Mutual Induction Questions in Gujarati

(D) $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગો સમકેન્દ્રી અને એક જ સમતલમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નાની રીંગ (ત્રિજ્યા $r_2$) ના ક્ષેત્રફળ પર સમાન રહે છે.
નાની રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi r_2^2$ એ નાની રીંગનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times \pi r_2^2 = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(C) $L_1$ અને $L_2$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M = k \sqrt{L_1 L_2}$,જ્યાં $k$ એ કપલિંગ ગુણાંક છે.
અહીં એક ગૂંચળાનું ફ્લક્સ બીજા ગૂંચળા સાથે સંપૂર્ણપણે સંકળાયેલું હોવાથી,કપલિંગ સંપૂર્ણ છે,એટલે કે $k = 1$.
આપેલ છે કે $L_1 = 25 \ mH$ અને $L_2 = 9 \ mH$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \sqrt{25 \ mH \times 9 \ mH} = \sqrt{225 \ mH^2} = 15 \ mH$.

(B) બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|e_s| = M \left| \frac{dI_p}{dt} \right|$.
આપેલ છે કે $I_p = I_0 \sin \omega t$, સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dI_p}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|e_s| = M I_0 \omega \cos \omega t$.
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય:
$|e_s|_{\max} = M I_0 \omega$.
આપેલ કિંમતો $M = 0.003 \ H$, $I_0 = 8 \ A$, અને $\omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1}$ મૂકતા:
$|e_s|_{\max} = 0.003 \times 8 \times 100 \pi = 2.4 \pi \ V$.

(D) $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_2 \ll r_1$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi r_2^2$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\phi = M I$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(A) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનને કારણે સેકન્ડરી કોઈલમાં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e_s = M \cdot \frac{dI_p}{dt}$
જ્યાં:
$M = 2 \ H$ (મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનનો ગુણાંક)
$e_s = 2 \ kV = 2 \times 10^3 \ V$
$dI_p = 6 \ A - 3 \ A = 3 \ A$
સમય $(dt)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$dt = M \cdot \frac{dI_p}{e_s}$
કિંમતો મૂકતા:
$dt = 2 \times \frac{3}{2 \times 10^3} \ s$
$dt = 3 \times 10^{-3} \ s$

(C) બે કોઈલ વચ્ચેના મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ માટેનું સૂત્ર $M = K \sqrt{L_1 L_2}$ છે,જ્યાં $K$ એ કપલિંગ કોએફિશિયન્ટ છે.
આપેલ કિંમતો $M = 45 \ mH$,$L_1 = 75 \ mH$ અને $L_2 = 48 \ mH$ છે.
$K$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{45}{\sqrt{75 \times 48}}$
$K = \frac{45}{\sqrt{3600}}$
$K = \frac{45}{60}$
$K = 0.75$

(C) કપલિંગ કોએફિશિયન્ટ $(K)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$
આપેલ છે:
$M = 3 \ H$
$L_1 = 4 \ H$
$L_2 = 9 \ H$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{3}{\sqrt{4 \times 9}}$
$K = \frac{3}{\sqrt{36}}$
$K = \frac{3}{6}$
$K = 0.5$

(B) કોઈલ $B$ માં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $e = M \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે: $M = 0.008 \ H$, $I = I_{m} \sin \omega t$, $I_{m} = 5 \ A$, અને $\omega = 200 \pi \ rad \ s^{-1}$.
પ્રવાહનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dI}{dt} = I_{m} \omega \cos \omega t$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા: $e = M I_{m} \omega \cos \omega t$.
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય.
તેથી, $e_{\max} = M I_{m} \omega$.
કિંમતો મૂકતા: $e_{\max} = 0.008 \times 5 \times 200 \pi$.
$e_{\max} = 0.04 \times 200 \pi = 8 \pi \ V$.

(A) ધારો કે $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે.
આ ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 r_1}$ છે.
અહીં $r_2 \ll r_1$ હોવાથી,નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ લગભગ સમાન ગણી શકાય.
$r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B_1 \cdot A_2 = B_1 \cdot \pi r_2^2$ છે.
$B_1$ ની કિંમત મૂકતા,$\phi_2 = \left( \frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} \right) \pi r_2^2$ મળે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi_2}{I_1}$ થાય.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(D) પરસ્પર પ્રેરકત્વને કારણે ગૌણ કોઈલમાં ઉદ્ભવતું કુલ e.m.f. સૂત્ર $e_{total} = M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પ્રવાહ $I$ થી $0$ સુધી $t$ સમયમાં બદલાય છે,તેથી ઉદ્ભવતા કુલ e.m.f. નું મૂલ્ય $e_{total} = M \frac{I}{t}$ થાય.
કોઈલમાં કુલ $N$ આંટા હોવાથી,આ કુલ e.m.f. $N$ આંટાઓ વચ્ચે વહેંચાય છે.
તેથી,પ્રતિ આંટા દીઠ ઉદ્ભવતું e.m.f. = $\frac{e_{total}}{N} = \frac{MI}{Nt}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
અહીં $R \gg r$ હોવાથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ લગભગ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ નાના ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 R} \right) \times \pi r^2$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi}{I}$ થાય.
તેથી,$M = \frac{\frac{\mu_0 I}{2 R} \times \pi r^2}{I} = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2 R}$.

(D) બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. સૂત્ર $|e_s| = M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I = I_0 \sin \omega t$,તેથી સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|e_s| = M I_0 \omega \cos \omega t$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય,તેથી $|e_s|_{\max} = M I_0 \omega$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = 0.004 \ H$,$I_0 = 10 \ A$,અને $\omega = 50 \pi \ rad \ s^{-1}$:
$|e_s|_{\max} = 0.004 \times 10 \times 50 \pi = 2 \pi \ V$.

(D) કોઈલ $A$ માં વહેતા પ્રવાહ $i_1$ ને કારણે કોઈલ $B$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\Phi = M i_1$.
અહીં, $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક છે.
આપેલ છે કે પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta i_1 = 0.8 \,A$ છે, જેના પરિણામે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \Phi = 0.16 \,Wb$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$M = \frac{\Delta \Phi}{\Delta i_1} = \frac{0.16 \,Wb}{0.8 \,A} = 0.2 \,H$.

(C) પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $di_1 = (8 - 4) \,A = 4 \,A$ છે.
સમયગાળો $dt = 0.6 \,s$ છે.
ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત e.m.f. $E_2 = 50 \,mV = 50 \times 10^{-3} \,V$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ માટેનું સૂત્ર $E_2 = M \cdot \frac{di_1}{dt}$ છે.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $M = \frac{E_2 \cdot dt}{di_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{50 \times 10^{-3} \,V \times 0.6 \,s}{4 \,A}$.
$M = \frac{30 \times 10^{-3}}{4} \,H = 7.5 \times 10^{-3} \,H = 7.5 \,mH$.

(A) પાસપાસેની કોઈલમાં પ્રેરિત emf $e$ નું સૂત્ર $e = M \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે $I = 10 \sin(100 \pi t)$, તેથી પ્રવાહના ફેરફારનો દર:
$\frac{dI}{dt} = 10 \times 100 \pi \cos(100 \pi t) = 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
આ કિંમત emf ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e = M \times 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
પ્રેરિત emf $e_0$ નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(100 \pi t) = 1$ હોય, તેથી $e_0 = 1000 \pi M$.
આપેલ છે કે $e_0 = 5 \pi \text{ V}$, તેથી $1000 \pi M = 5 \pi$.
$M$ માટે ગણતરી કરતા: $M = \frac{5 \pi}{1000 \pi} = 0.005 \text{ H} = 5 \text{ mH}$.

(D) મોટા ગૂંચળા $B$ માંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ને કારણે નાના ગૂંચળા $A$ ના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ ગૂંચળા $A$ ના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
ગૂંચળા $B$ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}}$ છે.
નાના ગૂંચળા $A$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A_{1} = \left( \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}} \right) (\pi R_{1}^{2})$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_{0} \pi R_{1}^{2}}{2 R_{2}}$ થાય છે.
તેથી,$M \propto \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}}$.

(D) જો $r_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના ગૂંચળામાં $I_{1}$ પ્રવાહ વહેતો હોય,તો તેના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}}$ છે.
અહીં $r_{2} \ll r_{1}$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1}$ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{2} = B_{1} \times A_{2} = B_{1} \times \pi r_{2}^{2}$ થશે.
$B_{1}$ ની કિંમત મૂકતા,$\phi_{2} = \left( \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}} \right) \times \pi r_{2}^{2}$ મળે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ વ્યાખ્યા મુજબ,$M = \frac{\mu_{0} \pi r_{2}^{2}}{2 r_{1}}$ થાય.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા મોટા ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R \gg r$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \cdot (\pi r^{2})$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \cdot (\pi r^{2})$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_{0} \pi r^{2}}{2R}$.
અહીં $\mu_{0}$,$\pi$ અને $2$ અચળાંક હોવાથી,$M \propto \frac{r^{2}}{R}$ થાય છે.

(C) બે ગૂંચળા વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ તેમના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_{1}$ અને $L_{2}$ સાથે $M = k\sqrt{L_{1} L_{2}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $k$ એ કપલિંગનો ગુણાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે એક ગૂંચળાનું ફ્લક્સ બીજા સાથે સંપૂર્ણપણે સંકળાયેલું છે,જેનો અર્થ છે કે કપલિંગ સંપૂર્ણ છે,એટલે કે $k = 1$.
તેથી,આ સમીકરણ $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$ માં પરિણમે છે.

(A) બીજા ગૂંચળામાં ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ $\phi$ એ પ્રથમ ગૂંચળામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સાથે $\phi = M I$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $\Delta I$ માટે,ફ્લક્સ સાંકળમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta \phi = M \Delta I$
આપેલ છે:
$M = 1.5 \ H$
$\Delta I = I_f - I_i = 10 \ A - 0 \ A = 10 \ A$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = 1.5 \ H \times 10 \ A$
$\Delta \phi = 15 \ Wb$
તેથી,ફ્લક્સ સાંકળમાં થતો ફેરફાર $15 \ Wb$ છે.

(B) પાસપાસેના ગૂંચળામાં પ્રવાહ $I$ ને કારણે બીજા ગૂંચળામાં ફ્લક્સ સાંકળ $\phi$ એ $\phi = M I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે.
ફ્લક્સ સાંકળમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = M \Delta I$
આપેલ છે:
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 1.5 \ H$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = I_{final} - I_{initial} = 20 \ A - 0 \ A = 20 \ A$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = 1.5 \times 20$
$\Delta \phi = 30 \ Wb$
તેથી,ફ્લક્સ સાંકળમાં થતો ફેરફાર $30 \ Wb$ છે.

(D) જ્યારે આપણે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના લૂપમાંથી $I$ જેટલો પ્રવાહ પસાર કરીએ છીએ,ત્યારે કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$
અહીં $r \ll R$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ નાના લૂપ $A$ ના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2 R} \right) \times (\pi r^2)$
$\phi = \frac{\mu_0 I \pi r^2}{2 R}$
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ ગૌણ ગૂંચળામાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અને પ્રાથમિક ગૂંચળામાં વહેતા પ્રવાહ $I$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2 R}$

(B) બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ એક ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફાર $\Delta \phi$ અને બીજા ગૂંચળામાં થતા પ્રવાહના ફેરફાર $\Delta I$ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$
આપેલ કિંમતો:
ગૂંચળા $X$ માં પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I = 4 \ A$
ગૂંચળા $Y$ માં ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર,$\Delta \phi = 0.4 \ Wb$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{0.4 \ Wb}{4 \ A}$
$M = 0.1 \ H$
તેથી,આ સિસ્ટમનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $0.1 \ H$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
બે કોઈલની સિસ્ટમનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $(M)$ ભૌમિતિક પરિબળો જેવા કે આંટાઓની સંખ્યા $(N_1, N_2)$, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$, કોઈલ વચ્ચેનું અંતર અને તેમની વચ્ચેના માધ્યમની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $(\mu)$ પર આધાર રાખે છે。
તે $\phi_2 = M I_1$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યાં $\phi_2$ એ બીજી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I_1$ એ પ્રથમ કોઈલમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે。
આમ, $M = \frac{\phi_2}{I_1}$ હોવાથી, $M$ નું મૂલ્ય કોઈલમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1$ ના મૂલ્ય પર આધારિત નથી.

(A) અનંત લંબાઈના તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \int B \cdot dA = \int_{x}^{x+a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (a \, dr) = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(\frac{x+a}{x}\right)$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
લૂપ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે ગતિ કરતું હોવાથી,અંતર $x$ સમય $t$ સાથે $x = x_0 + vt$ મુજબ વધે છે.
આને $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $M(t) = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x_0 + vt}\right)$ મળે છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $\frac{a}{x_0 + vt}$ પદ ઘટે છે,અને તેથી $\ln(1 + \frac{a}{x_0 + vt})$ પણ ઘટે છે.
આ એક એવા વક્રને અનુરૂપ છે જે મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને જેમ $t \to \infty$ થાય તેમ શૂન્ય તરફ ઘટે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ છે: અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $ M = 0.005 \ H $,પ્રવાહ $ i = i_{m} \sin \omega t $,મહત્તમ પ્રવાહ $ i_{m} = 10 \ A $,અને કોણીય આવૃત્તિ $ \omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1} $.
બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત emf $ \varepsilon $ નું સૂત્ર $ \varepsilon = M \frac{di}{dt} $ છે.
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા: $ \varepsilon = M \frac{d}{dt} (i_{m} \sin \omega t) = M i_{m} \omega \cos \omega t $.
પ્રેરિત emf $ \varepsilon_{\max} $ નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $ \cos \omega t = 1 $ હોય.
તેથી,$ \varepsilon_{\max} = M \omega i_{m} $.
કિંમતો મૂકતા: $ \varepsilon_{\max} = 0.005 \times 100 \pi \times 10 = 5 \pi \ V $.
આમ,બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય $ 5 \pi \ V $ છે.

(B) આપેલ છે: મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$,સર્કિટ $Y$ નો અવરોધ $R_2 = 4 \text{ } \Omega$,સર્કિટ $Y$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_2 = 60 \times 10^{-4} \text{ A}$,સમયગાળો $\Delta t = 0.02 \text{ s}$.
સર્કિટ $X$ માં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે સર્કિટ $Y$ માં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e_2)$ $e_2 = M \frac{\Delta I_1}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટ $Y$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_2 = \frac{e_2}{R_2}$ છે.
$e_2$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $I_2 = \frac{M \cdot \Delta I_1}{R_2 \cdot \Delta t}$.
સર્કિટ $X$ માં પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_1$ શોધવા માટે:
$\Delta I_1 = \frac{I_2 \cdot R_2 \cdot \Delta t}{M}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 4 \times 0.02}{3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 0.08}{3 \times 10^{-3}} = \frac{4.8 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = 1.6 \times 10^{-1} = 0.16 \text{ A}$.

(C) બે ગૂંચળા વચ્ચેના અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $M$ એ ગૌણ ગૂંચળામાં થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફાર અને પ્રાથમિક ગૂંચળામાં થતા વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારના ગુણોત્તર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે।
$M = \frac{\Delta \phi_2}{\Delta I_1}$
આપેલ છે:
બીજા ગૂંચળામાં ફ્લક્સ ફેરફાર, $\Delta \phi_2 = 40 \,Wb$
પ્રથમ ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહનો ફેરફાર, $\Delta I_1 = 16 \,A - 0 \,A = 16 \,A$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{40}{16} \,H$
$M = 2.5 \,H$
તેથી, $M$ નું મૂલ્ય $2.5 \,H$ છે।

(A) બે કો-એક્સિયલ સોલેનોઈડનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ શોધવાનું સૂત્ર: $M = \mu_0 n_1 n_2 A l$ છે,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ અંદરના સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$
બહારના સોલેનોઈડ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા $n_1 = 15 \ \text{turns/cm} = 1500 \ \text{turns/m}$
અંદરના સોલેનોઈડ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા $n_2 = 40 \ \text{turns/cm} = 4000 \ \text{turns/m}$
અંદરના સોલેનોઈડનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 10^{-3} \ m^2$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$M = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1500 \times 4000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.6$
$M = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^6) \times (1.2 \times 10^{-3})$
$M \approx 9.04 \times 10^{-3} \ H = 9 \ mH$.

(B) આપેલ છે:
$N_1 = 2000$,$L = 0.30 \ m$,$N_2 = 300$,$A = 1.2 \times 10^{-3} \ m^2$.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\frac{di}{dt} = \frac{I_f - I_i}{\Delta t} = \frac{-2 - 2}{0.25} = -16 \ A/s$. તેનું મૂલ્ય $16 \ A/s$ છે.
સોલેનોઇડ-ગૂંચળાની તંત્રનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{L}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 300 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.30} = 3.016 \times 10^{-3} \ H$.
પ્રેરિત emf $e = M \left| \frac{di}{dt} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$e = (3.016 \times 10^{-3}) \times 16 = 4.825 \times 10^{-2} \ V \approx 4.8 \times 10^{-2} \ V$.

(B) આપેલ છે: મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $M = 0.2 H$.
પ્રાયમરી કોઈલમાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = 5 A s^{-1}$ છે.
સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$e = M \frac{dI}{dt}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.2 H \times 5 A s^{-1}$
$e = 1 V$
તેથી,સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $1 V$ છે.

(C) ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf $(e_s)$ એ સંબંધ $e_s = -M \frac{di_p}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરણનો સહગુણક છે અને $\frac{di_p}{dt}$ એ પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર છે.
જો પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર એકમ હોય,એટલે કે $\frac{di_p}{dt} = 1 \ A/s$,તો પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય અન્યોન્ય પ્રેરણના સહગુણક જેટલું થાય છે $(|e_s| = M)$.
તેથી,પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહના એકમ ફેરફારના દરને કારણે ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf ને બે ગૂંચળાનું અન્યોન્ય પ્રેરણ (Mutual Induction) કહેવામાં આવે છે.

(C) બે સમકેન્દ્રીય સમતલીય વર્તુળાકાર લૂપ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે બહારની લૂપની ત્રિજ્યા $R$ છે અને અંદરની લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે.
જ્યારે બહારની લૂપમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R \gg r$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
નાની લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ નાની લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I$.
વ્યાખ્યા મુજબ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\phi = MI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$ મળે છે.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\frac{r^2}{R}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) પ્રવાહ $I$ વહન કરતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રેમની અંદર તારથી $r$ અંતરે $dr$ પહોળાઈની એક નાની લંબચોરસ પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ $dA = b \cdot dr$ છે.
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \right) (b \cdot dr) = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \frac{dr}{r}$ છે.
ફ્રેમમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ શોધવા માટે,આપણે $r = a$ થી $r = 2a$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\phi = \int_a^{2a} \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} [\ln r]_a^{2a} = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \ln \left( \frac{2a}{a} \right) = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \ln 2$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 b}{2 \pi} \ln 2$.

(C) $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_2}$ છે.
અહીં $r_1 \ll r_2$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે.
નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left(\frac{\mu_0 I}{2 r_2}\right) \cdot (\pi r_1^2)$ થાય.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 8 \ mH = 8 \times 10^{-3} \ H$. પ્રવાહ $I = 12 \sin 100t$.
બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $\varepsilon = M \frac{dI}{dt}$ છે.
$I$ નું સમીકરણ મૂકતા:
$\varepsilon = M \frac{d}{dt} (12 \sin 100t)$
$\varepsilon = M \times 12 \times 100 \cos 100t$
$\varepsilon = 1200 M \cos 100t$.
પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos 100t = 1$ હોય:
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times M$
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times 8 \times 10^{-3} \ V$
$\varepsilon_{\max} = 9.6 \ V$.

(B) પાસપાસેના ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારને કારણે પ્રેરિત emf $\varepsilon$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહમાં ફેરફાર,$dI = 10 \,A - 2 \,A = 8 \,A$
સમયગાળો,$dt = 0.2 \,s$
પ્રેરિત emf,$\varepsilon = 120 \,V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$120 = M \times \frac{8}{0.2}$
$120 = M \times 40$
$M = \frac{120}{40} = 3 \,H$
તેથી,ગૂંચળાઓની જોડીનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $3 \,H$ છે.

(C) બે સમકેન્દ્રીય ગૂંચળા માટે અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નું સૂત્ર,જ્યાં $r \ll R$ છે,તે $M = \frac{\mu_0 \pi N_1 N_2 r^2}{2 R}$ છે.
અહીં,$N_1$ અને $N_2$ એ અનુક્રમે અંદરના અને બહારના ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે,$r$ એ અંદરના ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ બહારના ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $M \propto r^2$.
સાપેક્ષ ત્રુટિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta M}{M} = 2 \frac{\Delta r}{r}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta r}{r} \times 100 \% = 2 \%$ છે.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta M}{M} \times 100 \% = 2 \times (2 \%) = 4 \%$ થશે.

(B) આપેલ છે: અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 0.005 \ H$,પ્રવાહ $I = I_0 \sin \omega t$,$I_0 = 10 \ A$,અને $\omega = 100 \pi \ rad/s$.
બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$e = M \frac{dI}{dt}$
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા:
$e = M \frac{d}{dt} (I_0 \sin \omega t) = M I_0 \omega \cos \omega t$
પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય:
$e_{\max} = M I_0 \omega$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e_{\max} = 0.005 \times 10 \times 100 \pi$
$e_{\max} = 0.05 \times 100 \pi = 5 \pi \ V$
આમ,પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય $5 \pi \ V$ છે.

(A) $L$ બાજુવાળા મોટા ચોરસ લૂપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $l$ બાજુવાળું નાનું લૂપ કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યું છે,નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A$ છે,જ્યાં $A = l^2$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$\phi = \left( \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\phi$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 l^2}{\pi L}$ મળે છે.
તેથી,$M \propto \frac{l^2}{L}$.

(B) સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \frac{di}{dt}$.
આપેલ છે:
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $(M) = 92 \times 10^{-6} \, H$.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $(\frac{di}{dt}) = \frac{25 \, A}{1 \, ms} = \frac{25 \, A}{1 \times 10^{-3} \, s} = 25,000 \, A/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25,000$
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^3$
$e = 92 \times 25 \times 10^{-3}$
$e = 2300 \times 10^{-3} = 2.3 \, V$.
તેથી, સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $2.3 \, V$ છે.

(D) ધારો કે $L$ બાજુવાળી મોટી ચોરસ લૂપમાંથી $I$ જેટલો પ્રવાહ વહે છે. મોટી લૂપની એક બાજુ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ મર્યાદિત વાયરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_{side} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \alpha + \sin \beta)$,જ્યાં $d = L/2$ અને $\alpha = \beta = 45^\circ$ છે.
આવી ચાર બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{\pi L} \times 2 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$ છે.
$L \gg l$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ $S_2 = l^2$ પર સમાન છે.
નાની લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B \times S_2 = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi_2}{I} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 l^2}{\pi L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M \propto \frac{l^2}{L}$.

(C) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $\Delta \phi = M \Delta i$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર છે અને $\Delta i$ એ પ્રવાહમાં ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
$\Delta i = 0.01 \,A = 10^{-2} \,A$
$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \,Wb$
સૂત્ર $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \frac{2 \times 10^{-2} \,Wb}{10^{-2} \,A} = 2 \,H$.
તેથી,બે કોઈલનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $2 \,H$ છે.

(B) $1$. વર્તુળાકાર લૂપ માટે: પરિઘ $2 \pi R = L$ છે, તેથી $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$2$. ચોરસ લૂપ માટે: પરિમિતિ $4s = a$ છે, જ્યાં $s$ એ ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે. તેથી, $s = \frac{a}{4}$.
$3$. વર્તુળાકાર લૂપમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ છે.
$4$. $a \ll R$ હોવાથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ચોરસ લૂપના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે. ચોરસ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = B \times s^2$ છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \times s^2 = \left( \frac{\mu_{0} I}{2(L / 2 \pi)} \right) \times \left( \frac{a}{4} \right)^2 = \left( \frac{\mu_{0} I \pi}{L} \right) \times \frac{a^2}{16} = \frac{\mu_{0} \pi a^2}{16 L} I$.
$6$. મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_{0} \pi a^2}{16 L}$ મળે છે.

(C) ગૌણ ગૂંચળામાં ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ $\phi$ અને પ્રાથમિક ગૂંચળામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = M I$ છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે.
ફ્લક્સ સાંકળમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi$ શોધવા માટે,આપણે $\Delta \phi = M \Delta I$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે:
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 2 \text{H}$.
વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta I = I_f - I_i = 30 \text{A} - 0 \text{A} = 30 \text{A}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \phi = 2 \text{H} \times 30 \text{A} = 60 \text{ Wb}$.
આમ,બીજા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $60 \text{ Wb}$ છે.

(C) $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r_2}$ છે.
અહીં $r_1 \ll r_2$ હોવાથી,મોટા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A = \frac{\mu_0 I}{2r_2} \times (\pi r_1^2)$ થાય.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2r_2}$ મળે છે.
આમ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\frac{r_1^2}{r_2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.