Dynamic EMI and Periodic EMI Questions in Gujarati

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ગૂંચળામાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે ચુંબકને $\nu$ આવૃત્તિ સાથે અંદર અને બહાર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સ સમયાંતરે બદલાય છે,જે ગૂંચળામાં એસી $(AC)$ પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
ગેલ્વેનોમીટરની સોયમાં ચોક્કસ જડત્વની આઘૂર્ણ અને ડેમ્પિંગ હોય છે,જે તેને ઉચ્ચ-આવૃત્તિના ફેરફારોને પ્રતિસાદ આપવાની ક્ષમતાને મર્યાદિત કરે છે.
જો આવૃત્તિ $\nu$ ઓછી હોય (દા.ત.,$1 \, Hz$ અથવા $2 \, Hz$),તો ગેલ્વેનોમીટરની સોય પ્રેરિત પ્રવાહમાં થતા ફેરફારોને અનુસરી શકે છે,અને વિચલનમાં સ્પષ્ટપણે દોલનો જોવા મળશે.
જો આવૃત્તિ $\nu$ વધારે હોય (દા.ત.,$50 \, Hz$),તો સોય તેના જડત્વને કારણે ઝડપી દોલનો સાથે તાલ મિલાવી શકતી નથી અને શૂન્ય સ્થિતિ પર રહે છે (અથવા ખૂબ જ નાનું,સ્થિર વિચલન દર્શાવે છે),જેના કારણે દોલનો અદ્રશ્ય થઈ જાય છે.

(C) પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય, જેને $e_0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e_0 = N B A \omega = N B A (2 \pi \nu)$.
આપેલ મૂલ્યો:
આંટાની સંખ્યા, $N = 300$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા, $B = 4 \times 10^{-2}\;T$
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ, $A = 25\;cm \times 10\;cm = 250\;cm^2 = 250 \times 10^{-4}\;m^2 = 2.5 \times 10^{-2}\;m^2$
ભ્રમણની આવૃત્તિ, $\nu = 50\;cps$ (સાયકલ પ્રતિ સેકન્ડ)
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e_0 = 300 \times (4 \times 10^{-2}) \times (2.5 \times 10^{-2}) \times (2 \pi \times 50)$
$e_0 = 300 \times 0.04 \times 0.025 \times 100\pi$
$e_0 = 12 \times 0.025 \times 100\pi$
$e_0 = 0.3 \times 100\pi = 30\pi\;V$
આમ, પ્રેરિત $e.m.f.$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $30\pi\;V$ છે.

(B) ભ્રમણ કરતા ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ $e.m.f.$ $(e_0)$ નું સૂત્ર: $e_0 = N B A \omega$ છે.
અહીં,$N = 4000$,$B = 0.5 \, \text{gauss} = 0.5 \times 10^{-4} \, T$,$r = 7 \, cm = 0.07 \, m$,અને આવૃત્તિ $\nu = 1800 \, \text{rpm} = \frac{1800}{60} \, \text{Hz} = 30 \, \text{Hz}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi \nu = 2 \times \pi \times 30 = 60 \pi \, \text{rad/s}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.07)^2 = 0.0049 \pi \, \text{m}^2$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$e_0 = 4000 \times (0.5 \times 10^{-4}) \times (0.0049 \pi) \times (60 \pi)$
$e_0 = 4000 \times 0.5 \times 10^{-4} \times 0.0049 \times 60 \times \pi^2$
$e_0 = 0.2 \times 0.0049 \times 60 \times 9.8696 \approx 0.58 \, V$.

(D) $AC$ જનરેટરમાં ઉત્પન્ન થતા $EMF$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_0)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e_0 = N B A \omega$.
અહીં,$N = 5000$ (આંટાની સંખ્યા),$B = 0.2\,Wb/m^2$ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર),$A = 0.25\,m^2$ (ક્ષેત્રફળ),અને આવૃત્તિ $\nu = 100\,Hz$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi \nu = 2 \times 3.14 \times 100 = 628\,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $e_0 = 5000 \times 0.2 \times 0.25 \times 628$.
$e_0 = 1000 \times 0.25 \times 628 = 250 \times 628 = 157000\,V$.
$kV$ માં ફેરવતા: $157000\,V = 157\,kV$.

(C) કોઈપણ સમયે ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ નો કંપવિસ્તાર $e_0 = NBA\omega$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{NBA\omega}{R}$ છે.
આપેલ છે: $B = 10^{-2} \, T$,$r = 0.3 \, m$,$A = \pi r^2 = 0.09\pi \, m^2$,$R = \pi^2 \, \Omega$,અને આવૃત્તિ $f = \frac{200}{60} = \frac{10}{3} \, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = \frac{20\pi}{3} \, rad/s$.
$N=1$ લેતા:
$i_0 = \frac{1 \times 10^{-2} \times (0.09\pi) \times (20\pi/3)}{\pi^2} = 0.006 \, A = 6 \, mA$.

(C) ભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતો મહત્તમ $emf$ $(e_0)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e_0 = N B A \omega$, જ્યાં $\omega = 2\pi \nu$.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $(N)$ = $300$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ = $4 \times 10^{-2} \; T$
ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $25 \; cm \times 10 \; cm = 250 \; cm^2 = 250 \times 10^{-4} \; m^2 = 2.5 \times 10^{-2} \; m^2$
આવૃત્તિ $(\nu)$ = $50 \; rps$
કોણીય ઝડપ $(\omega)$ = $2\pi \times 50 = 100\pi \; rad/s$
કિંમતો મૂકતા:
$e_0 = 300 \times (4 \times 10^{-2}) \times (2.5 \times 10^{-2}) \times 100\pi$
$e_0 = 300 \times 0.04 \times 0.025 \times 100\pi$
$e_0 = 300 \times 0.001 \times 100\pi$
$e_0 = 30\pi \; V$.

(B) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\theta - \pi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત $e.m.f.$ ને $e = BA\omega \cos(\omega t - \pi/2)$ તરીકે લખી શકાય.
ફ્લક્સની કળા $(\omega t)$ અને પ્રેરિત $e.m.f.$ ની કળા $(\omega t - \pi/2)$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\pi/2$ મળે છે.

(B) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N A B \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = N A B \omega \sin(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ નો કંપવિસ્તાર $e_0 = N A B \omega$ છે.
આપેલ કિંમતો: $N = 100$,$R = 10 \Omega$,$r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,$B = 10 \text{ mT} = 10^{-2} \text{ T}$,અને આવૃત્તિ $f = 100 \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 100 = 200 \pi \text{ rad/s}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \text{ m}^2$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{N A B \omega}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_0 = \frac{100 \times (0.01 \pi) \times 10^{-2} \times (200 \pi)}{10}$.
$I_0 = \frac{100 \times 0.01 \times 200 \times \pi^2 \times 10^{-2}}{10} = \frac{200 \times 10}{10} = 2 \text{ A}$.

(D) ભ્રમણ કરતા ગૂંચળામાં પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $\varepsilon = N A B \omega \sin(\omega t)$ છે.
અહીં,$N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે પ્રેરિત $e.m.f.$ એ $N$,$A$,$B$ અને $\omega$ પર આધાર રાખે છે.
તે ગૂંચળાના અવરોધ પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે અવરોધ માત્ર પ્રેરિત પ્રવાહ $(I = \varepsilon / R)$ ને અસર કરે છે,પ્રેરિત $e.m.f.$ ને નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ કોઈ પણ સમયે $t$ માટે $\phi = N B A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $e$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt}(N B A \cos(\omega t))$.
$e = -N B A \frac{d}{dt}(\cos(\omega t)) = -N B A (-\omega \sin(\omega t)) = N B A \omega \sin(\omega t)$.
$emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય.
તેથી,$e_{\max} = N B A \omega$.

(D) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 100$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.10$ $m^2$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01$ $T$,આવૃત્તિ $f = 0.5$ $rev/s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times 3.14 \times 0.5 = 3.14$ $rad/s$.
મહત્તમ પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (વોલ્ટેજ) નું સૂત્ર $e_0 = N B A \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e_0 = 100 \times 0.01 \times 0.10 \times 3.14$.
$e_0 = 1 \times 0.10 \times 3.14 = 0.314$ $V$.
આમ,ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતો મહત્તમ વોલ્ટેજ $0.314$ $V$ છે.

(B) અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi r^{2}$ છે.
સમય $t$ પર લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos(\omega t) = B \left(\frac{1}{2} \pi r^{2}\right) \cos(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{2} B \pi r^{2} \omega \sin(\omega t)$.
ઉત્પન્ન થતો ત્વરિત પાવર $P(t) = \frac{\varepsilon^{2}}{R} = \frac{(\frac{1}{2} B \pi r^{2} \omega \sin(\omega t))^{2}}{R} = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2} \sin^{2}(\omega t)}{4 R}$ છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ પર સરેરાશ પાવર $\langle P \rangle = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2}}{4 R} \langle \sin^{2}(\omega t) \rangle$ છે.
આવર્તકાળ પર $\sin^{2}(\omega t)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ હોવાથી,$\langle P \rangle = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2}}{4 R} \cdot \frac{1}{2} = \frac{(B \pi r^{2} \omega)^{2}}{8 R}$ મળે છે.

(C) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$,જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $\theta = \omega t$ ખૂણો બનાવે છે,તે $\phi = B A \cos(\omega t) = \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right) (\pi r^2) \cos(\omega t)$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_0 I \pi r^2}{2R} \cos(\omega t) \right]$.
$e = -\frac{\mu_0 I \pi r^2}{2R} \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = \frac{\mu_0 I}{2R} \omega \pi r^2 \sin(\omega t)$.

(B) લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત $emf$ એ $e = -\frac{d\Phi}{dt} = BA\omega \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત $emf$ ની દિશા $\sin(\omega t)$ ના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે.
કારણ કે $\sin(\omega t)$ દર $\pi$ રેડિયન પછી તેનું ચિહ્ન બદલે છે (જે અડધા પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે),તેથી પ્રેરિત $emf$ ની દિશા દર $1/2$ પરિભ્રમણ પછી બદલાય છે.

(B) ભ્રમણ કરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \phi_0 \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $e = -\frac{d}{dt}(\phi_0 \cos(\omega t)) = \phi_0 \omega \sin(\omega t)$ મળે છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = e/R$ હોવાથી,પ્રવાહ $i = \frac{\phi_0 \omega}{R} \sin(\omega t)$ થાય છે.
પ્રેરિત $emf$ $(e)$ અને પ્રેરિત પ્રવાહ $(i)$ બંને $\sin(\omega t)$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ અને પ્રેરિત પ્રવાહ વચ્ચે કોઈ કળા તફાવત નથી,એટલે કે કળા તફાવત શૂન્ય છે.

(C) ભ્રમણ કરતા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ ભ્રમણની કોણીય ઝડપ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $E = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$E = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = -BA(-\omega \sin(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
આને આપણે $E = BA\omega \cos(\omega t - \pi / 2)$ તરીકે લખી શકીએ.
ફ્લક્સ $\phi$ ની કળા $(\omega t)$ અને પ્રેરિત emf $E$ ની કળા $(\omega t - \pi / 2)$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\pi / 2$ મળે છે.
તેથી,પ્રેરિત emf એ ચુંબકીય ફ્લક્સ કરતા $\pi / 2$ જેટલું પાછળ રહે છે.

(D) લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત emf $e$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ $|e| = |\frac{d\phi}{dt}| = |BA\omega \sin(\omega t)|$ છે.
પ્રેરિત emf $|e|$ મહત્તમ ત્યારે હોય જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ થાય,જે $\omega t = \frac{\pi}{2}$ સમયે મળે છે.
આવર્તકાળ $T = 10 \; s$ હોવાથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \; rad/s$ થાય.
$\omega t = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા,$(\frac{\pi}{5})t = \frac{\pi}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t = 2.5 \; s$.
પ્રેરિત emf $|e|$ ન્યૂનતમ ત્યારે હોય જ્યારે $\sin(\omega t) = 0$ થાય,જે $\omega t = \pi$ સમયે મળે છે.
$\omega t = \pi$ મૂકતા,$(\frac{\pi}{5})t = \pi$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t = 5.0 \; s$.
આમ,પ્રેરિત emf $2.5 \; s$ સમયે મહત્તમ અને $5.0 \; s$ સમયે ન્યૂનતમ હશે.

(N/A) સિદ્ધાંત: $A.C.$ જનરેટરનો સિદ્ધાંત વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ પર આધારિત છે. જ્યારે કોઈ ગૂંચળાને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સતત બદલાય છે,જે ગૂંચળામાં ઓલ્ટરનેટિંગ (ઉલટસૂલટ) $emf$ પ્રેરિત કરે છે.
રચના: $A.C.$ જનરેટરમાં એક લંબચોરસ ગૂંચળું (આર્મેચર) હોય છે જે મજબૂત કાયમી ચુંબકના ધ્રુવોની વચ્ચે રાખવામાં આવે છે. ગૂંચળું રોટર શાફ્ટ પર માઉન્ટ થયેલું હોય છે અને તેને ફેરવી શકાય છે. ગૂંચળાના છેડા બે સ્લિપ રિંગ્સ સાથે જોડાયેલા હોય છે,જે ગૂંચળા સાથે ફરે છે. બે સ્થિર કાર્બન બ્રશ આ સ્લિપ રિંગ્સ પર દબાણ કરે છે જેથી પ્રેરિત પ્રવાહને બાહ્ય સર્કિટમાં લઈ જઈ શકાય.
પ્રેરિત $emf$ ની તારવણી:
ધારો કે ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A$,આંટાની સંખ્યા $N$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ છે. જો ગૂંચળું $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે,તો કોઈપણ સમયે $t$ પર ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \omega t$ છે.
ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ છે:
$\phi = N B A \cos(\theta) = N B A \cos(\omega t)$
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ છે:
$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} (N B A \cos(\omega t))$
$\varepsilon = -N B A (-\sin(\omega t)) \cdot \omega$
$\varepsilon = N B A \omega \sin(\omega t)$
ધારો કે $\varepsilon_0 = N B A \omega$ એ $emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી:
$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(\omega t)$

(N/A) $AC$ જનરેટરમાં પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = \varepsilon_{0} \sin(\omega t) = \varepsilon_{0} \sin(2 \pi \nu t) \quad \dots (1)$
જ્યાં $\varepsilon_{0}$ એ $emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $\nu$ એ ભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
સમીકરણ $(1)$ એ $emf$ નું તાત્કાલિક મૂલ્ય દર્શાવે છે. જેમ ગૂંચળું ફરે છે તેમ $emf$ એ $+\varepsilon_{0}$ અને $-\varepsilon_{0}$ ની વચ્ચે આવર્તનીય રીતે બદલાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં ગૂંચળાના ભ્રમણના આધારે,આપણે વિવિધ તબક્કાઓનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ:
$1$. તબક્કો $1$ $(\omega t = 0^{\circ})$: ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ છે. ચુંબકીય ફ્લક્સ મહત્તમ છે,પરંતુ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે. તેથી,$\varepsilon = \varepsilon_{0} \sin(0^{\circ}) = 0$.
$2$. તબક્કો $2$ $(\omega t = 90^{\circ})$: ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર છે. ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર મહત્તમ છે. તેથી,$\varepsilon = \varepsilon_{0} \sin(90^{\circ}) = \varepsilon_{0}$.
$3$. તબક્કો $3$ $(\omega t = 180^{\circ})$: ગૂંચળાનું સમતલ ફરીથી $\vec{B}$ ને લંબ છે. તેથી,$\varepsilon = \varepsilon_{0} \sin(180^{\circ}) = 0$.
$4$. તબક્કો $4$ $(\omega t = 270^{\circ})$: ગૂંચળાનું સમતલ $\vec{B}$ ને સમાંતર છે,પરંતુ ગૂંચળું વિરુદ્ધ બાજુએ ફરી ગયું છે. તેથી,$\varepsilon = \varepsilon_{0} \sin(270^{\circ}) = -\varepsilon_{0}$.
$5$. તબક્કો $5$ $(\omega t = 360^{\circ})$: ગૂંચળું તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછું આવે છે. તેથી,$\varepsilon = \varepsilon_{0} \sin(360^{\circ}) = 0$.

(N/A) $AC$ જનરેટરમાં,એક ગૂંચળું સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ભ્રમણ કરે છે. કોઈપણ સમયે $t$ પર ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\omega$ કોણીય વેગ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ છે.
ધારો કે $\varepsilon_0 = NBA\omega$ એ $emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી $\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(\omega t)$.
લક્ષણો:
$1$. પ્રેરિત $emf$ સમય સાથે સાઈન વિધેય મુજબ બદલાય છે.
$2$. $\omega t = 0, 180^\circ, 360^\circ$ પર,$emf$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે.
$3$. $\omega t = 90^\circ$ પર,$emf$ મહત્તમ ધન $(\varepsilon_0)$ હોય છે કારણ કે ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર મહત્તમ હોય છે.
$4$. $\omega t = 270^\circ$ પર,$emf$ મહત્તમ ઋણ $(-\varepsilon_0)$ હોય છે કારણ કે ગૂંચળું ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.

(N/A) $AC$ જનરેટરમાં,$B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\epsilon = -\frac{d}{dt}(NBA \cos(\omega t)) = NBA\omega \sin(\omega t)$ મળે છે.
જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય ત્યારે $emf$ $(\epsilon_{max})$ નું મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
તેથી,મહત્તમ $emf$ માટેનું સમીકરણ $\epsilon_{max} = NBA\omega$ છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 10\, cm = 0.1\, m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.0 \times 10^{-5}\, T$.
અડધા પરિભ્રમણ માટેનો સમય $0.2\, s$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = 0.4\, s$.
કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રેરિત $EMF$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ મળે છે: $|\varepsilon| = |\frac{d\phi}{dt}| = |BA\omega \sin(\omega t)|$.
મહત્તમ પ્રેરિત $EMF$ એ $\varepsilon_{\max} = BA\omega$ છે.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = B \times (\pi r^2) \times \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi^2 B r^2}{T}$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon_{\max} = \frac{2 \times \pi^2 \times 3.0 \times 10^{-5} \times (0.1)^2}{0.4}$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા:
$\varepsilon_{\max} = \frac{2 \times 10 \times 3.0 \times 10^{-5} \times 0.01}{0.4} = \frac{6 \times 10^{-4}}{0.4} = 15 \times 10^{-6}\, V = 15\, \mu V$.

(A) $t$ સમયે લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $A = \pi ab$ એ લંબગોળ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt} = AB\omega \sin(\omega t)$.
જૂલ હીટિંગને કારણે ત્વરિત પાવર વ્યય $P = \frac{\epsilon^{2}}{R} = \frac{(AB\omega \sin(\omega t))^{2}}{R} = \frac{A^{2}B^{2}\omega^{2}}{R} \sin^{2}(\omega t)$ છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પાવર વ્યય $P_{avg} = \langle P \rangle = \frac{A^{2}B^{2}\omega^{2}}{R} \langle \sin^{2}(\omega t) \rangle$ છે.
ચક્ર પર $\sin^{2}(\omega t)$ ની સરેરાશ કિંમત $\frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણને $P_{avg} = \frac{A^{2}B^{2}\omega^{2}}{R} \cdot \frac{1}{2}$ મળે છે.
$A = \pi ab$ મૂકતા,આપણને $P_{avg} = \frac{(\pi ab)^{2} B^{2} \omega^{2}}{2R} = \frac{\pi^{2} a^{2} b^{2} B^{2} \omega^{2}}{2R}$ મળે છે.

(C) ભ્રમણ કરતા ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ $emf$ $(\varepsilon_{max})$ શોધવાનું સૂત્ર: $\varepsilon_{max} = N \omega A B$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા,$\omega$ એ કોણીય ઝડપ,$A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આપેલ છે: $N = 20$,$\omega = 50 \, rad \, s^{-1}$,$B = 3.0 \times 10^{-2} \, T$,અને ત્રિજ્યા $r = 8.0 \, cm = 0.08 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.08)^2 = 0.0064 \pi \, m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon_{max} = 20 \times 50 \times (0.0064 \pi) \times (3.0 \times 10^{-2})$.
$\varepsilon_{max} = 1000 \times 0.0064 \times \pi \times 3.0 \times 10^{-2} = 6.4 \times \pi \times 3.0 \times 10^{-2} = 19.2 \pi \times 10^{-2}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$\varepsilon_{max} \approx 19.2 \times 3.14159 \times 10^{-2} \approx 60.319 \times 10^{-2} \, V$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $60$ મળે છે.

(D) પરિભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon_{\max} = BAN\omega$.
આપેલ છે:
$B = 0.07 \, T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર)
$A = 1 \, m^{2}$ (કોઈલનું ક્ષેત્રફળ)
$N = 1000$ (આંટાની સંખ્યા)
$f = 1 \, \text{rev/s}$ (આવૃત્તિ)
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi(1) = 2\pi \, \text{rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 0.07 \times 1 \times 1000 \times 2\pi$
$\varepsilon_{\max} = 70 \times 2\pi = 140\pi$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$\varepsilon_{\max} = 140 \times 3.14159 \approx 439.82 \, V$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, આપણને $440 \, V$ મળે છે।

(C) $AC$ જનરેટરમાં ઉત્પન્ન થતા મહત્તમ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નું સૂત્ર: $\varepsilon_{\max} = NAB\omega$ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા,$N = 100$.
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = 14 \times 10^{-2} \, m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 3.0 \, T$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ,$f = 360 \, rev/min = \frac{360}{60} \, rev/s = 6 \, Hz$.
કોણીય વેગ,$\omega = 2\pi f = 2 \times \frac{22}{7} \times 6 \, rad/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 100 \times (14 \times 10^{-2}) \times 3.0 \times (2 \times \frac{22}{7} \times 6)$
$\varepsilon_{\max} = 100 \times 0.14 \times 3.0 \times (12 \times \frac{22}{7})$
$\varepsilon_{\max} = 14 \times 3.0 \times \frac{264}{7}$
$\varepsilon_{\max} = 42 \times \frac{264}{7}$
$\varepsilon_{\max} = 6 \times 264 = 1584 \, V$.

(D) આપેલ છે: $N = 600$,$A = 70 \times 10^{-4} \, m^2$,$B = 0.4 \, T$,$f = \frac{500}{60} \, Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{500}{60} = \frac{50 \pi}{3} \, rad/s$.
તત્કાલીન emf નું સૂત્ર $e = N A B \omega \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે હોવાથી,સમતલના લંબ (ક્ષેત્રફળ સદિશ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
$e = 600 \times (70 \times 10^{-4}) \times 0.4 \times (\frac{50 \pi}{3}) \times \sin(30^{\circ})$.
$e = 600 \times 0.007 \times 0.4 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5$.
$e = 4.2 \times 0.4 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5$.
$e = 1.68 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 = 44 \, V$.

(C) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NAB \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = NAB\omega \sin(\omega t)$ છે.
ઉત્પન્ન થતો મહત્તમ વોલ્ટેજ $\varepsilon_{\max} = NAB\omega$ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 200$
ક્ષેત્રફળ $A = 0.20 \ m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01 \ T$
આવૃત્તિ $f = 0.5 \ rev/s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi(0.5) = \pi \ rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 200 \times 0.20 \times 0.01 \times \pi$
$\varepsilon_{\max} = 40 \times 0.01 \times \pi = 0.4\pi = \frac{4\pi}{10} = \frac{2\pi}{5} \ V$.
આને $\frac{2\pi}{\beta}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 5$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NAB \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ એ એરિયા વેક્ટર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વેક્ટર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon$ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$.
વિકલન કરતા: $\varepsilon = -\frac{d}{dt}(NAB \cos(\omega t)) = NAB \omega \sin(\omega t)$.
જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કોઈલના સમતલને સમાંતર હોય,ત્યારે એરિયા વેક્ટર (જે સમતલને લંબ હોય છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન હોય છે.
આ ક્ષણે,$\theta = \omega t = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\phi = NAB \cos(\frac{\pi}{2}) = NAB(0) = 0$.
$\varepsilon = NAB \omega \sin(\frac{\pi}{2}) = NAB \omega(1) = NAB \omega$.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $0$ છે અને પ્રેરિત emf $NAB \omega$ છે.

(A) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 50$,ક્ષેત્રફળ $A = 2.5 \ m^2$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.3 \ T$,કોણીય વેગ $\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$,અવરોધ $R = 500 \ \Omega$.
મહત્તમ ઇન્ડ્યુસ્ડ $emf$ $(V_m)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$V_m = N B A \omega$
$V_m = 50 \times 0.3 \times 2.5 \times 60$
$V_m = 50 \times 0.3 \times 150 = 2250 \ V = 2.25 \ kV$.
મહત્તમ પ્રવાહ $(I_m)$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$I_m = \frac{V_m}{R}$
$I_m = \frac{2250 \ V}{500 \ \Omega} = 4.5 \ A$.
આમ,મહત્તમ ઇન્ડ્યુસ્ડ $emf$ $2.25 \ kV$ અને મહત્તમ પ્રવાહ $4.5 \ A$ છે.

(B) આપેલ છે: અવરોધ $R = 10 \ \Omega$,ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$,આંટાની સંખ્યા $N = 100$,આવૃત્તિ $f = 100 \ Hz$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 10 \ mT = 10^{-2} \ T$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (100) = 200 \pi \ rad/s$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \ m^2$.
મહત્તમ પ્રેરિત $EMF$ $e_0 = N B A \omega$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $e_0 = 100 \times 10^{-2} \times 0.01 \pi \times 200 \pi = 1 \times 0.01 \times 200 \times \pi^2$.
$\pi^2 = 10$ લેતા,$e_0 = 0.01 \times 200 \times 10 = 20 \ V$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{20 \ V}{10 \ \Omega} = 2 \ A$.

(A) ભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. $(e)$ $e = NAB \omega \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. નું મહત્તમ મૂલ્ય $e_0 = NAB \omega$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{NAB \omega}{R}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{av} = \frac{e_0 i_0}{2}$ અથવા $P_{av} = \frac{e_0^2}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$P_{av} = \frac{(NAB \omega)^2}{2R} = \frac{N^2 A^2 B^2 \omega^2}{2R}$.

(A) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ કોઈ પણ સમયે $t$ માટે $\phi = N A B \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = N A B \omega \sin(\omega t)$ છે.
મહત્તમ $EMF$ $e_0 = N A B \omega$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{N A B \omega}{R}$ છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્રમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{avg} = \frac{1}{2} e_0 i_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P_{avg} = \frac{1}{2} (N A B \omega) \left( \frac{N A B \omega}{R} \right) = \frac{N^2 A^2 B^2 \omega^2}{2 R}$.

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 1000$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.10 \ m^2$,આવૃત્તિ $\nu = 0.5 \ Hz$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01 \ T$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega = 2 \pi (0.5) = \pi \ rad/s$.
મહત્તમ પ્રેરિત emf $\varepsilon_{\max}$ નું સૂત્ર $\varepsilon_{\max} = N A B \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon_{\max} = 1000 \times 0.10 \times 0.01 \times \pi$.
$\varepsilon_{\max} = 1 \times \pi = 3.14 \ V$.

(B) ભ્રમણ કરતી કોઈલમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(\varepsilon)$ નું સૂત્ર: $\varepsilon = N B A \omega \sin(\omega t)$ છે।
મહત્તમ પ્રેરિત emf $(\varepsilon_{\max})$ માટે, આપણે $\sin(\omega t) = 1$ લઈએ છીએ.
તેથી, સૂત્ર આ મુજબ બને છે: $\varepsilon_{\max} = N B A \omega$.
આપેલ મૂલ્યો:
આંટાની સંખ્યા $(N)$ = $100$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(B)$ = $0.3 \ T$
ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $2.5 \ m^2$
કોણીય વેગ $(\omega)$ = $60 \ rad \ s^{-1}$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 100 \times 0.3 \times 2.5 \times 60$
$\varepsilon_{\max} = 30 \times 2.5 \times 60$
$\varepsilon_{\max} = 75 \times 60 = 4500 \ V$.
$kV$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\varepsilon_{\max} = 4.5 \ kV$.

(C) જ્યારે એક લંબચોરસ ગૂંચળાને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને ક્ષેત્રને લંબ એવી ધરીની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\phi = B A \cos \theta = B A \cos \omega t$ ...$(i)$
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e$ નીચે મુજબ છે:
$e = -\frac{d \phi}{d t} = -\frac{d}{d t} (B A \cos \omega t)$
$e = -B A \frac{d}{d t} (\cos \omega t)$
$e = -B A (-\omega \sin \omega t)$
$e = B A \omega \sin \omega t$
ધારો કે $e_0 = B A \omega$ એ પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય છે.
તેથી,$e = e_0 \sin \omega t$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રેરિત emf સમય સાથે સાઇનસૉઇડલી (સાઇન વિધેય મુજબ) બદલાય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ભ્રમણ કરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ને $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt} (BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $e = BA\omega \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$.
ફ્લક્સની કળા $(\omega t)$ અને પ્રેરિત emf ની કળા $(\omega t - \frac{\pi}{2})$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 N I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $I = I_0 \sin(\omega t)$ મૂકતા,આપણને $B = \mu_0 N I_0 \sin(\omega t)$ મળે છે.
ચોરસ લૂપના ખૂણા સોલેનોઇડને સ્પર્શે છે,જેનો અર્થ છે કે ચોરસનો વિકર્ણ સોલેનોઇડના વ્યાસ જેટલો છે. ધારો કે ચોરસની બાજુ $l$ છે. તો,વિકર્ણ $d = l\sqrt{2} = 2R$.
આમ,$l = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$ છે.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (\mu_0 N I_0 \sin(\omega t)) \cdot (2R^2) = 2 \mu_0 N I_0 R^2 \sin(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત emf $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [2 \mu_0 N I_0 R^2 \sin(\omega t)]$ છે.
તેનું મૂલ્ય લેતા,$|e| = 2 \mu_0 N I_0 R^2 \omega \cos(\omega t)$ મળે છે.

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ છે.
મહત્તમ $EMF$ $e_{\max} = NBA\omega$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ નું રૂટ-મીન-સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય $e_{\text{rms}} = \frac{e_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{NBA\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
જુલ હીટિંગને કારણે સરેરાશ પાવર વ્યય $P_{\text{avg}} = \frac{e_{\text{rms}}^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $R$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$R = \frac{e_{\text{rms}}^2}{P_{\text{avg}}} = \frac{(NBA\omega)^2}{2 \times P_{\text{avg}}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 40$,$B = 0.05 \ T$,$A = 0.01 \ m^2$,$\omega = 50 \ rad \ s^{-1}$,અને $P_{\text{avg}} = 25 \times 10^{-3} \ W$.
$R = \frac{(40 \times 0.05 \times 0.01 \times 50)^2}{2 \times 25 \times 10^{-3}} = \frac{(1)^2}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.05} = 20 \ \Omega$.

(B) ભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ પ્રેરિત $emf$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e_{\max} = N B A \omega$
જ્યાં:
$N = 50$ (આંટાની સંખ્યા)
$B = 2 \times 10^{-2} \,T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$A = 200 \,cm^2 = 200 \times 10^{-4} \,m^2 = 2 \times 10^{-2} \,m^2$ (કોઈલનું ક્ષેત્રફળ)
$\omega = 40 \,rad/s$ (કોણીય ઝડપ)
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e_{\max} = 50 \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^{-2}) \times 40$
$e_{\max} = 50 \times 4 \times 10^{-4} \times 40$
$e_{\max} = 200 \times 40 \times 10^{-4}$
$e_{\max} = 8000 \times 10^{-4} = 0.8 \,V$
તેથી,ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ $emf$ $0.8 \,V$ છે.

(A) આપેલ છે:
વર્તુળાકાર કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા $(N) = 100$
ક્ષેત્રફળ $(A) = 2 \times 10^{-2} \,m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B) = 0.01 \,T$
ભ્રમણની આવૃત્તિ $(f) = 50 \,Hz$
ફરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ પ્રેરિત emf નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e_{max} = N B A \omega$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$e_{max} = N B A (2 \pi f)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e_{max} = 100 \times 0.01 \times (2 \times 10^{-2}) \times 2 \times 3.14159 \times 50$
$e_{max} = 1 \times 0.02 \times 314.159$
$e_{max} = 0.02 \times 314.159 = 6.283 \,V$
આમ, ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ emf આશરે $6.28 \,V$ છે।