Energy Stored in Inductor Questions in Gujarati

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 50 \, mH = 50 \times 10^{-3} \, H = 0.05 \, H$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 2 \, A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times (0.05 \, H) \times (2 \, A)^2$
$E = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 4$
$E = 0.05 \times 2$
$E = 0.1 \, J$.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ ઇન્ડ્યુસ્ડ બેક ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ ની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલા કાર્ય પરથી મેળવવામાં આવે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં ઇન્ડ્યુસ્ડ $e.m.f.$ નું સૂત્ર $e = -L \frac{di}{dt}$ છે.
આ બેક $e.m.f.$ ની વિરુદ્ધ $dt$ સમયમાં $di$ જેટલો પ્રવાહ વધારવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય $dW = -e \cdot i \cdot dt$ છે.
$e$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $dW = -(-L \frac{di}{dt}) \cdot i \cdot dt = L \cdot i \cdot di$.
કુલ ઉર્જા $U$ શોધવા માટે,આપણે $0$ થી $i$ પ્રવાહ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$U = \int_0^i L \cdot i \cdot di = L \left[ \frac{i^2}{2} \right]_0^i = \frac{1}{2} L i^2$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $i$ એ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
આ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી છે.
તેથી,ઉર્જા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 50 \, mH = 50 \times 10^{-3} \, H$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \, A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-3}) \times (4)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-3} \times 16$
$U = 25 \times 16 \times 10^{-3}$
$U = 400 \times 10^{-3} \, J$
$U = 0.4 \, J$.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ (self-inductance) છે અને $i$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $i_1$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} L i_1^2$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ અડધો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પ્રવાહ $i_2 = \frac{i_1}{2}$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} L i_2^2 = \frac{1}{2} L \left( \frac{i_1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} L \left( \frac{i_1^2}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} L i_1^2 \right) = \frac{1}{4} U_1$ થાય છે.
આમ,$U_2 = 0.25 U_1$. તેથી,ઉર્જા અગાઉના મૂલ્ય કરતાં $0.25$ ગણી થાય છે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 100\, mH = 100 \times 10^{-3}\, H = 0.1\, H$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1\, A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$U = 0.05\, J$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $0.05\, J$ છે.

(D) $100 \, V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ મળે છે: $i = \frac{V}{R} = \frac{100 \, V}{10 \, \Omega} = 10 \, A$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 5 \, H$ અને $i = 10 \, A$ મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 100 = 250 \, J$.
આમ, કોઈલમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $250 \, J$ છે.

(A) આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} L i^2$
આપેલ છે:
$L = 40 \, mH = 40 \times 10^{-3} \, H$
$i = 2 \, A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-3}) \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 40 \times 10^{-3} \times 4$
$U = 20 \times 10^{-3} \times 4 = 80 \times 10^{-3} \, J$
$U = 0.08 \, J$

(B) સ્થાયી સ્થિતિમાં ગૂંચળામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ એ $i = \frac{E}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E = 100\, V$ અને $R = 20\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $i = \frac{100}{20} = 5\, A$ મળે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
$L = 5\, H$ અને $i = 5\, A$ કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times (5)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 25 = \frac{125}{2} = 62.50\, J$.

(C) સ્થાયી-અવસ્થા (steady-state) $D.C.$ સર્કિટમાં, ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (શૂન્ય અવરોધ).
સૌ પ્રથમ, ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટમાંથી વહેતો સ્થાયી પ્રવાહ $i$ શોધો:
$i = \frac{V}{R} = \frac{10 \text{ V}}{2 \text{ }\Omega} = 5 \text{ A}$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} L i^2$.
આપેલ કિંમતો $L = 2 \text{ H}$ અને $i = 5 \text{ A}$ મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 1 \times 25 = 25 \text{ J}$.
તેથી, કોઈલમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઊર્જા $25 \text{ J}$ છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $U = \frac{1}{2} L I^2$.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 100 \, mH = 100 \times 10^{-3} \, H = 0.1 \, H$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 10 \, A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (0.1) \times (10)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 100$
$U = 0.1 \times 50$
$U = 5 \, J$.
આમ,ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $5 \, J$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં, ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (શૂન્ય અવરોધ).
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $i = \frac{V}{R} = \frac{10 \text{ V}}{2 \text{ }\Omega} = 5 \text{ A}$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
કિંમતો $L = 2 \text{ H}$ અને $i = 5 \text{ A}$ મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 1 \times 25 = 25 \text{ J}$.

(C) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ધરાવતા ઇન્ડક્ટરમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ચુંબકીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
આપેલ છે:
$U = 25\, mJ = 25 \times 10^{-3}\, J$
$I = 60\, mA = 60 \times 10^{-3}\, A = 6 \times 10^{-2}\, A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (6 \times 10^{-2})^{2}$
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times 36 \times 10^{-4}$
$25 \times 10^{-3} = L \times 18 \times 10^{-4}$
$L = \frac{25 \times 10^{-3}}{18 \times 10^{-4}}$
$L = \frac{250}{18} = 13.888...\, H \approx 13.89\, H$.

(C) કોઈલના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $L = 2\,H$ અને $\frac{di}{dt} = 4\,A/s$ આપેલ છે,તેથી:
$V = (2)(4) = 8\,V$.
ઇન્ડક્ટરમાં એકમ સમય દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા એ ઇન્ડક્ટરને આપવામાં આવતો પાવર $P$ છે,જે $P = V \cdot i$ દ્વારા મળે છે.
$V = 8\,V$ અને $i = 2\,A$ કિંમતો મૂકતા:
$P = (8)(2) = 16\,J/s$.

(A) ઇન્ડક્ટર એ એક નિષ્ક્રિય ઇલેક્ટ્રોનિક ઘટક છે જે જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ વહે છે ત્યારે તેના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે. તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
કેપેસિટર એ એક નિષ્ક્રિય ઇલેક્ટ્રોનિક ઘટક છે જે તેની પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા બનાવેલા વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસીટન્સ છે અને $V$ એ વોલ્ટેજ છે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
વિધાન $(c)$ અને $(d)$ ખોટા છે કારણ કે ઇન્ડક્ટર વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ઉર્જાનો સંગ્રહ કરતા નથી (આદર્શ રીતે) અને કેપેસિટર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઉર્જાનો સંગ્રહ કરતા નથી.
તેથી,વિધાન $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) જ્યારે કોઈલમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો મુજબ,ઇન્ડક્ટર અથવા પ્રવાહ ધારિત કોઈલ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા પ્રવાહ દ્વારા નિર્મિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત થાય છે.
કેપેસિટરથી વિપરીત,જે વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ઉર્જા સંગ્રહિત કરે છે,ઇન્ડક્ટર ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં ઉર્જા સંગ્રહિત કરે છે.
તેથી,પ્રવાહ ધારિત કોઈલમાં ઉર્જા માત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(C) સોલેનોઇડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની દિશા ઉલટાય છે,પરંતુ તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યના વર્ગ $(B^2)$ પર આધારિત હોવાથી,$B$ ની દિશા ઉર્જા ઘનતાને અસર કરતી નથી.
તેથી,સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા,$U = u \times V$ (જ્યાં $V$ એ કદ છે),બદલાતી નથી.
જોકે,કારણમાં જણાવેલ છે કે ઉર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમપ્રમાણમાં છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે ચુંબકીય ક્ષેત્રના વર્ગ $(B^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(N/A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઊર્જા $U_{B} = \frac{1}{2} L I^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I$ છે,જ્યાં $n = N/l$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
તેથી,$I = \frac{B}{\mu_{0} n}$.
સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_{0} n^{2} A l$ છે.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U_{B} = \frac{1}{2} (\mu_{0} n^{2} A l) \left(\frac{B}{\mu_{0} n}\right)^{2} = \frac{1}{2} (\mu_{0} n^{2} A l) \left(\frac{B^{2}}{\mu_{0}^{2} n^{2}}\right) = \frac{B^{2} A l}{2 \mu_{0}}$.
$(b)$ ચુંબકીય ઊર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા) $u_{B} = \frac{U_{B}}{V} = \frac{U_{B}}{A l} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિત-વિદ્યુત ઊર્જા ઘનતા $u_{E} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$ છે.
બંને કિસ્સાઓમાં,ઊર્જા ઘનતા એ ક્ષેત્રની તીવ્રતાના વર્ગ ($B^{2}$ અથવા $E^{2}$) ના પ્રમાણમાં છે. આ સમીકરણો સામાન્ય છે અને અવકાશના કોઈપણ વિસ્તાર માટે માન્ય છે જ્યાં વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) ઇન્ડક્ટર એ એક નિષ્ક્રિય વિદ્યુત ઘટક છે જે જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ વહે છે ત્યારે તેના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે,જે તેના સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $I$ બદલાય છે,ત્યારે લેન્ઝના નિયમ મુજબ બેક ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. આ બેક emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = L \frac{dI}{dt}$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $I$ સ્થાપિત કરવા માટે,આ બેક emf ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. કાર્ય કરવાનો દર નીચે મુજબ છે:
$\frac{dW}{dt} = |\varepsilon| I = L I \frac{dI}{dt}$
પ્રવાહને $0$ થી $I$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે આ સમીકરણનું સંકલન કરતા:
$W = \int dW = \int_{0}^{I} L I' dI' = L \left[ \frac{I'^2}{2} \right]_{0}^{I} = \frac{1}{2} LI^2$
આ કાર્ય ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય સ્થિતિ ઉર્જા $U$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
આ સમીકરણ કણની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ ને સમાન છે,જ્યાં $L$ એ વિદ્યુત જડત્વ (electrical inertia) તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ અવગણ્ય હોવાથી,લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon$ જેટલો થાય,તેથી $V = L \frac{dI}{dt}$.
આપેલ છે કે $V = 3t$ અને $L = 2\, H$,તેથી $3t = 2 \frac{dI}{dt}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $dI = \frac{3}{2} t \, dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = 4\, s$ અને $I = 0$ થી $I = I_f$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{I_f} dI = \int_{0}^{4} \frac{3}{2} t \, dt$
$I_f = \frac{3}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{3}{4} (16) = 12\, A$.
ગૂંચળામાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I_f^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$U = \frac{1}{2} \times 2 \times (12)^2 = 144\, J$.

(A) કોઈલમાં સંતુલિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V}{R} = \frac{10 \, V}{4 \, \Omega} = 2.5 \, A$.
ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 2 \, H$ અને $I = 2.5 \, A$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 2 \times (2.5)^2 = 6.25 \, J$.
આને $.......... \times 10^{-2} \, J$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$E = 625 \times 10^{-2} \, J$.
આમ,જવાબ $625$ છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 4\,\mu H = 4 \times 10^{-6}\,H$
પ્રવાહ $i = 2\,A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 4$
$U = 8 \times 10^{-6}\,J$
કારણ કે $10^{-6}\,J = 1\,\mu J$,તેથી ઉર્જા $8\,\mu J$ થાય.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $U = \frac{1}{2} LI^2$.
આપેલ છે:
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 3 \ mH = 3 \times 10^{-3} \ H$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \ A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^{-3} \ H) \times (2 \ A)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times 4$
$U = 6 \times 10^{-3} \ J$
$1 \ mJ = 10^{-3} \ J$ હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $6 \ mJ$ છે.

(D) $LR$ સર્કિટમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} LI^2$ ...$(i)$
આપેલ છે કે પ્રવાહ અડધો કરવામાં આવે છે,તેથી નવો પ્રવાહ $I^{\prime}$:
$I^{\prime} = \frac{I}{2}$
આ કિંમતને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,નવી ઉર્જા $E^{\prime}$:
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L (I^{\prime})^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I}{2}\right)^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I^2}{4}\right)$
$E^{\prime} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} LI^2\right)$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E^{\prime} = \frac{1}{4} E$
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા મૂળ ઉર્જાના $(1/4)$ ગણી થશે.

(D) જ્યારે પ્રવાહ તેના સ્થાયી મૂલ્ય $I_0$ પર પહોંચે ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સ્થાયી પ્રવાહ $I_0$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે: $I_0 = \frac{V}{R}$.
બંને સર્કિટમાં સમાન $e.m.f.$ $V = 10 \ V$ અને સમાન અવરોધ $R = 40 \ \Omega$ હોવાથી,સ્થાયી પ્રવાહ $I_0$ બંને સર્કિટ માટે સમાન છે.
તેથી,સર્કિટ $A$ અને સર્કિટ $B$ માં સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_A}{U_B} = \frac{\frac{1}{2} L_A I_0^2}{\frac{1}{2} L_B I_0^2} = \frac{L_A}{L_B}$ થશે.
આપેલ છે કે $L_A = 10 \ H$ અને $L_B = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 0.01 \ H$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{10}{0.01} = 1000$ છે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ શોધવાનું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \mu H = 5 \times 10^{-6} \ H$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \ A$.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (2)^2$.
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 4$.
$U = 10 \times 10^{-6} \ J = 10 \mu J$.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર: $E = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે: ઊર્જા $E = 64 \times 10^{-3} \ J$ અને પ્રવાહ $I = 80 \ mA = 80 \times 10^{-3} \ A$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $L = \frac{2E}{I^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{2 \times 64 \times 10^{-3}}{(80 \times 10^{-3})^2}$.
$L = \frac{128 \times 10^{-3}}{6400 \times 10^{-6}} = \frac{128 \times 10^{-3}}{6.4 \times 10^{-3}} = \frac{128}{6.4} = 20 \ H$.

(B) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 4 \ A$,આંટાની સંખ્યા $N = 400$,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળણ $N\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
પ્રથમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ની ગણતરી કરો:
$L = \frac{N\phi}{I} = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{4} = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3 \ H$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (4)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 16$
$U = 0.3 \times 8 = 2.4 \ J$.

(C) ઇન્ડક્ટર (કોઈલ) માં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = I$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
જો પ્રવાહ $50 \%$ ઘટાડવામાં આવે,તો નવો પ્રવાહ $I_2 = I - 0.5 I = 0.5 I = \frac{I}{2}$ થાય.
કોઈલમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} L (I_2)^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I}{2})^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I^2}{4}) = \frac{1}{4} E_1$ થાય.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_1 - E_2 = E_1 - \frac{1}{4} E_1 = \frac{3}{4} E_1$ છે.
અહીં $\frac{3}{4} = 0.75$ હોવાથી,ઉર્જામાં $75 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(B) ઇન્ડક્ટર (કોઈલ) માં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ (self-inductance) છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $E \propto I^2$.
શરૂઆતમાં,જ્યારે પ્રવાહ $I$ હોય,ત્યારે ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ ઘટાડીને $I' = I/2$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} L (I/2)^2 = \frac{1}{2} L (I^2/4) = \frac{1}{4} E_1$ થાય છે.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_1 - E_2$ છે.
$E_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta E = E_1 - \frac{E_1}{4} = \frac{3E_1}{4}$ મળે છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે:
$U = 25 \ mJ = 25 \times 10^{-3} \ J$
$I = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$L = \frac{2U}{I^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{2 \times 25 \times 10^{-3}}{(50 \times 10^{-3})^2}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2500 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-3}}$
$L = 20 \ H$.

(A) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતી કોઈલમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} LI_1^2$ છે.
ધારો કે નવો પ્રવાહ $I_2 = \frac{I_1}{2}$ છે અને નવી ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} LI_2^2$ છે.
બંને ઉર્જાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{2} LI_2^2}{\frac{1}{2} LI_1^2} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2$.
$I_2 = \frac{I_1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{I_1 / 2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$E_2 = \frac{E_1}{4}$.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
જ્યારે ગૂંચળાને $E$ $EMF$ અને $R$ અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થાયી પ્રવાહ $i = \frac{E}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = 10 \ V$,$L = 4 \ H$,અને $R = 5 \ \Omega$.
પ્રથમ,સ્થાયી પ્રવાહની ગણતરી કરો: $i = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$.
હવે,સંગ્રહિત ઉર્જાની ગણતરી કરો: $U = \frac{1}{2} \times 4 \ H \times (2 \ A)^2$.
$U = 2 \times 4 \ J = 8 \ J$.

(C) ઇન્ડક્ટર તેમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં ઊર્જાનો સંગ્રહ કરે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $I$ એ તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $N$ આંટા ધરાવતી કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ $N\phi = LI$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\phi$ એ દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
આમ,ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{N\phi}{I}$ થાય.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}LI^2$ છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{N\phi}{I} \right) I^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $U = \frac{1}{2} N\phi I$ અથવા $U = \frac{N\phi I}{2}$ મળે છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 100 mH = 100 \times 10^{-3} H = 0.1 H$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 A$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$E = 0.05 J$.

(A) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા ઇન્ડક્ટરમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
આપેલ છે:
$L = 200 \ mH = 200 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ H$
$I = 4 \ A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (4)^2$
$U = 0.1 \times 16$
$U = 1.6 \ J$
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $1.6 \ J$ છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે: આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 0.5 \ mH = 0.5 \times 10^{-3} \ H$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \ A$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-3}) \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10^{-3} \times 4$
$U = 0.5 \times 2 \times 10^{-3}$
$U = 1 \times 10^{-3} \ J = 0.001 \ J$.

(D) સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઇડ માટે,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_0 n^2 Al$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 nI$ છે,જેનો અર્થ છે કે $I = \frac{B}{\mu_0 n}$.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U_B = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 Al) \left( \frac{B}{\mu_0 n} \right)^2 = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 Al) \left( \frac{B^2}{\mu_0^2 n^2} \right) = \frac{B^2 Al}{2 \mu_0}$.
એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય ઉર્જા $(u_B)$ ને કુલ ઉર્જાને કદ $(V = Al)$ વડે ભાગીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$u_B = \frac{U_B}{V} = \frac{B^2 Al / (2 \mu_0)}{Al} = \frac{B^2}{2 \mu_0}$.

(A) $L$ ઇન્ડક્ટન્સ અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઊર્જા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} L I^2$
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 2 \ H$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 \ A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 2 \times (1)^2$
$E = 1 \times 1 = 1 \ J$
તેથી,સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઊર્જા $1 \ J$ છે.

(B) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેવડાવતા ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
આ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રવાહ $I = 4 \ mA = 4 \times 10^{-3} \ A$
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 32 \times 10^{-6} \ Wb$ (અથવા $T \ m^2$)
સૌ પ્રથમ,$\phi = L \cdot I$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ શોધો:
$L = \frac{\phi}{I} = \frac{32 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-3}} = 8 \times 10^{-3} \ H$
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-3}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$U = 4 \times 10^{-3} \times 16 \times 10^{-6}$
$U = 64 \times 10^{-9} \ J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
આનો અર્થ એ છે કે $U \propto I^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 2 \ A$ અને અંતિમ પ્રવાહ $I_2 = 3 \ A$ છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_2$ અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$
તેથી,$U_2 = 2.25 \ U_1$.
સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\Delta U \% = \left( \frac{U_2 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \%$
$\Delta U \% = \left( \frac{2.25 \ U_1 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \% = (1.25 \times 100) \% = 125 \%$

(A) $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા અને $i$ જેટલો સ્થાયી પ્રવાહ વહેવડાવતા કોઈલ (ગૂંચળા) માં સંગ્રહિત ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} L i^2$
આ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી હોય છે.
તેથી,કોઈલમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ચુંબકીય ઉર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) આપેલ છે કે,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 50 mH = 50 \times 10^{-3} H = 5 \times 10^{-2} H$.
પ્રવાહ $I = 4 A$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ માટેનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-2}) \times (4)^2$.
$E = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-2} \times 16$.
$E = 5 \times 10^{-2} \times 8 = 40 \times 10^{-2} J = 0.4 J$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$
ઉર્જા ઘનતા એ એકમ કદ દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી $(u_B = \frac{U}{V})$,કદ $V$ માં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ મળે:
$U = u_B \times V$
$L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સોલેનોઈડનું કદ $V = A \times L$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$U = \left( \frac{B^2}{2 \mu_0} \right) \times (A L) = \frac{1}{2 \mu_0} B^2 AL$