Combination of Inductor Questions in Gujarati

(C) જ્યારે ઇન્ડક્ટર્સને સમાંતર જોડવામાં આવે અને તેઓ એકબીજાથી દૂર હોય (જેનો અર્થ છે કે તેમની વચ્ચે કોઈ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શન નથી),ત્યારે તેઓ અવરોધોના સમાંતર જોડાણના નિયમોનું પાલન કરે છે.
બે ઇન્ડક્ટર્સ $L_1$ અને $L_2$ સમાંતરમાં હોય ત્યારે,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$
અહીં $L_1 = L$ અને $L_2 = L$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$
તેથી,$L_{eq} = \frac{L}{2}$.

(C) આપેલ પરિપથમાં,દરેક $3\;H$ ના ત્રણેય ઇન્ડક્ટર બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
ત્રણેય ઇન્ડક્ટરના છેડા સમાન બે નોડ $A$ અને $D$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ઇન્ડક્ટર માટે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
કિંમતો $L_1 = L_2 = L_3 = 3\;H$ મૂકતા:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1\;H^{-1}$
તેથી,$L_{eq} = 1\;H$.

(A) ધારો કે બે ઇન્ડક્ટન્સ $L_1$ અને $L_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે: $L_S = L_1 + L_2 = 10 \, H$ ..... $(i)$
સમાંતર જોડાણ માટે: $L_P = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2} = 2.4 \, H$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા: $L_1 L_2 = 2.4 \times 10 = 24 \, H^2$ ..... $(iii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે: $(L_1 - L_2)^2 = (L_1 + L_2)^2 - 4 L_1 L_2$
કિંમતો મૂકતા: $(L_1 - L_2)^2 = (10)^2 - 4(24) = 100 - 96 = 4$
વર્ગમૂળ લેતા: $L_1 - L_2 = \sqrt{4} = 2 \, H$.

(D) જ્યારે $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતી બે સમાન કોઈલ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L_1 + L_2 \pm 2M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ કોઈલ વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
કોઈલ સમાન હોવાથી અને એકબીજાની ખૂબ નજીક હોવાથી,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ જેટલું જ હોય છે (એટલે કે $M = L$).
વાઇન્ડિંગની દિશા એકબીજાની વિરુદ્ધ હોવાથી,એક કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બીજી કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ફ્લક્સનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સની અસર નકારાત્મક બને છે.
તેથી,કુલ ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L + L - 2M$ થાય છે.
$M = L$ મૂકતા,આપણને $L_{eq} = L + L - 2L = 0$ મળે છે.

(C) સ્વિચ $S$ બંધ કરતા પહેલા,પ્રવાહ $i$ એકમાત્ર ઇન્ડક્ટર $L$ અને અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. સ્થાયી પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R}$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{2} L \left( \frac{\varepsilon}{R} \right)^2$ છે.
સ્વિચ $S$ બંધ કર્યા પછી,બે ઇન્ડક્ટર $L$ અને $L$ સમાંતર જોડાણમાં આવે છે. સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = \frac{L \times L}{L + L} = \frac{L}{2}$ થાય છે.
લાંબા સમય પછી,ઇન્ડક્ટર્સ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R}$ રહે છે.
આ પ્રવાહ $i$ બે સમાંતર શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી દરેક ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $i' = \frac{i}{2} = \frac{\varepsilon}{2R}$ થાય છે.
બંને ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $E' = \frac{1}{2} L (i')^2 + \frac{1}{2} L (i')^2 = L (i')^2$ છે.
$i' = \frac{i}{2}$ મૂકતા,આપણને $E' = L \left( \frac{i}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} L i^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) = \frac{E}{2}$ મળે છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં, ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R = 5 \, \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = V/R = 20 \, V / 5 \, \Omega = 4 \, A$ છે.
આ પ્રવાહ $I$ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે જેમાં $L_1 = 5 \, mH$ અને $L_2 = 10 \, mH$ ના ઇન્ડક્ટર છે.
સમાંતર ઇન્ડક્ટર્સ માટે, પ્રવાહ તેમના ઇન્ડક્ટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાય છે: $I_1 / I_2 = L_2 / L_1$.
ઇન્ડક્ટર્સ માટે કરંટ ડિવાઇડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_{L1} = I \times (L_2 / (L_1 + L_2))$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{L1} = 4 \times (10 / (5 + 10)) = 4 \times (10 / 15) = 4 \times (2 / 3) = 8/3 \, A$.

(B) જ્યારે ઇન્ડક્ટર $L_1$ અને $L_2$ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે $L_1$ ની આજુબાજુનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1$ છે અને $L_2$ ની આજુબાજુ $V_2$ છે. તેથી $V_1 = V_2$.
ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\mathcal{E} = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ઇન્ડક્ટર પરના પ્રેરિત $EMF$ ના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$L_1 \frac{di_1}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt}$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા (ધારો કે $t=0$ સમયે પ્રારંભિક પ્રવાહ શૂન્ય છે):
$L_1 \int di_1 = L_2 \int di_2$
આનાથી આપણને મળે છે:
$L_1 i_1 = L_2 i_2$
તેથી,પ્રવાહનો ગુણોત્તર:
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{L_2}{L_1}$

(D) જ્યારે $L_1$ અને $L_2$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા બે ઇન્ડક્ટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ એ વ્યક્તિગત પ્રેરિત $EMF$ અને અન્યોન્ય પ્રેરિત $EMF$ નો સરવાળો છે.
જો પ્રવાહ કોઈલમાંથી એવી રીતે વહે છે કે એક કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બીજી કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ફ્લક્સને મદદ કરે છે (જેમ કે આકૃતિમાં પ્રવાહની દિશા દ્વારા દર્શાવેલ છે),તો અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ હકારાત્મક રીતે ફાળો આપે છે.
કુલ અસરકારક ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે નોડ્સને ઓળખી શકીએ છીએ. ચારેય ઇન્ડક્ટર્સ,જે દરેક $4 \, H$ ના છે,તે $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા $n$ ઇન્ડક્ટર્સ માટે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \frac{1}{L_4}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{4}{4} = 1 \, H^{-1}$
તેથી,$L_{eq} = 1 \, H$.

(B) શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_s = L_1 + L_2 = 10 \, H$ છે ........$(i)$
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_p = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2} = 2.4 \, H$ છે ........$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(L_1 + L_2)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$L_1 L_2 = 2.4 \times (L_1 + L_2) = 2.4 \times 10 = 24 \, H^2$
નિત્યસમ $(L_1 - L_2)^2 = (L_1 + L_2)^2 - 4 L_1 L_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(L_1 - L_2)^2 = (10)^2 - 4(24) = 100 - 96 = 4$
$L_1 - L_2 = \sqrt{4} = 2 \, H$ ........$(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2 L_1 = 12 \implies L_1 = 6 \, H$
સમીકરણ $(i)$ માં $L_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$6 + L_2 = 10 \implies L_2 = 4 \, H$
આમ,ઇન્ડક્ટર્સના મૂલ્યો $6 \, H$ અને $4 \, H$ છે.

(D) ઇન્ડક્ટર્સ $L_{2} = 0.50 \, H$ અને $L_{3} = 0.50 \, H$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેમનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L^{\prime} = \frac{L_{2} L_{3}}{L_{2} + L_{3}} = \frac{0.50 \times 0.50}{0.50 + 0.50} = \frac{0.25}{1.00} = 0.25 \, H$
હવે,$L^{\prime}$ એ $L_{1} = 0.75 \, H$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L$:
$L = L_{1} + L^{\prime} = 0.75 \, H + 0.25 \, H = 1 \, H$

(C) કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ આંટાઓની સંખ્યા $N$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં અને કોઈલની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગમાં આંટાઓની સંખ્યા $N/2$ થાય છે અને લંબાઈ $l/2$ થાય છે.
$L \propto N^2/l$ હોવાથી,દરેક ભાગ માટે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = \frac{(N/2)^2}{l/2} = \frac{N^2/4}{l/2} = \frac{1}{2} \frac{N^2}{l} = L/2$ થશે.
જ્યારે બે ઇન્ડક્ટર $L_1$ અને $L_2$ ને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$ છે.
અહીં,$L_1 = L_2 = L/2$ છે.
તેથી,$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$.
આમ,$L_{eq} = L/4$ મળે છે.

(D) જ્યારે બે ગૂંચળા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ એ સ્વ-પ્રેરિત $EMF$ અને અન્યોન્ય પ્રેરિત $EMF$ નો સરવાળો હોય છે.
કુલ $EMF$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = V_{L1} + V_{L2} + V_{M1} + V_{M2}$
$V = L_{1} \frac{dI}{dt} + L_{2} \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt}$
આપેલ આકૃતિને જોતા,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પ્રથમ ગૂંચળામાં પ્રવેશે છે અને બહાર નીકળે છે,ત્યારબાદ બીજા ગૂંચળામાં એવી રીતે પ્રવેશે છે કે બીજા ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ પ્રથમ ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ફ્લક્સનો વિરોધ કરે છે.
ગૂંચળાના વાઈન્ડિંગની સાપેક્ષમાં બંને ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વની અસર બાદબાકી સ્વરૂપે મળે છે.
તેથી,સમતુલ્ય આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_{eq}$:
$L_{eq} = L_{1} + L_{2} - 2M$

(C) આપેલ છે: $L_1 = L_2 = L = 60 mH = 60 \times 10^{-3} H$.
પ્રવાહ $I = 2.2 A$.
જ્યારે બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$.
તેથી,$L_{eq} = \frac{L}{2} = \frac{60 mH}{2} = 30 mH = 30 \times 10^{-3} H$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (30 \times 10^{-3}) \times (2.2)^2$.
$U = 0.5 \times 30 \times 10^{-3} \times 4.84$.
$U = 15 \times 10^{-3} \times 4.84 = 0.0726 J$.

(B) જ્યારે ઇન્ડક્ટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઇન્ડક્ટન્સના સરવાળા જેટલું હોય છે.
દરેક $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા ત્રણ ઇન્ડક્ટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,$L_{eq} = L + L + L = 3L$ થાય.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ છે.
$L_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} (3L) I^2 = \frac{3}{2} L I^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આ પરિપથમાં $0.7 \ H$ ના બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાણમાં છે,જે ત્યારબાદ $0.85 \ H$ ના ઇન્ડક્ટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પ્રથમ,બે સમાંતર ઇન્ડક્ટરનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $(L_p)$ ગણો:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{0.7} + \frac{1}{0.7} = \frac{2}{0.7}$
$L_p = \frac{0.7}{2} = 0.35 \ H$
હવે,આ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $0.85 \ H$ ના ઇન્ડક્ટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
કુલ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $(L_{eq})$ છે:
$L_{eq} = L_p + 0.85 \ H$
$L_{eq} = 0.35 \ H + 0.85 \ H = 1.20 \ H$
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $1.20 \ H$ છે.

(B) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ: પરિપથ શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ઇન્ડક્ટર્સનો બનેલો છે.
$2$. $2 H$ અને $3 H$ ના ઇન્ડક્ટર્સ ઇનપુટ નોડ $A$ અને કેન્દ્રિય નોડ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} H$ થાય.
$3$. $4 H$ અને $6 H$ ના ઇન્ડક્ટર્સ કેન્દ્રિય નોડ અને આઉટપુટ નોડ $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_2 = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} H$ થાય.
$4$. આ બંને સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટર્સ $L_1$ અને $L_2$ શ્રેણીમાં છે.
$5$. કુલ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L_1 + L_2 = \frac{6}{5} + \frac{12}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 H$ થાય.

(C) આપેલ છે: દરેક ઇન્ડક્ટરનું ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L_2 = 80 \ mH = 80 \times 10^{-3} \ H$.
ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$.
$L_{eq} = \frac{L_1 \times L_2}{L_1 + L_2} = \frac{80 \times 80}{80 + 80} \ mH = \frac{6400}{160} \ mH = 40 \ mH = 40 \times 10^{-3} \ H$.
સંયોજનમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = 2.1 \ A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-3}) \times (2.1)^2$.
$U = 20 \times 10^{-3} \times 4.41$.
$U = 88.2 \times 10^{-3} \ J = 8.82 \times 10^{-2} \ J$.

(D) આ પરિપથમાં $L/2$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાણમાં છે,જે શ્રેણીમાં $3L/4$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા ઇન્ડક્ટર સાથે જોડાયેલા છે.
સૌ પ્રથમ,સમાંતરમાં રહેલા બે ઇન્ડક્ટરનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_p$ શોધો:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
$\therefore L_p = \frac{L}{4}$
હવે,શ્રેણીમાં રહેલા ઇન્ડક્ટરને ઉમેરીને કુલ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ શોધો:
$L_{eq} = L_p + \frac{3L}{4} = \frac{L}{4} + \frac{3L}{4} = \frac{4L}{4} = L$

(D) કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(L \propto l)$.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L_2 = \frac{L}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ઇન્ડક્ટર્સને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
તેથી,$L_{eq} = \frac{L}{4}$.

(D) શ્રેણીમાં જોડાયેલા ઇન્ડક્ટર્સ માટે, અસરકારક ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eff} = L_1 + L_2 + L_3$ છે। સમાંતરમાં જોડાયેલા ઇન્ડક્ટર્સ માટે, અસરકારક ઇન્ડક્ટન્સ $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$1$. સંયોજન $P$: ઇન્ડક્ટર્સ શ્રેણીમાં છે। $L_{eff} = 2 + 3 + 6 = 11 \ H$.
$2$. સંયોજન $Q$: ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતરમાં છે। $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \ H^{-1}$. તેથી, $L_{eff} = 1 \ H$.
$3$. સંયોજન $R$: $L_1$ અને $L_2$ શ્રેણીમાં છે, અને આ સંયોજન $L_3$ સાથે સમાંતરમાં છે। $L_{series} = 2 + 3 = 5 \ H$. પછી $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{11}{30}$, તેથી $L_{eff} = \frac{30}{11} \approx 2.72 \ H$.
$4$. સંયોજન $S$: આ એક મિશ્ર શ્રેણી-સમાંતર સર્કિટ છે। $L_1$ એ $L_3$ સાથે સમાંતરમાં છે, અને આ સંયોજન $L_2$ સાથે શ્રેણીમાં છે। $\frac{1}{L_{parallel}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \ H^{-1}$, તેથી $L_{parallel} = 1.5 \ H$. પછી $L_{eff} = 1.5 + 3 = 4.5 \ H$.
તેથી, સાચું સંયોજન $Q$ છે।

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ત્રણેય ઇન્ડક્ટર્સના ડાબા છેડા બિંદુ $P$ સાથે અને જમણા છેડા બિંદુ $Q$ સાથે જોડાયેલા છે.
આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ઇન્ડક્ટર્સ માટે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
અહીં $L_1 = L_2 = L_3 = 6 \ H$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \ H^{-1}$
તેથી,$L_{eq} = 2 \ H$.

(C) $L_1$ અને $L_2$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા બે ગૂંચળા જ્યારે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L_1 + L_2 \pm 2M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ગૂંચળા વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
ગૂંચળા સમાન હોવાથી,$L_1 = L_2 = L$ થાય.
વીંટાળવાની દિશા બિલકુલ વિરુદ્ધ હોવાથી,એક ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બીજા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ફ્લક્સનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સની અસર ઋણ થાય છે.
એકબીજાની ખૂબ નજીક મૂકવામાં આવેલા બે સમાન ગૂંચળા માટે,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ જેટલું હોય છે (એટલે કે $M = L$).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $L_{eq} = L + L - 2M = 2L - 2L = 0$.

(C) જ્યારે $L_1$ અને $L_2$ આત્મ-પ્રેરકત્વ અને $M$ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ ધરાવતા બે ગૂંચળા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પ્રેરકત્વ $L_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
આપેલ છે:
$L_1 = 1 H$
$L_2 = 3 H$
$M = 5 H$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 2(5 H)$
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 10 H$
$L_{eq} = 14 H$
તેથી,આ સંયોજનનું સમતુલ્ય આત્મ-પ્રેરકત્વ $14 H$ છે.

(D) સમાંતરમાં જોડાયેલા $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા બે ઇન્ડક્ટરનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$L_p = \frac{L \times L}{L + L} = \frac{L^2}{2L} = \frac{L}{2}$
આ સમાંતર જોડાણ $5 \text{ mH}$ ના ઇન્ડક્ટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. કુલ અસરકારક ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ છે:
$L_{eq} = L_p + 5 \text{ mH}$
આપેલ છે કે $L_{eq} = 15 \text{ mH}$,તેથી:
$15 = \frac{L}{2} + 5$
$10 = \frac{L}{2}$
$L = 20 \text{ mH}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $L \propto \frac{N^2}{l}$.
જ્યારે ગૂંચળાને $n = 6$ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગમાં આંટાની સંખ્યા $N' = \frac{N}{6}$ થાય છે અને દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = \frac{l}{6}$ થાય છે.
દરેક ભાગનું ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ આ મુજબ મળે: $L' = L \left( \frac{N'}{N} \right)^2 \left( \frac{l}{l'} \right) = L \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{l}{l/6} \right) = L \left( \frac{1}{36} \right) (6) = \frac{L}{6}$.
જ્યારે આ $6$ ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_e$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{L_e} = \sum \frac{1}{L'} = \frac{1}{L'} + \frac{1}{L'} + \dots + \frac{1}{L'} = \frac{6}{L'}$ છે.
$L' = \frac{L}{6}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1}{L_e} = \frac{6}{L/6} = \frac{36}{L}$ મળે છે.
તેથી,$L_e = \frac{L}{36}$.

(D) ધારો કે બે ઇન્ડક્ટરના ઇન્ડક્ટન્સ $L_1$ અને $L_2$ છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_p$ એ $\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L_p = 1.5 \ H$,તેથી $\frac{1}{1.5} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2} \quad (1)$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_s$ એ $L_s = L_1 + L_2$ છે.
આપેલ છે કે $L_s = 8 \ H$,તેથી $L_1 + L_2 = 8 \quad (2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{8}{L_1 L_2} \Rightarrow L_1 L_2 = 12 \quad (3)$.
આપણી પાસે $L_1 + L_2 = 8$ અને $L_1 L_2 = 12$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (L_1 + L_2)x + L_1 L_2 = 0$ ના બીજ છે,જે $x^2 - 8x + 12 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(x - 6)(x - 2) = 0$,તેથી $L_1 = 6 \ H$ અને $L_2 = 2 \ H$.
ઇન્ડક્ટન્સ વચ્ચેનો તફાવત $|L_1 - L_2| = |6 - 2| = 4 \ H$ છે.

(C) $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતી કોઈલને ચાર સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવતી હોવાથી,દરેક ભાગનું ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L_2 = L_3 = L_4 = \frac{L}{4}$ થશે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L^{\prime}$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \frac{1}{L_4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} = \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} = \frac{16}{L}$ મળે છે.
તેથી,$L^{\prime} = \frac{L}{16}$ થાય.

(C) આપેલ છે, $L_{1} = 6 mH = 6 \times 10^{-3} H$ અને $L_{2} = 8 mH = 8 \times 10^{-3} H$.
જ્યારે બે ગૂંચળા $L_{1}$ અને $L_{2}$ ને શ્રેણીમાં મહત્તમ કપલિંગ ગુણાંક $(k = 1)$ સાથે જોડવામાં આવે, ત્યારે સમતુલ્ય આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નું સૂત્ર:
$L = L_{1} + L_{2} + 2M$
જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે, $M = k \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
મહત્તમ કપલિંગ માટે, $k = 1$, તેથી $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$L = L_{1} + L_{2} + 2 \sqrt{L_{1} L_{2}} \text{ (} mH \text{ માં)}$
$L = 14 + 2 \sqrt{48}$
$L = 14 + 2 \times 6.928$
$L = 14 + 13.856 = 27.856 mH$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $L \approx 28 mH$ મળે છે.

(D) ધારો કે $L_1 = L_2 = L_3 = L$.
ઇન્ડક્ટર્સ $L_2$ અને $L_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{23}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{L_{23}} = \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$,જેનો અર્થ છે કે $L_{23} = \frac{L}{2}$.
પરિપથનું કુલ ઇન્ડક્ટન્સ $L_t = L_1 + L_{23} = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ છે.
પરિપથમાં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ઉર્જા $U_t = \frac{1}{2} L_t I^2 = \frac{1}{2} (\frac{3L}{2}) I^2 = \frac{3}{4} LI^2$ છે,જ્યાં $I$ એ પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ છે.
કારણ કે $L_2$ અને $L_3$ સમાંતર છે અને સમાન ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવે છે,તેથી પ્રવાહ $I$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,$L_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = I/2$ છે.
$L_2$ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U_l = \frac{1}{2} L_2 I_2^2 = \frac{1}{2} L (I/2)^2 = \frac{1}{2} L (I^2/4) = \frac{1}{8} LI^2$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $U_t / U_l = (\frac{3}{4} LI^2) / (\frac{1}{8} LI^2) = \frac{3}{4} \times 8 = 6$.