Mutual Induction Questions in Gujarati

(D) સોલેનોઈડ-ગૂંચળાની સિસ્ટમનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $l = 0.30 \, m$,$N_1 = 2000$,$N_2 = 300$,$A = 1.2 \times 10^{-3} \, m^2$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = I_f - I_i = -2 \, A - 2 \, A = -4 \, A$. ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta I| = 4 \, A$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 0.25 \, s$ છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = M \frac{|\Delta I|}{\Delta t} = \left( \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 300 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.30} \right) \times \frac{4}{0.25}$.
ગણતરી કરતા: $M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 6 \times 10^5 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.3} = 4\pi \times 24 \times 10^{-5} \approx 3.016 \times 10^{-3} \, H$.
$e = 3.016 \times 10^{-3} \times 16 \approx 48.25 \times 10^{-3} \, V \approx 48 \, mV$.

(C) બે ગૂંચળા વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ તેમના સ્વ-પ્રેરકત્વ ${L_1}$ અને ${L_2}$ સાથે $M = k\sqrt {{L_1}{L_2}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $k$ એ કપલિંગ ગુણાંક છે.
જ્યારે બે ગૂંચળામાં એકનું કુલ ફ્લક્સ બીજા સાથે સંપૂર્ણ રીતે સંકળાયેલ હોય,ત્યારે કપલિંગ સંપૂર્ણ હોય છે,એટલે કે $k = 1$.
તેથી,સમીકરણ $M = \sqrt {{L_1}{L_2}}$ બને છે.
આને પ્રેરિત $EMF$ ના સમીકરણો પરથી પણ તારવી શકાય છે: ${e_1} = - {L_1}\frac{{d{i_1}}}{{dt}}$ અને ${e_2} = - M\frac{{d{i_1}}}{{dt}}$.
તે જ રીતે,${e_2} = - {L_2}\frac{{d{i_2}}}{{dt}}$ અને ${e_1} = - M\frac{{d{i_2}}}{{dt}}$.
આનો ગુણાકાર કરતા ${e_1}{e_2} = {L_1}M\left( \frac{{d{i_1}}}{{dt}} \right)\left( \frac{{d{i_2}}}{{dt}} \right)$ અને ${e_1}{e_2} = {L_2}M\left( \frac{{d{i_1}}}{{dt}} \right)\left( \frac{{d{i_2}}}{{dt}} \right)$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે ${M^2} = {L_1}{L_2}$,અથવા $M = \sqrt {{L_1}{L_2}}$.

(B) ગૌણ ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \frac{di}{dt}$.
આપેલ છે:
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $(M)$ = $0.2 \, H$.
પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર $(\frac{di}{dt})$ = $5 \, A/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.2 \times 5 = 1 \, V$.
તેથી, ગૌણ ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $1 \, V$ છે.

(D) અન્યોન્ય પ્રેરણને કારણે ગૌણ ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = M \times \frac{di}{dt}$
આપેલ છે:
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $(M)$ = $1.25 \ H$
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $(\frac{di}{dt})$ = $80 \ A/s$
કિંમતો મૂકતા:
$e = 1.25 \times 80$
$e = 100 \ V$
તેથી, ગૌણ ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $e.m.f.$ $100 \ V$ છે.

(B) અન્યોન્ય પ્રેરણને કારણે ગૌણ ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = M \left| \frac{di}{dt} \right|$
જ્યાં:
$e = 15000 \ V$
$di = 3.0 \ A - 0 \ A = 3.0 \ A$
$dt = 0.001 \ s$
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $(M)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$M = \frac{e \cdot dt}{di}$
$M = \frac{15000 \times 0.001}{3.0}$
$M = \frac{15}{3} = 5 \ H$
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $5 \ H$ છે.

(D) અન્યોન્ય પ્રેરણને કારણે ગૌણ સર્કિટમાં ઉદ્ભવતા $e.m.f.$ $(e)$ માટેનું સૂત્ર $e = M \frac{|\Delta I|}{\Delta t}$ છે.
આપેલ છે:
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $(M)$ = $0.09 \ H$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $(\Delta I)$ = $20 \ A - 0 \ A = 20 \ A$
સમયગાળો $(\Delta t)$ = $0.006 \ s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.09 \times \frac{20}{0.006}$
$e = 0.09 \times \frac{20000}{6}$
$e = 300 \ V$.
તેથી,ઉદ્ભવતું સરેરાશ $e.m.f.$ $300 \ V$ છે.

(B) બે ગૂંચળાનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = \frac{\mu_{0} \mu_{r} N_{1} N_{2} A}{l}$
જ્યાં $N_{1}$ અને $N_{2}$ એ બે ગૂંચળામાં આંટાઓની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $\mu_{r}$ એ કોર મટીરીયલની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $M \propto N_{1} N_{2}$.
તેથી,ગૂંચળામાં આંટાઓની સંખ્યા વધારીને અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ વધારી શકાય છે.

(C) ટ્રાન્સફોર્મરનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ એ સૂત્ર $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_1$ અને $N_2$ એ પ્રાઇમરી અને સેકન્ડરી ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ કોરની લંબાઈ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $M \propto N_1 N_2$.
શરૂઆતમાં,$N_1 = 5$ અને $N_2 = 10$,તેથી $N_1 N_2 = 5 \times 10 = 50$.
આપેલ છે કે $M_1 = 25\,H$.
હવે,નવા આંટાની સંખ્યા $N_1' = 10$ અને $N_2' = 5$ છે,તેથી $N_1' N_2' = 10 \times 5 = 50$.
આંટાની સંખ્યાનો ગુણાકાર સમાન રહેતો હોવાથી $(N_1 N_2 = N_1' N_2')$,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ બદલાતું નથી.
તેથી,$M_2 = M_1 = 25\,H$.

(A) અન્યોન્ય પ્રેરણને કારણે કોઈલમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નું સૂત્ર: $e = M \frac{di}{dt}$ છે.
અહીં,$e = 100 \text{ mV} = 100 \times 10^{-3} \text{ V} = 0.1 \text{ V}$.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $di = 10 \text{ A} - 0 \text{ A} = 10 \text{ A}$.
સમયગાળો $dt = 0.1 \text{ s}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.1 = M \left( \frac{10}{0.1} \right)$
$0.1 = M \times 100$
$M = \frac{0.1}{100} = 0.001 \text{ H}$.
$1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$ હોવાથી,$M = 1 \text{ mH}$ મળે.

(A) ગૌણ સર્કિટમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e_2)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e_2 = M \frac{di_1}{dt}$.
ગૌણ સર્કિટનો અવરોધ $R_2$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i_2 = \frac{e_2}{R_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $e_2 = i_2 R_2$.
$e_2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $i_2 R_2 = M \frac{di_1}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $M = 0.5 \, H$,$R_2 = 5 \, \Omega$,અને $i_2 = 0.4 \, A$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0.4 \times 5 = 0.5 \times \frac{di_1}{dt}$.
$2.0 = 0.5 \times \frac{di_1}{dt}$.
$\frac{di_1}{dt} = \frac{2.0}{0.5} = 4 \, A/s$.

(B) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનને કારણે સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતા ઇન્ડ્યુસ્ડ emf નું સૂત્ર $e = -M \frac{di}{dt}$ છે.
અહીં,$M = 5\,H$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $di = i_f - i_i = 0 - 5 = -5\,A$ છે.
સમયગાળો $dt = 10^{-3}\,s$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = -5 \times \frac{-5}{10^{-3}}$
$e = 25 \times 10^3 = 25000\,V$.
આમ,ઉત્પન્ન થતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $25000\,V$ છે.

(A) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $M$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફાર $\Delta \phi$ અને પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $\Delta I$ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\Delta \phi = M \Delta I$.
આપેલ છે:
$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \, Wb$
$\Delta I = 0.01 \, A$
સૂત્ર $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \frac{2 \times 10^{-2}}{0.01} = \frac{0.02}{0.01} = 2 \, H$.
તેથી,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $2 \, H$ છે.

(A) નજીકની કોઈલમાં બદલાતા પ્રવાહને કારણે કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \frac{di}{dt}$.
આપેલ છે:
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર,$\frac{di}{dt} = 3 \, A/s$.
પ્રેરિત $e.m.f.$,$e = 8 \, mV = 8 \times 10^{-3} \, V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 \times 10^{-3} = M \times 3$.
$M$ માટે ગણતરી કરતા:
$M = \frac{8 \times 10^{-3}}{3} \, H$.
$M = 2.666... \times 10^{-3} \, H$.
કારણ કે $10^{-3} \, H = 1 \, mH$,તેથી:
$M = 2.66 \, mH$.

(C) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ નું સૂત્ર ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અને પ્રવાહ $i$ વચ્ચેના સંબંધ $\phi = Mi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta i = 0.01\, A$
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર,$\Delta \phi = 1.2 \times 10^{-2}\, Wb$
સૂત્ર $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{0.01} = \frac{0.012}{0.01} = 1.2\, H$.
તેથી,બે કોઈલનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $1.2\, H$ છે.

(B) બે કોઈલની સિસ્ટમ માટે અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ પ્રાથમિક કોઈલના પ્રવાહ $(i_1)$ અને ગૌણ કોઈલના ફ્લક્સ લિંકેજ $(N_2 \phi_2)$ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$N_2 \phi_2 = M i_1$
આપેલ છે:
કોઈલ $B$ સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ લિંકેજ $(N_2 \phi_2)$ = $9.0 \times 10^{-5} \ Wb$
કોઈલ $A$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(i_1)$ = $3.0 \ A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9.0 \times 10^{-5} = M \times 3.0$
$M = \frac{9.0 \times 10^{-5}}{3.0}$
$M = 3.0 \times 10^{-5} \ H$.

(C) અન્યોન્ય પ્રેરણને કારણે પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નું સૂત્ર $e = M \frac{di}{dt}$ છે.
અહીં,$M = 0.1\, H$,$di = (20 - 0)\, A = 20\, A$,અને $dt = 0.02\, s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 0.1 \times \frac{20}{0.02} = 0.1 \times 1000 = 100\, V$.
તેથી,પ્રેરિત $e.m.f.$ $100\, V$ છે.

(D) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનને કારણે કોઈલમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નું સૂત્ર $e = -M \frac{di}{dt}$ છે,જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક છે અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રાથમિક કોઈલમાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર છે.
આ પ્રશ્નમાં,કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $2\, A$ જેટલો અચળ આપેલો છે.
પ્રવાહ અચળ હોવાથી,પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = 0$ થાય.
તેથી,પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = -M \times 0 = 0$ થાય.
આમ,બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ શૂન્ય હશે.

(C) કોઈલની જોડીનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $(M)$ એ ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે જે કોઈલની ભૌતિક ગોઠવણી પર આધાર રાખે છે.
તે દરેક કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા,તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળ,તેમની વચ્ચેનું અંતર અને તેમના સાપેક્ષ અભિવિન્યાસ દ્વારા નક્કી થાય છે.
તે કોઈલમાંથી વહેતા પ્રવાહ અથવા પ્રવાહના બદલાવાના દર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ એક ગૂંચળામાં વહેતા પ્રવાહને કારણે બીજા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલા ચુંબકીય ફ્લક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનું સૂત્ર $M = \frac{N_2 \phi_{21}}{I_1}$ છે,જ્યાં $\phi_{21} = B_1 A_2 \cos \theta$ છે.
અહીં,$\theta$ એ બીજા ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ સદિશ અને પ્રથમ ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે. વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે,તેથી $\theta$ એ બંને ગૂંચળાઓની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો દર્શાવે છે.
$M$ મહત્તમ થવા માટે,$\cos \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\cos \theta = 1$ હોય ત્યારે થાય છે,એટલે કે $\theta = 0^{\circ}$.
જ્યારે અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોય,ત્યારે અક્ષો એકબીજાને સમાંતર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ગૂંચળાઓના સમતલ પણ એકબીજાને સમાંતર હોય છે.

(A) ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \left| \frac{di}{dt} \right|$.
અહીં,વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $di = 30 \,A - 0 \,A = 30 \,A$ છે.
સમયગાળો $dt = 0.1 \,s$ છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = 1.5 \,V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.5 = M \times \frac{30}{0.1}$.
$1.5 = M \times 300$.
$M = \frac{1.5}{300} = \frac{15}{3000} = 0.005 \,H$.

(A) ટ્રાન્સફોર્મરમાં બે ગૂંચળાં (કોઈલ) હોય છે,પ્રાથમિક અને ગૌણ,જે એક સામાન્ય કોર પર વીંટળાયેલા હોય છે. જ્યારે પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ $(AC)$ વહે છે,ત્યારે તે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે. આ બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ગૌણ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલું હોય છે,જે તેમાં વિદ્યુતચાલક બળ (emf) પ્રેરિત કરે છે. આ ઘટના,જેમાં એક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે નજીકના બીજા ગૂંચળામાં emf પ્રેરિત થાય છે,તેને પરસ્પર પ્રેરણ (mutual induction) કહેવામાં આવે છે. તેથી,ટ્રાન્સફોર્મર પરસ્પર પ્રેરકત્વના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.

(B) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે એક કોઈલમાં બદલાતો પ્રવાહ તેની નજીકની બીજી કોઈલમાં ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$1$. ઇન્ડક્શન કોઈલ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે.
$2$. ટ્રાન્સફોર્મર વોલ્ટેજ સ્તર બદલવા માટે મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે.
$3$. મોટર એ પ્રવાહની ચુંબકીય અસર (ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ) ના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શન પર નહીં.
$4$. ટેસ્લા કોઈલ એ ઉચ્ચ-વોલ્ટેજ,ઓછા-પ્રવાહ અને ઉચ્ચ-આવર્તનવાળા વૈકલ્પિક પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરવા માટે વપરાતું રેઝોનન્ટ ટ્રાન્સફોર્મર સર્કિટ છે; તે પણ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,મોટર એવું ઉપકરણ છે જે મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત પર કામ કરતું નથી.

(D) ફેરાડેના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,ઇન્ડ્યુસ્ડ $e.m.f.$ $\varepsilon = -M \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સર્કિટ તોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ ખૂબ જ ટૂંકા સમયના અંતરાલમાં તેના મહત્તમ મૂલ્યથી શૂન્ય થઈ જાય છે ($dt$ ખૂબ નાનું હોય છે).
સર્કિટ તોડતી વખતે $\frac{di}{dt}$ ખૂબ મોટું હોવાથી,સેકન્ડરી કોઇલમાં ઇન્ડ્યુસ્ડ $e.m.f.$ ખૂબ ઊંચું બને છે.

(B) ઇન્ડક્શન કોઈલ એ એક પ્રકારનું વિદ્યુત ટ્રાન્સફોર્મર છે જેનો ઉપયોગ ઓછા વોલ્ટેજના ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ સપ્લાયમાંથી ઉચ્ચ વોલ્ટેજના પલ્સ ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે.
તે અન્યોન્ય પ્રેરણ (Mutual induction) ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેમાં પ્રાથમિક કોઈલમાં બદલાતો પ્રવાહ તેમની વચ્ચેના ચુંબકીય ફ્લક્સ જોડાણને કારણે ગૌણ કોઈલમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $I_1$ પ્રવાહ ધરાવતા $R_1$ ત્રિજ્યાના મોટા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_1}{2 R_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $R_1 >> R_2$,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $R_2$ ત્રિજ્યાના નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B \cdot A_2 = \left( \frac{\mu_0 I_1}{2 R_1} \right) (\pi R_2^2)$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\phi_2}{I_1}$ છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 \pi R_2^2}{2 R_1}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $M \propto \frac{R_2^2}{R_1}$.

(B) બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $e = M \frac{di}{dt}$ છે.
અહીં $M = 0.005 \, H$,$I = I_0 \sin(\omega t)$,$I_0 = 10 \, A$,અને $\omega = 100\pi \, rad/s$ આપેલ છે.
$I$ નું વિકલન કરતા:
$e = M \frac{d}{dt} (I_0 \sin(\omega t)) = M I_0 \omega \cos(\omega t)$.
$e.m.f.$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(\omega t) = 1$ હોય.
$e_{\max} = M I_0 \omega$.
કિંમતો મૂકતા:
$e_{\max} = 0.005 \times 10 \times 100\pi = 5\pi \, V$.

(B) $i$ પ્રવાહ ધરાવતી $L$ બાજુવાળી મોટી ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}i}{L}$
$l$ બાજુવાળી નાની લૂપ કેન્દ્ર પર મૂકેલી હોવાથી અને $L \gg l$ હોવાથી, આપણે ધારી શકીએ કે નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગભગ સમાન છે.
નાની લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = B \times (\text{નાની લૂપનું ક્ષેત્રફળ}) = B \times l^2$
$\phi = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}i}{L} \right) l^2$
વ્યાખ્યા મુજબ, $\phi = Mi$, જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે。
$Mi = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}l^2}{L} \right) i$
$M = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2}l^2}{L}$
તેથી, $M \propto \frac{l^2}{L}$.

(A) બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ તેમની વચ્ચેના ચુંબકીય ફ્લક્સ લિંકેજ પર આધાર રાખે છે. જ્યારે એક ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બીજા ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળમાંથી સૌથી વધુ અસરકારક રીતે પસાર થાય ત્યારે ફ્લક્સ લિંકેજ મહત્તમ હોય છે.
પરિસ્થિતિ $(A)$ માં,બંને ગૂંચળાઓના સમતલ એકબીજાને સમાંતર છે. આ ગોઠવણી મોટા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થવા માટે મહત્તમ તક આપે છે,જેના પરિણામે સૌથી વધુ ચુંબકીય ફ્લક્સ લિંકેજ મળે છે.
પરિસ્થિતિ $(B)$ માં,નાના ગૂંચળાનું સમતલ મોટા ગૂંચળાના સમતલને લંબ છે. આ કિસ્સામાં,મોટા ગૂંચળામાંથી આવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ નાના ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોય છે,જેનાથી ફ્લક્સ લિંકેજ ન્યૂનતમ થાય છે.
પરિસ્થિતિ $(C)$ માં,ગૂંચળાઓને એકબીજાની બાજુમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે તેમના સમતલ એકબીજાને લંબ છે,જે પણ ખૂબ જ ઓછું ફ્લક્સ લિંકેજ આપે છે.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ પરિસ્થિતિ $(A)$ માં મહત્તમ છે.

(D) કોઇલ $(1)$ માં વહેતા પ્રવાહ $i$ ને કારણે કોઇલ $(2)$ ના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ એ અક્ષીય અંતર $l$ પર ચુંબકીય ડાયપોલના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_1 = \frac{{\mu _0}}{4\pi} \cdot \frac{2m}{l^3}$
જ્યાં ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = iA = i(\pi a^2)$ છે.
$m$ ની કિંમત $B_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B_1 = \frac{{\mu _0}}{4\pi} \cdot \frac{2(i\pi a^2)}{l^3} = \frac{{\mu _0} i a^2}{2l^3}$
કોઇલ $(2)$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2$ છે:
$\phi_2 = B_1 A_2 = \left( \frac{{\mu _0} i a^2}{2l^3} \right) (\pi a^2) = \frac{{\mu _0} \pi i a^4}{2l^3}$
કારણ કે $\phi_2 = Mi$,તેથી મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$:
$M = \frac{{\mu _0} \pi a^4}{2l^3}$

(B) સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ ફેરાડેના ઇન્ડક્શનના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -M \frac{di}{dt}$.
આપેલ ત્રિકોણાકાર તરંગ સ્વરૂપ પરથી,પ્રવાહ $0$ થી $I_0 = 1\,A$ સુધી $\Delta t = T/4$ ના સમયગાળામાં બદલાય છે,જ્યાં $T$ એ સમયગાળો છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\,rad/s$ છે. સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{200} = \frac{\pi}{100}\,s$ છે.
તેથી,સમયગાળો $\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{400}\,s$ થાય.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{1 - 0}{\pi/400} = \frac{400}{\pi}\,A/s$ છે.
પ્રેરિત વોલ્ટેજનું મૂલ્ય $|e| = M \left| \frac{di}{dt} \right| = 1.5 \times \frac{400}{\pi} = \frac{600}{\pi}$ છે.
ગણતરી કરતા: $|e| \approx \frac{600}{3.14159} \approx 190.98\,V$,જે આશરે $191\,V$ થાય છે.

(D) પ્રથમ લૂપમાં વહેતા પ્રવાહ $i$ ને કારણે બીજા લૂપના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ એ અક્ષીય અંતર $l$ પરના ચુંબકીય ડાયપોલના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$B_1 = \frac{{\mu _0}}{{4\pi }} \cdot \frac{{2M}}{{l^3}}$,જ્યાં $M = i \cdot A = i(\pi a^2)$ એ પ્રથમ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
$M$ ની કિંમત $B_1$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B_1 = \frac{{\mu _0}}{{4\pi }} \cdot \frac{{2(i \pi a^2)}}{{l^3}} = \frac{{\mu _0 i a^2}}{{2l^3}}$.
બીજા લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B_1 \times A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi a^2$:
$\phi_2 = \left( \frac{{\mu _0 i a^2}}{{2l^3}} \right) \times (\pi a^2) = \frac{{\mu _0 \pi a^4 i}}{{2l^3}}$.
$\phi_2 = M_{12} i$ હોવાથી,અનોન્યપ્રેરકત્વ $M_{12}$:
$M_{12} = \frac{{\mu _0 \pi a^4}}{{2l^3}}$.

(D) બે ગૂંચળા વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ સૂત્ર $M = K \sqrt{L_1 L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ કપલિંગનો ગુણાંક છે.
કારણ કે એક ગૂંચળાનું ફ્લક્સ બીજા સાથે સંપૂર્ણપણે સંકળાયેલું છે,તેથી ગૂંચળા સંપૂર્ણપણે જોડાયેલા છે,જેનો અર્થ છે કે $K = 1$.
અહીં $L_1 = 2 \, mH$ અને $L_2 = 8 \, mH$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = 1 \times \sqrt{2 \, mH \times 8 \, mH}$
$M = \sqrt{16 \, mH^2}$
$M = 4 \, mH$.

(D) લૂપ $(2)$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2$ એ લૂપ $(1)$ માં વહેતા પ્રવાહ $i_1$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $\phi_2 = M i_1$ દ્વારા દર્શાવાય છે,જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,લૂપ $(2)$ માં પ્રેરિત emf $\varepsilon_2$ એ $\varepsilon_2 = -\frac{d\phi_2}{dt} = -M \frac{di_1}{dt}$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i_2$ એ $i_2 = \frac{\varepsilon_2}{R} = -\frac{M}{R} \frac{di_1}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ લૂપ $(2)$ નો અવરોધ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$i_2$ એ ધન અચળ મૂલ્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે $\frac{di_1}{dt}$ ઋણ અચળ હોવું જોઈએ.
તેથી,પ્રવાહ $i_1$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે ઘટતો હોવો જોઈએ (એટલે કે,ઋણ ઢાળ ધરાવતો હોવો જોઈએ).
વિકલ્પો જોતા,જે આલેખમાં $i_1$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે તે વિકલ્પ $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ગૂંચળા દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$,જેમાં $I_1$ પ્રવાહ વહે છે,તે $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B_1 \times A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi r^2$ એ નાના ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$B_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi_2 = \left( \frac{\mu_0 I_1}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I_1$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા $\phi_2 = M I_1$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$ મળે છે.

(B) $i$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક નાની લંબચોરસ પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ $dA = a \cdot dx$ છે.
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi x} \right) a \cdot dx$ છે.
લૂપમાંથી કુલ ફ્લક્સ $\phi$ શોધવા માટે,આપણે $x = c$ થી $x = c + b$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\phi = \int_{c}^{c+b} \frac{\mu_0 i a}{2\pi x} dx = \frac{\mu_0 i a}{2\pi} [\ln x]_{c}^{c+b} = \frac{\mu_0 i a}{2\pi} \ln \left( \frac{c+b}{c} \right) = \frac{\mu_0 i a}{2\pi} \ln \left( 1 + \frac{b}{c} \right)$.
$\phi = M i$ હોવાથી,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln \left( 1 + \frac{b}{c} \right)$ મળે છે.

(D) પ્રવાહ $I$ વહેતા લાંબા સીધા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વર્તુળાકાર હોય છે અને તેનું કેન્દ્ર તાર પર હોય છે.
તારને વર્તુળાકાર રીંગના અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ રીંગના સમતલને સમાંતર હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ રીંગ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ન હોવાથી,રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ શૂન્ય છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા $M = \frac{\phi}{I}$ હોવાથી,અને ફ્લક્સ $\phi = 0$ હોવાથી,આ તંત્રનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 0$ થાય છે.

(B) અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ માટે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અને પ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = M I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I$ ને કારણે ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi$ માટેનું સૂત્ર $\Delta \phi = M \Delta I$ છે.
આપેલ છે:
$\Delta \phi = 4 \ Wb$
$M = 2 \ H$
કિંમતો મૂકતા:
$4 = 2 \times \Delta I$
$\Delta I = \frac{4}{2} = 2 \ A$.
તેથી,કોઈલ $B$ માં પ્રવાહનો ફેરફાર $2 \ A$ છે.

(A) બે કોએક્સિયલ સોલેનોઇડ્સના મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ માટેનું સૂત્ર $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{\ell}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$A = 10 \ cm^2 = 10 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-3} \ m^2$
$\ell = 20 \ cm = 0.2 \ m$
$N_1 = 300$
$N_2 = 400$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \ m \ A^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 300 \times 400 \times 10^{-3}}{0.2}$
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 120000 \times 10^{-3}}{0.2}$
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 120}{0.2}$
$M = 4\pi \times 10^{-7} \times 600$
$M = 2400\pi \times 10^{-7} \ H = 2.4\pi \times 10^{-4} \ H$.

(B) પરસ્પર પ્રેરણ (Mutual Induction) ના પારસ્પરિકતાના સિદ્ધાંત મુજબ,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M_{MN} = M_{NM}$ થાય છે.
આપેલ છે કે કોઈલ $M$ માં પ્રવાહને કારણે કોઈલ $N$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi_{N} = M I_{M}$ છે.
તેથી,$M = \frac{\phi_{N}}{I_{M}} = \frac{1.8 \times 10^{-3} \ Wb}{2 \ A} = 0.9 \times 10^{-3} \ H$.
હવે,કોઈલ $N$ માં પ્રવાહને કારણે કોઈલ $M$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ માટે,આપણે $\phi_{M} = M I_{N}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા,$\phi_{M} = (0.9 \times 10^{-3} \ H) \times (3 \ A) = 2.7 \times 10^{-3} \ Wb$.

(D) ત્રિકોણાકાર વાહકના શિરોબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈનો એક ઘટક ધ્યાનમાં લો. ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે અને પાયો $b$ છે. સમાન ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,$x$ અંતરે પટ્ટીની પહોળાઈ $w = (b/h)x$ થશે.
આ પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ $dA = (b/h)x \, dx$ છે.
લાંબા સીધા તારને કારણે $(a+x)$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi(a+x)}$ છે.
પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \, dA = \frac{\mu_0 I}{2\pi(a+x)} \cdot \frac{b}{h} x \, dx$ છે.
$x = 0$ થી $x = h$ સુધી સંકલન કરતા:
$\phi = \int_0^h \frac{\mu_0 I b}{2\pi h} \frac{x}{a+x} \, dx = \frac{\mu_0 I b}{2\pi h} \int_0^h \left( 1 - \frac{a}{a+x} \right) \, dx$.
$\phi = \frac{\mu_0 I b}{2\pi h} [x - a \ln(a+x)]_0^h = \frac{\mu_0 I b}{2\pi h} [h - a \ln((a+h)/a)]$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનનો ગુણાંક $M = \phi/I = \frac{\mu_0 b}{2\pi h} [h - a \ln((a+h)/a)]$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$a = 0.1 \ m$,$b = 0.2 \ m$,$h = 0.1 \ m$.
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 0.2}{2\pi \times 0.1} [0.1 - 0.1 \ln(0.2/0.1)] = 4 \times 10^{-7} \times 0.1 [1 - 0.693] \approx 1.2 \times 10^{-8} \ H$.

(A) બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $|\varepsilon| = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$ છે.
અહીં $M = 0.005\,H$,$I = I_0 \sin \omega t$,$I_0 = 10\,A$,અને $\omega = 100\pi \,rad/s$ આપેલ છે.
પ્રવાહનું વિકલન કરતા: $\varepsilon = M \frac{d}{dt} (I_0 \sin \omega t) = M I_0 \omega \cos \omega t$.
$emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\varepsilon_{\max} = M I_0 \omega$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon_{\max} = 0.005 \times 10 \times 100\pi$.
$\varepsilon_{\max} = 0.05 \times 100\pi = 5\pi \,V$.

(B) સેકન્ડરી કોઈલમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = -M \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,પ્રવાહ $T/4$ ના સમયગાળામાં $0$ થી $1 \, A$ સુધી વધે છે,જ્યાં $T$ એ તરંગનો આવર્તકાળ છે.
તેથી,પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{1 - 0}{T/4} = \frac{4}{T}$ છે.
પ્રેરિત વોલ્ટેજનું મૂલ્ય $|e| = M \left| \frac{di}{dt} \right| = 1.5 \times \frac{4}{T} = \frac{6}{T}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \, rad/sec$ છે. $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{200} = \frac{\pi}{100} \, s$ મળે છે.
$T$ ની કિંમત $|e|$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $|e| = \frac{6}{\pi/100} = \frac{600}{\pi} \, V$ મળે છે.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$|e| \approx \frac{600}{3.14159} \approx 190.98 \, V$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$|e| \approx 191 \, V$ થાય છે.

(B) અનંત લંબાઈના તારમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ ને કારણે $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0}I}{2\pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $AB$ થી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈ અને $c$ લંબાઈની એક નાની લંબચોરસ પટ્ટી ધ્યાનમાં લો.
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left( \frac{{\mu _0}I}{2\pi x} \right) (c \cdot dx)$ છે.
કોઈલ $PQRS$ માંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ મેળવવા માટે $x = a$ થી $x = b$ સુધી સંકલન કરતા:
$\phi = \int_{a}^{b} \frac{{\mu _0}Ic}{2\pi x} dx = \frac{{\mu _0}Ic}{2\pi} \int_{a}^{b} \frac{1}{x} dx$.
$\phi = \frac{{\mu _0}Ic}{2\pi} [\ln x]_{a}^{b} = \frac{{\mu _0}Ic}{2\pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{{\mu _0}c}{2\pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.

(A) બે ગૂંચળા કે જેમના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_1$ અને $L_2$ છે,તેમની વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ સંબંધ $M = k\sqrt{L_1 L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ કપલિંગ ગુણાંક છે.
મહત્તમ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ માટે,ગૂંચળા સંપૂર્ણપણે જોડાયેલા હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
તેથી,$M_{\max} = \sqrt{L_1 L_2}$.
અહીં $L_1 = 100\,mH$ અને $L_2 = 400\,mH$ આપેલ છે.
$M_{\max} = \sqrt{100 \times 400} = \sqrt{40000} = 200\,mH$.

(C) બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = K \sqrt{L_1 L_2}$
જ્યાં $L_1$ અને $L_2$ એ બે ગૂંચળાઓના આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $K$ એ કપલિંગ ગુણાંક છે.
આપેલ છે કે એક ગૂંચળાનું ફ્લક્સ બીજા સાથે સંપૂર્ણપણે સંકળાયેલું છે,તેથી ગૂંચળાઓ સંપૂર્ણ રીતે જોડાયેલા છે,જેનો અર્થ છે કે $K = 1$.
આપેલ કિંમતો $L_1 = 2\, mH$ અને $L_2 = 8\, mH$ મૂકતા:
$M = 1 \times \sqrt{2\, mH \times 8\, mH}$
$M = \sqrt{16\, mH^2}$
$M = 4\, mH$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે।
અહીં, $n = 5\, turns/cm = 500\, turns/m$.
નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N B A$ છે, જ્યાં $N = 100$ એ નાના ગૂંચળાના આંટા છે અને $A = \pi r^2$ એ તેનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ છે કે $r = 1\, cm = 0.01\, m$, તેથી $A = \pi (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4}\, m^2$.
ફ્લક્સ $\phi = 100 \times (\mu_0 \times 500 \times I) \times (\pi \times 10^{-4}) = 5\pi \mu_0 I$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\phi}{I} = 5\pi \mu_0$.
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = 5\pi \times 4\pi \times 10^{-7} = 20\pi^2 \times 10^{-7} \approx 1.97 \times 10^{-5}\, H = 0.0197\, mH$.

(A) આપેલ છે:
પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ = $100 \, mV = 100 \times 10^{-3} \, V = 0.1 \, V$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $(\Delta I)$ = $10 \, A - 0 \, A = 10 \, A$
સમયગાળો $(\Delta t)$ = $0.1 \, s$
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનને કારણે પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર:
$e = M \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$0.1 = M \left( \frac{10}{0.1} \right)$
$0.1 = M \times 100$
$M = \frac{0.1}{100} = 0.001 \, H$
કારણ કે $1 \, H = 1000 \, mH$,
$M = 0.001 \times 1000 \, mH = 1 \, mH$.

(A) બે સમકેન્દ્રીય વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ નાના અંદરના લૂપની ત્રિજ્યા છે અને $b$ એ મોટા બહારના લૂપની ત્રિજ્યા છે $(b \gg a)$.
બહારના લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I = I_0 \cos (\omega t)$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,અંદરના લૂપમાં પ્રેરિત emf $e = -M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = -\left( \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b} \right) \frac{d}{dt} [I_0 \cos (\omega t)]$
$e = -\left( \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b} \right) I_0 [-\omega \sin (\omega t)]$
$e = \frac{\pi \mu_0 I_0}{2} \cdot \frac{a^2}{b} \omega \sin (\omega t)$.

(A) કોઈલ $Y$ માં પ્રેરિત emf ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V(t) = -M \frac{dI}{dt}$,જ્યાં $M$ એ બે કોઈલ વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહના આલેખનો ઢાળ,$\frac{dI}{dt}$,એ $-V(t)$ ના પ્રમાણમાં છે.
$1$. પ્રથમ અંતરાલમાં,$V(t)$ ધન છે,તેથી $\frac{dI}{dt}$ ઋણ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $I(t)$ ઘટતો હોવો જોઈએ.
$2$. બીજા અંતરાલમાં,$V(t)$ ઋણ છે,તેથી $\frac{dI}{dt}$ ધન હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $I(t)$ વધતો હોવો જોઈએ.
$3$. વિકલ્પો જોતા,આલેખ $A$ માં પ્રવાહ શરૂઆતમાં ઘટતો અને પછી વધતો જોવા મળે છે,જે આપેલ $V(t)$ આલેખ પરથી મેળવેલ ઢાળ $\frac{dI}{dt}$ ના જરૂરી વર્તન સાથે મેળ ખાય છે.

(D) અંદરના સોલેનોઈડનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = \mu_0 n_1^2 A_1 l = \mu_0 n_1^2 (\pi r_1^2) l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સોલેનોઈડ્સનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \mu_0 n_1 n_2 A_1 l = \mu_0 n_1 n_2 (\pi r_1^2) l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_1$ એ અંદરના સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ અને અંદરના ગૂંચળાના સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L_1} = \frac{\mu_0 n_1 n_2 \pi r_1^2 l}{\mu_0 n_1^2 \pi r_1^2 l}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{M}{L_1} = \frac{n_2}{n_1}$ મળે છે.