R-L D.C. Circuit Questions in Gujarati

(A) $L-R$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ સૂત્ર $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે જેનો એકમ હેનરી $(H)$ છે અને $R$ એ અવરોધ છે જેનો એકમ ઓહ્મ $(\Omega)$ છે.
કારણ કે $\tau$ એ સમય દર્શાવે છે,તેથી તેનો એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે.
તેથી,$Henry/ohm$ એકમ એ સેકન્ડને સમાન છે.

(A) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ છે.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
તેથી,$L/R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
$\frac{[M L^2 T^{-2} A^{-2}]}{[M L^2 T^{-3} A^{-2}]} = [T^1]$ થાય.
આમ,$L/R$ નું પરિમાણ સમય હોવાથી,તેનો એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે.

(D) $LR$ સર્કિટમાં,કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $I = I_0(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવા માટે,પદ $\frac{Rt}{L}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{Rt}{L}$ ના પરિમાણો $1$ (પરિમાણરહિત અચળાંક) ના પરિમાણો સમાન છે.
તેથી,$\frac{L}{R}$ ના પરિમાણો $t$ (સમય) ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આમ,ટાઇમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ એ સમયના પરિમાણો ધરાવે છે.

(B) $DC$ પરિપથમાં,સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર એક સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે જેનો અવરોધ માત્ર તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
અહીં આપેલ છે કે સોલેનોઇડનો અવરોધ $R = 10\,\Omega$ છે અને તે $E = 10\,V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ શૂન્ય થાય છે કારણ કે $DC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે.
તેથી,પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$i = \frac{E}{R} = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$.

(B) $LR$ પરિપથમાં $t$ સમયે પ્રવાહનું સૂત્ર $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ છે.
અહીં, મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = V/R = 5 \, V / 5 \, \Omega = 1 \, A$ છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = L/R = 10 \, H / 5 \, \Omega = 2 \, s$ છે.
$t = 2 \, s$ આપેલ હોવાથી, પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ થશે:
$i = 1 \times (1 - e^{-(5 \times 2)/10})$
$i = 1 \times (1 - e^{-10/10})$
$i = (1 - e^{-1}) \, A$.

(C) $LR$ પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ પ્રવાહને તેના પ્રારંભિક સ્થાયી મૂલ્યના $1/e$ (આશરે $37\%$) સુધી ઘટવા માટે લાગતા સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટનું સૂત્ર $\tau = \frac{L}{R}$ છે.
આપેલ છે:
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 50\,H$
અવરોધ $R = 10\,\Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{50}{10} = 5\,s$.
તેથી,પ્રવાહ તેના સ્થાયી મૂલ્યના $1/e$ સુધી $5\,seconds$ માં ઘટશે.

(D) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $I = I_0(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = V/R$ એ અંતિમ સ્થાયી પ્રવાહ છે.
જ્યારે પ્રવાહ તેના અંતિમ મૂલ્યના $0.63$ ગણો થાય,ત્યારે $I = 0.63 I_0$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.63 I_0 = I_0(1 - e^{-Rt/L})$.
$0.63 = 1 - e^{-Rt/L}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-Rt/L} = 1 - 0.63 = 0.37$.
કારણ કે $e^{-1} \approx 0.368 \approx 0.37$,તેથી $Rt/L = 1$ મળે.
આમ,સમય $t$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = L/R$ જેટલો છે.
અહીં $L = 2.5\,H$ અને $R = 0.5\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી $t = 2.5 / 0.5 = 5\,s$ મળે.

(B) $E$ જેટલા $e.m.f.$ ધરાવતા $D.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ $L-R$ સર્કિટમાં,કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $I(t) = \frac{E}{R} (1 - e^{-Rt/L})$.
જેમ જેમ સમય $t$ અનંત તરફ જાય છે (લાંબા સમય પછી),તેમ પદ $e^{-Rt/L}$ શૂન્ય તરફ જાય છે.
તેથી,સ્થાયી સ્થિતિમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} (1 - 0) = \frac{E}{R}$ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટર શૂન્ય અવરોધ ધરાવતા સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે અને પ્રવાહ માત્ર અવરોધ $R$ દ્વારા મર્યાદિત રહે છે.

(B) $RL$ સર્કિટ માટે,કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_0 = E/R$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{di}{dt} = \frac{i_0 R}{L} e^{-Rt/L}$ મળે છે.
$i_0 = E/R$ મૂકતા,આપણી પાસે $\frac{di}{dt} = \frac{E}{L} e^{-Rt/L}$ છે.
સ્વીચ બંધ કરવાના ક્ષણે $(t = 0)$,સમીકરણ $\frac{di}{dt} = \frac{E}{L}$ બને છે.
આપેલ છે કે $\frac{di}{dt} = 4 \, A/s$,$L = 20 \, H$,અને $R = 5 \, \Omega$.
આ કિંમતો મૂકતા: $4 = \frac{E}{20}$.
તેથી,$E = 4 \times 20 = 80 \, V$.

(B) જ્યારે $L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં ડાયરેક્ટ કરંટ સ્ત્રોત જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાં સ્વ-પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સને કારણે પ્રવાહ તરત જ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચતો નથી.
$L-R$ સર્કિટમાં પ્રવાહનો વધારો વિકલ સમીકરણ $L(dI/dt) + IR = E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ $I(0) = 0$ સાથે આ સમીકરણને ઉકેલતા,આપણને સમયના વિધેય તરીકે પ્રવાહનું સૂત્ર મળે છે:
$I(t) = I_0 (1 - e^{-Rt/L})$
જ્યાં $I_0 = E/R$ એ મહત્તમ સ્થિર-સ્થિતિ પ્રવાહ છે અને $\tau = L/R$ એ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.

(C) જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે $RL$ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = i_0 e^{-Rt/L}$ સમીકરણ મુજબ ઘાતાંકીય રીતે ઘટવાનું શરૂ કરે છે.
આપેલ છે કે પ્રવાહ તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $37\%$ સુધી ઘટે છે,તેથી $i = 0.37 i_0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.37 i_0 = i_0 e^{-Rt/L}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{-1} \approx 0.3678 \approx 0.37$,તેથી $0.37 \approx e^{-1}$ લખી શકાય.
તેથી,$e^{-1} = e^{-Rt/L}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $1 = \frac{Rt}{L}$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{L}{R}$ સેકન્ડ મળે છે.

(A) $LR$ સર્કિટ બંધ કર્યા પછી કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = {I_0}(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$.
સમય અચળાંક $\tau$ ને $\tau = \frac{L}{R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રવાહના સમીકરણમાં $t = \tau = \frac{L}{R}$ મૂકતા:
$I = {I_0}(1 - e^{-\frac{R}{L} \cdot \frac{L}{R}}) = {I_0}(1 - e^{-1})$.
કારણ કે $e^{-1} \approx \frac{1}{2.718} \approx 0.37$,તેથી:
$I = {I_0}(1 - 0.37) = 0.63{I_0}$.
આમ,એક સમય અચળાંકમાં પ્રવાહ તેના સ્થાયી મૂલ્યના $63\%$ સુધી વધે છે.

(D) $RL$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને અવરોધ $R$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર: $\tau = \frac{L}{R}$
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 40 \, H$
અવરોધ $R = 8 \, \Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{40}{8} = 5 \, s$
તેથી,સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $5 \, s$ છે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહનું સૂત્ર $I(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ છે,જ્યાં $I_0 = V/R$ એ મહત્તમ સ્થાયી પ્રવાહ છે અને $\tau = L/R$ એ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આપણને તે સમય $t$ શોધવાનું કહ્યું છે જ્યારે પ્રવાહ તેના અંતિમ મૂલ્ય $I_0$ ના $\frac{e-1}{e} \approx 63.2\%$ સુધી પહોંચે.
આ શરત $I(t) = I_0(1 - e^{-1}) = I_0(1 - 1/e)$ ને અનુરૂપ છે.
આને સામાન્ય સૂત્ર $I(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $t = \tau$.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ ની ગણતરી $\tau = \frac{L}{R} = \frac{60 \, H}{30 \, \Omega} = 2 \, s$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રવાહને તેના અંતિમ મૂલ્યના આશરે $63.2\%$ સુધી પહોંચતા $2 \, s$ લાગશે.

(A) જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ ધરાવતી શાખામાં પ્રવાહ ઇન્ડક્ટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બેક $EMF$ ને કારણે ધીમે ધીમે વધે છે, જે પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે $(e = -L \frac{di}{dt})$.
અવરોધ $R$ ધરાવતી શાખામાં, પ્રવાહ લગભગ તરત જ તેના સ્થિર મૂલ્ય સુધી પહોંચી જાય છે।
તેથી, બલ્બ $B_2$ (અવરોધ શાખામાં) એ $B_1$ (ઇન્ડક્ટર શાખામાં) કરતા વહેલો પ્રકાશિત થાય છે।
જો કે, સમસ્યા જણાવે છે કે કોઈલ $L$ નો અવરોધ $R$ જેટલો જ છે।
સ્થિર સ્થિતિમાં, ઇન્ડક્ટર અવરોધ ધરાવતા સાદા વાયર તરીકે કાર્ય કરે છે। જો બંને શાખાઓનો કુલ અવરોધ સમાન હોય, તો બંને શાખાઓમાં સ્થિર-સ્થિતિનો પ્રવાહ સમાન હશે।
આમ, બંને બલ્બ અંતે સમાન તેજસ્વીતા સાથે પ્રકાશિત થશે।

(B) $LR$ સર્કિટમાં,$t$ સમયે પ્રવાહ $I$ નું સમીકરણ $I(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ સ્થાયી પ્રવાહ છે અને $\tau = L/R$ એ સમય અચળાંક છે.
જ્યારે $t = \tau$ હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I(\tau) = I_0(1 - e^{-1})$ થાય છે.
કારણ કે $e^{-1} \approx 0.368$,તેથી $I(\tau) = I_0(1 - 0.368) = I_0(0.632)$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ તેના અંતિમ મહત્તમ મૂલ્યના આશરે $63\%$ સુધી પહોંચે છે.

(D) $LR$ સર્કિટમાં પ્રવાહનું સૂત્ર $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ છે,જ્યાં $i_0 = V/R$ એ સ્થાયી પ્રવાહ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રવાહ તેના સ્થાયી મૂલ્યના અડધા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,તેથી $i = i_0/2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $i_0/2 = i_0(1 - e^{-Rt/L})$.
આથી $1/2 = 1 - e^{-Rt/L}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-Rt/L} = 1/2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-Rt/L = \ln(1/2) = -\ln(2)$.
તેથી,$t = (L/R) \ln(2)$.
અહીં $L = 300\, mH = 0.3\, H$ અને $R = 2\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $t = (0.3 / 2) \times 0.693$.
$t = 0.15 \times 0.693 = 0.10395\, s \approx 0.1\, s$.

(B) $R-L$ પરિપથમાં કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $i(t) = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_0 = E/R$ એ સ્થાયી પ્રવાહ છે.
આપેલ છે: $E = 15 \ V$,$L = 5 \ H$,$R = 10 \ \Omega$.
સ્થાયી પ્રવાહ $(t = \infty)$: $i_{\infty} = E/R = 15/10 = 1.5 \ A$.
$t = 1 \ s$ સમયે: $i_1 = i_0(1 - e^{-R(1)/L}) = 1.5(1 - e^{-10/5}) = 1.5(1 - e^{-2})$.
પ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{i_{\infty}}{i_1} = \frac{1.5}{1.5(1 - e^{-2})} = \frac{1}{1 - e^{-2}} = \frac{1}{1 - 1/e^2} = \frac{e^2}{e^2 - 1}$ થાય.

(C) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહનું સૂત્ર $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ છે,જ્યાં $i_0 = E/R$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને પ્રવાહના ફેરફારનો દર મળે છે:
$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} [i_0(1 - e^{-Rt/L})] = i_0 \cdot (\frac{R}{L}) e^{-Rt/L} = (\frac{E}{R}) \cdot (\frac{R}{L}) e^{-Rt/L} = \frac{E}{L} e^{-Rt/L}$.
પ્રારંભિક ક્ષણે,$t = 0$ હોવાથી,ઘાતાંકીય પદ $e^0 = 1$ થાય.
તેથી,પ્રવાહના ફેરફારનો પ્રારંભિક દર $\frac{di}{dt} = \frac{E}{L}$ છે.
અહીં $E = 5 \, V$ અને $L = 2 \, H$ આપેલ છે:
$\frac{di}{dt} = \frac{5}{2} = 2.5 \, A/s$.

(D) પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{V}{R} = \frac{12 \, V}{6 \, \Omega} = 2 \, A$ છે.
$LR$ પરિપથમાં $t$ સમયે પ્રવાહનું સૂત્ર $i(t) = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ છે.
આપણે $t$ સમય શોધવો છે જ્યારે $i(t) = 1.0 \, A$ હોય. કિંમતો મૂકતા:
$1.0 = 2(1 - e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})})$
$0.5 = 1 - e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})}$
$e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})} = 0.5$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\frac{6t}{8.4 \times 10^{-3}} = \ln(0.5) \approx -0.693$
$t = 0.693 \times \frac{8.4 \times 10^{-3}}{6} = 0.693 \times 1.4 \times 10^{-3} \approx 0.97 \times 10^{-3} \, s \approx 1 \, ms$.

(D) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $i_0 = V/R$ છે。
પ્રવાહમાં થતા વધારાનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} [i_0(1 - e^{-Rt/L})] = i_0 \cdot \frac{R}{L} e^{-Rt/L} = \frac{V}{R} \cdot \frac{R}{L} e^{-Rt/L} = \frac{V}{L} e^{-Rt/L}$ છે。
અહીં $V = 50 \, V$, $L = 5 \times 10^{-3} \, H$, $R = 180 \, \Omega$ અને $t = 0.001 \, s$ આપેલ છે。
ઘાતાંકની ગણતરી: $\frac{Rt}{L} = \frac{180 \times 0.001}{5 \times 10^{-3}} = \frac{0.18}{0.005} = 36$.
હવે, $\frac{di}{dt} = \frac{50}{5 \times 10^{-3}} e^{-36} = 10^4 \times e^{-36} \, A/s$.
$e^{-36}$ એ ખૂબ જ નાની કિંમત હોવાથી, પરિણામ આશરે $10^4 \times 1.7 \times 10^{-16} \approx 1.7 \times 10^{-12} \, A/s$ મળે છે。
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતું નથી。

(B) જ્યારે $E$ જેટલા ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ધરાવતી બેટરીને ઇન્ડક્ટર $L$ અને અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સર્કિટને $RL$ સર્કિટ કહેવામાં આવે છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,સર્કિટ માટેનું સમીકરણ $E - L \frac{di}{dt} = iR$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{di}{dt} = \frac{E - iR}{L}$ મળે છે.
આ વિકલ સમીકરણને પ્રારંભિક શરત $t = 0$ સમયે $i = 0$ સાથે ઉકેલતા,આપણને સમયના વિધેય તરીકે પ્રવાહનું સમીકરણ મળે છે:
$i(t) = \frac{E}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}t})$.
અહીં,$i_0 = \frac{E}{R}$ એ મહત્તમ સ્થિર પ્રવાહ છે.
વિધેય $i(t) = i_0 (1 - e^{-\frac{R}{L}t})$ એ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિનો વક્ર દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે અને જેમ $t$ અનંત તરફ જાય છે તેમ તે $i_0$ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલો આલેખ આ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) $RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહનું સૂત્ર $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ છે.
પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})] = \frac{E}{R} \cdot (\frac{R}{L}) e^{-Rt/L} = \frac{E}{L} e^{-Rt/L}$ થાય.
આપેલ છે: $E = 5 \, V$, $R = 20 \, \Omega$, $L = 5 \, H$, અને $t = 0.25 \, s$.
ઘાતાંકની ગણતરી: $\frac{Rt}{L} = \frac{20 \times 0.25}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{di}{dt} = \frac{5}{5} e^{-1} = 1 \cdot e^{-1} = e^{-1} \, A/s$.

(B) $R-L$ પરિપથમાં,જ્યારે $t = 0$ સમયે કળ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $i$ શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ સમીકરણ મુજબ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે. તેથી,$i$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ વધતો વક્ર છે.
ઇન્ડક્ટર પર ઉદ્ભવતું $emf$ $e = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહના સમીકરણનું વિકલન કરતા,આપણને $e(t) = E e^{-Rt/L}$ મળે છે. $t = 0$ સમયે,$e = E$ (મહત્તમ) હોય છે,અને જેમ $t$ વધે છે,તેમ $e$ ઘાતાંકીય રીતે ઘટીને શૂન્ય થાય છે. તેથી,$e$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ ઘટતો વક્ર છે.

(B) $L-R$ પરિપથમાં પ્રવાહનો વધારો $i = i_0(1 - e^{-t/\tau})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau = \frac{L}{R}$ એ સમય અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $t = 4 \ s$ સમયે,$i = \frac{3}{4}i_0$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4}i_0 = i_0(1 - e^{-4/\tau})$.
$\frac{3}{4} = 1 - e^{-4/\tau} \implies e^{-4/\tau} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-\frac{4}{\tau} = \ln(\frac{1}{4}) = -\ln(4)$.
$\frac{4}{\tau} = \ln(2^2) = 2 \ln 2$.
$\tau = \frac{4}{2 \ln 2} = \frac{2}{\ln 2} \ s$.

(C) $LR$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ છે,જ્યાં $i_0 = E/R$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને પ્રવાહમાં થતા વધારાનો દર મળે છે:
$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})] = \frac{E}{R} \cdot (\frac{R}{L}) e^{-Rt/L} = \frac{E}{L} e^{-Rt/L}$.
આપેલ કિંમતો: $E = 5 \ V$,$R = 20 \ \Omega$,$L = 5 \ H$,અને $t = 0.25 \ s$.
ઘાતાંકની ગણતરી: $\frac{Rt}{L} = \frac{20 \times 0.25}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
$\frac{di}{dt}$ ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{di}{dt} = \frac{5}{5} e^{-1} = 1 \cdot e^{-1} = e^{-1} \ A/s$.

(A) $L-R$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધમાં ઉર્જાના વ્યયનો દર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા અને વ્યયના દરનો ગુણોત્તર $\frac{U}{P} = \frac{\frac{1}{2} L I^2}{I^2 R} = \frac{1}{2} \frac{L}{R}$ છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ ને $\tau = \frac{L}{R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $\frac{U}{P} = \frac{1}{2} \tau$ થાય.
આમ,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = 2 \times \left( \frac{U}{P} \right)$,જે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અને અવરોધમાં ઉર્જાના વ્યયના દરના ગુણોત્તર કરતા બમણો છે.

(B) જ્યારે સ્વિચ બંધ કરવામાં આવે છે (ચાર્જિંગ),ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ એ $2R$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. અવરોધ $R$ એ $2R$ અને $L$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર છે. ચાર્જિંગ સર્કિટ માટેનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ ઇન્ડક્ટર દ્વારા જોવા મળતા સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ દ્વારા નક્કી થાય છે. જ્યારે બેટરી આદર્શ હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2R$ થાય છે. તેથી,ચાર્જિંગ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_{1} = \frac{L}{2R}$ છે.
જ્યારે સ્વિચ ખોલવામાં આવે છે (ડિસ્ચાર્જિંગ),ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ એ $2R$ અને $R$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે બંધ લૂપ બનાવે છે. આ લૂપમાં કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2R + R = 3R$ છે. તેથી,ડિસ્ચાર્જિંગ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_{2} = \frac{L}{3R}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}} = \frac{L/2R}{L/3R} = \frac{3}{2}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5\,H$,અવરોધ $R = 10\,\Omega$,$emf$ $V = 6\,V$.
$RL$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $i(t) = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_0 = V/R = 6/10 = 0.6\,A$.
ટાઇમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = L/R = 5/10 = 0.5\,s$. તેથી,$i(t) = 0.6(1 - e^{-t/0.5}) = 0.6(1 - e^{-2t})$.
ગૂંચળાના બે છેડા વચ્ચેનું $emf$ $\varepsilon_L = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{di}{dt}$ ની ગણતરી કરતા: $\frac{di}{dt} = 0.6 \times (-2) \times (-e^{-2t}) = 1.2 e^{-2t}$.
તેથી,$\varepsilon_L = 5 \times 1.2 e^{-2t} = 6 e^{-2t}$.
$t = \ln \sqrt{2} = \frac{1}{2} \ln 2$ સમયે,આપણને $e^{-2t} = e^{-2(\frac{1}{2} \ln 2)} = e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આ કિંમત મૂકતા: $\varepsilon_L = 6 \times \frac{1}{2} = 3\,V$.

(A) $t = 0$ સમયે,જ્યારે કળ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. તેથી,$10\, \Omega$ અને $20\, \Omega$ ના અવરોધકો શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10\, \Omega + 20\, \Omega = 30\, \Omega$ થાય.
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_0 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2\, V}{30\, \Omega} = \frac{1}{15}\, A$ મળે.
જેમ $t \rightarrow \infty$ થાય,તેમ ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ઇન્ડક્ટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે). હવે $10\, \Omega$ નો અવરોધ ઇન્ડક્ટર સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,બધો જ પ્રવાહ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેશે અને $10\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
હવે,પરિપથમાં માત્ર $20\, \Omega$ નો અવરોધ બાકી રહે છે.
અંતિમ પ્રવાહ $I_{\infty} = \frac{V}{20\, \Omega} = \frac{2\, V}{20\, \Omega} = \frac{1}{10}\, A$ મળે.

(D) આપેલ છે: ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E = 2V$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 4H$,ફ્યુઝ પ્રવાહ $I = 5A$.
$DC$ સર્કિટમાં આદર્શ ઇન્ડક્ટર માટે,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $E = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $di = \frac{E}{L} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $t=0$ થી $t$ અને $i=0$ થી $I$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{I} di = \int_{0}^{t} \frac{E}{L} dt$
$I = \frac{E}{L} t$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{2}{4} t$
$5 = 0.5 t$
$t = \frac{5}{0.5} = 10s$
આમ,ફ્યુઝ $10s$ પછી ઉડી જશે.

(A) જ્યારે $X$ ને લાંબા સમય સુધી $Y$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે (સ્થાયી સ્થિતિ). ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_0 = \frac{E}{R_1}$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I_0^2 = \frac{1}{2} L \left(\frac{E}{R_1}\right)^2 = \frac{L E^2}{2 R_1^2}$ છે.
જ્યારે $X$ ને $Z$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ અને અવરોધ $R_2$ એક બંધ શ્રેણી પરિપથ બનાવે છે. જેમ જેમ પ્રવાહ શૂન્ય થાય છે,તેમ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અવરોધ $R_2$ માં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત તમામ ઉર્જા પરિપથમાં ઉષ્મા તરીકે વ્યય પામતી હોવાથી,$R_2$ માં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા એ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
તેથી,કુલ ઉષ્મા $H = U = \frac{L E^2}{2 R_1^2}$ છે.

(A) ધારો કે કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ છે અને અવરોધ $R$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $U = 32 \ J$ અને $I = 4 \ A$,તેથી:
$32 = \frac{1}{2} \times L \times (4)^2$
$32 = \frac{1}{2} \times L \times 16$
$32 = 8L \Rightarrow L = 4 \ H$.
ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થતી પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $P = 320 \ W$ અને $I = 4 \ A$,તેથી:
$320 = (4)^2 \times R$
$320 = 16 \times R$
$R = \frac{320}{16} = 20 \ \Omega$.
$RL$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{4}{20} = 0.2 \ s$.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$U_0 = \frac{1}{2} L I^2$.
જ્યારે ઉર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ જેટલી ઘટે છે,ત્યારે $U = \frac{1}{4} U_0 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} L I^2)$.
આમ,$\frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} L I^2)$,જેનો અર્થ છે કે $i^2 = \frac{1}{4} I^2$,તેથી $i = \frac{I}{2}$.
$L-R$ ડીકે સર્કિટમાં,$t$ સમયે પ્રવાહ $i = I e^{-t/\tau}$ છે,જ્યાં $\tau = L/R$.
$i = I/2$ મૂકતા,આપણને $I/2 = I e^{-t/\tau}$ મળે છે,તેથી $e^{-t/\tau} = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $t/\tau = \ln 2$,અથવા $t = \tau \ln 2$.
અવરોધકમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \int_{0}^{t} i dt = \int_{0}^{\tau \ln 2} I e^{-t/\tau} dt$.
$q = I [-\tau e^{-t/\tau}]_{0}^{\tau \ln 2} = -I \tau (e^{-\ln 2} - e^0) = -I \tau (1/2 - 1) = -I \tau (-1/2) = \frac{I \tau}{2}$.
$\tau = L/R$ મૂકતા,આપણને $q = \frac{IL}{2R}$ મળે છે.

(D) $L-R$ સર્કિટમાં પ્રવાહના વધારા માટેનું સમીકરણ $i = \frac{E}{R}(1 - e^{-t / \tau}) = I_0(1 - e^{-t / \tau})$ છે,જ્યાં $\tau = \frac{L}{R}$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આલેખ પરથી,બંને વક્રો સમાન સ્થાયી પ્રવાહ $I_0 = \frac{E}{R}$ સુધી પહોંચે છે. બેટરીનો વોલ્ટેજ $E$ બંને સર્કિટ માટે સમાન હોવાથી,$I_{0,1} = I_{0,2} \Rightarrow \frac{E}{R_1} = \frac{E}{R_2}$,જેનો અર્થ છે કે $R_1 = R_2$.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ પ્રવાહના વધારાનો દર નક્કી કરે છે. મોટો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ એટલે પ્રવાહને સ્થાયી સ્થિતિ સુધી પહોંચવામાં વધુ સમય લાગે છે. આલેખ પરથી,વક્ર $(c)$ એ વક્ર $(b)$ કરતા ધીમેથી વધે છે,તેથી $\tau_c > \tau_b$.
કારણ કે $\tau = \frac{L}{R}$ અને $R_1 = R_2$,તેથી $\frac{L_2}{R_2} > \frac{L_1}{R_1} \Rightarrow L_2 > L_1$,અથવા $L_1 < L_2$.
આમ,બંને વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
$1$. સર્કિટમાં પ્રવાહ $(i)$: ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તતું હોવાથી,$i = 0$ થાય છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા $(U_B = \frac{1}{2} L i^2)$: $i = 0$ હોવાથી,$U_B = 0$ થાય છે.
$3$. બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતી પાવર $(P = V i)$: $i = 0$ હોવાથી,$P = 0$ થાય છે.
$4$. ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon = L \frac{di}{dt})$: $t = 0$ સમયે,પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt}$ મહત્તમ હોય છે,જેના કારણે પ્રેરિત $emf$ બેટરીના વોલ્ટેજ $V$ જેટલું થાય છે. આમ,તે શૂન્ય હોતું નથી.

(A) $L-R$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધમાં ઉર્જાના વ્યયનો દર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા અને વ્યયના દરનો ગુણોત્તર $\frac{U}{P} = \frac{\frac{1}{2} L I^2}{I^2 R} = \frac{1}{2} \frac{L}{R}$ છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ ને $\tau = \frac{L}{R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $\frac{U}{P} = \frac{1}{2} \tau$ થાય.
આથી,$\tau = 2 \times \frac{U}{P}$,જેનો અર્થ છે કે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અને અવરોધમાં ઉર્જાના વ્યયના દરના ગુણોત્તર કરતા બમણો છે.

(B) જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથમાં પ્રવાહ શૂન્યથી વધવાનું શરૂ કરે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહ બદલાય છે,તેમ ઇન્ડક્ટર $L$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,આ બદલાતું ફ્લક્સ ઇન્ડક્ટરમાં $emf$ પ્રેરિત કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત $emf$ પરિપથમાં પ્રવાહના વધારાનો વિરોધ કરે છે.
તેથી,પ્રવાહને તેના સ્થાયી મૂલ્ય સુધી પહોંચવામાં થોડો સમય લાગે છે,જેના કારણે લેમ્પ $P$ તેની મહત્તમ તેજસ્વિતા સુધી ધીમેથી પહોંચે છે.

(A) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત થાય છે,ત્યારે સર્કિટમાં પ્રવાહ $i_0 = \frac{E}{R} = \frac{100 \ V}{100 \ \Omega} = 1 \ A$ હોય છે.
જ્યારે બેટરીને દૂર કરવામાં આવે છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LR$ ક્ષય સર્કિટ બની જાય છે.
પ્રવાહના ક્ષય માટેનું સમીકરણ $i(t) = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 100 \ \Omega$,$L = 100 \ mH = 0.1 \ H$,અને $t = 1 \ ms = 10^{-3} \ s$ આપેલ છે.
સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R} = \frac{0.1 \ H}{100 \ \Omega} = 10^{-3} \ s$ છે.
ક્ષય સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$i(t) = 1 \times e^{-\frac{10^{-3}}{10^{-3}}} = 1 \times e^{-1} = \frac{1}{e} \ A$.

(B) $LR$ પરિપથમાં પ્રવાહના વધારા માટેનું સૂત્ર: $I = I_0(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$ છે.
અહીં,$I_0 = \frac{E}{R}$ એ મહત્તમ સ્થાયી પ્રવાહ છે.
આપેલ છે: $L = 10 \ H$,$R = 5 \ \Omega$,$E = 5 \ V$,અને $t = 2 \ s$.
સૌ પ્રથમ,મહત્તમ પ્રવાહની ગણતરી કરો: $I_0 = \frac{5 \ V}{5 \ \Omega} = 1 \ A$.
હવે,આ કિંમતોને પ્રવાહના વધારાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = 1 \times (1 - e^{-\frac{5}{10} \times 2})$
$I = 1 - e^{-1} \ A$.

(D) જ્યારે સ્વિચ $S$ ને $t = 0$ સમયે બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $R_1$ ધરાવતી શાખા એ $L$ અને $R_2$ ધરાવતી શાખા સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. $L-R_2$ શાખાની આસપાસનો સ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના emf $E = 12 \ V$ જેટલો હોય છે.
$L-R_2$ શાખામાં પ્રવાહ $i$ નીચેના સમીકરણ મુજબ વધે છે: $i = \frac{E}{R_2}(1 - e^{-R_2 t / L})$.
ઇન્ડક્ટર $L$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_L = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહના સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{di}{dt} = \frac{E}{R_2} \cdot \frac{R_2}{L} e^{-R_2 t / L} = \frac{E}{L} e^{-R_2 t / L}$.
આ કિંમતને $V_L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V_L = L \left( \frac{E}{L} e^{-R_2 t / L} \right) = E e^{-R_2 t / L}$.
અહીં $E = 12 \ V$,$R_2 = 2 \ \Omega$,અને $L = 400 \ mH = 0.4 \ H$ આપેલ છે,તેથી ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R_2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ s$ થાય.
આમ,$V_L = 12 e^{-t / 0.2} = 12 e^{-5t} \ V$ મળે છે.

(A) $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. તેથી,$L$ અને $R_1$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_2}$ છે.
$t = \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (શૂન્ય અવરોધ ધરાવતું આદર્શ ઇન્ડક્ટર). હવે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સર્કિટનો અસરકારક અવરોધ $R_{eff} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ છે.
તેથી,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eff}} = \frac{V(R_1 + R_2)}{R_1 R_2}$ થાય છે.

(B) $1$. જ્યારે બિંદુ '$C$' ને '$A$' સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સર્કિટમાં પ્રવાહ અચળ બને છે, $I_0 = E/R$. ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
$2$. જ્યારે '$C$' ને $t = 0$ પર '$B$' સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે બેટરી દૂર થાય છે અને સર્કિટ ક્ષીણ થતી $LR$ સર્કિટ બની જાય છે.
$3$. સમય $t$ પર સર્કિટમાં પ્રવાહ $I(t) = I_0 e^{-Rt/L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. $t = L/R$ સમયે, પ્રવાહ $I = I_0 e^{-R(L/R)/L} = I_0 e^{-1} = I_0/e$ છે.
$5$. અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = I R = (I_0/e) R = (E/R \cdot 1/e) R = E/e$ છે.
$6$. બંધ લૂપમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરતા (બેટરી વગર): $V_R + V_L = 0$, જેનો અર્થ છે કે $V_L = -V_R$.
$7$. તેથી, અવરોધ $(V_R)$ અને ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ વચ્ચેના વોલ્ટેજનો ગુણોત્તર $V_R / V_L = V_R / (-V_R) = -1$ થશે.

(C) $1$. જ્યારે કી $K_1$ લાંબા સમય સુધી બંધ હોય,ત્યારે ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં સ્થાયી પ્રવાહ $i_0 = \frac{V}{R} = \frac{15}{0.15 \times 10^3} = 0.1 \; A$ મળે છે.
$2$. $t = 0$ સમયે,$K_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $K_2$ બંધ કરવામાં આવે છે. બેટરી સર્કિટમાંથી દૂર થાય છે અને ઇન્ડક્ટર અવરોધ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. આ એક ક્ષીણ થતો $LR$ સર્કિટ છે.
$3$. $t$ સમયે પ્રવાહ $i = i_0 e^{-\frac{Rt}{L}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $i = 0.1 \times e^{-\frac{0.15 \times 10^3 \times 10^{-3}}{0.03}} = 0.1 \times e^{-\frac{0.15}{0.03}} = 0.1 \times e^{-5}$.
$5$. આપેલ છે કે $e^5 \cong 150$,તેથી $e^{-5} = \frac{1}{150}$.
$6$. તેથી,$i = 0.1 \times \frac{1}{150} = \frac{0.1}{150} \; A = \frac{0.1}{150} \times 1000 \; mA = \frac{100}{150} \; mA = \frac{2}{3} \; mA \approx 0.67 \; mA$.

(C) $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. પ્રવાહ ફક્ત અવરોધ $R_2 = 10 \ \Omega$ માંથી વહે છે. તેથી,પ્રવાહ $I_0 = V / R_2 = 10 \ V / 10 \ \Omega = 1 \ A$ થાય.
$t = \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં બે અવરોધો $R_1 = 5 \ \Omega$ અને $R_2 = 10 \ \Omega$ સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (R_1 \times R_2) / (R_1 + R_2) = (5 \times 10) / (5 + 10) = 50 / 15 = 10 / 3 \ \Omega$ થાય.
તેથી,પ્રવાહ $I_{\infty} = V / R_{eq} = 10 / (10 / 3) = 3 \ A$ થાય.

(A) $t = 0$ સમયે,સ્વિચ $S$ ખુલ્લી છે. ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,પરંતુ પ્રવાહ $20 \, V$ બેટરી,$5 \, \Omega$ અવરોધ,$5 \, \Omega$ અવરોધ અને $10 \, V$ બેટરીમાંથી વહે છે. ઇન્ડક્ટર શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_0 = 0 \, A$ છે કારણ કે સ્વિચ ખુલ્લી છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં $(t \to \infty)$,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટ $20 \, V$ બેટરી,$5 \, \Omega$ અવરોધ અને ઇન્ડક્ટર શાખા ($5 \, \Omega$ અવરોધ સાથે) ધરાવતા લૂપમાં સરળ બને છે. $10 \, V$ બેટરીની શાખા ઇન્ડક્ટર શાખા સાથે સમાંતર છે. ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{20 \, V}{5 \, \Omega} = 4 \, A$ મળે છે.
ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = L \Delta I = L(I_{final} - I_{initial})$ છે.
અહીં $L = 500 \, mH = 0.5 \, H$,$I_{initial} = 0 \, A$,અને $I_{final} = 4 \, A$ છે.
$\Delta \phi = 0.5 \times (4 - 0) = 2 \, Wb$.

(A) જ્યારે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $90\, V$ ની $DC$ બેટરી સાથે જોડાય છે.
આદર્શ ઇન્ડક્ટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે,તેથી તે $DC$ પ્રવાહ માટે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બલ્બ અને ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,બેટરીમાંથી આવતો તમામ પ્રવાહ ઓછા અવરોધવાળા માર્ગ એટલે કે આદર્શ ઇન્ડક્ટરમાંથી પસાર થશે.
પરિણામે,બલ્બમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી અને તે પ્રકાશિત થતો નથી.

(C) જે ક્ષણે કી $K$ બંધ કરવામાં આવે છે $(t=0)$:
$(i)$ કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (શૂન્ય અવરોધ આપે છે) કારણ કે તે શરૂઆતમાં અનચાર્જ્ડ હોય છે,જે $A_1$ ધરાવતી શાખામાંથી મહત્તમ પ્રવાહ વહેવા દે છે.
$(ii)$ ઇન્ડક્ટર પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. કી બંધ કરતા પહેલા પ્રવાહ શૂન્ય હોવાથી,ઇન્ડક્ટર $t=0$ સમયે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (અનંત અવરોધ આપે છે),જેના પરિણામે $A_2$ ધરાવતી શાખામાં પ્રવાહ શૂન્ય રહે છે.
તેથી,$A_1$ નું રીડિંગ મહત્તમ છે અને $A_2$ નું રીડિંગ શૂન્ય છે.

(C) કોઈલમાં ચુંબકીય ઉર્જા સંગ્રહિત થવાનો દર $P_m = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^2) = Li \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જાનો દર $P_b = Ei$ છે.
આ દરોનો ગુણોત્તર $\frac{P_m}{P_b} = \frac{Li \frac{di}{dt}}{Ei} = \frac{L}{E} \frac{di}{dt}$ છે.
$RL$ સર્કિટ માટે,$t$ સમયે પ્રવાહ $i = \frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ છે.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{E}{R} \cdot \frac{R}{L} e^{-Rt/L} = \frac{E}{L} e^{-Rt/L}$ છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_m}{P_b} = \frac{L}{E} \left( \frac{E}{L} e^{-Rt/L} \right) = e^{-Rt/L}$.
અહીં $R = 10\, \Omega$,$L = 1\, H$,અને $t = 0.1\, s$ આપેલ છે:
$\frac{P_m}{P_b} = e^{-(10 \times 0.1) / 1} = e^{-1} \approx \frac{1}{2.718} \approx 0.368 \approx 0.36$.