા વેક્ટર તથા ચુંબકીય ક્ષેત્ર ($z$-અક્ષની દિશામાં) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = N B A \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \left(\frac{\mu_0 i}{16 R}\right) \cdot a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i a^2}{8 \sqrt{2} R}$
અહીં $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ અને $8 = 2^3$ હોવાથી,છેદ $2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ થશે.
આમ,$\phi = \frac{\mu_0 i a^2}{2^{7/2} R}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_0 a^2}{2^{7/2} R}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p/2} R}$ સાથે સરખાવતા,$p = 7$ મળે છે.

(C) સ્થાયી સ્થિતિમાં,બંને સર્કિટમાં પ્રવાહ નીચે મુજબ છે:
$I_1 = \frac{V_1}{R_1} = \frac{5 \text{ V}}{5 \text{ }\Omega} = 1 \text{ A}$
$I_2 = \frac{V_2}{R_2} = \frac{20 \text{ V}}{10 \text{ }\Omega} = 2 \text{ A}$
બે કપલ્ડ ઇન્ડક્ટર્સની સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા $(L_1 = 10 \text{ mH}, L_2 = 20 \text{ mH}, M = 5 \text{ mH}, I_1 = 1 \text{ A}, I_2 = 2 \text{ A})$:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-3}) \times (1)^2 + \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-3}) \times (2)^2 + (5 \times 10^{-3}) \times 1 \times 2$
$U = 5 \times 10^{-3} + 40 \times 10^{-3} + 10 \times 10^{-3}$
$U = 55 \times 10^{-3} \text{ J} = 55 \text{ mJ}$

(C) ગૂંચળા $1$ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1$ એ તેના પોતાના પ્રવાહ $I_1$ અને નજીકના ગૂંચળા $2$ માં વહેતા પ્રવાહ $I_2$ ને કારણે હોય છે.
આ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\phi_1 = L_1 I_1 + M_{12} I_2$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ગૂંચળા $1$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon_1$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે:
$\varepsilon_1 = -\frac{d\phi_1}{dt}$.
$\phi_1$ નું સમીકરણ મૂકતા:
$\varepsilon_1 = -\frac{d}{dt}(L_1 I_1 + M_{12} I_2)$.
જો $L_1$ અને $M_{12}$ અચળ હોય,તો આપણને મળે છે:
$\varepsilon_1 = -L_1 \frac{dI_1}{dt} - M_{12} \frac{dI_2}{dt}$.

(A) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સના સંદર્ભમાં ચુંબકીય ફ્લક્સનું સૂત્ર $\Delta \phi = M \Delta I$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર,$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \ Wb$
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I = 0.01 \ A$
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{2 \times 10^{-2}}{0.01} = \frac{0.02}{0.01} = 2 \ H$
તેથી,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $2 \ H$ છે.

(B) આપેલ છે: પીક કરંટ $I_{0} = \frac{2}{\pi} \ A$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$,અને મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 1 \ H$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ છે.
પ્રાયમરી કોઈલમાં કરંટ $I = I_{0} \sin(\omega t)$ છે.
સેકન્ડરી કોઈલમાં ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. $\mathcal{E} = M \frac{dI}{dt}$ છે.
સમયની સાપેક્ષમાં કરંટનું વિકલન કરતા,$\frac{dI}{dt} = I_{0} \omega \cos(\omega t)$.
ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. નું પીક મૂલ્ય $\mathcal{E}_{0} = M \cdot I_{0} \cdot \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mathcal{E}_{0} = 1 \times (\frac{2}{\pi}) \times (100 \pi) = 200 \ V$.

(D) ટ્રાન્સફોર્મર એ એક વિદ્યુત ઉપકરણ છે જે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ દ્વારા બે કે તેથી વધુ સર્કિટ વચ્ચે વિદ્યુત ઊર્જાનું સ્થાનાંતર કરે છે.
તેમાં બે ગૂંચળાં હોય છે,પ્રાથમિક ગૂંચળું અને ગૌણ ગૂંચળું,જે ચુંબકીય રીતે જોડાયેલા હોય છે.
જ્યારે પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી એસી $(AC)$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ગૌણ ગૂંચળા સાથે જોડાયેલું હોય છે,જે તેમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ પ્રેરિત કરે છે.
આ ઘટના,જેમાં એક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે નજીકના ગૂંચળામાં $EMF$ પ્રેરિત થાય છે,તેને અન્યોન્ય પ્રેરણ (mutual induction) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ટ્રાન્સફોર્મર અન્યોન્ય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(D) પ્રથમ કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $e_1 = M \frac{dI_2}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $e_1 = 20 \,mV = 20 \times 10^{-3} \,V$ અને $\frac{dI_2}{dt} = 10 \,A/s$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને $M = \frac{e_1}{dI_2/dt} = \frac{20 \times 10^{-3}}{10} = 2 \times 10^{-3} \,H$ મળે છે.
જ્યારે પ્રથમ કોઈલમાંથી $I_1$ પ્રવાહ વહે છે ત્યારે બીજી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ લિંકેજ $\phi_2 = M I_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_1 = 3.6 \,A$, તેથી $\phi_2 = (2 \times 10^{-3} \,H) \times (3.6 \,A) = 7.2 \times 10^{-3} \,Wb$.

(D) બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \frac{dI_1}{dt} \dots (i)$
આપેલ છે કે $I_1 = I_0 \sin \omega t$, સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dI_1}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$e = M I_0 \omega \cos \omega t$
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય:
$e_{max} = M I_0 \omega$
આપેલ કિંમતો: $M = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$, $I_0 = 10 \text{ A}$, અને $\omega = 100 \pi \text{ rad/s}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$e_{max} = (5 \times 10^{-3}) \times 10 \times 100 \pi$
$e_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 10^3 \pi$
$e_{max} = 5 \pi \text{ V}$

(D) પ્રાયમરી કોઈલમાં તાત્કાલિક પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
આપેલ પીક પ્રવાહ $I_0 = \frac{2}{\pi} \text{ A}$ અને આવૃત્તિ $v = 50 \text{ Hz}$ છે。
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi v = 2 \pi(50) = 100 \pi \text{ rad/s}$ છે。
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos(\omega t)$ છે。
પ્રવાહમાં ફેરફારના દરનું મહત્તમ મૂલ્ય $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = I_0 \omega$ છે。
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = \left(\frac{2}{\pi}\right) \times (100 \pi) = 200 \text{ A/s}$.
સેકન્ડરી કોઈલમાં ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. $E = M \left|\frac{dI}{dt}\right|$ છે,જ્યાં $M = 1 \text{ H}$ છે。
તેથી,પીક ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. $E_0 = 1 \times 200 = 200 \text{ V}$ છે。

(B) કોઈલ $P$ માં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે કોઈલ $S$ માં પ્રેરિત e.m.f. ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = -M \frac{dI}{dt}$.
આપેલ છે,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 3 \times 10^{-3} \ H$ અને પ્રવાહ $I = 20 \sin(50 \pi t) \ A$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવાહનું વિકલન કરતા: $\frac{dI}{dt} = 20 \times 50 \pi \cos(50 \pi t) = 1000 \pi \cos(50 \pi t) \ A/s$.
e.m.f. ના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા: $E = -(3 \times 10^{-3}) \times (1000 \pi \cos(50 \pi t)) = -3 \pi \cos(50 \pi t) \ V$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $|E_{max}| = 3 \pi \ V$ છે.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણને $|E_{max}| = 3 \times 3.14 = 9.42 \ V$ મળે છે.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તેના કેન્દ્ર પર ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય છે.
બે ગૂંચળા $A$ અને $B$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ગૂંચળા $A$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ગૂંચળા $B$ ના સમતલમાં હશે અને તેનાથી ઉલટું.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બીજા ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોવાથી,તે તે ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ સદિશને લંબ હોય છે. આમ,$\theta = 90^\circ$ અને $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે.
તેથી,બીજા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -d\Phi/dt$ છે. $\Phi = 0$ હોવાથી,પ્રેરિત $EMF$ અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય હશે.

(A) આપેલ છે: અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 0.01 \ H$,પ્રવાહ $I = 5 \sin(200 \pi t)$.
બીજી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું e.m.f. ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ: $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$.
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા:
$\varepsilon = -0.01 \cdot \frac{d}{dt} [5 \sin(200 \pi t)]$
$\varepsilon = -0.01 \cdot 5 \cdot 200 \pi \cdot \cos(200 \pi t)$
$\varepsilon = -10 \pi \cos(200 \pi t)$.
ઉત્પન્ન થતા e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય કોસાઈન પદના સહગુણકનું માન છે:
$\varepsilon_{max} = | -10 \pi | = 10 \pi \ V$.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતી $r_1$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_1 > r_2$ હોવાથી,મોટી કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાની કોઈલના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
$r_2$ ત્રિજ્યાની નાની કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2)$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\phi = M I$ થાય છે.
તેથી,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(D) પરસ્પર પ્રેરણને કારણે ગૌણ ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$|\varepsilon| = M \cdot \left| \frac{dI}{dt} \right|$
આપેલ છે:
પરસ્પર પ્રેરકત્વ $M = 2 \text{ H}$
પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = 2 \text{ kV} = 2000 \text{ V}$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = 6 \text{ A} - 3 \text{ A} = 3 \text{ A}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2000 = 2 \cdot \left( \frac{3}{\Delta t} \right)$
$2000 = \frac{6}{\Delta t}$
$\Delta t = \frac{6}{2000} \text{ s}$
$\Delta t = 3 \times 10^{-3} \text{ s}$
તેથી,જરૂરી સમય $3 \times 10^{-3} \text{ s}$ છે.

(A) કોઈલ $Q$ માં બદલાતા પ્રવાહને કારણે કોઈલ $P$ માં પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે $\varepsilon_P = 15 \ mV = 15 \times 10^{-3} \ V$ અને $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$15 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.5 \times 10^{-3} \ H = 1.5 \ mH$.
જ્યારે કોઈલ $P$ માંથી પ્રવાહ $I_P$ વહે છે ત્યારે કોઈલ $Q$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_Q = M I_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_P = 1.8 \ A$ અને $M = 1.5 \ mH$.
$\phi_Q = 1.5 \ mH \times 1.8 \ A = 2.7 \ mWb$.

(C) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $M$ એ સંબંધ $\Delta \phi = M \Delta I$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta I$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_1 = 6.5 \times 10^{-2} \ Wb$
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_2 = 11 \times 10^{-2} \ Wb$
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = (11 - 6.5) \times 10^{-2} \ Wb = 4.5 \times 10^{-2} \ Wb$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = 0.03 \ A = 3 \times 10^{-2} \ A$
સૂત્ર $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-2}} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \ H$
તેથી,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $1.5 \ H$ છે.

(D) કોઈલ $Q$ માં બદલાતા પ્રવાહને કારણે કોઈલ $P$ માં પ્રેરિત emf $\epsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે $\epsilon_P = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$ અને $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$12 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.2 \times 10^{-3} \ H = 1.2 \ mH$.
હવે,જ્યારે કોઈલ $P$ માંથી $I_P = 1.5 \ A$ પ્રવાહ વહે છે ત્યારે કોઈલ $Q$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_Q = M \times I_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi_Q = 1.2 \ mH \times 1.5 \ A = 1.8 \ mWb$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.